4 Déterminer les limites suivantes. 1) lim x e1 2x. e x x+ 1 e 2x + 1 3) lim x 5 Montrer que l équation e 3x 6 = 0 admet une.

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1 ANALYSE Logarithme népérien 5 Connaissances nécessaires à ce chapitre Connaître l allure de la courbe de la fonction exponentielle Connaître les propriétés algébriques de la fonction exponentielle Résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles Savoir dériver les fonctions de référence et savoir utiliser les opérations sur les dérivées Savoir étudier des ites de fonctions à l aide de règles opératoires ou par des théorèmes de comparaison Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires Auto-évaluation Des ressources numériques pour préparer le chapitre sur Simplifier au maximum : ) e 2 e 5 2) e 4 e ) e 2) 4 e 5 e 5 4) e e 4 2 Résoudre les équations suivantes : ) e x 2 = e 6 x 2) e x = ) e x e x = 0 Dans chacun des cas suivants, calculer f x) sur l intervalle I. ) fx) = e x 7 sur I = R 2) fx) = +x)e x sur I = R ) fx) = ex + e x sur I = ]0;+ [ 4 Déterminer les ites suivantes. ) x e 2x 2) e x x+ e 2x + e x ) x 5 Montrer que l équation e x 6 = 0 admet une unique solution dans R et en donner un encadrement d amplitude Déterminer une équation de chacune des tangentes à la courbe de la fonction exponentielle aux points d abscisses 0 et. 7 Résoudre les inéquations suivantes : ) e x < ) e 2x e x 2) e x > e 4) e x 4 e x 8 Étudier le signe des expressions suivantes selon les valeurs de x. ) Ax) = e x e x ) 2) Bx) = e x )2 x) ) Cx) = e x e x Voir solutions p

2 Activités d approche DÉBAT Qui est John Napier? Par petits groupes, trouver des informations sur John Napier. ) Rédiger une biographie en cinq lignes. 2) En une dizaine de lignes, dégager ses principales contributions aux mathématiques. ACTIVITÉ 2 Fini les calculs fastidieux Les logarithmes népériens ont été mis en évidence par l Écossais John Napier ) dit Neper. Afin de faciliter le travail des astronomes, navigateurs de l époque qui étaient confrontés à des calculs fastidieux, Neper établit une table à deux colonnes, appelée table de logarithmes. Son principe est le suivant : À la multiplication de deux nombres a et b de la première colonne correspond l addition de deux nombres x et y de la seconde colonne. a x b y ab x+y On donne ci-contre un extrait d une table de logarithmes les nombres de la colonne de droite sont des valeurs arrondies à 0 4 près). ) a) Vérifier sur deux exemples que cette table vérifie bien le principe énoncé ci-dessus. b) Quel nombre doit-on écrire en face de 0? de 4? de 6? c) Quel nombre doit-on écrire en face de? d) Sans poser de multiplication, utiliser la table pour obtenir ) a) Quand on calcule le quotient de deux nombres de la colonne de gauche, à quelle opération cela correspond-il pour ceux de la colonne de droite? b) En déduire les nombres à inscrire en face de ; 0, 5 et 0,. ) Dans la colonne de gauche, 0, 5 ; ; 2 ; 4 ; 8 ; 6 sont en progression géométrique de raison 2. Quelle progression observe-t-on pour les nombres correspondants dans la colonne de droite? 4) En déduire les nombres à inscrire en face de 2 5 et , 0,5 2 0,69,0986 4,86 5,6094 6,798 7, , , , , , , , , , Étymologie : Le mot «logarithme» a été inventé pour nommer les nombres de la colonne de droite. Ce mot est formé à partir des deux mots grecs logos qui signifie mettre en rapport) et arithmos qui signifie nombre). En effet, on a pu observer dans cette activité, que lorsque des nombres de gauche sont dans un rapport constant, ceux de la colonne de droite sont à différence constante. 48 Chapitre A5. Logarithme népérien

