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1 1 Si vous êtes débutant dans l usage d un cours en ligne, cliquez ici. Pour voir la présentation de l unité et les conseils de travail, cliquez ici. Pour aller à la table des matières, cliquez ici. Pour voir la liste des modifications de ce cours en ligne par rapport au cours «papier» que vous avez reçu, cliquez ici. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

2 2 D A E U B Année de remise à niveau Avertissement! Il y a dans ce cours de nombreux liens hypertexte : Si vous cliquez sur un élément en bleu, vous vous retrouverez à un autre endroit où vous devriez trouver des explications. Si vous utilisez Acrobat Reader, vous pouvez toujours revenir à l endroit dont vous êtes parti en cliquant sur le bouton représentant une petite flèche tournée vers la gauche qui est normalement présent juste au-dessus de ce texte (il est parfois nécessaire de cliquer deux fois). La petite flèche a cet aspect : Si vous ne voyez pas cette petite flèche, vous devez l ajouter à votre barre d outils (sous la ligne où il y a les onglets «Fichier», «Édition»,...) en faisant un clic droit sur cette barre, et en sélectionnant «Navigation de pages». Éventuellement, si ça ne suffit pas, refaites un clic droit sur cette barre d outils, et sélectionnez «Ajouter des outils...», puis cherchez cette petite flèche dans les outils proposés et cochez la case devant. Si vous ne voyez pas la barre d outils, essayez d appuyer sur la touche F8 (qui fait apparaître et disparaître cette barre d outils). Vous pouvez aller maintenant à la table des matières ou utiliser les «Signets» sur la gauche de l écran. Si vous préférez voir la présentation de l unité et les conseils de travail, cliquez ici. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

3 3 Erreurs corrigées et autres modifications Vous trouverez à cette page la liste des modifications faites au cours en ligne par rapport au cours «papier». En cliquant dessus, vous vous y retrouverez directement. Les corrections apparaissent sur fond jaune dans cette version «en ligne», mais pas dans la version imprimable. Il peut y avoir de petites coquilles anodines mais aussi des précisions, des grosses fautes corrigées... Correction d une coquille (2 au lieu de 3) dans l exemple 5 juste après la règle R2, p.2. Correction d une coquille (un au lieu de une) dans l exemple 12, p.6. Correction d une coquille (dénominateur au lieu de numérateur) dans le premier des exemples 14, p.8. Correction d une coquille ( 3 au lieu de 3 ) dans le troisième des exemples 14, p Correction d une coquille ( au lieu de ) dans l exemple qui suit l énoncé de la règle R10, p ,9 au lieu de ) dans le cinquième des exemples 15, p Correction d une erreur d énoncé ( 9,7 14 Correction d une erreur d énoncé ( au lieu de +) dans le 12 de l exercice I.6, p.11. Correction de l oubli d un signe dans le corrigé du 3 n) de l exercice I.1, p.26. Rectification de l erreur d énoncé pour le corrigé de l exercice I.6, p.28. Correction d une coquille (10 au lieu de 5) pour le corrigé de l exercice I.7, p.29. Rectification d une erreur de calcul (21 au lieu de 23) lors du 4 de l exercice I.17, p.32. Rectification d une erreur de calcul (oubli d un 8, puis conséquences) lors du 2 de l exercice I.18, p.33. Rectification d une erreur de calcul (5x + 3 au lieu de x + 3) lors du 2 de l exercice I.22, p.34. Rectification d une grave faute de calcul (2x + 1 au lieu de x + 6, puis conséquences) lors du 1 de l exercice I.24, p.35. Rectification d une erreur de calcul ( au lieu de +) lors du 10 de l exercice I.24, p.36. Retour à la table des matières Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

4 4 D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

5 i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours de cette année, vous allez essayer d atteindre, en mathématiques le niveau de fin de première pour un élève de section scientifique. Ce cours est là pour vous aider dans cet objectif. 1. Programme Le travail demandé couvre toute l année universitaire, et n est sanctionné par aucun examen. Vous aurez juste à rendre, si vous le pouvez, les devoirs demandés. Selon votre niveau, il serait bien de réussir à travailler les mathématiques comme un élève de première S, c est-à-dire environ 10 heures par semaine, tout compris. Si vous le pouvez, faites l effort de venir en tutorat, c est vraiment très efficace. Voici les différents chapitres que nous étudierons : Calculs numériques et algébriques. Équations du premier degré. Systèmes d équations. Équations du second degré. Inéquations. Généralités sur les fonctions. Dérivation. Étude de fonctions élémentaires. Repérage dans le plan, droites, vecteurs, produit scalaire. Introduction aux statistiques et aux probabilités. Ce cours est en construction. Vous allez recevoir une version provisoire des chapitres 2 à 8, qui seront remplacés au fur et à mesure, en ligne, par la dernière version retapée et améliorée. Mais cette version provisoire est d excellente qualité, et vous permet néanmoins tout à fait de vous avancer et de travailler. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

6 ii D A E U B Année de remise à niveau 2. Suggestion de méthode pour étudier le cours Surtout, surtout, ne vous contentez pas de lire le cours. Les mathématiques ne se comprennent qu en faisant des exercices. Donc lisez les exemples du cours et faites les exercices! Ne regardez pas les solutions des exercices avant d avoir essayé de les résoudre. Une utilisation intelligente des exercices corrigés consiste à vérifier dans les corrigés si ce qu on a trouvé est correct. Si votre réponse n était pas bonne, essayez de comprendre où est votre erreur, puis repérez cet exercice et essayez d y revenir quelques jours après : l idéal est que la deuxième fois vous y arriviez! Si vous n arrivez pas à comprendre votre erreur, ou si vous avez des questions, n hésitez pas à m interroger lors du prochain devoir, ou à tout moment en m envoyant un courrier électronique, par exemple. 3. Devoirs Il y a un devoir à rédiger à la fin de chaque chapitre. Si vous venez en tutorat, donnez-moi votre devoir lors des séances, sinon envoyez-le au CTU qui me le fera parvenir. N hésitez pas à m envoyer des devoirs incomplets, imparfaits, ou en retard. Ils seront toujours lus, annotés, corrigés, et notés, (mais cette note éventuelle n a pas vraiment d importance). 4. MOODLE. Hélas, il est impossible d utiliser Moodle en DAEU-B. Rendez-vous sur ma page personnelle pour y trouver mon cours. L intérêt d un cours en ligne est d une part de pouvoir consulter une version interactive de mon cours (nombreux liens hypertexte envoyant aux explications, aux références...) et de mes exercices, mais aussi cela vous permet d avoir à votre disposition la dernière version de mon cours, dans lequel j intègre au fur et à mesure les corrections des erreurs que je découvre ou qu on me signale, des indications supplémentaires, des réponses aux questions qu on m a posées... et bien sûr les corrigés des devoirs. 5. Conseils N hésitez pas à me contacter surtout si vous ne pouvez pas venir en tutorat en particulier par courrier électronique pour toute question sur le cours, les devoirs ou les exercices. J apprécie beaucoup quand on me signale les nombreuses erreurs, coquilles et autres fautes d orthographe que certainement ce cours comporte encore, malgré de nombreuses relectures. Adressez vos copies, vos questions ou vos remarques sur le cours au CTU qui me les transmettra ou par courrier électronique : [email protected] Dialoguer à travers les devoirs ou par courrier ou par courrier électronique ou par forum vous aidera à vous sentir moins isolés et vous évitera peut-être de perdre pied... Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

7 iii Bon courage! Bruno AEBISCHER Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

8 iv D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

9 v Table des matières I Calculs numériques et algébriques 1 I.1 Expressions ne comportant que des additions et soustraction ou que des multiplications et divisions I.1.1 Calculs sans parenthèses I.1.2 Calculs avec parenthèses I.2 Expressions avec additions (ou soustractions) et multiplications ou avec additions (ou soustractions) et divisions I.3 Fractions, rapports, quotients I.3.1 Présentation I.3.2 Égalité de fractions I.3.3 Additions et soustractions de fractions I.3.4 Multiplications de fractions I.3.5 Inverser des fractions I.3.6 Divisions de fractions I.4 Calculs sur des puissances I.4.1 Puissances à exposants positifs I.4.2 Puissances d exposants négatifs I.4.3 Règles de calcul I.4.4 Quotients de deux puissances d un même nombre I.4.5 Puissance d un produit ou d un quotient I.4.6 Puissance d une puissance I.5 Polynômes I.5.1 Monômes, polynômes, principes de base I.5.2 Factorisation de polynômes I.6 Corrigé des exercices du premier chapitre II Équations du premier degré 39 II.1 Introduction II.1.1 Définition II.1.2 Vocabulaire II.2 Règles de transformation des équations II.2.1 Illustration sur un exemple II.2.2 Règle d addition-soustraction II.2.3 Règle de multiplication-division II.3 Équations du premier degré à une inconnue II.3.1 Définition Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

10 vi D A E U B Année de remise à niveau II.3.2 Récapitulation II.4 Équations se ramenant à des équations du premier degré II.4.1 Équations produit sans second membre II.4.2 Équations avec des fractions où l inconnue est au dénominateur II.5 Problèmes conduisant à la résolution d équations du premier degré II.6 Corrigé des exercices du deuxième chapitre III Résolution de systèmes 61 III.1 Équation du premier degré à deux inconnues III.2 Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues III.2.1 Introduction III.2.2 Présentation d un système III.3 Quelques méthodes de résolution III.3.1 Méthode de substitution III.3.2 Méthode de combinaison linéaire III.3.3 Choix de la méthode III.4 Rudiments de théorie générale III.5 Exemples de résolutions de systèmes de 3 équations à 3 inconnues III.5.1 Méthode de substitution III.5.2 Méthode de combinaison linéaire III.6 Problèmes conduisant à la résolution de systèmes III.6.1 Premier exemple de problème III.6.2 Deuxième exemple de problème III.7 Corrigé des exercices du troisième chapitre IV Équations du second degré 83 IV.1 Introduction IV.1.1 Présentation IV.1.2 Étude de quelques exemples IV.2 Méthode de résolution générale IV.2.1 Cas particuliers IV.2.2 Cas général IV.2.3 Forme canonique IV.2.4 Discriminant IV.2.5 Discussion selon le signe du discriminant IV.2.6 Récapitulation IV.3 Mise en pratique IV.3.1 Quelques exemples IV.3.2 Factorisation du trinôme IV.3.3 Somme et produit des racines IV.4 Résolution de problèmes conduisant à la résolution d équations du second degré.. 93 IV.5 Corrigé des exercices du quatrième chapitre V Inéquations 103 V.1 Généralités sur les inégalités V.1.1 Égalités, inégalités V.1.2 Inégalités larges Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

