LES MATRICES. Chapitre Premières définitions

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1 Chapitre 1 LES MATRICES 11 Premières définitions Définition Une matrice à n lignes et p colonnes et à coefficients dans R est un tableau de np éléments de R que l on représente sous la forme : a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A = a n1 a n2 a np Cette matrice se note A = (a i j ) 1 i n ou bien A = (a i j ) n p, n p étant le format de la matrice 1 j p Noter que l indice des lignes est toujours donné en premier et que chaque élément de la matrice a sa propre adresse (i, j ) qui indique sa position dans la matrice L ensemble de toutes les matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients réels est noté M n, p (R) Il est d usage de réserver les lettres majuscules pour nommer des matrices Remarque (1) Dans une matrice A quelconque donnée de format n p, la i-ème ligne est composée des éléments L i = (a i 1, a i 2,, a i p et la j-ième colonne par C j = (a j 1, a j 2,, a j n ) comme on peut le voir ci-dessous : a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p A = a i1 a i2 a ij a ip a n1 a n2 a nj a np (2) Une matrice ligne est une matrice de format 1 p et une matrice colonne est une matrice de format n 1 tandis qu une matrice carrée est une matrice de format n n ou encore d ordre n (3) La diagonale principale d une matrice carrée d ordre n se compose des éléments a i i tandis que la diagonale secondaire se compose des éléments a i,n i+1, (1 i n) 7

2 12 Opérations sur les matrices 121 Égalité de deux matrices Définition Deux matrices sont égales si elles ont le même format (même nombre de lignes et de colonnes) et si les éléments ayant la même adresse sont égaux ( ) Exemple 1 Les matrices et sont elles égales? Justifier votre réponse ( ) ( ) Faire de même avec les matrices et? Addition L addition de deux matrices n est possible que lorsque ces deux matrices ont le même format et consiste à additionner entre eux les éléments ayant même adresse Soient A = (a i j ) n p et B = (b i j ) n p deux éléments de M n, p (R), alors la matrice résultante A + B = (a i j + b i j ) est une matrice de même format que A et B ( ) ( ) ( ) Exemple 2 + = Multiplication par un scalaire La multiplication d une matrice par un scalaire (nombre réel) est toujours possible et consiste à multiplier tous les éléments de cette matrice par un même nombre Pour tout scalaire λ R et A = (a i j ) n p, λa = (λa i j ) La matrice résultante est de même format que la matrice A 7 3 Exemple = Produit de matrices Le produit de deux matrices n est possible que si ces deux matrices ont un format bien particulier La condition nécessaire et suffisante pour réaliser le produit de deux matrices est que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième matrices Les matrice sont désignées dans l ordre d écriture du produit de gauche à droite Soient A = (a i j ) n p et B = (b i j ) p m deux matrices vérifiant la condition ci-dessus, alors la matrice produit C = (c i j ) est de format n m et ses éléments sont définis par la formule suivante : p (i, j ) 1, n 1, m c i j = a i k b k j k=1 8

3 Remarque (1) Cette formule s interprète de la manière suivante Pour obtenir l élément c 11 de la matrice produit C = AB, il faut multiplier la première ligne de la matrice A par la première colonne de la matrice B, ce produit étant la somme des produits des éléments ayant même indice dans la ligne et la colonne De la même manière si on veut déterminer l élément c 23, l adresse de cet élément étant (2, 3), on multiplie la deuxième ligne de A par la troisième colonne de B et de manière générale la valeur de l élément c i j est obtenue en effectuant le produit de la i -ème ligne par la j -ième colonne (2) En général, le produit de matrices n est pas commutatif, c est à dire A B B A, de plus A B = O n implique pas que A = O ou B = O et A B = A C n implique pas que B = C Exemple 4 On considère les matrices suivantes : ( A = ) et B = Dire lesquelles des matrices A + B, AB, B A sont définies et calculer celles qui le sont 9

4 125 Puissances de matrices Définition Soit A une matrice carrée d ordre n et p un entier naturel non nul Le carré de A est la matrice noté A 2, égale à A A Le cube de A est la matrice noté A 3, égale à A A A Plus généralement, la puissance p-ième de A est la matrice notée A p = } A {{ A }, égale au produit de p facteurs de A p f oi s Exemple 5 On considère les deux matrices de M 3 (R) : A = et B = Calculer A + B, (A + B) 2, A 2, B 2, AB et B A En déduire que (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 10

