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2 TABLE DES MATIÈRES CALCUL LITTÉRAL... 5 DÉVELOPPER UNE EXPRESSION LITTÉRALE... 5 FACTORISER UNE EXPRESSION LITTÉRALE... 6 SUPPRESSION DE PARENTHÈSES DEVANT DES SOMMES ALGÉBRIQUES... 6 RÉDUCTION D UNE EXPRESSION LITTÉRALE... 7 DÉVELOPPER ET RÉDUIRE DES EXPRESSIONS DU TYPE (A + B)(C + D)... 7 COSINUS D UN ANGLE AIGU D UN TRIANGLE RECTANGLE... 7 EXEMPLE D UTILISATION... 8 DISTANCES TANGENTES BISSECTRICES... 9 DISTANCE D UN POINT À UNE DROITE... 9 TANGENTE À UN CERCLE... 9 BISSECTRICE D UN ANGLE ET DISTANCE ÉGALITÉ (THÉORÈME) DE PYTHAGORE ÉGALITÉ DE PYTHAGORE RECONNAÎTRE UN TRIANGLE RECTANGLE ÉQUATIONS MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES QUELQUES PROPRIÉTÉS DES ÉGALITÉS ÉQUATIONS RÉSOUDRE UNE ÉQUATION À UNE INCONNUE RÉSOUDRE UN PROBLÈME À L AIDE D UNE ÉQUATION OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS DIVISION DE NOMBRES RELATIFS ENCHAÎNEMENTS D OPÉRATIONS ORDRE ET OPÉRATIONS INÉGALITÉS, ENCADREMENTS Page 2 sur 36

3 TRONCATURE ET ARRONDIS D UN NOMBRE POSITIF COMPARAISON ET SIGNE D UNE DIFFÉRENCE ORDRE ET OPÉRATIONS PROPORTIONNALITÉ REPRÉSENTATION GRAPHIQUE QUATRIÈME PROPORTIONNELLE ÉGALITÉ DES PRODUITS EN CROIX POURCENTAGES VITESSE MOYENNE PUISSANCES PUISSANCES D UN NOMBRE RELATIF PUISSANCES DE ÉCRITURE SCIENTIFIQUE D UN NOMBRE DÉCIMAL OPÉRATIONS AVEC DES PUISSANCES PYRAMIDES CÔNES DE RÉVOLUTION PYRAMIDE CÔNE DE RÉVOLUTION VOLUME D UNE PYRAMIDE ET D UN CÔNE DE RÉVOLUTION NOMBRES RELATIFS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE QUOTIENTS ÉGAUX ADDITION ET SOUSTRACTION MULTIPLICATION INVERSES - DIVISION STATISTIQUES VOCABULAIRE (RAPPELS) MOYENNE D UNE SÉRIE STATISTIQUE MOYENNE PONDÉRÉE D UNE SÉRIE STATISTIQUE THÉORÈME DE THALÈS DANS LE TRIANGLE THÉORÈME DE THALÈS DANS UN TRIANGLE AGRANDISSEMENT ET RÉDUCTION Page 3 sur 36

4 TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT CERCLE CIRCONSCRIT À UN TRIANGLE RECTANGLE PROPRIÉTÉS RÉCIPROQUES AUX PRÉCÉDENTES TRIANGLES, PARALLÈLES ET MILIEUX TRIANGLE ET MILIEUX DE DEUX CÔTÉS TRIANGLE ET DROITE PARALLÈLE À UN DES CÔTÉS Page 4 sur 36

5 CALCUL LITTÉRAL Rappels : Dans une expression littérale, un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres. Exemple : 2 x a + 3 est une expression littérale. On peut calculer la valeur d une expression littérale en remplaçant les lettres par des valeurs numériques. Pour a = 5, on obtient ici : 2 x a + 3 = 2 x ( 5) + 3 = = 7 3 x x²+ 5 x (m + 6) est une expression littérale. Pour x = 5 et m = 7, calculons la valeur de l expression : 3 x x² + 5 x (m + 6) = 3 x 5² + 5 x ( 7 + 6) = 3 x x ( 1) = 75 + ( 5) = 70 DÉVELOPPER UNE EXPRESSION LITTÉRALE Développer, c est transformer un produit en somme algébrique. Page 5 sur 36

