Spécialité en terminale S

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1 Spécialité en terminale S Contents 1 Arithmétique Multiples et diviseurs Cours Exercices Division euclidienne Cours Exercices PGCD cours Exercices Congruences Cours Exercices Nombres premiers Cours Exercices n premiere période web : Page: 1

2 1 Arithmétique 1.1 Multiples et diviseurs Cours Dé nition Soit a et b deux entiers relatifs. S il existe un entier relatif k tel que a = k b, on dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a.on note parfois : bja. (voir page 382) Exemple compléter si besoin Les multiples de 5 sont les entiers de la forme 5k, k 2 Z, c est-à-dire 0, 5, 10, 15, 20...mais aussi -5, -10, -15, Il y en a une in nité. Les multiples de 5 sont ces mêmes nombres 0 n a qu un multiple : 0 lui-même. Donner les diviseurs de 6 : Les diviseurs de - 6 sont ces mêmes nombres. Les diviseurs positifs de 24 sont : Pour ne pas en oublier, on peut les grouper par deux : 24 = 1 24 = 2 12 = 3 8 = 4 6 Est-il vrai que les diviseurs positifs d un entier seront toujours en nombre pair? Remarque divisibilité Si b divise a et b 6= 0, le quotient a b existe et est un entier relatif. Pour tout entier relatif a : aja, aj0 et 1ja. Si bja et a 6= 0, alors jbj 6 jaj. Un entier non nul n a donc qu un nombre ni de diviseurs (mais un nombre in ni de multiples). Si bja et ajb, alors a = b ou a = b: Propriété Considérons les entiers non nuls a, b et c : (voir p 382) 1. Si cjb et bja, alors cja. 2. Si cjb, alors cajba. 3. Si cja et cjb, alors cj(a + b), cj(a b) et plus généralement cjau + bv quelques soient les entiers u et v; c est à dire c divise toute combinaison linéraire de a et b ( voir exemple 4 p 383) Exercices Liste des exercices à nir avant la séance suivante : 1. Déterminer la liste des diviseurs positifs des entiers : 72 ; 75 ; 83 ; 120 ; 200.(voir enoncé 1 p 383) 2. Déterminer la liste des diviseurs des entiers : 50 ; - 56 ; - 8 ; 63. web : Page: 2

3 3. Combien y a-t-il de multiples de 29 compris entre et 500? 4. Prouver que la somme de : (a) deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ; (b) trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ; (c) cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 ; (d) quatre entiers consécutifs n est jamais un multiple de Un nombre n diminué de 4 est un multiple de 5. Démontrer que n 2 1 est aussi multiple de Un nombre n diminué de 2 est un multiple de 7. Démontrer que n 3 1 est aussi un multiple de Soit a, b et d trois nombres entiers naturels. Démontrer que si 7a + 5b et 4a + 3b sont deux multiples de d alors les nombres a et b sont des multiples de d. 8. n 22 et devoir maison Avec deux nombres entiers naturels non nuls, on e ectue les quatre opérations suivantes : on les additionne ; on les multiplie ; on retranche le plus petit du plus grand ; on divise le plus grand par le plus petit. La somme de ces quatre résultats est 243. Quels sont ces deux nombres? 10. Déterminer les entiers naturels tels que : x 3 divise x Indication : Écrire x sous la forme : (x 3)(x + 3) n Déterminer les nombres relatifs x tels que : (a) x 2 divise x + 5 ; (b) x + 7 divise 2x + 15 ; (c) x 1 divise x 2 ; (d) x + 1 divise x web : Page: 3

