Exercices sur les variables aléatoires

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1 Exercices sur les variables aléatoires Exercice 1 Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre (1/2). a) Rappeler les valeurs de son espérance et de sa variance ; en déduire la valeur de ( ). b) A l'aide de ce qui précède, déterminer lim 2 c) Pour tout entier naturel non nul, établir les inégalités : 2 2 et 6. 2 Exercice 2 Les parties A, B et C sont indépendantes et dans chaque partie l'urne considérée initialement est la suivante : Une urne contenant 4 boules indiscernables au toucher : 1 blanche et 3 rouges. Pour les parties B et C on pourra utiliser les événements : " le -ième tirage donne une boule rouge " et : " le -ième tirage donne une boule blanche ", pour entier naturel non nul. Partie A 1. On tire simultanément deux boules dans cette urne puis on les remet dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges? 2. On effectue maintenant une succession de tirages simultanés de 2 boules dans cette urne (en remettant les boules dans l'urne après chaque tirage) jusqu'à obtenir un tirage constitué de 2 boules rouges. Soit la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête. a. Quelles sont les valeurs prises par? b. Reconnaître la loi de. On précisera () pour tout entier 1 c. En déduire son espérance et sa variance. d. Calculer la probabilité que l'expérience s'arrête au plus tard au quatrième tirage. Partie B On effectue des tirages d'une boule sans remise dans l'urne jusqu'à obtenir une boule blanche. Soit la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête. 1. Quelles sont les valeurs prises par? 2. Décrire l'événement (2) et calculer (2). 3. Déterminer la loi de, son espérance () et sa variance (). 4. Soit la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges restant dans l'urne au moment où l'expérience s'arrête. Exprimer en fonction de. En déduire la loi de, son espérance () et sa variance (). Partie C Dans cette partie, on effectue des tirages d'une boule avec remise dans l'urne jusqu'à ce que l'on obtienne 2 boules consécutives de la même couleur. On note la variable aléatoire égale au numéro (rang) du tirage où l'expérience s'arrête. Par exemple si les tirages ont donné successivement rouge, blanc, rouge, blanc, rouge, rouge alors X6. 1. Quelles sont les valeurs prises par? 2. Calculer (2) et (3).

2 3. Décrire l'événement (4), puis l'événement (2) pour tout entier 1 et montrer que pour tout entier naturel non nul : (2) Décrire l'événement (5), puis l'événement (21) pour tout entier 1 et montrer que pour tout entier naturel non nul : (21) Calculer les sommes ₁ (2) et (21). Vérifier que lim ₁₂1 Exercice 3 Etude du jet d'une pièce équilibrée. On lance indéfiniment une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant Pile ou Face avec la probabilité 1/2) et l'on désigne par T la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, la pièce donne Face. a. Déterminer pour tout entier 1 la probabilité des événements, et. b. En déduire l'espérance () de la variable aléatoire. Etude du jet de deux pièces équilibrées. On considère le jeu suivant : on lance indéfiniment un ensemble de deux pièces équilibrées. Autrement dit, on lance une première fois les 2 pièces, puis on relance une seconde fois les 2 pièces, et ainsi de suite. On désigne : Par la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, chacune des 2 pièces a amené au moins une fois Face. Par ₁ la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, la première pièce a amené Face, par ₂ la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, la seconde pièce a amené Face. a. Déterminer la probabilité (1) b. Comparer les événements () et (₁)(₂) pour 1. En déduire les probabilités (2), puis, plus généralement () pour 1. c. Déduire de ce résultat que : () d. On s'intéresse enfin à l'espérance et à la médiane de la variable aléatoire. Exprimer, sous forme de fraction irréductible, l'espérance () de. Etablir que l'inégalité ()0,5 équivaut à l'inégalité 2. Etude du jet de trois pièces équilibrées. On considère le jeu suivant : on lance indéfiniment un ensemble de 3 pièces équilibrées. On désigne par la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, chacune des 3 pièces a amené au moins une fois Face. En raisonnant comme à la question précédente, calculer la probabilité () où 1, et déterminer, sous forme de fraction irréductible, l'espérance () de, puis l'entier tel que l'inégalité ()0,5 soit équivalente à l'inégalité. Exercice 4 Calculs préliminaires a. On considère deux nombres entiers naturels et tels que.