6 Exemple : Développons : FACTORISER UNE EXPRESSION LITTÉRALE Factoriser, c est transformer une somme algébrique en produit. SUPPRESSION DE PARENTHÈSES DEVANT DES SOMMES ALGÉBRIQUES a, b, c, d désignant quatre nombres relatifs ajouter une somme algébrique revient à ajouter chacun de ses termes a + ( c + d b) = a c + d b a + (c d + b) = a + c d + b Exemple : 5x + (3 x 2) = 5x + 3 x 2 Soustraire une somme algébrique revient à ajouter l opposé de chacun de ses termes a ( c + d b) = a + c d + b a (c d + b) = a c + d b Page 6 sur 36

7 RÉDUCTION D UNE EXPRESSION LITTÉRALE Réduire une expression revient à l écrire avec le moins de termes possibles. Attention, je ne peux rien réduire dans l écriture d une expression comme : 7x² + 3 x + 5. Les termes ne sont pas de même nature! DÉVELOPPER ET RÉDUIRE DES EXPRESSIONS DU TYPE (A + B)(C + D) a,b,c,d désignent quatre nombres relatifs COSINUS D UN ANGLE COSINUS D UN ANGLE AIGU D UN TRIANGLE RECTANGLE ABC est un triangle rectangle en A. Page 7 sur 36

8 Le cosinus de l angle est le quotient de la longueur du côté adjacent à l angle par la longueur de l hypoténuse. A retenir : Le cosinus d un angle est strictement inférieur à 1 (l hypoténuse est le plus grand des côtés)! 0 < cos < 1 EXEMPLE D UTILISATION a) Soit un triangle MNP rectangle en M avec = 40 et NP = 7cm. Calculer MN Dans le triangle rectangle MNP, on a : cos = donc cos 40 = donc MN = cos 40 x 7 5,3 cm Page 8 sur 36

9 DISTANCES TANGENTES BISSECTRICES DISTANCE D UN POINT À UNE DROITE On considère une droite d et un point A. La distance du point A à la droite d est la plus courte des distances entre A et un point de la droite. Elle se mesure sur la perpendiculaire à (d) passant par A. Ici, elle est égale à AH. TANGENTE À UN CERCLE On considère un cercle (C ) et un point A de ce cercle. La tangente au cercle (C ) en A est la droite ayant un seul point commun avec le cercle : le point A. Page 9 sur 36

10 Propriétés : On considère un cercle (C ) de centre O et un point A de ce cercle. La tangente au cercle en A est perpendiculaire au rayon [OA]. BISSECTRICE D UN ANGLE ET DISTANCE La bissectrice d un angle est la demi-droite partageant cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Page 10 sur 36

11 Si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est équidistant (à la même distance) des côtés de l angle. ÉGALITÉ (THÉORÈME) DE PYTHAGORE ÉGALITÉ DE PYTHAGORE Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Page 11 sur 36

12 RECONNAÎTRE UN TRIANGLE RECTANGLE Pour déterminer si un triangle est rectangle : - on calcule le carré de la longueur du plus grand côté - on calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés Si les 2 nombres sont égaux, l égalité de Pythagore est vraie, donc le triangle est rectangle. Si l égalité de Pythagore n est pas vérifiée, le triangle n est pas rectangle. ÉQUATIONS MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES L énoncé d un problème : Le réservoir d essence de ma voiture a une capacité totale de 60 litres. Il manque 32 litres d essence pour qu il soit plein. Quelle quantité d essence se trouve dans le réservoir? Quantité d essence inconnue + 32 = 60 x + 32 = 60 Appelons x le prix d une aubergine On peut traduire cette situation par l équation. 2x + 1,15 = x + 2,25 Page 12 sur 36

13 Le problème a été mis sous forme d équation x est appelé l inconnue de l équation. Nous allons par la suite apprendre une méthode pour trouver la valeur cherchée. QUELQUES PROPRIÉTÉS DES ÉGALITÉS Une égalité reste vraie si on ajoute (ou on soustrait) le même nombre à ses deux membres. a, b, c désignent trois nombres relatifs, on a : Si a = b alors a + c = b + c Si a = b alors a c = b c Soit x un nombre relatif : Si x = 7 alors x + 4 = donc x + 4 = 11 Si x = 9 alors x 2 = 9 2 donc x 2 = 11 Si x 9 = 4 alors x = donc x = 13 Une égalité reste vraie si on multiplie chaque membre de l égalité par un même nombre. a, b, c désignent trois nombres relatifs, on a : Si a = b alors a x c = b x c Une égalité reste vraie si on divise chaque membre de l égalité par un même nombre non nul. a, b, c désignent trois nombres relatifs avec c 0, on a : Page 13 sur 36

