Calcul matriciel : rappels et compléments

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1 CHAPITRE 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 5 L ensemble M n,p (K) 5 Structure d espace vectoriel Définition Soit K = R ou C On note M n,p (K) l ensemble des matrices ayant n lignes et p colonnes On dit alors que les matrices de M n,p (K) ont un format (n, p) Lorsque n = p, on note M n (K) l ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes Dans ce cas, on dit que les matrices de M n (K) sont de taille n ou bien d ordre n Proposition 2 M n,p (K) est un K-espace vectoriel En particulier, on peut sommer deux matrices ayant le même format et multiplier une matrice par un scalaire La matrice nulle est notée simplement ou Mn,p(K) Définition 3 On note E i,j la matrice de M n,p (K) dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé en ligne i et colonne j, qui vaut La famille (E i,j ) i n forme alors une base de l espace vectoriel M n,p (K) En j p particulier on a donc : dim(m n,p (K)) = np Dans l espace M 2 (R), on a : E, = Ç, E,2 = Ç, E 2, = Ç, E 2,2 = Ç

2 2/4 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 52 Produit de matrices Définition 4 Soient A M n,p (K) et B M p,q (R) deux matrices telles que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Alors, on peut définit la matrice C = AB, qui est une matrice de M n,q (K) telle que : p (i, j), n, q, c i,j = [AB] i,j = a i,k b k,j k= Ç Ç Soit A = et soit B = Ç Ç En notant B = et B 2 = On a AB = Ç, on a AB = AB 2 = Ç 2 2 et BA = 2 2 Rien qu avec les exemples précédents, on voit que : le produit matriciel n est pas commutatif : AB BA si AB =, cela n implique pas que A = ou B = : le produit n est pas intgre si AB = AB 2, cela n implique pas que B = B 2, on ne peut pas "simplifier" les matrices de chaque côté Cependant, la factorisation est possible, soit à droite, soit à gauche : A B + A 2 B = (A + A 2 )B et BA + BA 2 = B(A + A 2 ) 53 Puissances et polynômes d une matrice carrée Définition 5 Soit A une matrice carrée d ordre n On note par convention A = I n, matrice identité d ordre n, puis on pose pour tout entier k, A k = A A A }{{} k fois Un cas particulier où on peut facilement calculer les puissances d une matrice : lorsqu elle est diagonale Si on note D = diag(λ, λ 2,, λ n ), alors pour tout k N, D k = diag(λ k, λk 2,, λk n) Théorme 6 Soient A et B deux matrices carrées de M n (K) qui commutent, alors pour tout entier k, (A + B) k = k j= ( ) k A j B k j j (formule du binôme de Newton) et A k B k k = (A B) A j B k j = (A B)(A k + A k 2 B + A k 3 B AB k 2 + B k ) j=

3 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 3/4 Définition 7 Une matrice carrée A M n (K) est dite nilpotente s il existe un entier k tel que A k = Soit N = Ç Ç On a N 2 et N 3 =, donc N est nilpotente d ordre 3 Lorsqu une matrice M peut s écrire M = I n + A avec A nilpotente, la formule du Binôme s écrit facilement pour M n et beaucoup de termes sont nuls (car A k est nul ds que k est supérieur à un indice donné) Ex : pour N ci-dessus, on a : (I n + N) k = k j= Ç k N j = I n + kn + j k(k ) N Définition 8 d Soit P = a k X k un polynôme de K[X] et soit A une matrice carrée de M n (R) k= On définit la matrice P (A) par : d P (A) = a k A k = a I n + a A + a 2 A a d A d k= Théorme 9 Toute matrice carrée A admet un polynôme annulateur P tel que P (A) = Démonstration : Soit A M n (R) On sait que dim(m n (R)) = n 2 Donc si on prend la famille (I n, A, A 2,, A n2 ), la famille comporte n 2 + éléments dans un espace vectoriel de dimension n 2, donc cette famille est nécessairement liée : on peut exprimer une de ces matrices comme une combinaison linéaire des autres, et cela nous donne une relation polynomiale sur la matrice A 54 Transposition Définition La transposée d une matrice A de M n,p (K) est la matrice notée colonne de t A correspond à la i-ime ligne de A t A de M p,n (K) telle que la i-ime Remarques : R La transposition est une application linéaire, autrement dit on a : t (A + B) = t A + t B et λ K, t (λa) = λ t A R 2 Attention aux manipulation de transposées avec des produits : t (AB) = t B t A