3 Activités d approche ACTIVITÉ D une fonction à une autre INFO Le plan est muni d un repère orthonomé. Partie A : Construction de la courbe de la fonction logarithme népérien ) À l aide d un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe C représentative de la fonction exponentielle. Placer un point M sur C. 2) a) On note a, l abscisse de M avec a > 0). Justifier que l équation e x = a admet une unique solution b dans ]0 ;+ [. Le nombre b ainsi associé à a est appelé logarithme népérien de a, on le note lna). b) Donner les valeurs de ln) et lne). ) Construire le symétrique M de M par rapport à la droite d équation C y = x. Activer la trace de M. Déplacer M. 4) Afficher enfin la courbe C représentative de la fonction ln, en saisissant l équation y = lnx). L ensemble des points M constituent la courbe représentative de la fonction logarithme népérien, dite fonction réciproque de la fonction exponentielle. Partie B : Conjectures ) Conjecturer les ites, le sens de variation et le signe de la fonction ln. 2) a) Afficher la tangente au point M à la courbe C. Lire son coefficient directeur. Recommencer après avoir déplacé M. b) Quel lien semble-t-il y avoir entre ce coefficient directeur et l abscisse de M? c) Quelle conjecture peut-on émettre sur la dérivée de la fonction ln? ACTIVITÉ 4 Tremblement Partie A : Logarithme décimal On développe ici que la fonction logarithme népérien n est pas la seule fonction à «transformer les produits en sommes». Soit k un réel non nul. On considère la fonction f k définie sur]0 ;+ [ par f k x) = ln x k. ) Montrer que pour tous les réels a > 0 et b > 0, f k ab) = f k a)+ f k b). 2) Lorsque k = ln 0, on note log la fonction f k obtenue. Ainsi, pour tout x > 0, on a : logx) = ln x ln 0. Cette fonction s appelle la fonction logarithme décimal. ) Montrer que pour tout entier relatif n, log0 n ) = n. Partie B : Sismologie A 0 La magnitude ) d un séisme sur l échelle de Richter est donnée par la formule : A M = log où A est l amplitude maximale mesurée par le sismographe et A 0 une amplitude de référence. ) Quelle a été la magnitude du séisme de 205 à Katmandou Népal) dont l amplitude a été A = A 0? Arrondir à 0, près. 2) Le séisme de 960 à Valdivia Chili) fut d une magnitude de 9,5. Calculer l amplitude de ce séisme en fonction de A 0. ) Comparer ces deux séismes. Chapitre A5. Logarithme népérien 49

4 . Fonction logarithme népérien La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R et x ex = 0 et ex = +. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a ]0 ;+ [, l équation e x = a admet une unique solution dans R. DÉFINITION On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a, l unique solution de l équation e x = a. Le logarithme népérien de a est noté lna) ou ln a. La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui, à tout réel x > 0, associe le réel ln x. Exemple D après la calculatrice : ln0, 8) 0, 22 ; ln2, 5) 0, 96. CONSÉQUENCE : Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on a l équivalence : lna) = b a = e b. ln) = 0 car e 0 =. lne) = car e = e. Exemple Résoudre l équation e x = 5. Pour tout réel x, e x = 5 x = ln 5 x = PROPRIÉTÉS : Réciprocité ) Pour tout réel x > 0, e ln x = x. 2) Pour tout réel x, lne x ) = x. ln 5+. Pour tout réel x > 0, l équation e t = x, d inconnue t, a pour solution t = ln x. Donc e ln x = x. Pour tout réel x, par définition, lne x ) est l unique solution de l équation e t = e x, d inconnue t donc lne x ) = x. Exemples lne 2 ) = 2 et e ln 2 = 2. PROPRIÉTÉ : Courbes des fonctions ln et exp Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 50 Chapitre A5. Logarithme népérien

5 On note respectivement C exp et C ln les courbes représentatives des fonctions exp et ln. Pour tous les réels a > 0 et b > 0, Mb ; a) C exp a = e b b = ln a M a ; b) C ln. PROPRIÉTÉ : Sens de variation La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. On a : e ln a = a et e ln b = b. Donc e ln a < e ln b. Comme la fonction exp est strictement croissante sur R, on en déduit que : ln a < ln b. CONSÉQUENCE : Pour tous les réels a > 0 et b > 0, ln a = ln b a = b ln a < ln b a < b En particulier, pour tout réel x > 0, on a : ln x > 0 ln x > ln x > et ln x < 0 ln x < ln 0 < x < CONSÉQUENCE : ln x > 0 x > ln x < 0 0 < x < MÉTHODE Résoudre une équation avec ln Ex. 20 p. 58 Pour résoudre une équation du type lnux)) = lnvx)) : Rechercher l ensemble E des réels tels que ux) > 0 et vx) > 0 ; Résoudre dans E, l équation ux) = vx). Exercice d application Résoudre l équation lnx + 2) = ln x). Correction Conditions d existence : x+ 2 > 0 et x > 0. C est-à-dire : x > 2 et > x. D où E = ] 2 ; [. Pour tout x E, lnx+2) = ln x) équivaut à x+2 = x c est-à-dire 2x = ou encore x = { } 2. Ce nombre appartient bien à E. Donc l ensemble des solutions est S =. 2 Chapitre A5. Logarithme népérien 5