14 Si a = b et c 0 alors = ÉQUATIONS Une équation est une égalité comprenant un ou plusieurs nombres inconnus (écrits en général sous forme de lettre(s). Exemple : x + 9 = 5 x 7 Résoudre une équation d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs possibles de x telles que l égalité soit vraie. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION À UNE INCONNUE Résolvons l équation d inconnue x suivante : 3x + 9 = 7 x 2 «Pour rassembler les " x ", je retranche 7 x à chaque membre» 3x + 9 7x = 7 x 2 7x «Je réduis l ex p ression en effectuant les calculs avec les termes en " x "» 9 4 x = 2 «Je rassemble les termes " sans x " en a joutant 9 à chaq ue membre» 9 4 x 9 = 2 9 «Je réduis l expression en effectuant les calculs avec les les termes " sans x "» 4x = 11 Page 14 sur 36

15 «Je divise chaque membre par 4 pour qu il ne reste plus que x dans le premier membre!» RÉSOUDRE UN PROBLÈME À L AIDE D UNE ÉQUATION Énoncé : Jacques et Lucien ont une collection de petites voitures. Jacques en a 12 de moins que Lucien. Lucien en a trois fois plus que Jacques. Combien de voitures possède Jacques? Notons x le nombre de voitures de Jacques x + 12 = 3x x + 12 x = 3 x x 12 = 2x X = OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS Simplification d écriture : Un nombre positif s écrira sans le signe + et sans les parenthèses. Exemple : (+ 5,6) = 5,6 (+ 4 ) + ( 5) = 4 + ( 5) ( 3,2) x (+ 5 ) = ( 3,2) x 5 Notation : On note a l opposé du nombre relatif a Page 15 sur 36

16 Ex : Si a = 3 alors a = 3 Si a = 4,2 alors a = 4,2 MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. Sa distance à zéro est égale au produit des distances à zéro. Ex : 4,5 x ( 4) = 18 ( 7) x 8 = 56 Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif. Sa distance à zéro est égale au produit des distances à zéro. Exemple : ( 6) x ( 4) = 24 7,1 x 4 = 28,4 Dans un produit de plusieurs facteurs, Si un des facteurs est nul, alors ce produit est nul. Exemple : ( 133) x ( 4) x 0 x 7 x ( 5) = 0 Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors ce produit est positif. Exemple : ( 2) x ( 5) x ( 3) x 1,2 x ( 6) = 216 Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors ce produit est négatif. Exemple : ( 3) x ( 4) x 2 x ( 3) = 72 Page 16 sur 36

17 DIVISION DE NOMBRES RELATIFS a et b désignent deux nombres relatifs avec b 0 Le quotient de a par b, noté a : b ou est le nombre relatif qui, multiplié par b donne a. Exemple : ( 42) : 6 est le nombre à multiplier par 6 pour obtenir ( 42) donc : = 7 ENCHAÎNEMENTS D OPÉR ATIONS gauche à droite. Rappel : Dans une suite d opérations, On effectue d abord les calculs entre parenthèses On effectue ensuite les calculs en tenant compte des priorités (la multiplication et la division sont prioritaires) Quand des opérations ont le même niveau de priorité, on effectue les calculs de ORDRE ET OPÉRATIONS INÉGALITÉS, ENCADREMENTS Une inégalité compare deux nombres à l aide des symboles ( >, <,, ) Symbole a < b a > b a b a b Signification a est strictement a est strictement a est supérieur a est inférieur inférieur à b supérieur à b ou égal à b ou égal à b Soit x, un nombre relatif : Page 17 sur 36

18 x est strictement positif peut s écrire x > 0 x est strictement négatif peut s écrire x < 0 x est positif peut s écrire x 0 x est négatif peut s écrire x 0 a, b, x désignent trois nombres relatifs. a < x < b signifie «x est compris entre a et b» on dit que x est encadré entre a et b a x b signifie «x est compris entre a et b» a x < b signifie «x est compris entre a et b» a < x b signifie «x est compris entre a et b» b a est l amplitude de l encadrement de x TRONCATURE ET ARRONDIS D UN NOMBRE POSITIF Faire la troncature d un nombre décimal à un rang donné, c est couper le nombre à ce rang et garder tous les chiffres jusqu au rang. Arrondir un nombre décimal c est donner sa valeur la plus proche de la précision désirée. COMPARAISON ET SIGNE D UNE DIFFÉRENCE a et b désignent deux nombres relatifs Si a > b alors a b > 0 Si a < b alors a b < 0 Si a b > 0 alors a > b Si a b < 0 alors a < b Page 18 sur 36