4 4/4 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 52 Noyau et image d une matrice 52 Image d une matrice Définition Soit A une matrice de M n,p (K) dont on nomme les colonnes C, C 2,, C p On appelle alors image de A l ensemble : Im(A) = V ect(c, C 2,, C p ) = {AX / X M p, (K)} Im(A) est un Vect, donc par définition c est un sous-espace vectoriel de M n, (K) Il contient uniquement des matrices colonnes à n lignes Définition 2 Soit A une matrice de M n,p (K) On appelle rang de la matrice A : rg(a) = dim(im(a)) = dim(v ect(c, C 2,, C p ) Im(A) est un sous-espace vectoriel de M n, (K) En particulier, on doit avoir dim(im(a)) dim(m n, (K)) Ainsi : rg(a) n Par ailleurs, Im(A) = V ect(c, C 2,, C p ) Donc on connaît déjà une famille génératrice de Im(A) qui contient p éléments La dimension de Im(A) sera donc au maximum p : rg(a) p Finalement : si A M n,p (K), rg(a) min(n, p) 2 Soit A = 2 2 Déterminons Im(A) et rg(a) 2 On a : Im(A) = V ect 2,, (La dernire colonne étant proportionnelle à la premire, on peut l enlever de la famille génératrice) Pour déterminer le rang de A, on doit avoir la dimension de Im(A), donc le cardinal d une base La famille génératrice précédente est-elle libre? Soient a, b, c R tels que : 2 a 2 + b + c = alors : a + 2b = 2a b + c = b + c = a = 2b = c = b 4b b b = La famille est bien libre, c est une base de Im(A), donc rg(a) = 3 = a = b = c =

5 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 5/4 522 Noyau d une matrice Définition 3 Soit A une matrice de M n,p (K) On appelle alors noyau de A l ensemble : Ker(A) = {X M p, (K) / AX = } On peut montrer également que Ker(A) est un sous-espace vectoriel de M p, (K) Il contient uniquement des matrices colonnes, à p lignes En particulier, on voit que dim(ker(a)) dim(m p, (K)), donc la dimension de Ker(A) doit être inférieure au nombre de colonnes de A á ë x 2 y Reprenons A = 2 2 et déterminons le noyau de A Soit X = M z 4, (R) Alors : X Ker(A) AX = Ainsi : Ker(A) = V ect X = ÑÑ x + 2y t = 2x y + z 2t = y + z = éé Ñ t t é = t Ñ é x + 2y t = 2x 2y 2t = z = y t x = t y = z = y = Déterminer un élément du noyau d une matrice revient à déterminer une relation linéaire nulle sur les colonnes de cette matrice Par exemple, prenons la matrice B = On peut remarquer que : C + C 2 = On a donc Autrement dit, le fait que C + C 2 = revient à dire que Ç 2 De même, 2C C 3 =, donc Ker(B) Egalement 2C 2 + C 3 =, donc Ker(B) Ç Ç = appartient à Ker(B) Plus généralement, si A est une matrice dont les colonnes sont notées C, C 2,, C p, alors : à a í a C + a 2 C a p C p = a 2 a p Ker(A)

6 6/4 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 523 Théorme du rang Théorme 4 Soit A une matrice de M n,p (K), avec donc p colonnes Alors : Théorme du rang p = dim(ker(a)) + rg(a) Exemples : Ce théorme permet de faire un lien entre les dimension de Im(A) et Ker(A) E Déterminer l image, le rang et le noyau de A = On sait que Im(A) = V ect ÇÇ, Ç, Ç = V ect ÇÇ Puisque Im(A) est engendré par un vecteur non nul, on a dim(im(a)) = = rg(a) D aprs le théorme du rang, on a dim(ker(a)) = 2 Pour déterminer une base de Ker(A), il nous suffit donc de déterminer une famille libre de cardinal 2 dans Ker(A) Pour cela cherchons des relations sur les colonnes de la matrice On a C = C 2, donc C C 2 = : Ç Ker(A) On a C = C 3, donc C C 3 = : Ker(A) On a déterminé déjà deux vecteurs dans Ker(A), qui sont non colinéaires : ils forment donc une famille libre, donc une base (car de cardinal 2) de Ker(A) Ker(A) = V ect E 2 Déterminer l image, le rang et le noyau de B = ÇÇ, Ç Ç 2 On a 2C = C 3, donc 2C C 3 = : Ker(B) On a donc dim(ker(b)) et par théorme du rang, rg(b) 2 Or, Im(B) contient déjà la famille (C, C 2 ) qui est libre (car deux vecteurs non colinéaires), donc on a dim(im(b)) 2 Finalement, on en déduit que : dim(im(b)) = 2 etdim(ker(b)) = De plus, puisqu on a déjà déterminé une famille libre de 2 éléments dans Im(B) et une famille libre de élément dans Ker(B), ce sont des bases de Im(B) et Ker(B) : Im(A) = V ect ÇÇ 2, Ç ÇÇ et Ker(A) = V ect 2