6 MÉTHODE 2 Résoudre une inéquation avec ln Ex. 27 p. 58 Pour résoudre une inéquation du type lnux)) < lnvx)) : Rechercher l ensemble E des réels tels que ux) > 0 et vx) > 0 ; Résoudre dans E, l inéquation ux) < vx). Exercice d application Résoudre l inéquation lnx 2 + x) < ln 8. Correction Condition d existence : x 2 + x > 0 soit xx+ ) > 0. D où E = ] ; [ ]0 ;+ [. Pour tout x E, lnx 2 + x) < ln 8 équivaut à x 2 + x < 8 ou encore x 2 + x 8 < 0. Le trinôme x 2 + x 8 a pour discriminant = 8 et pour racines 6 et. Donc x 2 + x 8 < 0 x ] 6 ; [. En tenant compte du fait que x appartient à E, on a finalement, S = ] 6 ; [ ]0 ; [. 2. Propriétés algébriques PROPRIÉTÉ : Relation fonctionnelle Pour tous les réels a et b strictement positifs, lnab) = lna) + lnb). lnab) = lna)+lnb). Pour tous les réels a > 0 et b > 0, e lnab) = ab = e lna) e lnb) = e lna)+lnb). Ainsi, REMARQUE : On dit que la fonction ln transforme les produits en sommes. Cette formule se généralise à un produit de trois facteurs ou plus. PROPRIÉTÉS : Logarithme d un inverse, d un quotient Pour tous ) les réels a et b strictement positifs, ) ln = lna) a a 2) ln = lna) lnb) b) Voir exercice 94 p. 7 pour une démonstration de cette propriété. PROPRIÉTÉS : Logarithme d une puissance, d une racine carrée Pour tout réel a > 0 et pour tout entier relatif n, ) lna n ) = n ln a 2) ln a) = 2 ln a e lnan) = a n et e n ln a = e ln a) n = a n ainsi e lnan) = e n ln a d où lna n ) = n ln a. Voir [ exercice 95 p. 7 pour une démonstration par récurrence de cette propriété. ln a) 2] [ = ln a et ln a) 2] = 2 ln a donc ln a = 2 ln a) d où le résultat. 52 Chapitre A5. Logarithme népérien

7 Exemple Écrire chacun des nombres suivants en fonction de ln 2. A = ln 2+ln 4 ) B = ln 8 C = ln 20 ln 5 Correction A = ln 2+ ln 4 = ln 2+2 ln 2 = 5 ln 2. ) B = ln 8 = 2 ln 8 = 2 ln2 ) = ln 2. 2 ) 20 C = ln 20 ln 5 = ln = ln 4 = 2 ln 2. 5 MÉTHODE Résoudre une inéquation avec une inconnue à l exposant Ex. p. 59 Exercice d application Résoudre l inéquation Correction ) n 0, 0 avec n N. La fonction ln est croissante sur ]0 ;+ [ donc l inéquation [ ) n ] ln ln 0, 0. Pour tout ) a > 0, lna n ) = n ln a, donc l inéquation s écrit : n ln ln 0, 0. En divisant chaque membre par ln ) n 0, 0 est équivalente à ) qui est strictement négatif, le sens de l inégalité change. ln 0, 0 ln 0, 0 n ), or ) 4, 9. L ensemble solution est constitué de tous les entiers n 5. ln ln. Étude de la fonction logarithme népérien PROPRIÉTÉ : Dérivée de la fonction ln La fonction ln est dérivable sur ]0 ;+ [ et pour tout réel x > 0, ln x) = x. On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0 ;+ [. Pour tout réel x > 0, on pose fx) = e ln x. La fonction ln étant dérivable sur ]0 ;+ [, f est aussi dérivable sur ]0 ;+ [. Pour tout réel x > 0, calculons f x) de deux manières : f x) = ln x) e lnx) = x ln x) et on a aussi fx) = x donc f x) =. On en déduit que pour tout réel x > 0, x ln x) =, par suite ln x) = x. PROPRIÉTÉ : Limites aux bornes lnx) = + et lnx) = x>0 Chapitre A5. Logarithme népérien 5

