2. Un jeu de trente-deux cartes est constitué de huit cartes de chacune des quatre couleurs. Combien de cartes faut-il tirer au minimum pour

Transcription

1 Chapitre 8 PROBABILITE 8.1 Exercices introductifs 1. On tire une carte d un paquet bien mélangé et on note la couleur de cette carte: coeur, carreau, pique, trèfle. Parmi les adjectifs possible, certain et Impossible lequel te semble le plus approprié pour qualifier les résultats suivants : obtenir pique ou trèfle? obtenir carreau? obtenir pique, trèfle, coeur ou carreau? obtenir pique et coeur? 2. Un jeu de trente-deux cartes est constitué de huit cartes de chacune des quatre couleurs. Combien de cartes faut-il tirer au minimum pour être certain d avoir une carte de chaque couleur? qu il soit possible d avoir une carte de chaque couleur? qu il soit impossible d avoir une carte de chaque couleur? 3. Une urne contient six boules identiques numérotées de 1 à 6. On effectue une série de tirages d une boule, avec remise de la boule dans l urne, après avoir noté le point. On s intéresse à la question suivante: le point est-il 6 ou non? Voici les résultats de deux simulations faites sur ordinateur : Nombre de tirages Nombre de 6 en simulation 1 Nombre de 6 en simulation (a) Quelle chance a-t-on d obtenir la boule 6 lors d un tirage? Quelle serait la chance d obtenir une autre boule que la 6? Explique ton point de vue. 81

2 CHAPITRE 8. PROBABILITE 82 (b) Complète les deux tableaux suivants : Nombre de tirages Nombre de 6 Fréquence Nombre de non-6 Fréquence Nombre de tirages Nombre de 6 Fréquence Nombre de non-6 Fréquence (c) Compare le résultat théorique que tu as obtenu en a) avec d une part, la fréquence d apparition de la boule 6 et, d autre part, la fréquence d apparition d une autre boule. Que conclus-tu? 8.2 Calcul élémentaire des probabilités Vocabulaire 1. Un phénomène fortuit est une expérience qui donne lieu à plusieurs résultats dont on ne peut prédire à l avance lequel se réalisera. Chacun de ces résultats porte le nom d épreuve du phénomène. 2. L ensemble de toutes les épreuves d un phénomène fortuit se nomme catégorie d épreuves du phénomène. On la note Ω, ce qui se lit oméga. 3. Tout ensemble d épreuves d un phénomène fortuit est appelé événement de ce phénomène. Il s agit donc de sous-ensembles de Ω. Ils sont notés par des majuscules latines. Ceux qui se limitent à une seule épreuve sont appelés événements élémentaires du phénomène fortuit. 4. Un événement se produit lorsque le résultat réalisé appartient à cet événement. En particulier, l événement Ω se produit toujours, c est l événement certain; l événement Φ ne se produit jamais, c est l événement impossible. 5. L événement 1 A B se produit si les événements A et B se produisent simultanément. 1 Rappelons A B ou intersection des ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent simultanément à A et à B. A B ou union des ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. A \ B ou différence des ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A sans appartenir à B.

3 CHAPITRE 8. PROBABILITE 83 L événement A B se produit si l événement A ou l événement B se produit. L événement A \ B se produit si l événement A se produit sans que l événement B ne se produises. 6. Des événements contraires sont des événements qui n ont rien en commun et dont la réunion est Ω. Pour noter que A et B n ont rien en commun, on écrit A B = Φ. On dit encore que A et B sont disjoints. 7. Si tous les événements élémentaires d un phénomène fortuit sont également possibles, on dit qu ils sont équiprobables. 8. Le nombre d épreuves ou de résultats d un événement A est le nombre d éléments de A. On le note #A qui se lit cardinal de A Exemples 1. Lancer un dé et examiner le point de la face supérieure est un phénomène fortuit. Les épreuves sont les différents résultats: 1, 2, 3, 4, 5, 6. { } 2. Pour le phénomène fortuit précédent, la catégorie d épreuves est Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