19 ORDRE ET OPÉRATIONS ordre et addition - ordre et soustraction : Soient a, b, c trois nombres relatifs si c > 0 Si a > b alors a + c > b + c si c < 0 Si a > b alors a c > b c PROPORTIONNALITÉ REPRÉSENTATION GRAPHIQUE Si une situation est proportionnelle alors les points de sa représentation graphique sont alignés avec l origine du repère. Si les points de sa représentation graphique sont alignés avec l origine du repère alors la situation est proportionnelle. Page 19 sur 36

20 Seul, le graphique 1 correspond à une situation proportionnelle. Les points sont alignés avec l origine du repère. Dans le graphique 2, les points ne sont pas alignés avec l origine du repère. La situation n est pas proportionnelle. Dans le graphique 3, les points sont pas alignés. La situation n est pas proportionnelle. QUATRIÈME PROPORTIONNELLE ÉGALITÉ DES PRODUITS EN CROIX Si on prend deux colonnes quelconques d un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Si un tableau est un tableau de proportionnalité alors les produits en croix sont égaux a, b, c, d désignent quatre nombres relatifs. Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité. Page 20 sur 36

21 POURCENTAGES Calculer un pourcentage revient à un calcul de proportionnalité. Exemple : Parmi les 24 élèves d une classe, 9 sont demi-pensionnaires. Calculer le pourcentage d élèves demi-pensionnaires dans la classe. Soit x le pourcentage d élèves Il y a 37,5% d élèves demi-pensionnaires dans la classe. VITESSE MOYENNE La vitesse moyenne d un objet en mouvement est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours. Si un mobile parcourt une distance d pendant un temps t à une vitesse moyenne v, on a on donc aussi : Page 21 sur 36

22 PUISSANCES PUISSANCES D UN NOMBRE RELATIF Exposant entier positif : Soit a un nombre relatif et n un entier supérieur ou égal à 2. est le produit de n facteurs égaux à a PUISSANCES DE 10 Pour tout entier positif n non nul, on a : = n désigne un nombre positif On multiplie un nombre décimal par On multiplie un nombre décimal par en déplaçant la virgule de n rangs vers la droite. en déplaçant la virgule de n rangs vers la gauche. ÉCRITURE SCIENTIFIQUE D UN NOMBRE DÉCIMAL la notation scientifique d un nombre décimal est son écriture sous la forme a x où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule. Page 22 sur 36

23 OPÉRATIONS AVEC DES PUISSANCES Quels que soient n et p deux entiers relatifs, on a : PYRAMIDES CÔNES DE RÉVOLUTION PYRAMIDE Une pyramide est un solide dont : - une face est un polygone : la base - les autres faces sont des triangles : les faces latérales - les faces latérales ont un point commun : le sommet de la pyramide Une pyramide régulière est une pyramide dont toutes les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Page 23 sur 36

24 Pyramide régulière à base triangulaire Pyramide régulière à base carée Page 24 sur 36

25 Pyramide régulière à base octogonale CÔNE DE RÉVOLUTION Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d un de ses côtés droits. Un cône de révolution est composé : d un disque : la base du cône d une surface courbe appelée face latérale d un point appelé sommet du cône Page 25 sur 36

26 Patron de cône VOLUME D UNE PYRAMIDE ET D UN CÔNE DE RÉVOLUTION Le volume d une pyramide ou d un cône de révolution est égal au tiers du produit de l aire de la base du solide par la hauteur du solide. NOMBRES RELATIFS EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE QUOTIENTS ÉGAUX Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. a,b,c,d désignent quatre nombres relatifs avec b 0 et c 0, on a : Page 26 sur 36

27 ADDITION ET SOUSTRACTION Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs écrits en écriture fractionnaire, a) si les dénominateurs sont égaux : on additionne (ou on soustrait) les numérateurs on garde le dénominateur commun b) si les dénominateurs sont différents : On doit d abord réduire les deux nombres relatifs en écriture fractionnaire au même dénominateur MULTIPLICATION Pour multiplier deux nombres relatifs écrits en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. a,b,c,d désignent quatre nombres relatifs avec b 0 et d 0, on a : INVERSES - DIVISION Deux nombres sont inverses lorsque leur produit est égal à 1. Exemple : 2 et 0,5 sont deux nombres inverses car 2 x 0,5 = 1 Page 27 sur 36