5 13 Transposée et trace d une matrice Définition Soit A = (a i j ) n p une matrice quelconque de format n p La transposée de A notée A t est la matrice A t = (a j i ) p n de format p n qui s obtient à partir de A par l opération suivante : La première ligne des éléments de A devient la première colonne des éléments de A t, la deuxième ligne des éléments de A devient la deuxième colonne des éléments de A t et ainsi de suite Définition Soit A une matrice carrée d ordre n La trace de A est la somme des éléments de la diagonale n principale En d autres termes Tr (A) = a i i Remarque k=1 (1) La trace d une matrice est un nombre défini que lorsque la matrice est carrée car ce sont les seules matrices à posséder une diagonale principale (2) (A t ) t = A, la transposée de la transposée d une matric est la matrice elle-même autrement dit la transposition est une involution Exemple 6 On considère les matrices : A = ( ), B = ( 1 1 C = 0 1 ), D = , E = (1) Effectuer tous les produits de deux matrices avec A , et F = ( (2) Calculer si possible A + 2B, 2A + B t, A t + 3B, EFC, EF D, F EC, ADB, Tr (A), Tr (B), Tr (C ), Tr (D), Tr (E),Tr (D t ) ) 11

6 14 Matrices particulières 141 Éléments neutres Définition Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls Il existe autant de matrices nulles que de format de matrices possibles donc une infinité C est aussi l élément neutre pour l addition de matrices selon le format utilisé, A n p +O n p = A n p Exemple 7 O 2 4 = ( ) ou O 3 1 = 0 entre autres 0 Définition Une matrice identité est une matrice carrée d ordre n dont les éléments de la diagonale principale valent tous 1 et dont les éléments hors diagonale principale sont tous nuls C est aussi l élément neutre pour la multiplication de matrices, A n I n = I n A n = A n ou B n p I p p = B n p Exemple 8 I 3 = 0 1 0, I 2 = ( ) Matrices triangulaires ( ) 1 0 et on peut également vérifier par exemple que 0 1 ( ) = ( ) ( ) 1 0 = 0 1 ( 37 ) Dans une matrice carrée A n, les éléments sur la diagonale principale sont de la forme a i i donc l indice des lignes et l indice des colonnes est le même, les éléments qui se situent dans la partie supérieure de la matrice sont de la forme a i j où i < j tandis que les éléments qui se sont situent dans la aprtie inférieure de la matrice sont les a i j où i > j Exemple 9 Soit la matrice suivante A = On remarque que a 13 = 3 est dans la partie supérieure de la matrice et son indice de ligne est inférieur à son indice de ligne (1 > 3), a 42 = 14 est dans la partie inférieure de la matrice et son indice de ligne est supérieur à son indice de colonne (4 > 2) et a 33 = 11 est sur la diagonale principale et son indice de ligne est égal à son indice colonne (3) Définition Une matrice carrée A = (a i j ) d ordre n est dite triangulaire supérieure si pour tout i > j, a i j = 0, c est à dire que les éléments en dessous de la diagonale principale sont tous nuls De la même manière, une matrice carrée B = (b i j ) d ordre n est dite triangulaire inférieure si pour tout i < j, a i j = 0, c est à dire que les éléments en dessous de sa diagonale principale sont tous nuls a 11 b a 22 a 22 A =, B = a nn a nn 12

7 Exemple est une matrice triangulaire supérieure et est une matrice triangulaire inférieure, 143 Matrices diagonales Définition Une matrice carrée D = (d i j ) d ordre n est dite diagonale si les éléments hors diagonale principale sont tous nuls, en d autres termes pour tout i j, d i j = 0 a d 22 D = d nn Remarque Une matrice diagonale est une matrice à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure Les éléments hors diagonale principale sont tous nuls par contre des éléments de la diagonale principale (voir tous) peuvent être nuls Exemple est une matrice diagonale Matrice scalaire Définition Une matrice scalaire est une matrice de la forme λi n oû λ est un scalaire et I n la matrice identité d ordre n C est une matrice diagonale dont les éléments de la diagonale principale valent tous λ Exemple est une matrice scalaire En particulier I 3 = est une matrice scalaire et I n est scalaire pour tout n N Matrices symétriques et anti-symétriques Définition Une matrice carrée A = (a i j ) d ordre n est dite symétrique si cette matrice est égale à sa transposée c est à dire A = A t, en d autres termes si pour tout (i, j ) 1, n 1, n, a i j = a j i Exemple est une matrice symétrique Définition Une matrice carrée A = (a i j ) d ordre n est dite anti-symétrique si cette matrice est égale à l opposée de sa transposée c est à dire A = A t, en d autres termes si pour tout (i, j ) 1, n 1, n, a i j = a j i 13

8 0 5 9 Exemple est une matrice anti-symétrique Remarque Si une matrice est anti-symétrique, tous les éléments de sa diagonale principale sont nuls 146 Matrices idempotentes Définition Une matrice carrée A = (a i j ) d ordre n est dite idempotente si A 2 = A Remarque Si une matrice A est idempotente alors A p = A pour tout entier naturel p supérieur ou égal à un En effet, A 3 = A A 2 = A A = A 2 = A car A 2 = A puisque A est idempotente On peut appliquer le même raisonnement à A 4 et de proche en proche on peut prouver par récurrence que A p = A, p N Exemple 15 ( ) et sont des matrices idempotentes La vérification est laissée en exer cice 147 Matrices nilpotente Définition Une matrice carrée A = (a i j ) d ordre n est dite niloptente s il existe p N tel que A p = O n Le plus petit entier naturel p vérifiant A p = O n est l indice de nilpotence de la matrice Exemple 16 Vérifier que la matrice A = est nilpotente d indice