4 CHAPITRE 8. PROBABILITE Pour le { phénomène } fortuit précédent, voici quelques événements: A = 1, 3, 5 (tirer un impair), #A = 3; { } B = 2, 4, 6 (tirer un pair), #B = 3; { } C = 1, 2, 3, 4, 5 (ne pas tirer 6), #C = 5; { } Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (tirer un nombre), #Ω = 6; {} Φ = (ne rien tirer), #Φ = 0; { } D = 5 (tirer 5), #D = 1. Les événements élémentaires sont { } { } { } { } { } { } 1, 2, 3, 4, 5, 6. { } { } 4. Pour le phénomène fortuit précédent, A = 1, 2, 3 et B = 4, 5, 6 sont des événements { } { } contraires. Il en est de même pour Ω et Φ; pour C = 1, 2, 3, 4, 5 et F = 6 ; Parmi les phénomènes fortuits à événements élémentaires équiprobables, citons : le lancement d un dé non pipé; le lancement d une pièce de monnaie (pile ou face) bien équilibrée; l extraction, dans une urne, d une boule parmi des boules identiques; le tirage d une carte dans un jeu bien mélangé; Définition, propriétés La probabilité veut mesurer le nombre de chances de chaque événement d un phénomène fortuit. Quelques règles habituelles aux mesures sont dès lors d application : à l événement impossible, rien ne se produit, correspond la probabilité 0; à l événement certain, n importe quelle épreuve se produit, correspond la probabilité 1; tout autre événement a ainsi une probabilité comprise entre 0 et 1; si deux événements n ont rien en commun, la probabilité que l un ou l autre se réalise égale la somme des probabilités de chacun d eux. Ces considérations se résument dans la définition : Définition 8.1 (Axiomes de Kolmogorov) Une loi de probabilité est une fonction P chaque événement, associe un nombre compris entre 0 et 1, de sorte que P (Ω) = 1; P (Φ) = 0; si A B = 0, alors P (A B) = P (A) + P (B) qui, à Propriété 8.2 Si tous les événements élémentaires d un phénomène fortuit sont équiprobables, alors la probabilité de tout événement A est donné par la formule P (A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles.

5 CHAPITRE 8. PROBABILITE 85 Données : Thèse : P (A) = n N. Démonstration un phénomène fortuit de N épreuves; un événement A composé de n épreuves. Comme il y a N épreuves, il y a N événements élémentaires. Tous les événements élémentaires étant équiprobables, ils ont la même probabilité que l on note x. La réunion des événements élémentaires donne Ω. Les événements élémentaires n ont rien en commun deux à deux. La définition de probabilité permet alors de conclure : Ainsi, x = 1 N. 1 = P (Ω) = x + x + x + + x = Nx. } {{ } (n termes) Comme A est constitué de n événements élémentaires, il vient P (A) = 1 N + 1 N + 1 N = n } {{ N } N (n termes) Propriété 8.3 Si A et B sont des événements contraires, alors P (A) = 1 P (B) et P (B) = 1 P (A). Données : A B = Φ et A B = Ω. Thèse : P (A) = 1 P (B) et P (B) = 1 P (A). Démonstration Comme A B = Ω, (A B) = P (ω) = 1. Comme A B = Φ, P (A ) = P (A) + P (B). On peut alors conclure : P (A) + P (B) = 1. Propriété 8.4 Si A et B sont deux événements quelconques, alors P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Données : A et B sont des événements quelconques. Thèse : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Démonstration A B = (A B) (A \ B) (B \ A) et A B, A \ B, B \ A sont deux à deux disjoints. Dès lors, P (A B) = P (A \ B) + P (A B) + P (B \ A) définition de P = P (A) + P (B \ A) + P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Exemple 8.5 Une urne contient des boules identiques: 3 boules rouges numérotées de 1 à 3 et 4 boules vertes numérotées de 1 à 4. On tire au hasard 2 boules successivement, sans remise, et on regarde la couleur et le numéro des boules tirées. Quelle est la probabilité d obtenir une seule boule verte?

6 CHAPITRE 8. PROBABILITE 86 On peut admettre que tous les tirages sont équiprobables puisque les boules sont identiques et que l extraction se fait au hasard. Il faut donc déterminer d une part, le nombre total de tirages, d autre part, le nombre de tirages favorables. Nombre total de tirages Lors du tirage de la première boule, 7possibilités se présentent, comme le montre l arbre suivant : Pour chacun de ces résultats, il reste 6 possibilités de tirer la deuxième boule, comme le montrent les deux sous-arbres que voici parmi les 7 qui sont possibles : Nombre de tirages favorables Les tirages favorables sont de deux types soit tirer une verte au début et ensuite une rouge; soit tirer une rouge au début et ensuite une verte.

7 CHAPITRE 8. PROBABILITE 87 Dans le premier cas, il y a 4 3 ou 12 possibilités : De même, dans le second cas, il y aura 3 4 ou 12 possibilités. Finalement, il y a ou 24 tirages favorables. On peut donc conclure que la probabilité cherchée est ou 4 7. Exemple 8.6 D un jeu bien mélangé de 52 cartes, on tire successivement 2 cartes sans remise et on note ces cartes. Quelles est la probabilité d avoir au moins un as? On peut admettre que tous les tirages successifs de deux cartes sont équiprobables. Voici une première manière de résoudre le problème: on utilise exclusivement la propriété 8.2. Nombre total de tirages de deux cartes Lors du tirage de la première carte, 52 possibilités se présentent. Pour chacun des 52 résultats, il y a 51 possibilités de compléter le tirage. Il y a ainsi ou 2652 tirages possibles. Nombre de tirages favorables Les tirages favorables sont de trois types : soit un as suivi d une carte qui n est pas un as, soit une carte qui n est pas un as suivie d un as, soit deux as. Il y a 4 48 ou 192 tirages du premier type. En effet, la première carte tirée devant être un as, il y a 4 possibilités. Pour chacune de ces 4 possibilités, on doit compléter par une carte qui ne peut être un as: il y a donc 52 4 ou 48 possibilités de compléter le tirage. Une analyse identique montre qu il y a aussi 192 tirages du deuxième type. Enfin, il y a 4 3 ou 12 tirages du troisième type. En effet, la première carte tirée devant être un as, il y a 4 possibilités. Pour chacune de ces 4 possibilités, il faut compléter par un as. Comme il n en reste que 3, il y a donc 3 manières de compléter le tirage. Finalement, il y a ou 396 tirages favorables. On peut conclure que la probabilité cherchée est =