8 Pour tout réel A > 0, ln x > A x > e A donc lnx) = +. Pour tout réel x > 0, on pose X = x. On a x = X donc ln x = ln X = ln X X = + et x>0 X + ln X) = donc par ite d une composée lnx) =. On peut alors dresser le tableau de variation de la fonction ln et représenter sa courbe. x>0 x 0 + ln + REMARQUE : Une équation de la tangente à la courbe de la fonction ln en est : y = ln )x )+ln soit y = x. 4. Autres ites PROPRIÉTÉ : Croissance comparée ln x x = 0 et x ln x = 0. Pour tout réel x > 0, on effectue le changement de variable : X = ln x, on a alors x = e X. Ainsi ln x x = X e X = e X. Or X = ln x = + et e X = + donc par ite X + X X d un quotient X + e X X ln x = 0. Enfin, par ite d une composée, x = 0. Pour tout réel x > 0, on pose X = ln x, on a alors x ln x = e X X. On a X = ln x = et par propriété, X XeX composée, x ln x = 0. PROPRIÉTÉ : Limite et taux d accroissement ln+h) =. h 0 h = 0, donc par ite d une h 0 ln+h) ln h La fonction ln est dérivable en donc, par définition, = ln ). Or ln = 0 et ln ) = =, on obtient donc h 0 ln+ h) h =. 54 Chapitre A5. Logarithme népérien

9 MÉTHODE 4 Lever une indétermination pour étudier une ite Ex. 5 p. 59 Dans le cas d une forme indéterminée qui fait intervenir la fonction ln, on peut : factoriser et faire apparaître des ites déjà connues ; effectuer un changement de variable. Exercice d application Déterminer les ites suivantes : ) ln x 2x) 2) x ln + ) x Correction ) ln x ) Pour tout réel x > 0, ln x 2x = x x 2 ln x. Par propriété, = 0 donc ) ) x ln x ln x x 2 = 2. Donc par ite d un produit, x x 2 =. Ainsi, ln x 2x) =. 2) Pour tout réel x > 0, on pose X = x, on a alors x ln + ) = ln+x). x X On a X = composée, x ln x + x = 0 et par propriété, ) X 0 =. ln+x) X = donc par ite d une 5. Fonction lnu) NOTATION : u est une fonction strictement positive sur un intervalle I. La fonction x lnux)) est notée lnu) ou ln u. PROPRIÉTÉ : Dérivée de ln u Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln u est dérivable sur I, et ln u) = u u. CONSÉQUENCE : u étant strictement positive,ln u) et u sont de même signe. On en déduit que les fonctions u et ln u ont le même sens de variation sur I. MÉTHODE 5 Calculer la dérivée d une fonction du type ln u Ex. 52 p. 6 Pour dériver une fonction du type ln u sur un intervalle I, on s assure que la fonction u est dérivable et strictement positive sur l intervalle I. Exercice d application f est la fonction définie sur R par fx) = lnx 2 + ). Calculer f x). Correction Posons ux) = x 2 +. u est dérivable et strictement positive sur R et u x) = 2x. Donc f est dérivable sur R et f x) = u x) ux) = 2x x 2 +. Chapitre A5. Logarithme népérien 55

10 MÉTHODE 6 Étudier les ites d une fonction du type ln u Ex. 54 p. 6 Pour étudier les ites d une fonction du type ln u, on peut : utiliser le théorème sur la ite d une composée ; utiliser les théorèmes de comparaison. Exercice d application ) x+2 f est la fonction définie sur ]0 ;+ [ par fx) = ln. Étudier les ites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Correction Pour tout x > 0, x+ 2 x 2 = x + 2. De plus, x2 x+ 2 d une somme, x 2 = 0. x 2 x = 0 et De plus, ln X = donc par ite d une composée, X 0 Pour tout x > 0, x+ 2 x+ 2 donc 2 x 2 > x x x ]0 ;+ [ donc fx) > ln x 2 2 x 2 fx) =. = 0 donc par ite > or la fonction ln est strictement croissante sur x ) ou encore fx) > ln x. De plus, ln x = donc ln x) = + donc par comparaison, fx) = Fonction logarithme décimal DÉFINITION La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur]0 ;+ [, par : log x = ln x ln 0. PROPRIÉTÉS ) Pour tout entier relatif n, log0 n ) = n. 2) La fonction log est strictement croissante sur ]0 ;+ [. ) Pour tous les réels a > 0 et b > 0, a logab) = log a+ log b et log = log a log b. b) Voir exercice 74 p. 64 pour une démonstration de ces propriétés. REMARQUE : Les logarithmes décimaux trouvent toute leur utilité en chimie calcul de ph), en acoustique mesure du son), en sismologie magnitude d un séisme), en astronomie magnitude apparente d un astre) Chapitre A5. Logarithme népérien