11 1 V.1.3 Comparaison de deux nombres V.2 Inéquations V.2.1 Définition, vocabulaire V.2.2 Intervalles V.2.3 Règles de transformation des inéquations V.2.4 Résolution des inéquations du premier degré à une inconnue VI Généralités sur les fonctions. Dérivation 109 VIIÉtude de fonctions élémentaires : polynômes 111 VIIIÉtude de fonctions élémentaires : fractions rationnelles 113 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

12 2 D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

13 Chapitre I Calculs numériques et algébriques Nous rappellerons dans ce chapitre les principales règles, conventions d écritures et de priorités utilisées dans les calculs usuels. I.1 Expressions ne comportant que des additions et soustraction ou que des multiplications et divisions I.1.1 Calculs sans parenthèses R1 Si, dans un calcul, il faut uniquement additionner ou soustraire, les opérations s effectuent de la gauche vers la droite après avoir changé si besoin l ordre des termes pour faciliter le calcul. Exemple 1 : calculer 24, ,3 30. on peut calculer de gauche à droite : 24,1 7 = 17,1 puis 17,1 + 5,3 = 22,4 puis 22,4 30 = 7,6 (pour faire ce dernier calcul, on peut imaginer un crédit de 22,4 suivi par un débit de 30 : il en résulte un débit de 7,6). on peut changer l ordre avant de calculer : 24, ,3 30 = 24,1 + 5, = 29,4 37 = 7,6. Exemple 2 : réduire x + 7 a 9 + x a (dans une telle écriture, la lettre a désigne n importe quel nombre ; il en est de même pour x). En changeant l ordre, on obtient x + x + a a ; or x + x = 2x. 1 De plus +a a = a a = a + a = 0. L expression donnée est donc égale, finalement, à 2x + 9. R 1 On a une règle analogue lorsqu il faut seulement multiplier ou diviser. Exemple 3 : le calcul de (qu on écrit aussi ) s effectue ainsi : 12 4 = 48 puis 48 3 = On préfère 2x plutôt que 2 x ou que 2 x ou que x 2 ; dans le même genre, on préfère écrire xy plutôt que x y ou que x y ; ainsi plutôt que a 3 + b 4 c a, on préfère en général 3a + 4b ac ; par ailleurs, 1 x ou 1x est égal à x. 1

14 2 D A E U B Année de remise à niveau I.1.2 Calculs avec parenthèses Dans certaines expressions, les calculs sont placés entre parenthèses ; ce sont des «boites à calcul» ( pour lesquelles, par commodité typographique, on ne conserverait que ) les extrémités ; la première parenthèse s appelle parenthèse ouvrante, la seconde parenthèse est la parenthèse fermante associée. Une première méthode de calcul consiste, lorsque cela est possible, à calculer dans chaque «boite» : Exemple 4 : calculer 3 (7 4) + (9 11). Reconstituons les «boites»(en pratique ce n est bien sûr pas nécessaire) : Calculons maintenant à l intérieur de chaque boite : 7 4 = 3 et 9 11 = 2. Notons que ce dernier résultat 2 doit se mettre aussi entre parenthèses. On obtient ( 2) et finalement on peut conclure : 3 (7 4) + (9 11) = 2. Une seconde méthode consiste à supprimer les parenthèses en respectant les règles énoncées ci- dessous : R2 Lorsqu une parenthèse ouvrante se trouve derrière un signe + : 1 on rétablit, s il est absent, le signe + devant le terme venant immédiatement derrière cette parenthèse ; 2 on supprime la parenthèse ouvrante et le signe qui la précède, ainsi que la parenthèse fermante associée ; on recopie l intérieur des ex-parenthèses. Exemple 5 : soit A l expression 3 + (x 2). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe +. Appliquons cette règle R2 : A = 3 + (+x 2) on rétablit le signe + devant le premier terme à l intérieur des parenthèses. A = 3 + (+x 2) les éléments marqués seront supprimés On termine en recopiant l intérieur des parenthèses : A = 3 + x 2 = x c est-à-dire A = 1 + x. Exemple 6 : soit B = y + ( 2 + y). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe +. Appliquons cette règle R2 : Ici le terme qui suit la parenthèse ouvrante possède un signe explicite ( ) : il n y a donc pas à faire la première étape. B = y + ( 2 + y) les éléments marqués seront supprimés On termine en recopiant l intérieur des parenthèses : B = y 2 + y = y + y 2 c est-à-dire B = 2y 2. R3 Lorsqu une parenthèse ouvrante se trouve derrière un signe : 1) on rétablit, s il est absent, le signe + devant le terme venant immédiatement derrière cette parenthèse ; 2) on supprime la parenthèse ouvrante et le signe qui la précède, ainsi que la parenthèse fermante associée ; on recopie l intérieur des ex-parenthèses en Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

15 3 changeant tous les signes + en et les signes en +. Exemple 7 : soit C = 5 (2 3y). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe. Appliquons cette règle R3 : C = 5 (+2 3y) on rétablit le signe + devant le premier terme à C = 5 (+2 3y) l intérieur des parenthèses. les éléments marqués seront supprimés ; les signes à l intérieur de la parenthèses seront changés. On obtient : C = y (le signe + qui précédait 2 a été changé en, le signe qui était devant 3y est devenu +) et donc C = 3 + 3y. Exemple 8 : soit D = 7 ( 4 + 6a). Dans cette expression, la parenthèse ouvrante est précédée du signe. Appliquons cette règle R3 ; ici le terme qui suit la parenthèse ouvrante possède un signe explicite ( ) : il n y a donc pas à faire la première étape. D = 7 ( 4 + 6a) les éléments marqués seront supprimés ; les signes à l intérieur de la parenthèses seront changés. On obtient : D = a (le signe qui précédait 4 a été changé en +, le signe + qui était devant 6a est devenu ) et donc D = 11 6a. R4 Lorsqu une parenthèse se trouve au début d une expression et n est précédée d aucun signe, on la considère comme étant précédée du signe +. Exemple 9 : Soit à calculer E = ( 7 + x) (x + 4). On écrit E = +( 7 + x) (x + 4) et on peut maintenant appliquer les règles R2 et R3 : on obtient E = +( 7 + x) (+x + 4), donc E = 7 + x x 4 = x x = 11. On a donc E = 11. Si vous avez déjà l habitude de faire des suppressions de parenthèses, vous pouvez omettre des étapes intermédiaires ; l essentiel est d obtenir la bonne réponse, peu importe le nombre de lignes de calculs! Exercice I.1 1 Calculer de deux façons : (i) en calculant dans les parenthèses ; (ii) en supprimant les parenthèses : a) a = (14 7) ( ) ; b) b = ( ) + ( ) c) c = ( 7 11) + (24 12) ; d) d = ( ) + ( 17 23). 2 Supprimer les parenthèses et réduire : e) e = (a + b) (b 5) ; f) f = a 2 (b + 2) g) g = a (3 b) + 3 ; h) h = ( a + b) + ( c + d) i) i = 9 ( 3 + x) + (x y) + ( 3 + y) ; j) j = 19 (x 13 y) + (y 13) k) k = 29 (23 x y) (x 23) ; l) l = [ (3 x) (x + 2) ] [ (x + 2) + ( x 3) ] 3 Mettre une paire de parenthèses aux endroits indiqués de telle sorte que l expression T soit inchangée (il faudra donc procéder éventuellement à certains changements de signes) : m) T = a b + 4 c (mettre la première entre + et 4 et l autre après c) ; n) T = a b + 4 c (mettre la première entre et b et l autre après 4) ; Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

16 4 D A E U B Année de remise à niveau o) T = a b + 4 c (mettre la première entre et a et l autre après 4). R5 Les parenthèses peuvent être emboîtées ; les «super-parenthèses» extérieures sont souvent notées par des crochets. Dans ce cas, on peut soit supprimer d abord les parenthèses intérieures avec les règles ci-dessus, les crochets devenant alors de simples parenthèses, puis on supprime ces parenthèses, soit on commence par supprimer les crochets extérieurs, en gardant les parenthèses intérieures, et en changeant s il faut le signe, puis on supprime les parenthèses intérieures, toujours en appliquant correctement les règles. Exemple 10 : Supprimer les parenthèses et les crochets pour réduire e = 1 [ a (1 b + a) ]. Désignons par k l expression entre les crochets : k = a (1 b + a) ; supprimons les parenthèses dans k : k = a 1 + b a = a a 1 + b = 1 + b. On reporte alors cette expression de k simplifiée dans e : e = 1 ( 1 + b) (les crochets peuvent devenir de simples parenthèses). Supprimons les parenthèses pour terminer : e = b, soit finalement e = 2 b. L autre méthode se serait déroulée ainsi : e = 1 [ a (1 b + a) ] = 1 a + (1 b a) (en supprimant le crochet, précédé du signe, on change les signes intérieurs), e = 1 a + 1 b + a = a + a b = 2 b. On trouve le même résultat, en général plus rapidement, avec cette seconde méthode. Exercice I.2 Supprimer les parenthèses et les crochets, et réduire les expressions suivantes : 1 n = a [ (1 c) + 1 ] ; 2 w = [ (b 1) c ] 1 ; 3 v = [ (a c) (a b) ] [ (b c) (a + c) ]. I.2 Expressions avec additions (ou soustractions) et multiplications ou avec additions (ou soustractions) et divisions R6 Règle dite de priorité (première version) : En l absence de parenthèses, on effectue en priorité les multiplications et divisions puis ensuite les additions et soustractions. Exemple 11 : calculer On effectue d abord 5 7 = 35, puis en suite = 38. On a donc : = 38. C est la dernière opération à effectuer qui donne la «nature»de l expression : ainsi est une somme. Remarquons que l expression ne serait pas changée si on l écrivait 3+(5 7) mais les parenthèses sont superflues quand on connaît la règle de priorité R6. calculer , puis 3 (2 + 4) 8, puis ( ) 8. Nous faisons ici une rédaction courte : = = 38 ; cette expression est donc une somme. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