4 1.2 Division euclidienne Cours Dé nition Théorème et dé nition Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q ; r) d entiers véri ant à la fois : a = bq + r et 0 6 r < b: L opération qui à (a ; b) associe (q ; r) est la division euclidienne de a par b ; q est le quotient, r le reste. a s appelle le dividende et b le diviseur. Preuve. Preuve de l unicité : Supposons que l on ait deux couples (q; r) et ( q`; r` ) véri ant : q 2 Z et r 2 IN tel que : a = bq + r et r < b et q` 2 Z et r` 2 IN tel que : a = bq` + r`et r` < b. Alors bq` + r` = bq + r, soit encore b(q` q) = r r`, et donc b divise r r`.or : 0 6 r 6 b 1 et 0 6 r` 6 b 1, que l on peut également écrire 0 6 r 6 b 1 et (b 1) 6 r` 6 0, Ajoutons des inégalités de même sens, (b 1) 6 r r` 6 b 1. Finalement, on a b qui divise un nombre entier compris entre (b 1) et b 1, il n y en n a qu un seul, 0!! Donc r r` = 0 et par la même occasion b(q` q) = 0 avec b non nul, donc q = q`également, il y a bien unicité. Preuve de l existence : Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.soit q la partie entière du nombre rationnel a b < q + 1 et q 2 Z. b étant strictement positif, on a donc : qb 6 a < qb + b ou encore 0 6 a que q 6 a b su t donc de rappeler que q 2 Z, puis de poser r = a que : a = bq + r et r < b, de sorte qb < b. Il qb et on obtient bien un couple (q; r), q 2 Z et r 2 IN tel Remarque On admettra facilement que l entier a se trouve encadré entre deux multiples de b consécutifs, donc dans un unique intervalle de la forme [bq; b(q + 1)[: Remarque division euclidienne et reste 1. b divise a si et seulement si le reste r est nul. 2. a b = q + r b avec 0 6 r b < 1 donc q est la partie entière de a b 3. Le reste r ne peut prendre que les valeurs entre 0 et b 1. b étant xé, les entiers relatifs peuvent être classés selon leur reste dans la division euclidienne par b. Si b = 2, les entiers se partagent entre les nombres pairs (r = 0) qui s écrivent sous la forme a = 2q et les entiers impairs (r = 1) qui s écrivent sous la forme a = 2q + 1. Si b = 3, les entiers peuvent s écrire sous l une et une seule des trois formes : a = 3q, a = 3q + 1 et a = 3q + 2. Si b = 10, r est le chi re des unités de a Exercices A nir 1. Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b. a = 117 b = 28 a = 317 b = 21 a = 1999 b = 4 a = 849 b = 13 a = 1564 b = 156 a = 671 b = 6 web : Page: 4

5 a = b = voir enoncé 1, 2 et 3 p Sachant qu il existe un entier q tel que = 13q + 35, écrire la division euclidienne de par 13. (Donner le quotient en fonction de q et le reste). 4. Démontrer que si le nombre entier naturel n n est pas un multiple de 3 alors n 2 1est multiple de On sait que = Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de : (a) par 635 (b) par 635 (c) par 452 (d) par 452: 6. Le dividende d une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12. On cherche le diviseur et le dividende. Expliquer pourquoi il n y a pas de solution. 7. Le quotient d un entier a par un entier naturel non nul b est 17 et le reste est 25. Quelle est la plus petite valeur possible du diviseur et du dividende? 8. Soit a et b deux entiers naturels.les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont respectivement 2 et Déterminer le reste de la division euclidienne des nombres a + b et a b par 11. En déduire celui de a 2 b Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne : (a) de n 2 + n + 1 par n + 1 ; (b) de n 2 + n + 1 par n + 2 ; (distinguer les cas n = 1 et n 6= 1) (c) de 2 n 1 par 2 n 1 Exercice web : Page: 5