7 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 7/4 53 Matrices inversibles 53 Définition Définition 5 Une matrice carrée A M n (K) est dite inversible lorsqu il existe une matrice B appartenant à M n (K) telle que : AB = BA = I n Dans ce cas, la matrice B est unique, appelée inverse de A et on note A = B Si on trouve une matrice B telle que AB = I n, alors nécessairement A est inversible et B = A De même, si on trouve une matrice C telle que CA = I n, alors nécessairement C est inversible et C = A Définition 6 L ensemble des matrices inversibles de M n (K) est noté GL n (K) Cet ensemble est stable par produit, autrement dit, si A et B sont inversibles, alors AB est encore inversible et on a : (AB) = B A En particulier, si une matrice A est inversible, alors A 2, A 3, A 4, le sont aussi Proposition 7 Une matrice A M n (K) est inversible si et seulement si, pour toute matrice colonne Y de M n, (K), le systme Y = AX admet une unique solution X M n, (K) On a alors : X = A Y Soit A = Soit X = Ç x y z Donc A est inversible et on a A = La matrice A est-elle inversible et si oui que vaut A? Ç a et Y = b Alors : c x + z = a x AX = Y y + z = b z x + y + z = c y Y = X = c b = a + b c = a + c

8 8/4 5 Calcul matriciel : rappels et compléments Proposition 8 Une matrice carrée est inversible si et seulement si ses colonnes forment une famille libre dans M n, (K), autrement dit si et seulement si les colonnes de la matrice forment une base de M n, (K) En particulier, si deux colonnes de la matrice sont proportionnelles, si une colonne est nulle ou s il y a une relation entre plusieurs colonnes, la matrice ne sera pas inversible La matrice est inversible si et seulement si aucune colonne ne peut s écrire comme combinaison linéaire des autres Conséquence 9 Soit A une matrice carrée de M n (K) A est inversible Ker(A) = O Mn, (K) rg(a) = n Exemples : E Matrices de taille 2 Ç a A = c b d inversible ad bc Cela vient simplement du fait que les colonnes) doivent ne pas être proportionnelles E 2 Matrices diagonales D = diag(λ,, λ n ) inversible k, n, λ k E 3 Matrices triangulaires Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls A l inverse, une matrice triangulaire n est pas inversible si et seulement s il y a au moins un zero sur sa diagonale E 4 Matrices ayant un polynôme annulateur Si une matrice A vérifie une relation du type : alors on a : A 3 + 3A 2 5A + 2I n = A 3 + 3A 2 5A = 2I n A (A 2 + 3A 5I n ) = 2I n A Å 2 A2 3 2 A + 5 ã 2 I n = I n La matrice A est alors inversible et son inverse est A = Ä 2 A2 3 2 A I nä Plus généralement si une matrice A vérifie une relation polynomiale du type P (A) = avec P un polynôme dont le terme constant est non nul, alors la matrice A est nécessairement inversible

9 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 9/4 532 Opérations élémentaires sur une matrice Définition 2 On appelle opération élémentaire sur une matrice toute opération d un des types suivants : L i L j (échange de lignes) L i αl i avec α (multiplication par un scalaire non nul) L i L i + βl j avec β K (ajout d une CL d une autre ligne) L i αl i + βl j avec α et β K (combinaison des deux opérations précédentes) C i C j (échange de colonnes) C i αc i avec α (multiplication par un scalaire non nul) C i C i + βc j avec β K (ajout d une CL d une autre colonne) C i αc i + βc j avec α et β K (combinaison des deux opérations précédentes) Appliquer une opération élémentaire à une matrice revient à la multiplier à gauche ou à droite par une matrice inversible En particulier, appliquer une opération élémentaire à une matrice ne change pas l inversibilité ou non de la matrice Plus précisément, appliquer une opération élémentaire à une matrice ne modifie pas son rang Cependant, cela modifie la matrice (puisqu on l a multipliée par une autre), on dit qu on obtient une matrice équivalente Définition 2 Soient A et B deux matrices On dit que deux matrices A et B sont équivalentes si on peut passer de A à B par des opérations élémentaires On note alors A B Proposition 22 Deux matrices de même format sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang Plus particulierirement, toute matrice de format (n, p) de rang r peut être rendue équivalente, en appliquant par exemple la méthode du pivot de Gauss, à la matrice J n,p,r suivante : Ç Ir O J n,p,r = r,p r O n r,r O n r,p r En particulier, si on part d une matrice A, si en faisant des opérations on arrive à la transformer en J n,p,r, en utilisant exactement les mêmes opérations sur t A en inversant lignes et colonnes, on va transformer t A en J p,n,r, donc on en déduit que A et t A ont le même rang Théorme 23 Soit A une matrice de format (n, p) Alors A a le même rang que sa transposée t A Cela signifie en particulier que tout ce qu on avait énoncé pour les colonnes reste valable pour les lignes : si une matrice a une ligne nulle, deux lignes proportionnelles, ou plus généralement une relation sur ses lignes, elle ne sera pas inversible

