DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire.

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1 DS 9 Correction EXERCICE On considère la fonction déterminée sur 0, par : ln On se propose dans cet exercice d'étudier la fonction et de la représenter relativement à un repère orthonormal,,, l'unité choisie étant le cm... Etude d'une fonction auxiliaire. Soit la fonction définie sur 0, par :, 3 ln. Soit la fonction polynôme définie sur par 3. Factoriser. On constate que est racine évidente. On peut alors factoriser par en utilisant par exemple l algorithme d Horner : On obtient donc 3 3 Déterminer alors le signe de. On doit déterminer le signe de 3 3. Δ la quantité 3 3 a le signe de 3 sur, et donc, le signe de, c est celui de. 0. Vérifier que la fonction dérivée peut s'écrire : 0, En déduire les variations de sur son domaine d'étude.

2 D après la question précédente, on en déduit que la fonction est décroissante sur, et croissante sur,. 4. Montrer que :, 0 La fonction présente donc un minimum en. Or 3 0 0, 0.. Etude de la fonction f.. Déterminer la limite de lorsque tend vers 0 par valeurs positives. Que peut-on en déduire pour la représentation graphique de, notée? : Et donc ln ln ln ~ ln ln ln ~ ln lim lim La droite d équation 0 est donc asymptote (verticale) à la courbe.. a. Déterminer la limite de lorsque que x tend vers. On en déduit que ln ln ~ ~ ln lim lim lim 0

3 b. Montrer que la droite d'équation est asymptote à au voisinage de +. On étudie : la droite d'équation est asymptote à au voisinage de +. c. Montrer que sur la courbe est au-dessus de la droite On doit étudier le signe de la quantité Pour on a et Comme on a : Et donc sur la courbe est au-dessus de la droite 3. On donne le tableau de valeurs suivant : 0,5 3-3,3 4,3 a. Vérifier que la fonction dérivée peut s'écrire : b. En déduire les variations de Nous avons vu que la fonction est strictement positive. Il en est de même de la fonction est strictement croissante sur sur c. Donner I'allure de et tracer la droite

4 d. Hachurer la partie du plan comprise entre, Δ et les deux droites d'équation et. e. Ecrire, à l'aide d'une intégrale, la valeur de l'aire de la partie hachurée du plan. La fonction étant croissante, comme 0, elle est positive sur,. L aire du domaine hachuré est donc égale à : f. A l'aide d'une intégration par parties, déterminer la valeur de cette intégrale. ln ln ln ln ln 3 ln Il faut intégrer par parties l intégrale restante. La fonction est continue sur,, la fonction ln est de classe sur,. On peut donc procéder à une intégration par parties en posant : On en tire donc : ln et et ln ln 3

5 EXERCICE On se propose de déterminer la suite de réels vérifiant la relation de récurrence : Pour tout entier naturel : 5 6 avec et. A cet effet on définit la matrice par :.. Calcul de la puissance n ième de A On considère les matrices à coefficients réels et définies par : et 3. Calculer et Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel non nul : et pour,. Calculons , montrons que si alors. pour,. Calculons. : , montrons que si alors. donc démontré par récurrence, et 3. Vérifier que l'on a : où est la matrice carrée unité d'ordre de même A

6 4. Etablir que la matrice est inversible et exprimer en fonction de et. d après la question précédente : donc est donc inversible et l on a : Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel : 3 La relation précédente est-elle encore vraie pour. Pour 0, on a et I 3 0 La propriété est initialisée. 0, montrons que si 3 alors 3 3 L énoncé suggère que 3. Vérifions-le A 3 0 donc La formule est donc héréditaire et donc, 3 Pour, on a Or La relation est donc vraie pour. 6. Montrer que pour tout entier naturel : 3 On peut procéder par récurrence.