17 5 3 (2 + 4) 8 = = 18 8 = 144 ; cette expression est un produit. ( ) 8 = (6 + 4) 8 = 10 8 = 80 ; cette expression est aussi un produit. calculer puis (12 3 8) 2. On a = 4 4 = 0 (on effectue d abord les divisions) ; cette expression est donc une différence. (12 3 8) 2 = (4 8) 2 = ( 4) 2 = 2 ; cette expression est un quotient. Remarques (i) s écrit aussi classiquement De même, (12 3 8) 2 s écrit (ii) pour le calcul de ( 4) 2, rappelons que le quotient de deux nombres est un nombre dont la partie numérique est le rapport des parties numériques, et dont le signe est + si les deux nombres sont de même signe, et sinon (c est la même règle des signes que pour le signe d un produit). Exercice I.3 1 Calculer 3x 7 quand a) x = 5 (ceci signifie que l on attribue à x la valeur 5) puis b) quand x = 4 et enfin c) quand x = 0. 2 Calculer 5x 4y quand a) x = 4 et y = 3, puis b) quand x = 2 et y = 5. R7 Règle de distribution : Introduction A x E 2 B L aire du rectangle ABCD peut se calculer de plusieurs façons : AD AB = 3 (x + 2) ; ou en ajoutant les aires des rectangles AEF D 3 et EBCF : D F C AE AD + EB BC = 3 x On a donc : 3 (x + 2) = 3 x + 3 2, soit 3(x + 2) = 3x + 6. On dit que la multiplication par 3 est distribuée à chacun des termes de la somme x + 2 : 3(x + 2) = 3 (x + 2) = 3 x = 3x + 6. Lorsqu on procède ainsi, on dit qu on développe le produit 3(x + 2) : on transforme ce produit en une somme 3x + 6. Généralisation Pour n importe quelles expressions désignées par k, u et v, on a : k(u + v) = ku + kv et k(u v) = ku kv Une façon plus visuelle de se représenter cette règle est d utiliser des «boites» : ( + ) = + Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

18 6 D A E U B Année de remise à niveau Ces symboles (ovale, rond, carré) sont des boites vides ; dans chaque forme de boite, on met toujours la même expression (le signe de multiplication est à adapter selon les cas). Ainsi, si on veut développer le produit 7(a + 5), on pourra écrire : ( 7 a + 5 Ainsi on a 7(a + 5) = 7a ) = 7 a + 7 5! La présentation avec des boites n est à utiliser éventuellement qu au brouillon. Exemple 12 : Développer et réduire si possible E = 2(a + 3) 5(b 4). Cette expression est une différence, car, règle de priorité oblige, on calcule d abord les produits avant de faire la soustraction. Ainsi, on ne changerait pas la valeur de l expression si on mettait des crochets ainsi : [ 2(a + 3) ] [ 5(b 4) ]. Développons les produits : 2(a + 3) = 2 a = 2a + 6 ; 5(b 4) = 5 b 5 4 = 5b 20. Donc E = (2a + 6) (5b 20) = 2a + 6 5b + 20 et finalement E = 2a 5b Exercice I.4 Développer et réduire si possible : 1 A = 3(x + 5) 4(x 2) ; 2 B = (2x + 1) + 10(5 + 3x) ; 3 C = 3(3 a) 4(3 b) ; 4 D = (2a 3) 2( 5 + b). R8 Double distribution (cette règle est une application répétée de la règle 7). Introduction Soit à développer le produit (x + 2)(y + 3). Appliquons la méthode des boites : ( x + 2 y + 3 ) = x + 2 y + x Mais on a vu qu on a (x + 2)y = xy + 2y et aussi (x + 2)3 = 3x + 6, d où : (x + 2)(y + 3) = xy + 3x + 2y + 6 ; on observe qu on a multiplié chaque terme de x + 2 par chaque terme de y +3 et qu on a ajouté les résultats obtenus. On dit aussi, dans ce cas, qu on a développé le produit. Généralisation : On a les égalités (a + b)(u + v) = au + av + bu + bv (a + b)(u v) = au av + bu bv (a b)(u + v) = au + av bu bv (a b)(u v) = au av bu + bv Heureusement, il n est nullement besoin de mémoriser toutes ces formules : il suffit de connaître leur fonctionnement : On multiplie chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde somme ; si les deux termes sont précédés du même signe, leur produit est précédé du signe + ; sinon, leur produit est précédé du signe. Cette règle s applique aussi lorsque l une ou l autre des sommes concernées ont plus de deux termes. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

19 7 Exemple 13 : Développer P = (2a 5)(3b + 4). Commençons par écrire tous les produits possibles de termes de la première somme par des termes de la deuxième somme : 2a 3b, 5 3b, 2a 4 et 5 4. Installons devant chaque produit le signe qui convient : devant 2a 3b, il faut un signe +, car 2a et 3b sont précédés d un + (en fait ces + sont «invisibles» : ils sont implicites, mais on pourrait les rajouter et écrire P = (+2a 5)(+3b + 4) ;) devant 5 3b, il faut un signe car 5 est précédé de et 3b est précédé de + (c est la règle des signes : + = ) devant 2a 4, il faut un signe + car 2a et 4 sont tous les deux précédés de + ; devant 5 4, il faut un signe car 5 est précédé de et 4 est précédé de +. Par ailleurs, souvenons-nous que 2a 3b = 2 a 3 b = 2 3 a b = 6ab ; de même, on a 5 3b = 15b et 2a 4 = 8a, donc : P = 6ab 15b + 8a 20 ; il n est guère possible de réduire mieux que ça. Développer Q = ( x y + 2)(a b). Les produits sont ax, bx, ay, by, 2a et 2b ; installons les signes en respectant la règle des signes : Q = ax + bx ay + by + 2a 2b. Remarquons qu on a écrit ax au lieu de xa, etc. L usage est en effet d écrire les produits de lettres en respectant l ordre alphabétique, ceci permet de regrouper les produits analogues plus facilement. Bien sûr, avec l habitude, vous arriverez à écrire directement le résultat développé. Exercice I.5 Développer et réduire si possible : 1 A = (x 3)( 4y + 7) ; 3 K = (x + 2)(a 3) (x 2)(a + 3) (ax + 6) 2 B = (2t + 1)(5u 4) ; 4 L = 5 [ x + 3(y 2) ] 2 [ x + 5(y 3) ]. I.3 Fractions, rapports, quotients I.3.1 Exemples Présentation Nous avons déjà signalé dans la partie I.1.1 que le nombre 12 3 s écrit aussi 12 3 On écrira ainsi 12 = 4 ou 9 = 4,5. On dit que 12 est une écriture fractionnaire de 4 et que est une écriture fractionnaire de 4,5 ; 9 est une fraction, le nombre qui se trouve «au dessus» 2 de la barre (le «trait de fraction») est le numérateur, le nombre qui se trouve sous le trait de fraction est le dénominateur. Lorsqu on divise un entier par un autre entier, deux cas peuvent se présenter : La division «se termine» : c est par exemple le cas pour = 0,75 pour = 2,325 6 ou pour = 1,875 ( 15 s écrit aussi 15) Dans ces exemples, lorsqu on pose la division et qu on la prolonge éventuellement «après la virgule», à un certain moment le reste devient nul, et la division s arrête. On dit dans ce cas que la fraction que l on calcule représente un décimal. La division continue indéfiniment : examinons le cas de la fraction 22 ; la division de 22 par 7 7 s écrit : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

20 8 D A E U B Année de remise à niveau , En observant les restes successifs, on devine qu ils se répètent indéfiniment dans l ordre 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2... et on ne trouvera donc jamais de reste nul. Pour ce qui concerne le quotient, il y aura donc répétition à l infini de séquences On ne peut donc pas trouver de valeur décimale exacte pour 22, 7 seulement des valeurs approchées avec une précision aussi grande 30 que l on veut. On pourra par exemple écrire 22 3,14 ou aussi , Notons au passage que cette fraction 22 est une valeur approchée historique du célèbre nombre 7 π qui intervient dans les calculs de longueur d un cercle et de surface d un disque ; cependant il a été démontré que π n est pas un nombre qui peut se mettre sous la forme d une fraction (on a donc en particulier π 22). 7 Généralisation a et b étant deux nombres, si en plus on suppose que b est non nul (c est-à-dire que b est différent de zéro), alors on définit la fraction a comme étant le rapport de a à b, ou le quotient de a par b b. On lit cette fraction en général «a sur b» ; en général on considère surtout des fractions d entiers, mais ce n est pas obligatoire. a est le numérateur, b est le dénominateur de la fraction a b On peut trouver des valeurs approchées (ou parfois la valeur exacte) de a en faisant la division b de a par b. Résultats «évidents» Pour n importe quelle valeur de a, on a toujours : a 1 = a ; a a = 1 ; 0 a = 0. (ces deux dernières formules ne sont valables que si a est non nul). Attention! On ne doit jamais diviser par zéro. C est toujours une erreur d écrire une fraction dont le dénominateur est nul. I.3.2 Égalité de fractions R9 Soit F = a une fraction ; on obtient une fraction qui représente le même nombre b (ou, qui lui est égale, si on préfère) en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de F par le même nombre non nul. Cette règle permet d obtenir d autres écritures, si possible plus simples. pour un nombre écrit sous forme de fraction. Exemples 14 : Soit F = 1,8 ; en multipliant le numérateur et le dénominateur par 10, on obtient que 4,2 F = 1,8 4,2 = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

21 9 Maintenant on peut diviser par 6 le numérateur et le dénominateur de la fraction qu on vient d obtenir (qui est toujours égale à F ) ; on obtient F = 1,8 4,2 = = 3 7 Cette technique est à utiliser pour simplifier des fractions comme ce que l on vient de faire : = = = = Souvent, on se permet de barrer les termes que l on va supprimer à l étape suivante. Personnellement, je n aime pas beaucoup, mais si vous avez besoin de barrer, essayez de le faire proprement. Par exemple, on pourrait écrire, pour le calcul précédent : \ = \ = \ = \ = Cette dernière fraction, 14 ne peut plus être simplifiée, on dit qu elle est irréductible. 11 On peut aussi utiliser cette méthode pour obtenir des fractions de même dénominateur (on pourrait aussi obtenir des fractions de même numérateur, mais en pratique c est beaucoup moins intéressants. Considérons les fractions 4 et 3 ; on souhaiterait, par exemple pour savoir celle qui représente 7 5 le plus grand nombre sans faire la division, obtenir des fractions égales, mais ayant le même dénominateur. On écrit 4 7 = = et 3 5 = = On a ainsi réduit au même dénominateur les fractions 4 et 3. Puisque 4 = 20 < 21 = 3, on peut affirmer que 4 est plus petite que 3 (on pourrait, en faisant les divisions, confirmer ces résultats : 7 5 on trouve 4 0,571 < 0,6 = 3). 7 5 Cette technique de réduction au même dénominateur sera aussi utilisée au suivant pour additionner ou soustraire des fractions. I.3.3 Additions et soustractions de fractions R10 Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, il suffit d additionner ou soustraire les numérateurs, en gardant ce dénominateur commun pour le résultat. 3 Par exemple : = = D une façon générale, on a (pour a, b quelconques, et d un nombre non nul) : a d + b d = a + b d a d b d = a b d Notons bien qu on ne peut additionner ou soustraire que des fractions de même dénominateur. Et si deux fractions n ont pas le même dénominateur? Et bien dans ce cas, on commence par appliquer la règle R9 pour réduire ces fractions au même dénominateur, comme expliqué ci-dessus. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