8 CHAPITRE 8. PROBABILITE 88 Voici une deuxième manière de résoudre le problème: on utilise les propriétés 8.3 et 8.4. L événement obtenir au moins un as est l événement contraire de l événement n obtenir aucun as. Le calcul de la probabilité de ce deuxième événement est plus aisé que celui que nous venons de faire ci-dessus, comme on va le voir ci-après. Le calcul du nombre total de tirages se fait comme ci-dessus. On obtient donc 2652 tirages. Le calcul du nombre de tirages ne comprenant pas d as se fait d une manière analogue à partir des 48 cartes permises. On obtient = 2256 tirages. La probabilité de n obtenir aucun as est ainsi = La probabilité cherchée est alors = L exemple suivant est célèbre. Il montre le danger qu il y a d utiliser la formule des événements équiprobables sans tenir compte des restrictions qui l accompagnent. Exemple 8.7 Un joueur lance une pièce de monnaie parfaitement symétrique. Si le côté pile est au-dessus, le jeu s arrête et le joueur à gagné. Si le côté face est au-dessus, le joueur relance la pièce et le jeu s arrête définitivement. Si le côté pile est au-dessus, le joueur a gagné, sinon il a perdu. Quelle est la probabilité de gain du joueur? Le brillant mathématicien français d Alembert étudia ce problème et en publia une solution fausse dans l Encyclopédie (article Croix et pile de 1754) : Ainsi donc, il y a trois cas possibles dont deux sont favorables; la probabilité demandée vaut donc un tiers. En fait, d Alembert appliquait indûment la formule des événements équiprobables, comme nous le montrons ci-après. 1/2 1/4 La probabilité de gain pour le joueur est donc ou 3 4 et non 2 3. Exemple 8.8 Dans un jeu bien mélangé de 32 cartes, on tire une carte au hasard. probabilité de tirer une dame ou un coeur? Quelle est la On peut admettre que tous les tirages sont équiprobables puisque les cartes sont bien mélangées et que l extraction se fait au hasard. Ω est l ensemble des 32 tirages possibles. On note A pour l ensemble des quatre dames; B pour l ensemble des huit coeurs. Il est clair que A B est l ensemble formé de la dame de coeur; P (A) = 4 32 = 1 8 ; P (B) = 8 32 = 1 4 ; P (A B) = 1 32 ; Ainsi, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = =

9 CHAPITRE 8. PROBABILITE Exercices A. Quelle est la catégorie d épreuve des phénomènes aléatoires suivants? Déterminer également le cardinal de chacune de ces catégories d épreuves. 1. Les billets d une loterie sont numérotés de 1 à 100 a) je tire un billet et je note le numéro. b) je tire 2 billets (sans remise) et je note les numéros. c) je tire un billet et je note le dernier chiffre. d) je tire 2 billets et je note le dernier chiffre de chacun. 2. Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules noires, 2 rouges. a) je tire 2 boules avec remise et je note la couleur. b) je tire 3 boules avec remise et je note la couleur. c) je tire 3 boules sans remise et je note la couleur. 3. On jette 2 dés, l un noir et l autre blanc et on note a) la somme des points. b) la valeur absolue de la différence des points. c) la différence des points (point du dé noir moins le point du dé blanc) 4. On jette 3 dés et on note la somme des points. 5. On jette 5 fois une pièce et on note la suite des côtés visibles. 6. Parmi 5 pièces de valeurs différentes, je tire 2 pièces et je note leur valeur. 7. Un comité de 6 personnes (A, B, C, D, E, F ) choisit en son sein un président, un secrétaire et un trésorier. On note les noms de ceux-ci. 8. D un lot de pièces fabriquées par une machine, on tire successivement 4 pièces avec remise et on note si ces pièces sont bonnes ou mauvaises. D un lot de pièces fabriquées par une machine, on tire successivement 4 pièces avec remise et on note si ces pièces sont bonnes ou mauvaises. B. On considère certains phénomènes aléatoires. Ecrire en symboles les événements demandés et déterminer le cardinal de chacun de ces événements. 1. Les billets d une loterie sont numérotés de 1 à 100. On tire un billet et on note le numéro. Evénements a) le numéro sorti se termine par 5. b) le numéro sorti est pair. c) le numéro sorti ne commence pas par 3. d) le numéro sorti finit par un chiffre pair et commence par 2. e) le numéro sorti est un multiple de 2 et 3 et Une urne contient 5 boules blanches, 3 noires et 2 rouges. On tire 3 boules sans remise et on note les couleurs. Evénements a) il sort au moins 2 boules blanches. b) il sort 3 boules de couleurs différentes. c) il sort 3 boules de même couleur. d) la première et la dernière boules sorties sont de même couleur. 3. On Jette 3 dés et on note les points. Evénements a) la somme des points est 6. b) la somme des points est 20. c) le premier point est 6 et la somme des points est 9. d) les 2 premiers points sont pairs et la somme des points est 10. e) les 2 premiers ou les 2 derniers points sont égaux et pairs.