6 1.3 PGCD cours Dé nition PGCD Soient a et b deux entiers naturels non nuls. L ensemble des diviseurs communs positifs de a et b n est pas vide, puisqu il contient au moins l entier 1. Le plus grand diviseur (positif) commun de a et b s appelle le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de a et de b et se note P GCD(a; b) ou 4 (a; b): Exemple Les diviseurs positifs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.Les diviseurs positifs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Le plus grand des diviseurs communs de 24 et 36 est 12. Dé nition Algorithme d Euclide Un algorithme est une méthode détaillée étape par étape qui permet de réussir avec certitude une tâche donnée, par exemple un calcul. L algorithme d Euclide permet de calculer le PGCD de deux entiers naturels. Il repose sur les deux principes suivants : Théorême Principe 1: si a = bq + r; P GCD(a; b) = P GCD(b; r): Preuve. voir activité 1 p405 Soit d un diviseur commun de a et de b : d après la propriété 1.1.1, d est aussi un diviseur de a dire r. d est donc un diviseur commun de b et de r. bq c est à Réciproquement, si d est un diviseur commun de b et de r, alors d divise également a = bq + r : c est donc un diviseur commun de a et de b. Les diviseurs communs de a et de b sont donc les mêmes entiers que les diviseurs communs de b et de r, d où l égalité : PGCD(a; b) = PGCD(b; r). Théorême Principe 2: Si b divise a; P GCD(a; b) = b Preuve. voir aussi p407 Si b divise a, b est un diviseur commun de a et de b. P GCD(a; b) = b,car aucun nombre plus grand que b ne peut diviser b. On peut remarquer que la réciproque est exacte, c est-à-dire que P GCD(a; b) = b entraîne que b divise a. L algorithme d Euclide consiste alors à e ectuer la division euclidienne de a par b : on obtient un reste r 1. On divise ensuite b par r 1 : on obtient un reste r 2. On continue... On a donc : a = bq 1 + r 1 avec 0 6 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 avec 0 6 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 avec 0 6 r 3 < r 2... La suite des entiers naturels b, r 1, r 2, r 3,... ne peut pas décroitre indé niment donc on va obtenir un reste nul r n+1 = 0. Les dernières lignes seront donc r n 2 = r n 1 q n + r n avec 0 6r n < r n 1 r n 1 = r n q n+1 web : Page: 6

7 On peut ensuite écrire, d après le principe 1 : P GCD(a; b) = P GCD(b; r 1 ) = P GCD(r 1 ; r 2 ) =:::= P GCD(r n 1 ; r n ) et d après le principe 2 : P GCD(r n 1 ; r n ) = r n. Le P GCD de a et de b est donc r n c est-à-dire le dernier reste non nul obtenu. Plus précisément on a même montré que les diviseurs (positifs) communs de a et b sont les diviseurs de r n, c est-à-dire de leur P GCD. Exemple Recherche du PGCD de et que l on presentera ensuite dans le tableau suivant : pour s entrainer il y les exos 18 à 20 p420. etapes a b restes Exemple une autre methode existe qui utilise la décoposition en facteurs premiers, regardez l exo 17 p 420 Théorême L ensemble des diviseurs communs entre deux entiers naturels non nuls a et b est l ensemble des diviseurs de leur PGCD. Plus symboliquement, quel que soit l entier c : cja et cjb si et seulement si cjp GCD(a; b): Exemple Les diviseurs communs entre 24 et 36 sont les diviseurs de 12. Les diviseurs communs entre et sont les diviseurs de 291. Remarque On peut étendre la dé nition du PGCD à tous les entiers relatifs non nuls en posant : P GCD(a; b) = P GCD(jaj; jbj). Propriété PGCD et opération Soit a, b et k trois entiers non nuls. Si a et b sont divisibles par k : P GCD(a; b) = P GCD(b; a) P GCD(ka; kb) = jkj P GCD(a; b) P GCD( a k ; b P GCD(a; b) ) = k jkj Preuve. La deuxième propriété vient du fait que, dans l algorithme d Euclide, si l on multiplie a et b par k (> 0), tous les restes sont multipliés par k et en particulier le dernier reste non nul qui est le PGCD. La troisième propriété se déduit de la deuxième en remplaçant k a par 1 k a et k b par 1 k b. Dé nition Deux entiers non nuls sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Il revient au même de dire qu ils n ont pas d autre diviseur positif commun que 1. Si a et b sont deux entiers non nuls, et d = P GCD(a; b), alors a d = a0 et b d = b0 sont deux entiers premiers entre eux puisque P GCD( a d ; b d ) = P GCD(a;b) d = 1. En d autres termes, si a et b sont deux entiers non nuls, on peut toujours écrire : web : Page: 7