22 10 D A E U B Année de remise à niveau Exemples 15 : Calculer Ces fractions ayant le même dénominateur, il suffit d additionner leurs numérateurs. On a donc = Calculer = 24 7 : ici aussi, il suffit de soustraire les numérateurs = = 7 ; notons que cette dernière fraction n est pas irréductible : on peut «simplifier par 7» ; mais nous allons voir ici le danger de «barrer». On risque un grosse erreur en écrivant 7 21 = 7\ 3 7\ = En effet, que mettre à la place du 7 barré au numérateur? Certainement pas «rien» : la fraction sans numérateur 3 n aurait aucun sens! 7 Il est donc plus sage d écrire : 21 = = 1 7\ 3 7\ = 1 3 Finalement, on a prouvé que = 1 3 (cette fois on pouvait barrer sans danger) Soit b un nombre non nul ; calculer 23 b + 18 ; ces fractions ont le même dénominateur, donc on a b tout simplement : 23 b + 18 b = b = 41 b Calculer a 5 + b 5 c (a, b, c sont des nombres quelconques). Comme ces trois fractions ont le même 5 dénominateur, on écrit simplement : a 5 + b 5 c 5 = a + b c 5 Écrire sous forme d une fraction d entiers la différence : 9,9 14 1,5 14 Ici encore, on remarque le dénominateur commun aux deux fractions qu il faut soustraire, donc on écrit simplement : 9,9 14 1,5 9,9 1,5 = = 8,4 ; le travail n est pas terminé, car il est demandé d écrire le résultat comme une fraction d entiers, et ici le numérateur n est pas un entier. Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par 10 pour obtenir ce que l on veut : 8,4 8,4 10 = = 84 ; cette fois, le résultat est bien une fraction d entier, et on a tout à fait le 140 droit de s arrêter là et de conclure : 9,7 14 1,5 14 = Les mathématiciens aiment bien en général présenter leurs résultats sous forme d une fraction irréductible, mais ce n est pas obligatoire. Nous allons quand même simplifier cette dernière fraction = = = = = = 3 5 Finalement, on a prouvé : 9,7 14 1,5 14 = 3 5 Calculer ; ici, les fractions n ont pas le même dénominateur. Nous allons commencer par les 5 réduire au même dénominateur, ensuite nous pourrons les additionner. Le dénominateur commun qu il est logique de choisir est 3 5 = 5 3 = 15. En fait ce n est pas le seul : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

23 11 voici le début de la liste des multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,... voici la liste des multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,... On s aperçoit que 15 est bien un multiple commun de 3 et de 5 (c est le plus petit multiple commun, qu on abrège en ppcm), mais 30 est aussi un multiple commun, ainsi que, plus loin, 45 et 60 (en fait il y a une infinité de multiples communs). On pourrait travailler avec n importe quel multiple commun de 3 et de 5, mais c est avec le ppcm que les calculs sont les plus faciles. On écrit = = = Si on avait utilisé (maladroitement) le multiple commun 30 comme dénominateur commun, il suffisait d écrire 30 = 3 10 = 5 6 et on obtenait : = = = ; ce résultat est juste, mais la fraction 38 reste à simplifier (par 2), pour retrouver alors le même 30 résultat. Calculer a 4 b 6 Cherchons un multiple commun de 4 et de 6, en écrivant les multiples de ces deux nombres : multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24,... multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30,... Choisissons le ppcm de 4 et de 6 : c est 12 = 4 3 = 6 2. On a donc a 4 b 6 = a b = 3a 12 2b 3a 2b = On ne peut guère pousser plus loin le calcul. Calculer Pour pouvoir appliquer la règle R10, il faut écrire 5 comme une fraction, ce qui est toujours possible puisque 5 = 1 5 on peut ensuite réduire au même dénominateur comme on l a fait plus haut. Donc = = = = = 4 7 = 4 7 Remarque : on a vu que a + b = a d d + b ; cela signifie que pour diviser une somme par un d nombre, il faut diviser tous les termes de la somme par ce nombre. Exercice I.6 Écrire sous forme d une fraction (si possible simplifiée au maximum) chacune des expressions suivantes : 1 a = e = b = f = c = g = 5 b + 5 2b 4 d = h = a 6 b 10 9 i = 2a 3 3x 4 10 j = 3 2b 2 3b 11 k = 2 x + 3 y 12 l = I.3.4 Multiplications de fractions R11 Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est égal au produit des numérateurs, et dont le dénominateur est égal au produit des Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

24 12 D A E U B Année de remise à niveau dénominateurs. En d autres termes, pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs. Donc si b et d sont des nombres non nuls, pour tous nombres a et c, on a : a b c d = a c b d = ac bd Notons que si des signes apparaissent dans un calcul de produits de fractions, on détermine d abord le signe du résultat en application de la règle des signes, et ensuite on s occupe des autres calculs. Exemples 16 : Calculer a = 4 ( 5 7 ). 3 Il y a un seul signe, donc le résultat sera négatif, et pour le reste, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs : a = = Calculer et réduire b = Pas de problème de signe, tout est positif. b = 8 3 ; il faut toujours essayer de voir si on peut simplifier avant d effectuer les multiplications 3 14 des numérateurs et dénominateurs : il serait particulièrement maladroit (mais pas faux), d écrire maintenant b = 24, car on aurait maintenant plus de mal à simplifier, alors qu on devrait écrire 42 directement : b = 8 3\ 3\ 14 = 8 14 = = 4 7 Calculer a b c Pour pouvoir appliquer la règle R15, il suffit de penser à écrire a sous la forme a = a ; 1 a b c = a 1 b c = a b 1 c = ab c Une remarque concernant ce dernier calcul : nous avons montré que a b = a b ; on montrerait c c de même que a c b = a b c En d autres termes, on peut retenir que pour diviser un produit par un nombre, il ne faut diviser qu un seul des facteurs du produit par ce nombre. On peut choisir n importe quel facteur, mais contrairement au cas d une somme, on ne doit surtout pas diviser tous les facteurs. Le non-respect de cette règle est la cause de nombreuses erreurs en calcul. Par exemple, si on rencontre la fraction 4x 2, on pourra écrire 4x 2 = 4 2 x = 2x. Pour illustrer la différence entre ce qu on doit faire lorsqu on divise une somme et lorsqu on divise un produit : 4x + 6y = 4x y (on divise tous les termes de la somme) 2 = 4 2 x + 6 y = 2x + 3y (on n a divisé qu un seul des deux facteurs de 4x et un seul 2 des deux facteurs de 6y). Calculer A = a x Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

25 13 On écrit a sous forme de fraction a = a, donc : 1 A = a 1 x + 5 = a x + 5 = 2a 2 2 x + 5 ; avant de continuer, une remarque très importante : 2 normalement, la division a priorité sur l addition ; mais dans x+5, c est la somme x + 5 qui est 2 divisée par 2, donc il faut procéder comme si cette somme était entourée de parenthèses (l oubli des parenthèses est une erreur fréquente dans ce genre de situation). A = 2a (x + 5) 2a (x + 5) = = 2a x Ceci est l expression de A sous forme d une fraction, mais dans certains cas, on préfère écrire une telle expression sous forme d une somme. Si c est le cas, on divise tous les termes par 2, de sorte qu on a : A = 2a 2 x = a x Exercice I.7 Calculer( et réduire au maximum les nombres suivants : 1 A = 2 1 ) ( ) ( 1 20 ; 2 B = 2 2 ) ( ) ,2. I.3.5 Inverser des fractions On dit que deux nombres sont inverses l un de l autre lorsque leur produit vaut 1. Comme on a a b b a = ab = 1, on peut en déduire le principe suivant : ba L inverse de la fraction a b est la fraction b a On retient donc que pour inverser une fraction, il suffit d échanger le numérateur et le dénominateur. Par exemple, l inverse de 2 est la fraction 3 ; l inverse de 7 est 5 ; l inverse du nombre non nul x est, puisqu on peut écrire x = x, le nombre 1 1 x Une conséquence spectaculaire de ce dernier résultat s obtient en l appliquant à une fraction x = a : on peut écrire l inverse b de cette fraction aussi sous la forme 1 b a x = 1 a b On a donc 1 a b = b a allons approfondir au suivant. I.3.6 C est le début des règles de calcul sur les «fractions à étages» que nous Divisions de fractions R12 Pour diviser un nombre x par un nombre non nul y, il suffit de multiplier x par 1 y En effet, on a x y = x 1 1 y = x 1 1 y = x 1 y On peut appliquer cette règle lorsque x et y sont des fractions : Pour diviser par une fraction, il suffit de multiplier par son inverse. En particulier, on a, lorsque b, c, d sont trois nombres non nuls : a b c d = a b d c Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

26 14 D A E U B Année de remise à niveau De même, si on veut calculer (bien sûr pour b, c non nuls) la fraction à étages : diviser a b par c, donc de multiplier par son inverse. On a donc : a b c, il s agit de De la même façon, voici le calcul de donc qu on multiplie par son inverse : a b c = a b 1 c = a 1 b c = a bc a c d, en considérant bien qu on divise a par la fraction c d, a c d = a d c = a 1 d c = a d 1 c = ad c Une dernière remarque : lorsqu on écrit à la main une fraction à étages, il faut être très attentif a à savoir se faire lire correctement : par exemple, une fraction écrite b c est incompréhensible! S agit-il de a b c ou de a b c ligne du texte, et surtout de l allonger : évitez? Il faut essayer de mettre le trait de fraction principal au milieu de la a b ou même a b c d en écriture manuscrite, allongez c, a b c bien le trait de fraction principal, car vous ne pourrez pas facilement «diminuer la police de caractères», comme avec un traitement de texte scientifique. Exercice I.8 Calculer et réduire au maximum les expression suivantes : 1 a = d = b = e = a 2 3 2a 5 3 c = f = I.4 Calculs sur des puissances I.4.1 Puissances à exposants positifs Introduction géométrique Considérons un carré dont la mesure de la longueur d un côté est le réel a ; l aire de ce carré est a a. On note ce produit de a par lui-même a 2 (on lit «a exposant 2»ou encore «a au carré»ou «a puissance 2»). On dit que a 2 est une puissance de a. Considérons maintenant un cube de côté a ; son volume est a a a. On note se produit de a par lui-même et encore une fois par lui-même a 3 (on lit «a exposant 3»ou encore «a au cube»ou «a puissance 3»). a 3 est aussi une puissance de a. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