10 CHAPITRE 8. PROBABILITE On jette 5 fois une pièce et on note les côtés visibles. Evénements a) on note au plus 3 piles. b) on note face la première fois et en tout 3 fois pile. c) on note 3 fois face et 3 fois pile. d) on note au plus 3 fois piles et au moins 3 fois face. C. Calculs de probabilités 1. Quelle est la probabilité qu en jetant 4 pièces de monnaie ensemble, il y en ait exactement 3 qui montrent pile? 2. Quelle est la probabilité que, dans une famille où il y a 3 enfants, les 2 plus jeunes,soient des garçons? 3. Quelle est pour une famille où il y a 4 enfants, la probabilité de la répartition la plus probable des garçons et des filles? 4. Le centre de gravité d un dé a été truqué de telle façon que la probabilité d obtenir un nombre de points n déterminé soit proportionnelle à n. Quelle est la probabilité d obtenir avec ce dé a) un six? b) un nombre impair? c) un nombre pair? d) d amener 2 fois le 6 en lançant le dé 3 fois de suite? 5. Sur une roue de la fortune, on a inscrit les nombres de 1 à 10 dans des secteurs circulaires directement proportionnels aux nombres qu ils portent. a) quelle est la probabilité d obtenir 7? b) a-t-on plus de chances de gagner en pariant sur les pairs ou sur les impairs? 6. Des observations effectuées dans une réserve naturelle d oiseaux ont permis de constater que la fréquence des oiseaux migrateurs y était de 0, 55, celle des oiseaux aquatiques de 0, 35, et celle des oiseaux aquatiques sédentaires de 0, 15. Quelle est la probabilité qu un oiseau pris au hasard: a) soit un oiseau sédentaire? b) ne soit ni un oiseau migrateur, ni un oiseau aquatique? 7. En supposant qu un nouveau-né a autant de chance d être un garçon que d être une fille, calculer la probabilité qu une famille de 5 enfants soit composée de 3 garçons et de 2 filles. 8. On élève se présente à un examen comportant 4 questions prises au hasard parmi 25 questions qui lui avaient été proposées à l étude. Cet élève n ayant étudié que 10 questions, on demande la probabilité que parmi ces 10 : a) figurent les 4 questions posées. b) figurent 2 des questions posées. c) ne figure aucune des questions posées. d) figure au moins une des 4 questions posées. 9. Le fonctionnement d un distributeur automatique de cigarettes est déréglé, en ce sens que 2 fois sur 5 on ne reçoit rien, 1 fois sur 5 la pièce est retournée et 1 fois sur 2 on obtient des cigarettes. Cependant on a parfois la chance de voir venir la pièce et les cigarettes. Si l on essaye une pièce à un moment quelconque, calculer la probabilité de cette dernière éventualité. 10. Dans un sac se trouvent: 2 jetons portant le numéro 20 4 jetons portant le numéro 10 4 jetons portant le numéro 5 3 jetons portant le numéro 2