8 Théorême < : a = a 0 d b = b 0 d P GCD(a 0 ; b 0 ) = 1 avec d = P GCD(a; b) Dé nition Lorsque a et b (b 6= 0) sont premiers entre eux, on dit que la fraction a b est irréductible. D après ce qui précède, toute fraction a b est égale à une fraction irréductible a0 b 0. Tice programmer le calcul du pgcd dans un tableur (p 412) Exercices 1. En utilisant l algorithme d Euclide, déterminer le PGCD de : (a) et ; (b) et ; (c) et Si on divise 4294 et 3521 par un même entier positif, on obtient respectivement 10 et 11 comme restes. Quel est ce nombre? 3. Trouver les diviseurs positifs communs à a et à b : (a) a = 300 et b = 350 (b) a = 168 et b = 2160 (c) a = 308 et b = a = 630 ; P GCD(a; b) = 105 ; 600 < b < Trouver b. 5. Expliquer, sans nécessairement calculer les PGCD, pourquoi tous les résultats suivants sont visiblement faux : (a) P GCD(1602; 1846) = 3 (b) P GCD(1714; 3026) = 1 (c) P GCD(15; 23) = 7 (d) P GCD(132; 63) = 63 (e) P GCD(2121; 111) = 140 (f) P GCD(121; 128) = 8 6. Trouver les nombres entiers naturels non nuls a et b de PGCD égal à 8 et tels que a + b = n est un entier naturel non nul, a = 2n 2 et b = n(2n + 1). Justi er que 2n et 2n + 1 sont premiers entre eux. En déduire le PGCD de a et b. (voir exo E page 409 et le n 30 p421) 8. a et b sont des entiers naturels. Trouver a et b sachant que ab = 1734 et que le PGCD de a et b est les n 33 à 36 p 421 du livre permettent de s entrainer à la démonstration 10. le n 52p 423 est un tres bon exemple de démonstration par l absurde. web : Page: 8

9 1.4 Congruences Cours page 388 à 391 Dé nition Congruences Soit m un entier naturel strictement positif donné. On dit que deux entiers a et b sont congrus modulo m si leur di érence b a est un multiple de m. On note : a b (mod : m) ou a b[m]. Exemple (mod : 10) puisque la di érence = 40 est un multiple de (mod : 41) puisque la di érence = 492 est un multiple de (mod : 23) puisque la di érence = 92 est un multiple de 23. Propriété Propriété fondamentale a b[m] si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m. Preuve. Si a b[m], cela signi e que pour un certain entier k : b a = km. Écrivons la division euclidienne de a par m : a = mq + r avec 0 6 r < m. On a donc : b = m(k + q) + r avec 0 6 r < m ce qui montre que le reste dans la division de b par m est aussi r. Réciproquement, si a et b ont le même reste r dans la division euclidienne par m on a : a = mq+r et b = mq 0 +r d où : b a = m(q 0 q). b a est bien un multiple de m : a b[m]. Propriété Congruence et opérations a, b, c et d désignent des entiers quelconques. m est un entier naturel strictement positif. 1. a a[m] 2. Si a b[m], alors b a[m] 3. Si a b[m] et b c[m], alors a c[m] 4. Si a b[m] et c d[m], alors a + c b + d[m] 5. Si a b[m] et c d[m], alors ac bd[m] 6. Si a b[m] alors a p b p [m] (p > 1) 7. Si m > 2; a b[m], mj(a b) Exercices Exercice nir les exercices pour la prochaine fois 1. Démontrer les propriétés 3. et 5. ci-dessus. (Indication : bd ac = d(b a) + a(d c)) 2. Démontrer que si n n est pas divisible par 7, n 6 1 l est. 3. Véri er que : 10 3[7]; 100 2[7]; [7]; [7]; [7]; [7]: En déduire, parmi ces nombres, quels sont les multiples de 7 : 4123 ; ; ; ; web : Page: 9

10 4. Montrer que 9 divise 7 3n 1 pour tout n nombre entier naturel. 5. Démontrer que 3 3 1[13] et 3 3n 1[13]. En déduire que le nombre 3 6n n est un multiple de 13 pour tout entier naturel n. 6. Démontrer que 3 2n n+2 0[7] pour tout n nombre entier naturel. (a) Véri er que 9 entier naturel. 1[10]. En déduire le chi re des unités des nombres 9 2n et 9 2n+1 pour tout n nombre (b) Véri er que 99 1[100]. En déduire le chi re des unités des nombres 99 2n et 99 2n+1 pour tout n nombre entier naturel. (a) Quel est le reste de la division par 7 du nombre 32 45? (b) Quel est le reste de la division par 19 du nombre ? (c) Quel est le reste de la division par 7 du nombre ? 7. Démontrer en utilisant les congruences que si a, b et n sont des entiers naturels non nuls, a b divise a n b n et si de plus n est impair : a + b divise a n + b n. Indication : Si a > b, écrivons que a b[a-b] et nir grace à la propriété TP: Etudier le critère de divisibilité par 9 9. TP: Etudier le critère de divisibilité par 11 sur la page Critère de divisibilité par 7 ds le n 67 p Exo corrigé 5 p 394 et faire l n 58 p Quel est le chi re x pour que (a) 3x79 soit divisible par 9 (b) 12345x soit divisible par 3 (c) 351x4 soit divisible par 4 et par Déterminer les chi res x et y pour que (a) 43xy soit divisible par 4 et 5 (b) x431y soit divisible par 5 et par 9 (c) 28x75y soit divisible par 8 et par DM : n 63p 400 web : Page: 10