10 /4 5 Calcul matriciel : rappels et compléments Théorme 24 Algorithme de Gauss-Jordan Pour déterminer si une matrice A est inversible et déterminer son inverse, on transforme A en I n à l aide d opérations élémentaires uniquement sur les lignes (ou uniquement sur les colonnes) Parvenir à cette transformation revient à dire que A est inversible, et pour trouver A, on recommence exactement toutes les opérations réalisées, dans le même ordre en partant de I n, la matrice obtenue est alors A Démonstration : Imaginons que, à l aide d opérations élémentaires sur les lignes, on transforme A en I n Cela signifie qu on a multiplié à gauche A successivement par plusieurs matrices M, M 2,, M k correspondant aux opérations élémentaires sur les lignes et que : (M k M k M k 2 M )A = I n Puisqu on a écrit cette relation, cela montre bien que A est inversible et donc : A = M k M k M k 2 M = (M k M k M k 2 M )I n De même, si on a transformé A en I n à l aide d opérations élémentaires sur les colonnes, on a une égalité du type : A(N N 2 N k N k ) = I n donc A est inversible et A = N N 2 N k = I n (N N 2 N k ) Cette méthode fonctionne uniquement si on ne mélange pas les opérations lignes/colonnes 533 Calcul du rang d une matrice Définition 25 Une matrice est échelonnée si elle peut être écrite sous une des formes suivantes : échelonnée sur les colonnes ou échelonnée sur les lignes Proposition 26 Toute matrice est équivalente à une matrice échelonnée De plus, le rang d une matrice échelonnée sur les colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles ; le rang d une matrice échelonnée sur les lignes est égal au nombre lignes non nulles Pour calculer le rang d une matrice (et donc savoir si elle est inversible) on peut donc agir sur les lignes ou sur les colonnes, pour trouver une matrice équivalente plus simple sur laquelle on peut facilement lire le rang

11 5 Calcul matriciel : rappels et compléments /4 54 Éléments propres d une matrice carrée 54 Valeurs propres d une matrice carrée Définition 27 Soit λ K et soit A une matrice carrée de M n (K) On dit que λ est une valeur propre de A si la matrice A λi n n est pas inversible Soit A = Soit λ R On a : λ A λi 3 = λ λ Déterminons les valeurs propres de la matrice A λ λ λ λ λ λ λ 2λ λ 2 λ λ λ 3λ λ 2 L L 3 L 2 L 2 L L 3 L 3 ( λ)l L 3 L 3 + L 2 Alors : λ = λ est une valeur propre de A A λi 3 non inversible ou 3λ λ 2 = λ = ou λ = 3 Définition 28 Soit A M n (K) On appelle spectre de A l ensemble des valeurs propres de A, on le note Sp(A) Remarques : R Une matrice n admet pas forcément de valeurs propres R 2 Une matrice de taille n admet au maximum n valeurs propres distinctes R 3 Par définition, A n est pas inversible est valeur propre de A et A est inversible n est pas valeur propre de A Proposition 29 Les valeurs propres d une matrice A triangulaire sont exactement ses termes diagonaux

12 2/4 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 542 Vecteurs propres et sous-espaces propres Proposition 3 Soit A M n (K) et soit λ K λ Sp(A) Ker(A λi n ) {} X M n, (K), X, / AX = λx Définition 3 Soit A M n (K) et soit λ Sp(A), une valeur propre de A On appelle vecteur propre de A toute matrice colonne X M n, (K) non nulle qui vérifie la relation : AX = λx On appelle sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ l ensemble E λ (A) suivant : E λ (A) = Ker(A λi n ) = {X M n, (K) / AX = λx} On peut définir E λ (A) = Ker(A λi n ) pour tout réel λ C est toujours un sous-espace vectoriel Cet ensemble devient un sous-espace propre s il est non réduit à zéro Par définition, on a donc : λ Sp(A) dim(e λ (A)) Reprenons la matrice A = Déterminons les sous-espaces proprescorrespondants λ = On a A = Puisque Ç Ç, Ç λ = 3 On a A 3I 3 = On a vu qu il y avait deux valeurs propres : Sp(A) = {, 3} Clairement rg(a) =, donc par théorme du rang dim(ker(a)) = 2 appartiennent clairement à Ker(A) et sont non colinéaires, on a : Ç E (A) = V ect ÇÇ, Ç Puisque A 3I 3 n est pas inversible (car 3 est valeur propre), la matrice A 3I 3 n est pas de rang 3, et est de rang au moins 2 puisque les deux premires colonnes sont non colinéaires Ainsi, rg(a 3I 3 ) = 2 et par théorme du rang, dim(ker( 3I 3 )) = Or, on a C + C 2 + C 3 = dans la matrice A 3I 3, donc : E 3 (A) = V ect(çç