11 CHAPITRE 8. PROBABILITE 91 On extrait simultanément 5 jetons et on demande la probabilité que le total indiqué vaille Calculer la probabilité d amener au moins une fois 6, en lançant un dé 2 fois consécutivement. 12. On lance deux dés 10 fois consécutivement. Calculer la probabilité d amener le double 6 au moins une fois. 13. Trois personnes A, B, C lancent une pièce de monnaie à tour de rôle, et dans cet ordre. S il est décidé que le vainqueur sera la première personne qui amènera pile, évaluer les chances respectives de chacun. 14. On sac contient n boules, dont 5 sont blanches et les autres noires. On tire 3 boules du sac et on demande a) la probabilité d amener au moins 2 blanches. b) la probabilité d amener 3 blanches. c) pour quelle valeur de n chacune de ces probabilités vaudra 0, 5? 15. On considère un groupe de cellules, dont on sait que 25% sont infectées par des bacilles, 15% par des champignons, tandis que 4% sont infectées par des bacilles et des champignons. Calculer la probabilité qu une cellule prise au hasard, ne soit pas infectée du tout. 16. D une boite de 20 pralines comprenant 10 pralines à la liqueur, 8 au massepain, 2 au chocolat, une dame en tire 3 au hasard. Calculer la probabilité a) qu elle tire dans l ordre : chocolat, massepain, liqueur. b) quelle en ait 3 au massepain. c) que les 3 pralines soient de même nature. d) qu il y en ait 1 à la liqueur et 2 au massepain. e) qu elles soient de nature différente. f) qu il y en ait au moins une à la liqueur. 17. Quatre messieurs déposent leur chapeau au vestiaire, et en fin de soirée la préposée à celui-ci les leur remet au hasard. Calculer la probabilité a) que les 4 messieurs reçoivent leur chapeau. b) qu un seul ait son chapeau. c) qu exactement 2 des messieurs aient leur chapeau. d) qu exactement 3 des messieurs aient leur chapeau. 18. Trois joueurs jouent à pile ou face comme suit : A et B jouent la première partie; celui qui gagne joue la deuxième avec C, celui qui gagne la deuxième joue la troisième avec celui qui n a pas joué la deuxième; et ainsi de suite. Si un joueur gagne deux parties consécutives, il est déclaré vainqueur et le jeu s arrête. Calculer la probabilité a) que le jeu ne soit pas terminé à la fin de la troisième partie. b) que le joueur C l emporte en 6 parties au plus, en comptant les parties où il n a pas joué.

12 CHAPITRE 8. PROBABILITE Probabilités conditionnelle - Indépendance Exemple pour introduire On lance un dé non pipé deux fois de suite. A est l événement: la somme des points obtenus lors des deux jets est 7. B est l événement: la somme des points obtenus lors des deux jets est 8. C est l événement: le résultat du premier jet est pair. D est l événement: le résultat du deuxième jet est impair. 1. Calcule la probabilité de chacun de ces événements. 2. Détermine les événements A C, A D, B C, B D. 3. Compare la probabilité de chacune des intersections d événements décrites en 2 avec le produit des probabilités de ces deux événements. 4. Détermine la probabilité de l événement X décrit de la manière suivante: A se produit, sachant que C s est produit et qui se lit plus brièvement A, si C. Détermine la probabilité de l événement Y décrit de la manière suivante: B se produit, sachant que D s est produit et qui se lit B, si D. ANALYSE 1. #Ω = 36. Les événements élémentaires de Ω sont équiprobables. A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} et P (A) = 1 6. B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} et P (B) = II est clair que P (C) = P (D) = A C est l événement: obtenir 7 comme somme et un pair au premier jet. A C = {(2, 5), (4, 3), (6, 1)}; A D est l événement: obtenir 7 comme somme et un impair au deuxième jet. A D = {(2, 5), (4, 3), (6, 1)}; B C est l événement: obtenir 8 comme somme et un pair au premier jet. B C = {(2, 6), (4, 4), (6, 2)}; B D est l événement: obtenir 8 comme somme et un impair au deuxième jet. B D = {(3, 5), (5, 3)}. Remarquons que : 3. A C = A D ; B C et B D sont deux événements contraires dans B. P (A D) = , P (B C) = 12, P (B D) = = P (A C) = P (A).P (C) = = ; 12 = P (A D) = P (A).P (D) = = 1 12 ; 1 12 = P (B C) P (B).P (C) = = ; 18 = P (B D) P (B).P (D) = = Si l événement C s est produit, la catégorie d épreuves se réduit à (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), Ω = (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) La probabilité de l événement X, A se produit, sachant que C s est produit est 3 18 ou 1 6. Constatons que P (X) = 1 6 = = P (A C) P (C). 2