3 Etablir que En raisonnant par récurrence sur, en déduire la formule suivante : 1 1 b. En faisant 1,2,3, en déduire une expression factorisée des trois sommes suivantes :,(1),(1)(2) On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entier 2 et une urne contenant jetons numérotés de 1 à. 0n extrait de cette urne 2 jetons tirés au hasard et on désigne alors par : la variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des 2 jetons tirés. la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des 2 jetons tirés. 1. Lois des variables aléatoires X et Y a. Quel est le nombre de parties à 2 éléments d'un ensemble à (respectivement ) éléments? En déduire la probabilité () et montrer que () () pour 2. () b. En raisonnant de même, déterminer les probabilités () et () pour 11. c. Comparer les lois des variables aléatoires 1 et, autrement dit les deux probabilités (1) et () pour 2. En déduire que (1)() et (1)(), puis en déduire les expressions de () en fonction de () et de () en fonction de (). 2. Espérances et variances des variables aléatoires X et Y a. Exprimer sous forme factorisée les espérances (), puis () en fonction de. b. Exprimer sous forme factorisée ((2), puis (²), () et () en fonction de. 3. Montrer que la probabilité () est égale à () pour 1. Exercice 5 On effectue 2 tirages au hasard dans une urne contenant boules numérotées de 1 à. Un tirage consiste à extraire une boule de l'urne, la boule tirée étant remise dans l'urne. On note la variable aléatoire égale au numéro du tirage au cours duquel, pour la première fois, on a obtenu une boule déjà obtenue auparavant. 1. Montrer que ()2,1 2. Montrer que 1,, () 3. a. Montrer que : 2,, ()(1)(). b. Calculer (1) puis en déduire la loi de. 4. Montrer que l'espérance () de la variable aléatoire est : () Exercice 6 On réalise une suite de lancers d'une pièce équilibrée, chaque lancer amenant donc pile ou face avec une probabilité 1/2. On note (resp. ) l'événement : "on obtient pile (resp. face) au lancer". Pour ne pas surcharger l'écriture, on écrira, par exemple, ₁₂ à la place de ₁₂.

4 On note la variable aléatoire qui prend la valeur si l'on obtient pour la premiére fois pile puis face dans cet ordre aux lancers 1 et ( désignant un entier supérieur ou égal à 2), prenant la valeur 0 si l'on obtient jamais une telle succession. 1. Calculer P(X2). 2. En remarquant que (3)₁₂₃₁₂₃, calculer (3). 3. Sur le modèle de la question précédente, écrire, pour tout entier supérieur ou égal à 3, l'événement () comme réunion de (1) événements incompatibles. 4. Déterminer () pour tout entier supérieur ou égal à Calculer P(X0). 6. On se propose, dans cette question, de retrouver le résultat de la question 4) par une autre méthode. a. Montrer que, désignant un entier supérieur ou égal à 3, si le premier lancer est un pile, alors il faut et il suffit que ₂₃ se réalise pour que () se réalise. b. En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales que: 3 () 1 2 (1) 1 2 c. On pose, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, _2 (). Montrer que la suite ( ) est arithmétique. Retrouver le résultat annoncé. 7. Montrer que a une espérance (), puis la calculer. On admettra que, pour11, on a lim 1 (1 ) Exercice 7 On lance indéfiniment une pièce donnant "Pile" avec la probabilité et "Face" avec la probabilité 1. On suppose que 0,1 et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants. Pour tout entier naturel, supérieur ou égal à 2, on dit que le lancer est un changement s'il amène un résultat différent de celui du (1) lancer. On note (resp. ) l'événement :"on obtient Pile (resp. Face) au lancer". Pour ne pas surcharger l'écriture on écrira, par exemple, ₁₂ à la place de ₁₂. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, on note la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant les premiers lancers. Partie 1 : étude de quelques exemples. 1. Donner la loi de ₂. 2. a. Donner la loi de ₃. b. Vérifier que (₃)4 et que (₃)2(38). 3. a. Trouver la loi de ₄. b. Calculer (₄). Partie 2 : étude du cas. Dans cette partie, désigne un entier naturel supérieur ou égal à Exprimer ( 0) en fonction de, et. 2. En décomposant l'événement ( 1) en une réunion d'événements incompatibles, montrer que ( 1) 2 (ⁿ ⁿ ) 3. En distinguant les cas pair et impair, exprimer ( 1) en fonction de et. 4. Retrouver, grâce aux trois questions précédentes, les lois de ₃ et ₄. 5. Pour tout entier naturel, supérieur ou égal à 2, on note la variable aléatoire qui vaut 1 si le lancer est un changement et 0 sinon ( est donc une variable de Bernouilli). Écrire à l'aide de certaines des variables et en déduire ( ). Partie 3 : étude du cas pq. 1. Vérifier, en utilisant les résultats de la partie 1, que ₃ et ₄ suivent chacune une loi binomiale.

5 2. Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, suit une loi binômiale dont on donnera les paramètres.