27 15 Généralisation Ces notations avec un exposant sont pratiques pour désigner de façon concise un produit dont tous les facteurs sont égaux. Par exemple, se note 2 5 (5 est le nombre de facteurs de ce produit, c est le nombre de fois qu apparaît 2 dans cette multiplication répétée). De même, ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) se note ( 3) 4. Définition I.1 Soit a un nombre. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note a n (lire : «a puissance n» ou «a exposant n») et s appelle la puissance n-ième de a. Le nombre n, dans la notation a n, s appelle l exposant. On a donc : a n = a a a a } {{ } n facteurs (Les pointillés remplacent des facteurs a non écrits ; lorsque la valeur de n est connue et si cette valeur n est pas trop grande, on écrit tous les facteurs sans utiliser ces pointillés.) Exercice I.9 Donner la valeur des nombres suivants : 1 a = 3 2 ; 2 b = 2 3 ; 3 c = ( 5) 2 ; 4 d = ( 1) 4 ; 5 e = 1 50 ; 6 f = 4 2 ( 3) 2 ( 5) 3. R13 La règle de priorité R6, vue p.4 est à compléter de la façon suivante : En l absence de parenthèses, on effectue d abord les puissances, puis les multiplications et les divisions, et enfin les additions et les soustractions. Exemple 17 : Calculer A = En application de la règle ci-dessus, on calcule déjà 2 3 = = 8 et 4 2 = 4 4 = 16, ce qui donne A = , puis on calcule 5 16 : A = et enfin l addition : A = 88. Exercice I.10 Calculer : 1 A = ; 2 B = (4 5) 2 +(3 2) 4 ; 3 C = 4 (5 2 +3) 2 4 ; 4 D = ( ) 2 4. (On remarquera l importance de la place des parenthèses!) Puissances et fractions ( ) 3 5 Soit à calculer A = ; on peut écrire A = = = On retient la règle suivante : R14 Pour élever une fraction à une puissance, on élève le numérateur et le dénominateur à cette puissance. ( a ) n a n En d autres termes, on a = b b n Exercice I.11 Calculer les fractions suivantes. ( ) 2 ( A = 2 3 ) 3 ; 2 B = 3 2 ( ) 2 ( ( ; 3 5 3) C = 3) 2 4 ( ) 2 ( ) Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

28 16 D A E U B Année de remise à niveau Puissances de 10 Les puissances de 10 ont une forme particulière bien connue : 10 2 = = 100 s écrit avec un 1 suivi de 2 zéros ; 10 3 = = (10 10) 10 = = = 1000 s écrit avec un 1 suivi de 3 zéros ; 10 3 = = ( ) 10 = = = s écrit avec un 1 suivi de 4 zéros... On comprend bien que d une façon générale, 10 n s écrit avec un 1 suivi de n zéros. Exercice I.12 Écrire sous forme d un entier ou d un nombre décimal les nombres suivants : I a = ; 2 b = 9, ; 3 c = 0, ; 4 d = 2, Puissances d exposants négatifs Définition I.2 Soit n un entier positif ; on sait calculer a n ; alors a n désigne l inverse de a n (pour a non nul). On a donc a n = 1 a n Exemples 18 : 5 3 = = = = 0,008. 0,2 2 = 1 0,2 2 = 1 0,2 0,2 = 1 0,04 = 25. ( 3) 4 = 1 ( 3) 4 = 1 81 Remarque : On a aussi par exemple 5 3 = car = 1 ; on a donc plus généralement, quel que soit n : a n = 1 a n Cas des puissances de 10 Observons : 10 2 = 1 10 = = 0,01 ; 10 3 = 1 10 = = 0,001 ; = = 0,000 1 etc. Nous admettons que en général, 10 n s écrit avec un 1 précédé de n zéros, la virgule étant bien sûr après le premier zéro. Par exemple, 10 8 = 0, Notons bien qu on compte le zéro avant la virgule parmi les 8 zéros! Exercice I.13 1 Calculer 2 Écrire sous forme d un nombre décimal : a) a = ; b) b = c) c = d) d = ; e) e = ; f) f = 5, ; g) g = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

29 17 I.4.3 Règles de calcul Puissances 1, 0 et 1 Nous admettrons les conventions suivantes : pour tout nombre a, on a a 1 = a ; pour tout nombre a, on a a 0 = 1 ; pour tout nombre a non nul, on a a 1 = 1 a Ces conventions sont indispensables pour que les règles de calcul que l on va voir soient universelles, c est-à-dire qu elles puissent s appliquer quelles que soient les valeurs des exposants. Produit de deux puissances d un même nombre R15 Lorsqu on multiplie deux puissances d un même nombre, le résultat est une puissance de ce nombre dont l exposant est la somme des exposants. Cette règle s écrit ainsi : Pour tout nombre a, et pour tous nombres entiers n et m (qu ils soient positifs, négatifs ou même nuls) on a Illustrons cette règle sur quelques exemples : Exemples 19 : Si on veut calculer , on peut écrire a m a n = a m+n = ( ) (2 2 2) = = 2 7 et on a bien = On veut calculer ; on a = = = = \ 3\ 1 3\ 3\ = = 3 3. On a bien = Calculons = = = 1 4 = 4 1 et on a bien = grâce à la troisième convention vue ci-dessus pour définir 4 1. En appliquant la règle R15, on a donc = = 10 3 = 0,001. De même = = 3 9 ; = = 5 3 = Enfin, si on doit calculer , on trouve, en appliquant la règle R15 : = 7 0 = 1, ce qui justifie la deuxième convention ci-dessus, concernant une puissance 0. Cette règle R15 fonctionne aussi avec un produit de plus de deux puissances du même nombre : = ( 2) = 8 3. Exercice I.14 Calculer en mettant le résultat sous forme d une puissance : 1 a = ; 2 b = ; 3 c = ; 4 d = ; 5 e = ; 6 f = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

30 18 D A E U B Année de remise à niveau I.4.4 Quotients de deux puissances d un même nombre R16 Le quotient de deux puissances d un même nombre est une puissance de ce nombre avec comme exposant la différence de l exposant du numérateur et de l exposant du dénominateur. En d autres termes, on a, pour tout a non nul et pour tous entiers m, n, quels que soient leurs signes : a m a = n am n. Le fonctionnement de cette règle est illustré par l exemple suivant : = \ 5\ = = 5 5 = 5 2 = \ 5\ 1 Cette règle fonctionne aussi avec des exposants négatifs : = 2 24 ( 2) = = 2 6, et = ( 5) = = Cette règle se combine avec la règle sur les produits : par exemple, = : les exposants qui étaient au dénominateurs ont changé de signe, les autres ont conservé leur signe. Exercice I.15 Calculer et écrire le résultat sous forme d une puissance : 1 a = ; 2 b = ; 3 c = ; 4 d = ; 5 e = a2 a 3 a 4 a 5 ; 6 f = c 2 c 3 c 6 c 4 c 5 ; 7 g = ( 5) i = ; 10 j = 5 2 ; 8 h = ( 2)5 ( 2) 3 ( 2) 8 ; 1 ( 3) 4 ( 3) ; 2 11 k = I.4.5 Puissance d un produit ou d un quotient Commençons par un exemple d un tel calcul. On cherche à calculer (a b) 3. En considérant que (a b) est un nombre A, on doit calculer A 3, c est-à-dire A A A. On a donc (a b) 3 = (a b) (a b) (a b) ; on peut maintenant écrire ce produit sans parenthèse et avec ses facteurs et dans n importe quel ordre, donc (a b) 3 = a a a b b b = a 3 b 3. En généralisant, on obtient la règle : R17 Lorsqu un produit est élevé à une puissance, c est chaque facteur qui est élevé à cette puissance. Lorsqu un quotient est élevé à une puissance, il faut élever à cette puissance le numérateur et le dénominateur. En d autres termes, pour tous nombres a, b non nuls, et pour tout entier n, on a (a b) n = a n b n et ( a b ) n = a n b n Nous admettrons que ces formules sont vraies dans tous les cas, même lorsque n est négatif. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

31 19 I.4.6 Puissance d une puissance Soit à calculer b = (a 2 ) 3 ; procédons comme au paragraphe précédent, en posant A = a 2, et donc b = A 3 = A A A ; on a donc b = (a 2 ) (a 2 ) (a 2 ) = a = a 2 3 On admet que cette démarche est vraie dans tous les cas, c est-à-dire qu on a la règle : R18 Le résultat d une puissance d un nombre élevée à une puissance est une puissance de ce nombre dont l exposant est le produit des exposants. En d autres termes, pour a non nul, quels que soient les entiers m et n, on a ceci quels que soient les signes de m et n. Exemples 20 : (a m ) n = a mn, (4 3 ) 2 = 4 3 ( 2) = 4 6 ; (4 3 ) 3 = 4 ( 3) ( 3) = 4 9 ; (5 7 ) 1 = 5 ( 7) ( 1) = 5 7. Exercice I.16 (récapitulatif) 1 Calculer, en mettant le résultat sous une forme exacte la plus simple possible : a) a = ; b) b = ( 2)7 ( 6) 5 ( 3) ( 12) 3 (Il vaut mieux éviter de calculer chaque puissance ; on détermine le signe du résultat (surtout pour b), puis on décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, et ensuite on utilise les règles R14 à R18 ) 2 Calculer, en mettant les résultats sous la forme du produit d une puissance de a par une puissance de b : a) x = a2 b 3 a 3 b 4 ; b) y = (a2 b 3 ) 5 ; c) z = a 3 b 7 a 5 b 6 b a ; d) t = (a 1 b 4 ) 2 a 3 b 5 3 On trouve dans le sang des globules rouges : un mm 3 de sang contient environ globules rouges, et il y a six litres de sang environ dans le corps humain. Un globule rouge a la forme d un cylindre de hauteur 3 micromètres (1µm = 10 6 m). Quelle serait la hauteur approximative de la colonne qu on obtiendrait, si on pouvait empiler les uns sur les autres tous les globules rouges d un individu? I.5 Polynômes Dans cette partie, nous allons appliquer les techniques vues dans les parties précédentes à des expressions particulières appelées polynômes. I.5.1 Monômes, polynômes, principes de base Un monôme est une expression algébrique dans laquelle les seules opérations à effectuer sur les variables (représentées par des lettres) sont des multiplications et des élévations à des puissances d exposants positifs. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