11 1.5 Nombres premiers Cours Dé nition voir page 382 On dit qu un entier naturel p est premier s il possède exactement deux diviseurs positifs (1 et lui-même). Un entier naturel non premier est dit composé. Exemple et 1 ne sont donc pas premiers. 2 est le plus petit nombre premier.c est le seul qui est pair. Les suivants sont : 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Théorême voir l énoncé 2 p 385 Soit a > 2 un entier naturel. a admet un diviseur premier ; Si a n est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que : 2 6 p 6 p a. Preuve. Supposons que a ne soit pas premier. a doit admettre un diviseur positif autre que 1 et a : soit p le plus petit diviseur positif de a autre que 1. On a donc : 2 6 p < a. p est premier car s il avait un diviseur positif d autre que 1 et p, il diviserait a et on aurait : 2 6 d < p < a et p ne serait pas le plus petit diviseur positif de a autre que 1. De plus, p divisant a il existe p 0 diviseur de a tel que 2 6 p 6 p 0 et pp 0 = a d où : p 2 6 pp 0 = a et donc 2 6 p 6 p a Pour tester si un entier naturel a > 1 est premier, il su t donc de tester qu il n a pas de diviseur premier p tel que 2 6 p 6 p a Exemple Crible d Eratosthène Théorême Il existe une in nité de nombres premiers. Preuve. Démonstration par l absurde (due à Euclide) Supposons qu il n existe qu un nombre ni de nombres premiers, le plus grand de tous les nombres premiers étant noté P. Considérons l entier N = ::: P + 1. (produit de tous les nombres premiers plus un). Il est evident que N > P: D après le théorème précédent N admettrait un diviseur premier p. p diviserait N et p diviserait le produit ::: P, donc p diviserait leur di érence qui vaudrait 1. Ceci est impossible. Il y a donc une in nité de nombres premiers Exercices A nir, bien entendu Exercice à 17) 1. Indiquer pour chacun des nombres suivants s il est premier :481 ; 483 ; 485 ; 487.(exercices 2. Pour quelles valeurs du nombre entier n le nombre suivant est-il premier?(exercice 18) (a) n 2 8n + 15 (b) n 2 + 4n + 3:(Essayer de factoriser ces polynômes) web : Page: 11

12 3. Pour quelles valeurs des nombres entiers naturels n et m le nombre 2n 2 + 5nm + 3m 2 est-il premier? (Aide : 2n 2 + 5nm + 3m 2 = (n + m)(2n + 3m).(exercice 31) 4. Factoriser n en partant de : n = (n 2 + 2) 2 4n 2 : Pour quelles valeurs entières de n l entier n est-il premier?(exercice 26) 5. Si p est un nombre premier et n un entier naturel non nul. Montrer que deux cas seulement peuvent se présenter : soit p divise n ; soit p et n sont premiers entre eux ! désigne le produit de tous les entiers de 1 à 100. Justi er que 100! + 2; 100! + 3; 100! + 4; :::; 100! sont 99 entiers consécutifs tous composés. 7. Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur di érence est égale à 2. Pour véri er que 1607 et 1609 sont des nombres premiers jumeaux, par quels nombres premiers faut-il véri er qu ils ne sont pas divisibles? Les nombres sont deux nombres premiers jumeaux de plus de chi res (découverts en 2002). On ne sait toujours pas s il existe une in nité de nombres premiers jumeaux. 1.6 n premiere période Exercice exercices de synthèse et exercices type bac 1. 62p p p web : Page: 12