TS Physique Mécanique du vol d un ballon sonde Exercice résolu

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1 P a g e 1 TS Physique Exercice résolu Enoncé Un ballon sonde, en caoutchouc mince très élastique, est gonflé à l hélium. Une nacelle, attachée sous le ballon, emporte du matériel scientifique afin d étudier la composition de l atmosphère. En montant le ballon grossit car la pression atmosphérique diminue. Sa paroi élastique finit par éclater à une altitude généralement comprise entre 20 et 30 kilomètres. Après l éclatement, un petit parachute s ouvre pour ramener la nacelle et son contenu au sol. Il faut ensuite localiser cette nacelle, puis la récupérer, pour exploiter l ensemble des expériences embarquées. Le système {ballon + nacelle + matériel embarqué}, de masse M et de centre d inertie G, est étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen. L objectif de cet exercice est d étudier la mécanique du vol du ballon sonde à faible altitude (sur les premières centaines de mètres). On peut alors considérer que la valeur g du champ de pesanteur, le volume V b du ballon et la masse volumique ρ de l air restent constants. On modélisera la valeur f de la force de frottement de l air sur le système étudié par l expression : f = K. ρ.v 2, où K est une constante pour les altitudes considérées et v la valeur de la vitesse du centre d inertie du système {ballon + nacelle}. On supposera qu il n y a pas de vent qui ferait dévier le mouvement de sa direction verticale, et que le volume de la nacelle est négligeable par rapport au volume du ballon. Données : - Masse volumique de l air : ρ = 1,22 kg.m -3 - Volume du ballon : V b = 9,0 m 3 - Masse du ballon (enveloppe + hélium) : m = 2,10 kg - Masse de la nacelle vide : m = 0,50 kg - Valeur du champ de pesanteur : g = 9,8 N.kg Établir le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle} à faible altitude et les représenter au point G, sans échelle, sur le schéma en annexe n Donner l expression de la valeur F de la poussée d Archimède (on appellera m air la masse d air déplacée). 3. a) Appliquer la 2 ème loi de Newton au système considéré. b) A quelle condition doit satisfaire le vecteur accélération a du système pour que le ballon puisse s élever? 4. A la date t 0 = 0, la valeur v 0 de la vitesse initiale du centre d inertie du système est considérée comme nulle. a) A cette date, projeter la relation obtenue à la question 3.a dans le repère (O, i ) (voir schéma en annexe n 1) et en déduire une condition sur la masse M. b) Calculer la masse maximale m max de matériel scientifique que l on peut embarquer. 5. a) A l aide d une étude rigoureuse, montrer que l équation différentielle régissant le mouvement du centre d inertie G du système à faible altitude peut se mettre sous la forme : 2 A.v B dt = +. b) Avec m = 2,0 kg et K = 2,0 m 2, calculer les valeurs de A et de B.

2 P a g e 2 6. Une méthode de résolution numérique, la méthode d Euler, permet de calculer de façon approchée la vitesse instantanée du centre d inertie du système à différentes dates. Pour cela, on utilise la relation suivante : v(t n+1 ) = v(t n ) + v(t n ) avec v(t n ) = dt (t n). t et t = t n+1 t n ( t est le pas de résolution). Par cette méthode, on souhaite calculer les vitesses v 1 et v 2 aux instants de dates respectives t 1 = 5,0 x 10-2 s et t 2 =1,0 x 10-1 s. On prendra t = 5,0 x 10-2 s, A = - 0,53 m -1 et B = 13,6 m.s -2. En utilisant cette méthode compléter, sans justifier, le tableau en annexe n a) Donner l expression de la valeur de la vitesse limite v L du ballon en fonction de A et de B. b) Calculer cette valeur. c) La méthode d Euler donne le graphique ci-contre. Comparer la valeur obtenue à la question précédente à la valeur lue sur le graphique.

3 P a g e 3 Annexe Annexe n 1 z Annexe n 2 t en s v(t n ) en m.s -1 a(t n ) = dt (t n) en m.s -2 v(t n ) en m.s -1 G ballon t ,6 nacelle t 1 i O sol t 2

4 P a g e 4 Corrigé 1. Établir le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle} à faible altitude et les représenter au point G, sans échelle, sur le schéma en annexe n 1. Le système est soumis à 3 forces : - P : poids du système - F : poussée d Archimède - f : force de frottement de l air 2. Donner l expression de la valeur F de la poussée d Archimède (on appellera m air la masse d air déplacée). F = m air.g avec m air = ρ.v b => F = ρ.v b.g 3. a) Appliquer la 2 ème loi de Newton au système considéré. ΣF ext = P + F + f = M. ag b) A quelle condition doit satisfaire le vecteur accélération ag du système pour que le ballon puisse s élever? Le ballon peut s élever si le vecteur accélération est non nul et orienté vers le haut. 4. A la date t 0 = 0, la valeur v 0 de la vitesse initiale du centre d inertie du système est considérée comme nulle. a) A cette date, projeter la relation obtenue à la question 3.a dans le repère (O, i ) (voir schéma en annexe n 1) et en déduire une condition sur la masse M. Si v 0 = 0 alors f = 0 => P + F = M. ag Par projection dans le repère (O, i ) : P z + F z = M.a z avec P z = - P = - M.g et F z = F = ρ.v b.g => - M.g + ρ.v b.g = M.a z avec a z > 0 (cf. question 3.b). On doit donc avoir : - M.g + ρ.v b.g > 0 et M < ρ.v b b) Calculer la masse maximale m max de matériel scientifique que l on peut embarquer. M = m + m + m => m + m + m < ρ.v b et m < ρ.v b m m On a donc : m max = ρ.v b m m Soit : m max = (1,22 x 9,0) 2,10 0,50 = 8,4 kg 5. a) A l aide d une étude rigoureuse, montrer que l équation différentielle régissant le mouvement du centre d inertie G du système à faible altitude peut se mettre sous la forme : dt 2 = A.v + B. Projection de la 2 ème loi de Newton dans le repère (O, i ) : P z + F z + f z = M.a z avec : P z = - P = - M.g ; F z = F = ρ.v b.g ; F z = - f = - f = - K. ρ.v 2 ; a z = z dt = dt (car v z > 0 et v z = v) => ρ.v b.g - K. ρ.v 2 M.g = M. dt et ( ) dt = - K. M ρ.v 2 ρ.v + b M Cette équation différentielle est de la forme : ρ.v b M 1.g 1.g dt = K. ρ A.v2 + B avec A = - ( ) M et B = b) Avec m = 2,0 kg et K = 2,0 m 2, montrer que A = - 0,53 m -1 et B = 13,6 m.s -2. 2,0 1,22 A = - 4,6 = - 0,53 1,22 9, 0 m-1 et B = 1 x 9,8 = 13,6 m.s-2 4,6

5 P a g e 5 6. En utilisant la méthode d Euler compléter, sans justifier, le tableau en annexe n a) Donner l expression de la valeur de la vitesse limite v L du ballon en fonction de A et de B. Lorsque la vitesse limite est atteinte : b) Calculer cette valeur. v L = t en s v(t n ) en m.s -1 a G (t n ) = dt (t n) en m.s -2 v(t n ) en m.s -1 t ,6 0,68 t 1 0,68 13,4 0,67 t 2 1,35 13,6 = 5,1 m.s -1 ( 0, 53) dt = 0 => A.v2 L + B = 0 => v L = c) La méthode d Euler donne le graphique ci-contre. Comparer la valeur obtenue à la question précédente à la valeur lue sur le graphique. Dans les deux cas, on trouve : v L = 5,1 m.s -1. B A