32 20 D A E U B Année de remise à niveau 3x 2 yz 2 est un monôme. 3 est le coefficient, ou sa partie numérique ; x 2 yz 2 est la partie littérale. 5x 2 n est pas un monôme car il faut diviser par y, ou ce qui revient au même, multiplier par y y 1, et l exposant 1 est négatif. Lorsqu on multiplie des monômes, on applique les règles vues plus haut, et le résultat est encore un monôme. Pour illustrer cette propriété, considérons les monômes a = 2x 3 y et b = 3x 5 yz 2 ; alors ab = a b = (2x 3 y) ( 3x 5 yz 2 ) = 2 x 3 y ( 3) x 5 y z 2 = ( 2 ( 3) ) (x 3 x 5 ) (y 1 y 1 ) z 2 = 6 x 3+5 y 1+1 z 2 ab = 6x 8 y 2 z 2. On ne peut réduire des sommes de monômes que lorsque ces monômes ont la même partie littérale. Si on doit calculer a = 2xy 2 + 3xy 2 7xy 2, on peut écrire a = ( )xy 2 = 2xy 2. Mais pour b = 5x 3y + xy, on ne peut rien réduire ; pour c = 3x + xy 8y + xy, on peut juste réduire les deux termes en xy : c = 3x 8y + 1xy + 1xy = 3x 8y + (1 + 1)xy = 3x 8y + 2xy. Polynômes Un polynôme est une somme algébrique (c est-à-dire une expression avec des + et des ) de monômes. En présence d un polynôme, on essaie toujours d en donner une expression réduite ; pour cela, on met ensemble les monômes de même partie littérale, et on les réduit comme on vient de le montrer. Un polynôme est réduit (sous forme réduite) lorsque toutes les sommes de monômes ayant les mêmes parties littérales ont été effectuées. a = 3x 2 + 6x et b = 5x 3y + xy sont des polynômes réduits, mais pas c = 3x 2 + 6x x 2 + 4x ; pour réduire c, on procède ainsi : c = 3x 2 1x 2 + 6x + 4x = (3 1)x 2 + (6 + 4)x = 2x x ; cette dernière expression est la forme réduite de c. Exercice I.17 On considère les polynômes A = x 2 + 2x + 3, B = 2x 2 + 3x 1, C = 3x 2 5x + 1. Mettre sous forme réduite les polynômes 1 P = A + B + C ; 2 Q = A + B + C ; 3 R = A + C B ; 4 S = A + 2B 3C. Cet exercice I.17 illustre qu une somme de polynômes est toujours un polynôme. Exercice I.18 Réduire les polynômes 1 A = 2x 3x (4x 2 3x + 2) (3x 2x 2 3) ; 2 B = 3x 2 8(2x 2 3x + 1) + 4(5x 2 4x + 3) ; 3 C = a 3 + b 2 (2a 3 4ab 2 b 2 ) ; ) ( 4 D = (x + x x2 x x 3 5x3 6 ). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

33 21 Exercice I.19 Pour ces expressions, on développera tous les produits, pour montrer qu on a affaire à des polynômes, puis on réduira. 1 E = 5x 2 (4x 1) ; 2 F = 9x 4 (3x 3 4x 2 + 7x 5) ; 3 G = 3xy 2 (2x 2 4xy + y 3 ) ; 4 H = (2x + 1)(3x + 2) ; 5 I = (x 2) 2 ; 6 J = (x 1) 2 + 3(2x + 3) 2 ; 7 K = (x 1) 2 + ( 3(2x + 3) ) 2 ; 8 L = (3x 2)(2x 1) 2 9(3x + 2) ; 9 M = (6x 2 + 4x 3 + 9x)(2x 3) ; 10 N = (x 2 + 9)(2x + 6)(3 x). Exercice I.20 Ici, x, a, b sont des nombres non nuls. On commencera par simplifier les fractions, ce qui montrera que les expressions sont quand même des polynômes, malgré les divisions qui apparaissent au départ. On réduira ensuite si nécessaire. 1 O = 8x3 12x x 4x I.5.2 ; 2 P = 2ax4 + 5a 2 x 3 6a 4 x 2ax Factorisation de polynômes ; 3 Q = 2abx + 3aby + abc2 2ab Pour l instant, nous avons essentiellement travaillé sur les polynômes en les développant, c està-dire en distribuant les produits, en transformant des produits en sommes, pour réduire les polynômes. Mais en pratique, dans de nombreuses situations mathématiques, on a besoin de faire le contraire. Il est souvent indispensable de mettre un polynôme sous forme d un produit de polynômes plus simples. Cela s appelle la factorisation. Nous allons ici exposer un certain nombre de techniques de factorisations classiques qu il faut absolument connaître. Factorisations naturelles On les fait en utilisant la règle R7 de distribution, mais dans le sens contraire à ce qu on a fait le plus souvent : on utilise la formule k(u + v) = ku + kv de la droite vers la gauche. Pour factoriser une somme dont les termes sont des produits, on essaie de repérer dans tous les produits un facteur commun, pour appliquer cette règle R7. Exemples 21 : Factoriser 8a On cherche un facteur commun : 72 peut s écrire 8 9, donc 8a + 72 = 8 a = 8(a + 9) En pratique, on n est pas obligé de passer par les signes : le calcul précédent peut s écrire plus simplement 8a + 72 = 8a = 8(a + 9) ou même, quand on a l habitude, directement 8a + 72 = 8(a + 9) car tout le monde sait que 8 9 = 72. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

34 22 D A E U B Année de remise à niveau Il est parfois très prudent de passer par ces multiplications, en particulier lorsqu on a une expression du type ku + k : On a ku + k = k u + k 1 = k(u + 1). L oubli du 1 dans une factorisation de ce type est une cause fréquente d erreurs. Factoriser 35xy 7x. On remarque que 35xy = 7x 5y, donc 7x est un facteur commun. Attention à bien penser au 1. Donc 35xy 7x = 7x 5y 7x 1 = 7x(5y 1). Factoriser A = (2x 3)(6x 1) (2x 3)(x + 1). On remarque immédiatement le facteur commun (2x 3), mais il faut faire attention de laisser dans un premier temps les parenthèses dans l expression factorisée, avant de les retirer avec précaution, en appliquant les règles vues au début de chapitre : A = (2x 3) [ (6x 1) (x + 1) ]. On se trompe souvent en voulant aller trop vite et en oubliant les parenthèses devant x + 1. L expression qu on vient d obtenir est factorisée, mais l usage est de réduire tous les facteurs, donc le deuxième aussi. A = (2x 3)(6x 1 x 1) = (2x 3)(5x 2). De façon implicite, quand on demande une factorisation, on aime bien que la réponse soit sous forme d un produit de polynômes réduits. Factoriser B = (7x 1) 2 (7x 1)(3x + 2). Ici, on remarque que (7x 1) est un facteur commun, puisque (7x 1) 2 = (7x 1)(7x 1). On peut donc écrire B = (7x 1)(7x 1) (7x 1)(3x+2) = (7x 1) [ (7x 1) (3x+2) ] = (7x 1)(7x 1 3x 2) = (7x 1)(4x 3). En pratique, quand on a l habitude, on ne passe pas par l étape d expliciter le carré comme produit d un terme par lui-même, on le fait dans sa tête et on peut écrire directement : B = (7x 1) 2 (7x 1)(3x + 2) = (7x 1) [ (7x 1) (3x + 2) ] = (7x 1)(7x 1 3x 2) = (7x 1)(4x 3). Exercice I.21 Factoriser les polynômes suivants : 1 A = 32x 3 24x; 2 B = 5x(3x 1) 4(3x 1); 3 C = 4x(2x + 1) 6(2x + 1); 4 D = (2x 3) 2 x(2x 3); 5 E = 5(x 1) 2 4x(x 1). Factorisations demandant une transformation préalable Une factorisation partielle est souvent nécessaire pour voir apparaître un facteur commun. Par exemple, dans a = (3x 4)(4x 5) + (6x 8), on ne voit pas a priori un facteur commun, mais le deuxième terme (6x 8) peut être factorisé par 2, et on peut espérer voir apparaître un des deux facteurs (3x 4) ou (4x 5) du premier terme, ce qui fera un facteur commun. En effet, on a : a = (3x 4)(4x 5) + [ 2(3x 4) ] = (3x 4) [ (4x 5) + 2 ] = (3x 4)(4x 3). Une technique très souvent utile consiste à remplacer une différence (a b) par (b a) = ( 1)(b a). En effet, on vérifie qu on a bien, en raison des règles de calcul du début du chapitre (règle R4 pour une parenthèse précédée du signe ) (b a) = b + a = a b. Par exemple, pour factoriser b = (3x 1)(x 2) 3x(2 x), il suffit de remarquer que, s il n y a pas de facteur commun, il y a (x 2) dans un des produits et (2 x) dans l autre. Il suffit de mettre ( 1) en facteur dans un de ces termes (celui qu on veut, en fait), pour pouvoir factoriser. Première méthode : on fait apparaître (x 2) comme facteur commun. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