13 CHAPITRE 8. PROBABILITE 93 Si l événement D s est produit, la catégorie d épreuves se réduit à (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), Ω = (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5). La probabilité de l événement Y, B se produit, sachant que D s est produit est 2 18 ou 1 9. Constatons que P (Y ) = 1 9 = = P (B D) P (D). Remarquons que les événements A C, c est-à-dire (A et C ) et X, c est-à-dire (A, si C ), sont différents, puisque P (A C) = 1 12 et P (X) = 1 6. De même, les événements B D, c est-à-dire (B et D ) et Y, c est-à-dire (B, si D ), sont différents, puisque P (B D) = 1 18 et P (Y ) = 1 9. Dans l exemple ci-dessus, on a pu constater que la probabilité de l intersection de deux événements est tantôt égale au produit de leurs probabilités, tantôt différentes de ce produit. Ceci nous mène aux deux définitions suivantes. Définition 8.9 (EVENEMENTS INDEPENDANTS) Commentaires A et B sont deux événements indépendants P (A B) = P (A).P (B) L énoncé précédent peut s utiliser de deux manières différentes : 1. Il n est pas souvent aisé de déterminer à la lecture de leur simple description que deux événements sont indépendants. S il est possible de calculer aisément P (A B), P (A) et P (B), la formule donnée permet alors de trancher quant à la dépendance ou l indépendance des événements donnés. 2. Dans certains cas, l indépendance de deux événements apparaît clairement. Exemples. On jette un dé deux fois de suite : il est clair que le résultat du premier jet n influence pas le résultat du second jet. On tire des boules d une urne avec remise. absolument pas des tirages précédents. Le résultat d un tirage quelconque ne dépend Dans ces cas, la formule permettra de calculer une des trois probabilités connaissant les deux autres. Définition 8.10 (PROBABILITE CONDITIONNELLE) P (A B) = P (A B) P (B) P (B A) = P (A B) P (A) Commentaires P (A B) se lit probabilité que A se produise, sachant que B s est produit ou, plus brièvement, probabilité de A, si B. P (B A) se lit probabilité que B se produise, sachant que A s est produit ou, plus brièvement, probabilité de B, si A.. En général : P (A B) = P (A).P (B A) P (A B) = P (B).P (A B) Ces énoncés se lisent:la probabilité que deux événements se produisent simultanément est égale au produit de la probabilité que l un de ces événements se produise par la probabilité que l autre se produise, sachant que le premier s est produit.

14 CHAPITRE 8. PROBABILITE 94 Un cas particulier est : P (A B) = P (A).P (B) Dans le cas d événements indépendants, on lit : la probabilité que deux événements se produisent simultanément est égale au produit des probabilités de ces événements. Constatons alors que P (A) = P (A B) et P (B) = P (B A). Exercices 1. Une équipe de football a une probabilité 0, 8 de gagner un match s il pleut et une probabilité 0, 6 de gagner s il fait sec. Sachant que cette équipe a gagné un dimanche d avril où la probabilité d un jour de pluie est 0, 3; quelle est la probabilité qu il ait plu ce jour là? 2. D un jeu de 52 cartes, je tire 2 cartes sans remise. Quelle est la,probabilité (a) que la 2 ième carte soit un as si la 1ère est un coeur? (b) que les 2 cartes soient des coeurs si la 1ère est un coeur? (c) que la 2 ième carte soit un coeur si la 1ère est un as? (d) que la 1ère carte soit un coeur si les 2 cartes sont des coeurs? 3. Dans une famille ayant 2 enfants, si on sait qu un des deux enfants est un garçon, quelle est la probabilité que l autre enfant soit une fille? 4. Dans une société de 9 personnes, 6 sont belges et 3 sont néerlandaises. On sait que 5 des membres de cette société sont des femmes et que parmi elles, 2 sont néerlandaises. Quelle est la probabilité qu une personne choisie au hasard dans cette société soit un belge de sexe masculin? 5. Quelle est la probabilité d obtenir une somme de 9 points en jetant un dé rouge et un dé blanc si le dé rouge ne donne pas 5? 6. On tire 2 cartes d un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer 2 as de ce jeu de 52 cartes? 7. Parmi les membres d une association, il y a 450 indépendants et 650 propriétaires de voiture. On sait que 50 des indépendants n ont pas de voiture. Quelle est la probabilité qu un membre de l association ne soit pas indépendant sachant qu il possède une voiture? 8. Un contrôle comporte 2 questions. Un élève a une probabilité 0, 6 de résoudre la 1ère. Il a une probabilité 0, 7 de résoudre la 2 ième s il a trouvé la 1ère et une probabilité 0, 1 de résoudre la 2 ième s il n a pas trouvé la gère. Quelle est la probabilité que la 1ère ait été résolue si on sait que l élève a trouvé la 2 ième? 9. Un examen se présente sous la forme de questions accompagnées chacune de 4 réponses dont une seule est correcte. L étudiant doit choisir une et une seule réponse, il ne peut pas s abstenir. Donc s il connaît la réponse exacte, il répondra avec la probabilité 1, tandis que s il devine, cette probabilité devient 0, 25. Admettons d autre part qu un étudiant sérieux connaisse 90% des réponses, alors qu un étudiant médiocre n en connaisse que 50%. Si un de ces étudiants donne une réponse correcte, quelle est la probabilité qu il l ait devinée? 10. Un sondage d opinions a donné les résultats suivants H F oui non sait pas On tire un billet de l urne et on note le sexe de la personne interrogée et la réponse. Quelle est la probabilité