13 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 3/4 Remarques : R (Admis pour l instant) Une matrice A de taille n admet au maximum n valeurs propres différentes R 2 (Admis pour l instant) Les sous-espaces propres d une matrice A sont en somme directe dans M n, (K) En particulier, si on prend deux vecteurs propres U, V associés à deux valeurs propres différentes, la famille (U, V ) est libre De plus, on a toujours : λ Sp(A) dim(e λ (A)) n R 3 Cas particulier important : matrices dont on connait un polynôme annulateur Cela nous permet de trouver les seules valeurs propres possibles de la matrice en question soit A une matrice telle que : A 2 3A + 2I n = Si λ est une valeur propre de A, alors il existe un vecteur propre associé, ie une matrice colonne X non nulle telle que AX = λx Remarquons que pour ce vecteur propre X, on a A 2 X = λ 2 X, A 3 X = λ 3 X, et plus généralement A k X = λ k X pour tout k N D où : A 2 3A + 2I n = = (A 2 3A + 2I n )X = = A 2 X 3AX + 2X = = λ 2 X 3λX + 2X = = (λ 2 3λ + 2)X = = (λ 2 3λ + 2) = car X = λ = 2 ou λ = Ainsi, on a montré que Sp(A) {, 2} Autrement dit, les seules valeurs propres possibles de A sont et 2 Attention, avec ce raisonnement, nous n avons pas montré que et 2 sont des valeurs propres de A 543 Matrices diagonalisables Définition 32 Soient A et B deux matrices de M n (K) On dit que les matrices A et B sont semblables s il existe une matrice inversible P GL n (K) telle que : A = P BP Plus particulirement, lorsqu une matrice A de M n (K) est semblable à une matrice diagonale, on dit que la matrice A est diagonalisable, autrement dit : A diagonalisable P GL n (K), D M n (K) diagonale / A = P DP Si A est diagonalisable, alors la matrice diagonale admet sur sa diagonale les valeurs propres de A, et la matrice inversible P contient dans ses colonnes les vecteurs propres de A correspondants (Admis pour l instant)

14 4/4 5 Calcul matriciel : rappels et compléments Lorsqu une matrice est diagonalisable, il est alors trs facile de calculer ses puissances En effet, si A = P DP pour une certaine matrice inversible P et D une matrice diagonale, on peut montrer par une récurrence immédiate que : k N, A k = P D k P et puisque les puissances d une matrice D diagonale sont faciles à calculer, on peut en déduire la valeur de la matrice A n Théorme 33 Soit A une matrice de M n (K) Alors : A diagonalisable λ Sp(A) dim(e λ (A)) = n Dans ce cas, il existe une base de M n, (K) formée de vecteurs propres de A En notant P la matrice dont les colonnes sont ces vecteurs propres, et D la matrice diagonale constituée des valeurs propres correspondantes, on a alors : Reprenons la matrice A = A = P DP On a montré que A admettait deuxvaleurs propres et 3 On a vu que E (A) = V ect ÇÇ Par ailleurs, E 3 (A) = V ect(çç Ç,, donc dim(e (A)) = 2, donc dim(e 3 (A)) = dim(e (A)) + dim(e 3 (A)) = 3 On en déduit que la matrice A est diagonalisable En notant par exemple P = et D = 3, on a : A = P DP Proposition 34 Si une matrice A de taille n admet n valeurs propres distinctes, alors chaque sous-espace propre est de dimension Si une matrice A de taille n admet une unique valeur propre, alors elle est diagonalisable et A est diagonalisable A = λi n Lorsqu une matrice A n admet qu une seule valeur propre, on utilise en général un raisonnement par l absurde Si jamais elle était diagonalisable, alors elle s écrirait A = P (λi n )P = λ(p P ) = λi n, et dans la plupart des cas, on a A λi n