35 23 b = (3x 1)(x 2) 3x( 1)(x 2) = (3x 1)(x 2) + 3x(x 2) = (x 2) [ (3x 1) + 3x ] = (x 2)(6x 1). Deuxième méthode : on fait apparaître (2 x) comme facteur commun. b = (3x 1)( 1)(2 x) 3x(2 x) = (2 x) [ (3x 1)( 1) 3x ] = (2 x)( 3x + 1 3x) = (x 2)( 6x + 1). Notons que les deux résultats sont justes et corrects, ils répondent tous deux à la question, on a juste le choix. Exercice I.22 Factoriser 1 A = (5x + 4)(4 3x) (3x 4)(x 3); 2 B = (3x + 2)(1 x) + (2x 1)(x 1); 3 C = (x 8)(4x 1) + (x 2 8x); 4 D = (5 3x)(x 1) (3x 5) 2. Utilisation des «identités remarquables» Il y a trois identités remarquables à connaître : (I.1) (I.2) (I.3) a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 Ces formules bien connues se démontrent en développant le membre de droite : Pour (I.1), on a : (a + b)(a b) = a 2 ab + ba b 2 = a 2 b 2 (on a utilisé et on va utiliser encore la règle R8 p.6). Pour (I.2), on a : Pour (I.3), on a : (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 ab ba + b 2 = a 2 2ab + b 2 Exemples 22 : Factoriser x 2 9 : pour pouvoir appliquer la formule (I.1), on écrit 9 = 3 2, ce qui donne : x 2 9 = x = (x + 3)(x 3). Factoriser 9x 2 4a 2. C est toujours la même formule (I.1) qu on va essayer d appliquer ; pour cela, on remarque que 9 = 3 2, 4 = 2 2, donc 9x 2 4a 2 = 3 2 x a 2 ; maintenant, on applique la règle R17 (p.18), et on peut terminer : 9x 2 4a 2 = (3x) 2 (2a) 2 = [ (3x) + (2a) ][ (3x) (2a) ] = (3x + 2a)(3x 2a). Factoriser (x + 2) 2 16x 2 : on applique la même méthode pour 16x 2 : 16x 2 = 4 2 x 2 = (4x) 2, donc (x + 2) 2 16x 2 = (x + 2) 2 (4x) 2 = [ (x + 2) + (4x) ] [ (x + 2) (4x) ] = (5x + 2)( 3x + 2). Factoriser x x ; la présence ici de trois termes nous incite à penser à la formule (I.2). On remarque que 49 = 7 2, donc on va écrire le terme 14x sous la forme 2ab (on parle de double produit) avec a = x et b = 7 : 14x = 2 x 7, ça marche, donc on écrit maintenant : x x = x x = (x + 7) 2. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

36 24 D A E U B Année de remise à niveau Factoriser 9x 2 + 2x + 1 ; ici aussi, le fait qu il y ait trois termes et que des signes + nous dirige 9 vers la formule (I.2). On écrit 9x 2 = (3x) 2 ; ensuite on remarque que 1 ( ) 2 9 = =. Il n y a 2 3 plus qu à essayer devoir si le dernier terme 2x est bien sous la forme 2ab avec a = 3x et b = 1. 3 Mais c est bien le cas, puisque 2 3x 1 2 3\ x 1 = = 2x = 2x. Donc on peut écrire : 3 1 3\ 1 9x 2 + 2x + 1 = 9 (3x)2 + 2 (3x) ( ( 1 3) + 1 ) 2 ( 3 = 3x ) Factoriser x x. Ici, la présence de trois termes et d un signe nous incite à chercher 4 à utiliser la formule (I.3). x 2 est déjà un carré, 1 = ( 1 2, 4 2) donc on doit essayer de reconnaître dans le dernier terme x un double produit de la forme 2ab avec a = x et b = 1. Or on a bien 2 2 x 1 = x = x, donc on peut écrire : 2 1 x x = 4 x2 2 x 1 + ( ) 1 2 ( 2 2 = x 1 2 2). Pour finir un petit piège, pour ne pas se précipiter sur n importe quoi : Si on vous demande de factoriser x x + 9 : bien sûr, on peut essayer, et c est normal, la formule (I.2). Mais si on trouve bien les carrés x 2 et 9 = 3 2, en revanche, 10x n est pas le double produit qu il faut : 2 x 3 = 6x, donc ce n est pas simplement avec cette formule qu on pourra s en tirer. On verra plus tard que pour se sortir de cette situation, il faut au contraire commencer par s occuper du double produit 10x = 2 x 5, ce qui permet d utiliser la formule (I.2) avec a = x et b = 5. On peut écrire : x x + 9 = x x = (x + 5) = (x + 5) 2 16 = (x + 5) On termine en utilisant la formule (I.1) : x x + 9 = [ (x + 5) + 4 ] [ (x + 5) 4 ] = (x + 9)(x + 1). Cet exemple illustre le fait qu il faut toujours bien vérifier qu on peut appliquer En pratique, inutile de donner les explications de la recherche, ni la formule ou la règle qu on utilise. On présentera les résolutions d exercices comme dans les corrigés. Exercice I.23 Factoriser les polynômes suivants : 1 a = 49 (x 1) 2 ; 2 b = (3x + 1) 2 (2x 3) 2 ; 3 c = 4(2x 1) 2 9; 4 d = x 2 6x + 9; 5 e = 4x x; 6 f = x + x ; 7 g = x2 9 x ; 8 h = 49a a. Synthèse des différentes techniques En pratique, pour factoriser certaines expressions, on est souvent amené à mettre en œuvre plusieurs des techniques présentées ci-dessus ; par exemple, une factorisation partielle d un morceau de l expression permet parfois de mettre en évidence le facteur commun général. Exemples 23 : Factoriser a = 4x (x 1)(2x + 3). On remarque que 4x 2 9 = (2x) = (2x + 3)(2x 3), ce qui permet d observer la présence du facteur commun (2x + 3). On rédige donc ainsi : a = 4x (x 1)(2x + 3) = (2x) (x 1)(2x + 3) = (2x + 3)(2x 3) + (x 1)(2x + 3) = (2x + 3) [ (2x 3) + (x 1) ] = (2x + 3)(3x 4). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

37 25 Factoriser b = x 2 + 2x x(x + 1). On reconnaît que x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2, donc on a b = x 2 + 2x x(x + 1) = (x + 1) 2 + 5x(x + 1) = (x + 1) [ (x + 1) + 5x ] = (x + 1)(6x + 1). On a utilisé, sans l écrire que (x + 1) 2 = (x + 1)(x + 1). Exercice I.24 Pour revoir toutes les techniques, factoriser les polynômes suivants : 1 A = (2x + 1)(3x 5) (x + 6)(2x + 1); 2 B = (x + 1)(2x 3) + (3 2x)(5x + 7); 3 C = (7x + 2) 2 3x(7x + 2); 4 D = x (x 1)(7x + 3); 5 E = (1 4x) 2 (4 x) 2 ; 6 F = x 2 8x + 16; 7 G = (2x + 3)(3x + 2) 3x 2; 8 H = 4x 2 4x (2x 1)(x + 2); 9 I = (2x 3)(x 1) (1 x) 2 + 3(x 1)(1 3x); 10 J = x x Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

38 26 D A E U B Année de remise à niveau I.6 Corrigé des exercices du premier chapitre Corrigé de l exercice I.1 (p.3) 1 a = (14 7) ( ) a) (i) Calculons l intérieur de chaque parenthèse : 17 4 = 7 ; = = = 23. On a donc a = 7 ( 23) = = 30. (ii) On supprime les parenthèses : a = +(14 7) ( ) = = = = 30. Bien sûr, on a obtenu le même résultat avec les deux méthodes. b) b = ( ) + ( ) (i) = = = 4 ; = = 15 ; donc b = = 11. (ii) b = = = = 11. c) c = ( 7 11) + (24 12) (i) 7 11 = 18 ; = 12 ; donc c = = 6. (ii) c = = = 6. d) d = ( ) + ( 17 23) (i) = = 20 9 = 11 ; = 40 ; donc d = = 51. (ii) d = = = = e) e = (a + b) (b 5) = a + b b + 5 = a + 5. f) f = a 2 (b + 2) = a 2 b 2 = a b 4. g) g = a (3 b) + 3 = a 3 + b + 3 = a + b = a + b. h) h = ( a + b) + ( c + d) = a b c + d i) i = 9 ( 3+x)+(x y)+( 3+y) = 9+3 x+x y 3+y = x+x y +y = 9. j) j = 19 (x 13 y)+(y 13) = 19 x+13+y+y 13 = x+y+y = 19 x+2y. k) k = 29 (23 x y) (x 23) = x+y x+23 = x x+y = 29+y l) l = [ (3 x) (x + 2) ] [ (x + 2) + ( x 3) ] = (3 x) + (x + 2) + (x + 2) ( x 3) l = 3 + x + x x x + 3 = 4x m) T = a b + 4 c = a b + (4 c) n) T = a b + 4 c = a (b 4) c o) T = a b + 4 c = (a + b 4) c Corrigé de l exercice I.2 (p.4) On préférera la deuxième méthode de la règle R5, c est-à-dire supprimer les crochets extérieurs avant les parenthèses intérieures. 1 n = a [ (1 c) + 1 ] = a (1 c) 1 = a 1 + c 1 = a + c 2. 2 w = [ (b 1) c ] 1 = (b 1) c 1 = b 1 c 1 = b c 2. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

39 27 3 v = [ (a c) (a b) ] [ (b c) (a + c) ] = (a c) (a b) (b c) + (a + c) = a c a + b b + c + a + c = a a + a + b b c + c + c = a + c. Corrigé de l exercice I.3 (p.5) 1 a) On remplace x par 5 dans 3x 7, cela donne : = 15 7 = 8 (n oublions pas que 3x = 3 x). b) x est remplacé par ( 4) : 3 ( 4) 7 = 12 7 = 19. c) x est remplacé par 0 : = 0 7 = 7. 2 a) On remplace, dans 5x 4y, x par 4 et y par 3 ; cela donne : = = 8. b) x est remplacé par 2 et y par 5 : 5 ( 2) 4 ( 5) = = 10. Corrigé de l exercice I.4 (p.6) 1 On commence par écrire A = [ 3(x + 5) ] [ 4(x 2) ] (on rajoute ces crochets qui sont en fait facultatifs, à cause de la priorité de la multiplication sur la soustraction) ; on va maintenant calculer l intérieur des crochets : 3(x + 5) = 3 x = 3x + 15 et 4(x 2) = 4 x 4 2 = 4x 8. Cette fois, on retourne à l expression de A, et les crochets deviennent de simples parenthèses, qui sont maintenant obligatoires (surtout les deuxièmes). A = (3x + 15) (4x 8) ; pour finir on enlève ces dernières parenthèses et on conclut : A = 3x x + 8 = 3x 4x = x Nous allons travailler un peu plus vite, maintenant, mais avec le même schéma. B = (2x + 1) + 10(5 + 3x) = [ (2x + 1) ] + [ 10(5 + 3x) ] ; (2x + 1) = 2x 1 et 10(5 + 3x) = x = x donc B = ( 2x 1) + ( x) = 2x x = 2x + 30x = 28x On fait maintenant les calcul sans commentaires, comme vous saurez bientôt le faire! C = 3(3 a) 4(3 b) = [ 3(3 a) ] [ 4(3 b) ] C = ( 9 + 3a) (12 4b) = a + 4b = a + 4b. 4 D = (2a 3) 2( 5 + b) = 2a b = 2a 2b + 7. Corrigé de l exercice I.5 (p.7) 1 A = (x 3)( 4y + 7) = x 4y + x y = 3 7 = 4xy + 7x + 12y B = (2t + 1)(5u 4) = 2t 5u 2t u 1 4 = 10tu 8t + 5u 4. 3 On écrit K = (x+2)(a 3) (x 2)(a+3) (ax+6) = [ (x+2)(a 3) ] [ (x 2)(a+3) ] (ax+6). Nous allons maintenant traiter à part le contenu des crochets ; ce n est pas obligatoire de procéder ainsi, mais ça peut être plus prudent. (x + 2)(a 3) = x a x a 2 3 = ax 3x + 2a 6 ; (x 2)(a + 3) = x a + x 3 2 a 2 3 = ax + 3x 2a 6 ; on revient maintenant à l expression de K : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

