CHAPITRE 16 COSINUS D UN ANGLE AIGU DANS UN TRIANGLE RECTANGLE.

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1 CHAPITRE 1 COSINUS D UN ANGLE AIGU DANS UN TRIANGLE RECTANGLE. I. VOCABULAIRE. DÉFINITION. On considère un triangle ABC rectangle en A. A Angle droit Côté adjacent à l angle ACB B C Angle ACB Hypoténuse L angle ACB est un angle aigu défini à partir de deux côtés du triangle : l hypoténuse du triangle ABC ; le côté adjacent à l angle ACB. Le rapport de la longueur du côté adjacent à l angle ACB (la longueur CA) par la (la longueur (CB) ne dépend que de l angle ACB. Ce rapport est appelé cosinus de l angle ACB, et on le note cos ( ACB ). Intuitivement : cos ( ACB ) = «longueur du côté adjacent à l'angle ACB» «longueur de l'hypoténuse» Et plus formellement : cos ( ACB ) = CA CB Remarque : Puisque CA < CB, cos( ACB ) est un nombre compris entre 0 et 1. L. GUADALUPI Chapitre 1 Synthèse MTH401 Page S.1

2 II. COSINUS ET CALCULATRICE. Avant tout, pensez à vérifier que votre calculatrice est bien en mode «Degrés». 1. Utiliser la calculatrice pour calculer une valeur approchée du cosinus d un angle donné. Par exemple, pour calculer une valeur approchée du cosinus d un angle dont la mesure est 40, on tape la séquence suivante : COS ( 4 0 ) EXE ce qui donne à l écran : c os(4 0) 0, Utiliser la calculatrice pour calculer une valeur approchée d un angle dont le cosinus est donné. Par exemple, pour calculer une valeur approchée de l angle aigu dont le cosinus est 0,7, on tape la séquence suivante : Second COS ( 0. 7 ) EXE ce qui donne à l écran : c os - 1 (0,7 ) 41, L. GUADALUPI Chapitre 1 Synthèse MTH401 Page S.2

3 III. COSINUS ET CALCUL DE LONGUEUR OU DE MESURE D ANGLE. 1. Déterminer la mesure d un angle aigu dans un triangle rectangle, connaissant la longueur du côté adjacent à cet angle et la. Par exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et BC = 8. C 8 B Calculer la mesure de l angle ABC. 4 A On sait que le triangle ABC est rectangle en A. cos ( ABC ) = BA BC longueur du côté adjacent à ABC Donc cos ( ABC ) = 4 8 On remplace les longueurs (et mesures) connues par leur valeur. Remarque : on peut simplifier 4 8 mais c est inutile ici. On en déduit que ABC = cos ABC = 0 (calculatrice indispensable pour ce calcul) Donc l angle ABC mesure 0. Exercice d application n 1 DEF est un triangle rectangle en E tel que DE = cm et DF = cm. Calculer la mesure de l angle EDF. Exercice d application n 2 IJK est un triangle rectangle en K tel que IJ = 10 cm et IK = 3 cm. Calculer la mesure de JIK. L. GUADALUPI Chapitre 1 Synthèse MTH401 Page S.3

4 2. Déterminer la longueur d un côté de l angle droit d un triangle rectangle, connaissant la mesure d un angle aigu adjacent à ce côté et la. Par exemple : IJK est un triangle rectangle en I tel que JK = et IJK = 30. L unité de longueur est le centimètre. I Calculer la longueur du côté [ J I ]. J 30 K On sait que le triangle IJK est rectangle en I. cos ( IJK ) = JI JK longueur du côté adjacent à IJK Donc On en déduit que cos ( 30 ) = JI JI On remplace les longueurs et mesures connues par leur valeur. = cos ( 30 ) On résout l équation d inconnue JI. JI = cos ( 30 ) JI,19 (valeur exacte) (valeur arrondie) Donc le côté [ JI ] mesure exactement ( cos( 30 ) ) cm, soit environ,2 cm arrondis au millimètre près. Exercice d application n 3 DEF est un triangle rectangle en E tel que DF = 7 cm et DFE =. Calculer la longueur de [EF]. Exercice d application n 4 R est un triangle rectangle en T tel que RS = 13 cm et SRT = 70. Calculer la longueur de [RT]. L. GUADALUPI Chapitre 1 Synthèse MTH401 Page S.4

5 3. Déterminer la d un triangle rectangle, connaissant la mesure d un angle aigu et la longueur du côté adjacent à cet angle. T Par exemple : R est un triangle rectangle en R tel que SR = et R = 40. L unité de longueur est le centimètre. Calculer la longueur du côté [ ]. R 40 S On sait que le triangle R est rectangle en R. cos ( R ) = SR longueur du côté adjacent à R Donc = On remplace les longueurs et mesures connues par leur valeur. Soit encore : 1 = On résout l équation d inconnue. On en déduit que = 1 (égalité des produits en croix) = = (valeur exacte),3 Donc le côté [ ] mesure exactement millimètre près. cos (40 ) (valeur arrondie) cm, soit environ, cm arrondis au Exercice d application n DEF est un triangle rectangle en E tel que EF = 4 cm et DFE = 21. Calculer la longueur de [DF]. Exercice d application n LMN est un triangle rectangle en L tel que LN = 8 cm et LMN = 4. Calculer la longueur de [MN]. L. GUADALUPI Chapitre 1 Synthèse MTH401 Page S.