TERMINALE S DIVISIBILITÉ ET NOMBRES PREMIERS. I Divisibilité dans Z. Mathématiques, enseignement de spécialité

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1 TERMINALE S Mathématiques, enseignement de spécialité DIVISIBILITÉ ET NOMBRES PREMIERS I Divisibilité dans Z 1 Division euclidienne dans Z. Soient a un nombre entier relatif et b un entier naturel non nul, il existe un unique couple (q ; r) d entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 r < b. Propriétés préliminaires, admises : a) IR est archimédien : pour tout réel strictement positif a, et pour tout nombre réel x, il existe un unique entier relatif k tel que ka x < (k+1)a. (Axiome d Archimède) b) Toute partie non vide de IN a un plus petit élément. (IN est bien ordonné) Existence du couple (q ; r) Soit E l ensemble des entiers naturels n tels que a < bn b est non nul, il résulte de l Axiome d Archimède que E est non vide E est une partie non vide de IN, il a un plus petit élément p. 0 n est pas un élément de E, donc p est donc supérieur ou égal à 1, montrons alors que le nombre q = p -1 convient : q est plus petit que p, ce n est donc pas un élément de E il en résulte que bq a d autre part, a < b(q+1) puisque q+1 = p est un élément de E posons alors r = a bq de bq a < b(q+1) on déduit 0 a bq < b(q+1) bq ce qui équivaut à 0 a bq < b soit 0 r < b on a donc déterminé un couple (q ; r) d entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 r < b. Unicité du couple (q ; r) Supposons qu il existe un autre couple (q ; r ) vérifiant les mêmes conditions, on aurait alors bq + r = bq + r, ce qui équivaut à b(q q ) = r r (1) L égalité (1) montre que r r est un multiple de b or, de 0 r < b et 0 r < b, on déduit b < r r < b mais le seul multiple de b strictement compris entre b et b est 0, d où r = r on en déduit que les couples sont égaux, ce qui contredit notre hypothèse de départ. Le couple (q ; r) d entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 r < b est donc unique.

2 Conséquences : - tout entier naturel a peut s écrire sous la forme 2k ou 2k tout entier naturel a peut s écrire sous la forme 3k ou 3k + 1 ou 3k + 2. Définitions : lorsque les nombres q et r ont été déterminés, on dit qu on a effectué la division euclidienne de a par b. q est le quotient et r le reste. 45 = 6x = 201x = 167x Divisibilité. Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que b divise a si et seulement si il existe un entier relatif k tel que a = kb. On dit alors que b est un diviseur de a ou encore que a est un multiple de b. 45 = 3x15, 3 et 15 sont donc des diviseurs de = 2x(-6), 2 et -6 sont donc des diviseurs de -12. Remarques : - Pour tout entier relatif a, a et a ont les mêmes diviseurs, on peut donc restreindre l étude de la divisibilité à l ensemble des entiers naturels. - Tout nombre a est un diviseur de 0, en effet : 0 = ax ne divise aucun entier non nul. - Pour tout entier naturel n, 1 et n sont des diviseurs de n. Remarque : L entier b est un diviseur de a si et seulement si le reste dans la division euclidienne de a par b est nul.

3 3 Propriétés : a) Ensemble des diviseurs d un entier naturel non nul n. Tout diviseur positif d de n vérifie : 1 d n. 0 ne divise aucun nombre non nul, donc 1 d si d > n, alors pour tout k strictement positif, dk > n donc d ne divise pas n Conséquence : tout entier relatif non nul a un nombre fini de diviseurs. b) Divisibilité et opérations : 1. Si a divise b et b divise c, alors a divise c. 2. Si a divise b, alors pour tout nombre entier m ; a divise mb. 3. Si a divise b et a divise c, alors a divise b + c. 4. Si a divise b et a divise c, alors pour tous entiers m et n, a divise mb + nc. démonstrations : II Congruences a et b sont deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul. 1 Définition : On dit que a est congru à b modulo n lorsque a - b est un multiple de n. On écrit alors a b [n]. Remarques : si a b [n] alors b a [n], c est pourquoi on dit souvent que a et b sont congrus modulo n. si a b [n] et b c [n] alors a c [n]

4 2 Propriétés a) Compatibilité avec l addition : Si a a [n] et b b [n] alors a + b a + b [n]. b) Compatibilité avec la multiplication : Si a a [n] et b b [n] alors ab a b [n]. c) Compatibilité avec les puissances : Si a b [n] alors pour tout entier k supérieur ou égal à 1, a k b k [n]. Exemple d application : montrer que pour tout entier naturel k, 2008 k 1 [9] 3 Propriété caractéristique : a et b sont deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul, les nombres a et b sont congrus modulo n si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Remarque : comme toute propriété caractéristique, elle aurait pu servir de définition. Plus difficile : quel est le reste dans la division par 9 de ? 3+1 Applications a) Critères de divisibilité : Les congruences permettent d obtenir des critères de divisibilité. divisibilité par 9 divisibilité par 11 un nombre N écrit dans le système décimal est le nombre qui s'écrit N = Cn...C2C1C0 dans le système divisible par 9 si et seulement si la somme de ses décimal est divisible par 11 si et seulement si chiffres est divisible par 9. (-1) n Cn...(-1) 2 C2 - C1 + C0 0 [11]

5 Prolongement : trouver un critère de divisibilité par 7 pour un nombre à 6 chiffres puis à 18 chiffres. b) La «preuve» par neuf : On utilise la congruence modulo 9 pour détecter une erreur de calcul. Exemple : L opération x = est-elle juste? c) Les clés de contrôle : Une «clé» est souvent ajoutée à des numéros pour détecter certaines fraudes ou erreurs de saisie. - La clé du Numéro d INSEE d une personne est le reste modulo 97 du nombre formé par les 13 premiers chiffres. - Le chiffre de droite du numéro de série d'un billet de banque est une clé de contrôle (la lettre à gauche indique le pays d'origine du billet).

6 III Nombres premiers 1 Définition : Un entier naturel n est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs. 2 et 13 sont des nombres premiers, 2 est le seul nombre premier pair. 1 et 12 ne sont pas des nombres premiers. 2 Propriétés : a) Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier. b) Tout entier naturel n non premier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier a tel que a inférieur ou égal à n. c) Il existe une infinité de nombres premiers. démonstrations : Conséquence pratique : test de primalité d un entier. Pour démontrer qu un entier n supérieur ou égal à 2 est premier, il suffit de vérifier que n n est divisible par aucun nombre premier dont le carré est inférieur à n. Théorème fondamental : Tout entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose en un produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. Conséquence : Un entier naturel d divise l'entier naturel n si et seulement si les facteurs premiers de la décomposition en produit de facteurs premiers de d figurent dans la décomposition de n avec des exposants au moins égaux. Exemple : les diviseurs de 2 3 x3 2 x5 sont les nombres on en déduit que le nombre 360 a diviseurs.

7 on peut représenter ces nombres par un treillis : ou plus généralement à l'aide d'un arbre :