15 CHAPITRE 8. PROBABILITE 95 (a) que la réponse soit oui si la personne est une femme? (b) que la réponse d une femme soit non? (c) que la réponse d un homme ne soit pas je ne sais pas? 10. L élève G. Letemps arrive souvent en retard : une fois sur deux lorsqu il n est pas arrivé en retard la veille; lorsqu il est arrivé en retard la veille, les remontrances du professeur parviennent à réduire cette probabilité à 1 3. Aujourd hui, lundi G. Letemps est arrivé à l heure. Calculer la probabilité qu il arrive à l heure jeudi prochain. Quelle aurait été cette probabilité si aujourd hui lundi, G. Letemps était arrivé en retard? 11. On jette 2 dés et on note le couple de points. Quelle est la probabilité (a) que la somme soit 5 si le premier dé est 4? (b) que la somme soit 11 si le premier dé est 4? (c) que le premier dé soit 4 si la somme est 5? (d) que la somme soit 11 si le premier dé n est pas 4? (e) que la somme soit supérieure à 8 si la valeur absolue de la différence est inférieure à 3? (f) que la somme soit 11 si les 2 dés marquent le même point? 12. Deux chasseurs tirent un lapin. Le premier a une probabilité 0, 7 de le tuer tandis que le deuxième a une probabilité 0, 5 de le tuer. Les chasseurs tirent une fois. Quelle est la probabilité que le lapin soit tué? 13. Deux étudiants cherchent la solution d un problème sans se consulter. Le premier a une probabilité 0, 8 de résoudre ce problème tandis que le deuxième a une probabilité 0, 2 de le résoudre. Quelle est la probabilité que le problème soit résolu? 14. Lors des examens dans une école comprenant 200 élèves, 42 échouent en mathématique, 36 en français et 24 en français et mathématique. Les phénomènes aléatoires: on note le résultat en français et on note le résultat en mathématique sont-ils indépendants? 15. La probabilité pour que A atteigne une cible est 0, 25 et la probabilité pour que B atteigne cette cible est 1 3. (a) si A et B tirent chacun 2 fois, quelle est la probabilité pour que la cible soit atteinte au moins une fois? (b) si A et B tirent chacun une fois et si la cible n est atteinte qu une seule fois, quelle est la probabilité que ce soit A qui ait atteint la cible? (c) si A ne peut tirer que 2 fois seulement, combien de fois B doit-il tirer pour que la probabilité d atteindre la cible soit au moins égale à 90%? 16. Une boite contient 3 pièces dont 2 sont parfaitement équilibrée et l une frappée avec face des deux côtés. On choisit une pièce au hasard et on la lance. Si l on obtient face, on lance la pièce à nouveau; si l on obtient pile, on choisit l une des deux autres pièces et on la lance. (a) calculer la probabilité pour que l on obtienne face deux fois. (b) si l on jette deux fois la même pièce, calculer la probabilité qu elle soit la pièce frappée avec face des deux côtés. (c) calculer la probabilité pour que l on obtienne pile deux fois. 17. Un sac A renferme 1 boule rouge et 4 boules vertes, tandis qu un sac B contient 2 boules rouges et 6 boules vertes. On tire une boule de A et l on tire une boule de B, puis on les change de sac. Calculer la probabilité (a) que le sac A ne renferme que des boules vertes. (b) que les deux sacs conservent la composition qu ils avaient avant l échange.

16 CHAPITRE 8. PROBABILITE Trois sacs renferment respectivement: 5 boules blanches, 2 boules noires, 3 boules rouges 4 boules rouges 2 boules blanches, 4 boules noires. (a) On prend un sac au hasard, et on en extrait 1 boule; calculer la probabilité que cette boule soit blanche. (b) On prend un sac au hasard, et on en tire 2 boules sans remise; évaluer la probabilité que ces 2 boules soient de même couleur. 19. Un sac contient 2 boules blanches, 5 noires et 3 rouges, et l on en tire une boule, que l on ne remettra pas dans le sac. Si la boule est blanche, il y a gain; si elle est noire, il y a perte, et si elle est rouge on en tire une nouvelle. Au cours de ce deuxième tirage, les conditions restent les mêmes que lors du premier. S il y a un troisième tirage, il y a gain si la boule tirée est blanche, tandis qu il y a perte si la boule est noire ou rouge. Calculer la probabilité de gagner (a) au cours du premier tirage. (b) au cours du deuxième tirage. (c) au cours du troisième tirage. (d) le jeu. 20. Un avion A et un avion B sont équipés de réacteurs Rolls-royce de même type. La probabilité de panne d un moteur vaut p. L avion A a 2 réacteurs et B en a 4. A ne peut voler que si ses 2 réacteurs fonctionnent et B peut encore voler avec 3 réacteurs. Lequel des deux avions est le plus sûr? Combien de fois faut-il voler avec B pour courir le même risque d accident qu en volant 10 fois avec A si p = 10 4?