9 148 Matrices échelonnées, échelonnées réduites Définition Le pivot d une ligne est le premier élément non nul de cette ligne en partant de la gauche Définition Une matrice est dite échelonnée (en lignes) si le nombre de zéros précédant le pivot de chaque ligne augmente ligne par ligne et si les lignes contenant que des zéros sont placées en bas de la matrice Une matrice est dite échelonnée réduite si tous les pivots valent un et si le pivot de chaque ligne est le seul élément non nul de sa colonne Exemple 17 Voici un exemple de matrice échelonnée (les désignent des coefficients arbitraires, les des pivots, coefficients non nuls) : Un exemple de matrice échelonnée réduite ou matrice canonique en lignes (les pivots valent 1 et les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls) : 149 Matrices inversibles Définition Une matrice A carrée d ordre n est dite inversible s il existe une matrice carrée B de même ordre que A telle que AB = B A = I n Cette matrice B est notée A 1, la matrice inverse de A L inverse d une matrice lorsqu il existe est unique GL n (R) est l ensemble des matrices inversibles de M n (R) Exemple 18 A = Remarque ( ), A 1 = 1 2 ( ) et A A 1 = A 1 A = I 2 (1) Pour vérifier que deux matrices carrées A et B d ordre n sont inverse l une de l autre il suffit de vérifier que leur produit est égal à la matrice identité Un seul sens du produit suffit AB = I ou B A = I car si on a l un on a forcément l autre (la preuve de ce résultat dépasse le cadre de ce cours, elle correspond au théorème sur les endomorphismes d un espace vectoriel de dimension n : u est bijectif si et seulement si il est de rang n et il est bijectif si et seulement si il est injectif (respectivement surjectif) (2) Une erreur commune à éviter : Il est faux de penser que pour inverser une matrice il suffit d inverser tous ses éléments, ce n est pas ainsi qu on procède Il existe des technique pour inverser une matrice carrée quand c est possible, nous verrons plus tard la méthode de Gauss-Jordan et la méthode de la matrice adjointe 15

10 (3) Une matrice inversible est dite régulière et une matrice non inversible est dite singulière 1410 Matrices orthogonales Définition Une matrice A carrée d ordre n est dite orthogonale si A 1 = A t c est à dire que la matrice inverse de A est sa matrice transposée et donc A A t = A t A = I n Remarque Comme pour les matrices inversibles il suffit de montrer qu un seul sens du produit A A t ou A t A est égale à I dès lors l autre égalité est aussi acquise (voir remarque précédente) Exemple 19 La matrice A = est orthogonale, pour le vérifier on peut calculer sa transposée et vérifier que A A t = A t A = I 3 donc A 1 = A t 16

11 15 Propriétés Soient A, B et C trois matrices compatibles pour l addition ou le produit de matrices selon les cas, k et m des scalaires (1) A + B = B + A (commutativité ) (2) A + (B +C ) = (A + B) +C (associativité de la somme de matrices) (3) k(a + B) = k A + kb (distributivité d un scalaire sur une somme) (4) (k + m)a = k A + m A (distributivité d une somme sur un produit) (5) A (B C ) = (A B) C (associativité du produit de matrices) (6) A (B +C ) = A B + A C (distributivité à gauche du produit sur une somme) (7) (A + B) C = A C + B C (distributivité à droite du produit sur une somme) (8) k(a B) = (k A) B (associativité des produits) (9) k(m A) = (km)a (10) (A + B) t = A t + B t (la trasnposée de la somme de deux matrices est la some des transposée) (11) (A t ) t = A (involution) (12) (k A) t = k A t (13) (A 1 ) 1 = A (involution) (14) A p = (A 1 ) p (15) (A 1 ) t = (A t ) 1 (la transposée de l inverse est l inverse de la transposée) (16) (A B) t = B t A t (la transposée du produit de deux matricess est le produit des transposées de chaque matrice dans l ordre inversé) (17) (A B) 1 = B 1 A 1 (l inverse du produit de deux matrices est le produit des inverses de chaque matrice dans l ordre inversé donné) Exemple 20 Soit A une matrice carrée d ordre n (1) (A + A t ) t est une matrice symétrique En effet si on pose B = A + A t il suffit de montrer que B t = B pour prouver que B est symétrique Or B t = (A + A t ) t = A t + (A t ) t = A t + A = A + A t = B en utilisant successivement P10, P11 et P1 (2) De la même manière on peut montrer que A A t est une matrice anti-symétrique (laissée en exercice) (3) A A t et A t A sont des matrices symétriques En posant C = A A t, il suffit de montrer que C t = C or C t = (A A t ) t = (A t ) t A t = A A t = C en utilisant succesivement P15 et P11 17

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