28 a et b deux nombres relatifs avec b 0. L inverse de Diviser par un nombre relatif non nul, c est multiplier par son inverse. STATISTIQUES VOCABULAIRE (RAPPELS) On a mesuré la taille des 12 minimes qui font du football dans un club. Voici les résultats (en cm) Ces données ( les 12 mesures) forment une série statistique. L ensemble des footballeurs constitue la population étudiée. Le caractère étudié est la taille en cm. Les valeurs du caractère sont les tailles différentes obtenues : 137, 138, 139, 142, 145 Les valeurs extrêmes sont la plus petite et la plus grande des tailles obtenues : 137 et 145 L effectif total de la série est le nombre total de tailles mesurées : 12 L effectif d un caractère particulier est le nombre de minimes ayant ce caractère. Par exemple, l effectif de la valeur 138 est 4 Page 28 sur 36

29 La fréquence d une valeur est le quotient de l effectif de cette valeur par l effectif total. La fréquence de la taille 137 est MOYENNE D UNE SÉRIE STATISTIQUE La moyenne d une série statistique est égale au quotient de la somme de toutes les données par l effectif total. MOYENNE PONDÉRÉE D UNE SÉRIE STATISTIQUE Pour calculer la moyenne pondérée d une série statistique : On additionne les produits de chaque valeur par son effectif. On fait le quotient de cette somme par l effectif total. THÉORÈME DE THALÈS DANS LE TRIANGLE THÉORÈME DE THALÈS DANS UN TRIANGLE Si dans un triangle une droite est parallèle à l un des côtés du triangle alors les deux triangles formés ont des côtés correspondants proportionnels. Page 29 sur 36

30 Dans le triangle ADE, (MN) // (BC) Donc AB, AC, BC sont respectivement proportionnels à AM, AN, MN AGRANDISSEMENT ET RÉDUCTION Si une figure est un agrandissement ou une réduction d une autre figure alors les longueurs correspondantes sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité entre ces longueurs est appelé coefficient d agrandissement ou coefficient de réduction de la figure. Propriétés : Un coefficient d agrandissement est supérieur à 1 Un coefficient de réduction est inférieur à 1 Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles sont conservées Les longueurs de ABCD sont proportionnelles à A B C D. Page 30 sur 36

31 A B C D est une réduction de ABCD. Le coefficient de réduction est Vocabulaire : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT Quand trois sommets d un triangle sont sur un même cercle, on dit que le triangle est inscrit dans le cercle. On dit également que le cercle est circonscrit au triangle. CERCLE CIRCONSCRIT À UN TRIANGLE RECTANGLE Propriété 1: Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse Données : le triangle ABC est rectangle en A Conclusion : le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC]. ou Page 31 sur 36

32 Le milieu de l hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit. Propriété 2 : Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l angle droit est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. Données : le triangle ABC est rectangle en A I est le milieu de [BC] PROPRIÉTÉS RÉCIPROQUES AUX PRÉCÉDENTES Propriété réciproque de la propriété 1: Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté. Données : le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] Page 32 sur 36

33 Conclusion : Le triangle ABC est rectangle en A ou Si le milieu d un côté d un triangle est le centre du cercle circonscrit alors le triangle est rectangle. Propriété réciproque de la propriété 2 : Si la médiane relative à un côté d un triangle est égale à la moitié de la valeur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté. Données : I est le milieu de [BC] et AI = Conclusion : Le triangle ABC est rectangle en A ou Si le milieu d un côté d un triangle est équidistant de ses trois sommets, alors le triangle est rectangle. Page 33 sur 36

34 TRIANGLES, PARALLÈLES ET MILIEUX TRIANGLE ET MILIEUX DE DEUX CÔTÉS Propriétés : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté du triangle. Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté TRIANGLE ET DROITE PARALLÈLE À UN DES CÔTÉS Si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un côté du triangle alors elle coupe le troisième côté en son milieu. (BC) // (d) Page 34 sur 36

35 Dans le triangle ABC I est le milieu de [AB] et (d) // (AC) Donc J est le milieu de [BC] Auteurs : M. Philippe MERCIER (LOGEDU), M. Yann BOROT Page 35 sur 36

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