17 Table des Matières I ALGEBRE 2 1 LES RADICAUX D INDICE n Nombres réels et puissances (rappels) Racines carrées - Radicaux d indice 2 (rappels) Racines cubiques - Racines d indice Racines d indice n Les exposants fractionnaires Quelques exercices supplémentaires GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 11 3 EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels EQUATIONS Remarques importantes Exercices Les équations du premier degré à coefficients paramétriques INEQUATIONS - TYPE SIMPLE - PREMIER DEGRE Remarques importantes Exercices INEQUATIONS - TYPE GENERAL Rappels - Etudes du signe Exercices EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES Equation linéaire à deux inconnues Rechercher des solutions d une équation linéaire à deux inconnues Graphique cartésien d une équation linéaire à deux inconnues Régions du plan déterminées par la droite d équation ax + by + c = Résoudre graphiquement l inéquation ax + by + c < SYSTEMES D EQUATIONS DANS L ENSEMBLE DES REELS Systèmes d équations à deux inconnues dans l ensemble des réels Introduction Notions et définitions Equivalence et implication de systèmes Principes d équivalence des systèmes Principe de substitution Principe des combinaisons linéaires Systèmes de trois équations à trois inconnues Interprétation graphique Discussion d un système de deux équations à deux inconnues Résolution d un système de deux équations à deux inconnues avec les déterminants Discussion d un système de deux équations à deux inconnues ayant un paramètre réel m

18 TABLE DES MATIÈRES Systèmes d équations linéaires homogènes Equation linéaire homogène Systèmes de deux équations linéaires homogènes Systèmes d inéquations du premier degré à deux inconnues Résoudre des problèmes II ANALYSE 44 6 SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES Suites numériques Suites arithmétiques Suites géométriques LES FONCTIONS Domaine de définition Graphique d une fonction Monotonie d une fonction Fonctions paires, fonctions impaires Synthèse sur les fonctions du premier degré Synthèse sur les fonctions du deuxième degré - Parabole Fonction y = a x - Hyperbole Les fonctions associées Fonctions homographiques III PROBABILITE 80 8 PROBABILITE Exercices introductifs Calcul élémentaire des probabilités Vocabulaire Exemples Définition, propriétés Exercices Probabilités conditionnelle - Indépendance IV TRIGONOMETRIE 97 9 LE NOMBRE π Valeur approchée du nombre π Quelques décimales ANGLES ET ARCS Mesure des angles - Unités d angles ANGLES ORIENTES Définitions, vocabulaire Cercle trigonométrique Le plan orienté Angle orienté d un couple de vecteurs non nuls Mesure principale Rotation du plan orienté Propriétés des angles orientés Angles et colinéarité Relation de Chasles

19 TABLE DES MATIÈRES Transformations usuelles et angles orientés NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Quadrants Cosinus et sinus d un angle orienté de vecteurs Cosinus et Sinus d un réel Fonctions cosinus et sinus Cosinus et sinus d un angle orienté Lien entre cosinus d un angle orienté et l angle géométrique associé Tangente et Cotangente d un angle orienté de vecteurs Tangente et Cotangente d un réel Interprétation graphique de la Tangente et de la Cotangente Fonctions tangente et cotangente Tangente et Cotangente d un angle orienté Signe des nombres trigonométriques Nombres trigonométriques d angles remarquables Exercices Equations trigonométriques TRIANGLES QUELCONQUES Rappels : TRIANGLES RECTANGLES TRIANGLES QUELCONQUES Théorème du cosinus (Théorème d Al-Kashi) Théorème du sinus Aire d un triangle Formulaire Exercices V GEOMETRIE PLANE LES VECTEURS : RAPPELS Définition et notation Caractéristiques Egalité de deux vecteurs Représentation graphique d un vecteur Une autre notation des vecteurs Norme d un vecteur Addition de deux vecteurs Soustraction de deux vecteurs Multiplication d un vecteur par un réel LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE Plan métrique Introduction Produit scalaire de deux vecteurs Exercices récapitulatifs LES VECTEURS : LES COMPOSANTES Composantes d un vecteur Opérations dans IR 2 et dans l ensemble des vecteurs Coordonnées de points et composantes de vecteurs Coordonnée d un point dans un repère du plan Axes de coordonnées Composantes d un vecteur Base orthonormée et repère orthonormé

20 TABLE DES MATIÈRES Distance de deux points LA DROITE Coefficient angulaire d une droite Concept Coefficient angulaire dans l équation de la droite Coefficient angulaire à partir de deux points Coefficient angulaire et vecteur directeur d une droite Coefficient angulaire en fonction de l angle formé par la droite et l axe Ox Condition de perpendicularité de deux droites Equations de la droite Droite d 0 passant par O Droite d passant par un point A et parallèle à d Droite d passant par 2 points A et B Exercices Distance d un point à une droite LE CERCLE Définitions Equation cartésienne du cercle Le cercle et les équations du deuxième degré Intersection d un cercle et d une droite Exercices