7 La formule est vraie pour d après ce que nous venons de vérifier., montrons que si 3 alors Il y a hérédité et la formule est donc vérifiée pour tout entier... Expression de en fonction de.. Vérifier que pour tout entier naturel Nous savons que Ce qu il fallait démontrer.. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel et. La relation est initialisée. 0, montrons que si, alors. C est une récurrence immédiate. Il y a hérédité et la propriété est donc démontrée. 3. Donner ainsi l'expression de en fonction de. donc Or

8 EXERCICE 3 Soit un entier naturel non nul et une variable aléatoire réelle discrète dont l'univers image Ω est inclus dans l'ensemble 0,,...,. est l'espérance mathémaque de. L'objectif de cet exercice est de prouver et d'utiliser l'égalité notée (R). ) Etude d'un exemple. Soit qui suit une loi binomiale de paramètres et p= 3/4. a. Calculer. 0,,, b. Donner la valeur de l'espérance. Vérifier l'égalité (R). La relation est vérifiée On revient au cas général : est telle que est inclus dans l'ensemble 0,,...,. a. Justifier pour,..., l'égalité :...

9 par incompatibilité, on a b. En écrivant puis en sommant les égalités précédentes de à, en déduire l'égalité (R). donc n apparaît que dans la première ligne, apparaît dans les deux premières lignes,, apparaît dans les premières lignes,, apparaît dans les lignes. en sommant les lignes membre à membre, on obtient : L égalité (R) est donc démontrée.. Application sur un exemple : Un jeu vidéo est constitué de n niveaux successifs. Lorsque le joueur commence un niveau, ce qui suppose qu'il ait réussi tous les niveaux précédents, la probabilité qu'il le réussisse est (/3). Le jeu s'arrête dès que le joueur échoue à un niveau. On note la variable aléatoire égale au nombre de niveaux réussis par le joueur. a. Donner. Le jeu s arrête au plus tôt au niveau et au plus tard au niveau. Il peut s arrêter à tout niveau compris entre et. Ω, b. On note l'événement «Le joueur a réussi le niveau». Exprimer pour tout entier naturel de,..., l'événement à l'aide des événements,,,. En déduire : 3 L évènement signifie que le joueur a réussi tous les niveaux jusqu au niveau au moins puisque dans le cas contraire il n aurait pas eu le droit de jouer le niveau.

10 c. En utilisant la formule (R), calculer l'espérance. donc EXERCICE 4 Partie On pose, pour tout entier supérieur ou égal à,. Montrer que, La fonction est décroissante sur,. pour tout,, d après le théorème de la moyenne, Ou plus simplement. En déduire que, ln. Il s agit de sommer cette égalité quand varie de à : On obtient en changeant d indice et en utilisant la relation de Chasles généralisée : Ce qui donne

11 Et donc Ce qui donne enfin : ln ln ln Partie. On considère une suite définie par son premier terme et par la relation suivante, valable pour tout entier a. Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif. est parfaitement défini est strictement positif. 0, montrons que si est défini et strictement positif, il en est de même pour. Si existe et est strictement positif, il est différent de 0 et donc existe. De plus apparaît comme la somme de nombres strictement positifs. C est donc un nombre strictement positif. Il y a donc hérédité. pour tout entier, existe et est strictement positif. b. En déduire le sens de variation de la suite. 0 la suite est croissante.. a. Pour tout entier, exprimer en fonction de. b. En déduire que, On peut montrer cette relation par récurrence. Pour, on a et donc Il y a donc bien initialisation., montrons que si la relation est vérifiée pour elle est également vérifiée pour.

12 La propriété est donc démontrée. c. Montrer que :,. En déduire la limite de la suite. d après la question précédente 0 3. a. A l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à Or 0, Or. Et donc Et donc enfin enfin b. En utilisant la partie, établir que, pour tout entier n supérieur ou égal à : 5 ln Ce qui donne : ln

13 Et enfin ln 5 ln c. En déduire finalement que quand. Et 5 ln 5 lim ln 4 5 lim ln et lim 0 5 lim ln 4 D après le théorème des gendarmes, on a donc Et donc lim lim ~