40 28 D A E U B Année de remise à niveau K = (ax 3x+2a 6) (ax+3x 2a 6) (ax+6) = ax 3x+2a 6 ax 3x+2a+6 ax 6 K = ax ax ax 3x 3x + 2a + 2a = ax 6x + 4a 6. Voyons maintenant une rédaction «rapide» pour le même calcul, comme celle que vous arriverez sans doute bientôt à faire : K = (x + 2)(a 3) (x 2)(a + 3) (ax + 6) = (ax 3x + 2a 6) (ax + 3x 2a 6) ax 6 K = ax 3x + 2a 6 ax 3x + 2a 6 ax 6 = ax 6x + 4a 6. 4 Avec une rédaction «rapide» : L = 5 [ x + 3(y 2) ] 2 [ x + 5(y 3) ] = 5 [ x + (3y 6) ] 2 [ x + (5y 15) ] = 5( x + 3y 6) 2(x + 5y 15) = ( 5x + 15y 30) (2x + 10y 30) L = 5x + 15y 30 2x 10y + 30 = 7x + 5y. Corrigé de l exercice I.6 (p.11) 1 a = = = 6 9 = = b = = = = c = = ; il faut commencer par trouver un dénominateur commun, qui ne soit si possible 25 pas trop grand. Bien sûr, est un multiple commun de 15 et 25, mais ce ne serait pas malin d utiliser ce nombre qui est vraiment grand. On écrit 15 = 3 5 et 25 = 5 5 (ce son les décompositions en produits de nombres premiers de ces deux nombres 15 et 25). On est donc sûr qu on peut prendre = 75 comme dénominateur commun. c = = = = = = d = Appliquons la même méthode avec une rédaction plus «rapide» d = = = = = e = = = 9 4 = f = = = = g = 5 b + 5 2b = 5 2 2b + 5 2b = b = 15 2b = 25 4 = h = a 6 b 10 = a 2 3 b 2 5 = a b = 5a 30 3b 30 9 i = 2a 3 3x 4 = 2a x = 8a 12 9x 8a 9x = j = 3 2b 2 3b = 3 3 2b b 2 = 9 4 6b = 5 6b 5a 3b = 30 = k = 2 x + 3 y = 2y xy + 3x 2y + 3x = yx xy 12 l = = ; il est clair que = 12 est un multiple de 2 2 tous les dénominateurs, donc un dénominateur commun convenable. l = = = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

41 29 Corrigé de l exercice I.7 (p.13) 1 Première méthode : on développe les produits grâce à la règle R7. ( A = 2 1 ) ( ) = A = ; 20 est un dénominateur commun convenable. 20 A = = = Deuxième méthode : on calcule déjà le contenu des parenthèses. ( A = 2 1 ) ( ) ( = 5 1 ) ( ) ( ) ( ) = = = A = = = ( 1 2 B = 2 2 ) ( ) ,2 ; développons tout : 2 B = B = B = ; Cherchons un multiple commun des dénominateurs ; en écrivant 24 = , 18 = 3 3 2, et en constatant qu on a un 5 au dernier dénominateur, le plus petit multiple commun est donc = 360. Donc B = B = Corrigé de l exercice I.8 (p.14) = = = a = = a = = a = = = = = b = c = = = = = = = = = = 1 7 = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

42 30 D A E U B Année de remise à niveau 4 d = = N D en appelant N = et D = (cette méthode de traiter à part le numérateur et le dénominateur d une fraction aurait raisonnablement pu être appliquée aussi pour b et pour c). N = = = 57 6 = = 19 2 ; D = = = ; Donc d = = = = e = a 2 3 2a 5 6 f = = = a = Corrigé de l exercice I.9 (p.15) 1 a = 3 2 = 3 3 = 9. 2 b = 2 3 = = 8. (3 2a) c = ( 5) 2 = ( 5) ( 5) = 5 5 = 25. = 5a 2(3 2a) 10 = = = d = ( 1) 4 = ( 1)( 1)( 1)( 1) = = 1. = 5a 6 + 4a 10 = 9a e = 1 50 = } {{ 1 1 } = facteurs 6 f = 4 2 ( 3) 2 ( 5) 3 = 4 4 ( 3) ( 3) ( 5) ( 5) ( 5) = = Corrigé de l exercice I.10 (p.15) 1 A = = = = B = (4 5) 2 + (3 2) 4 = = = C = 4 ( ) 2 4 = 4 (25 + 3) 16 = = D = ( ) 2 4 = ( ) 16 = = Corrigé de l exercice I.11 (p.15) ( ) 2 ( ) A = = = = B = 3 ( 2 ( 2 2 5) 5 ) 3 = ( 5 5 ) ( 5 ) ( 5 ) = B = 10 9 ( 3 C = 3) 2 4 ( ) 2 ( ; le premier facteur est positif (il y a quatre ), le deuxième 4 2) aussi (c est un carré), mais le troisième facteur est négatif car il comport trois signes. Donc C est négatif et on a C = = = 81 8 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

43 31 Corrigé de l exercice I.12 (p.16) 1 a = = = b = 9, = 9, = c = 0, = 0, = 326,4 4 d = 2, = 2, = Corrigé de l exercice I.13 (p.16) 1 a) a = = = = = = = 27,25 b) b = = = = = 8. c) c = = = , d) d = = = = 0,456. e) e = = 17 = 0, f) f = 5, = 5,1 = 0, g) g = = Corrigé de l exercice I.14 (p.17) 1 a = = = b = = = c = = = d = = = = e = = = = = 4,327. = f = = = = Corrigé de l exercice I.15 (p.18) = = = 1 a = = 45 3 = b = = 52 ( 5) = = c = = = d = = 11 5 ( 2) = = e = a2 a 3 a 4 a 5 = a = a 4. 6 f = c 2 c 3 c 6 c 4 c 5 = c ( 4) ( 5) = c = c 2. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

44 32 D A E U B Année de remise à niveau 7 g = ( 5) = = h = ( 2)5 ( 2) 3 ( 2) 8 = ( 2) = ( 2) 0 = 1. 9 i = = = = j = ( 3) 4 ( 3) = 2 ( 3)4+( 2) = ( 3) 4 2 = ( 3) 2 = k = = ( 2) = = 6 1. Corrigé de l exercice I.16 (p.19) 1 a) a = ; a est forcément positif a = (3 2)2 5 7 (3 3 ) 3 (3 7) 4 (3 2 ) 2 (2 5) = a = = = b) b = ( 2)7 ( 6) 5 ( 3) 10 ; si on écrivait l expression de b avec des produits, il y aurait 18 4 ( 12) 3 7 fois le nombre ( 2), 5 fois le nombre ( 6), 10 fois le nombre ( 3) et 3 fois le nombre ( 12), soit en tout = 25 facteurs négatifs : comme il y a un nombre impairs de signes, en application de la règle des signes, b est négatif. On a donc : b = = 27 (2 3) (2 3 2 ) 4 (2 2 3) = b = = = a) x = a2 b 3 a 3 b = 4 a2 3 b 3 4 = a 1 b 1. b) y = (a 2 b 3 ) 5 = a 2 5 b 3 5 = a 10 b 15. c) z = a 3 b 7 a 5 b 6 b a = a3+( 5) 1 b 7+( 6)+1 = a 3 b 2. d) t = (a 1 b 4 ) 2 = a 1 2 ( 3) b = a 1 b 3 = ab 3. a 3 b 5 3 Un litre, c est 1 décimètre cube, donc 1 000cm 3 et mm 3. Il y a donc globules rouges dans un litre de sang, et globules rouges pour un individu. L épaisseur d un globule étant m, la hauteur totale sera, en mètres : h = = = mètres, soit environ kilomètres! Corrigé de l exercice I.17 (p.20) A = x 2 + 2x + 3, B = 2x 2 + 3x 1, C = 3x 2 5x P = A + B + C = (x 2 + 2x + 3) + (2x 2 + 3x 1) + (3x 2 5x + 1) P = ( )x 2 + ( )x + ( ) = 6x Q = A + B + C = (x 2 + 2x + 3) + (2x 2 + 3x 1) + (3x 2 5x + 1) Q = ( )x 2 + ( )x + ( ) = 4x 2 4x 3. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

45 33 3 R = A + C B = (x 2 + 2x + 3) + (3x 2 5x + 1) (2x 2 + 3x 1) R = ( )x 2 + (2 5 3)x + (3 + 1 ( 1)) = 2x 2 6x S = A + 2B 3C = (x 2 + 2x + 3) + 2(2x 2 + 3x 1) 3(3x 2 5x + 1) S = ( )x 2 + ( ( 5))x + (3 + 2( 1) 3 1) = 4x x 2. Corrigé de l exercice I.18 (p.20) 1 A = 2x 3x 2 +1+(4x 2 3x+2) (3x 2x 2 3) = ( 3+4 ( 2))x 2 +(2 3 3)x+(1+2 ( 3) A = 3x 2 4x B = 3x 2 8(2x 2 3x + 1) + 4(5x 2 4x + 3) B = ( )x 2 + ( 8( 3) + 4( 4))x + ( ) B = 7x 2 +8x C = a 3 +b 2 (2a 3 4ab 2 b 2 ) = a 3 +b 2 2a 3 +4ab 2 b 2 = (1 2)a 3 +(1 1)b 2 +4ab 2 = a 3 +4ab 2. ) ( 4 D = (x + x x2 x x ) 3 5x3 6 ( ( 1 D = 2 5 )) ( 3 x ) ( x ) x 2 3 ( 3 D = ) ( 3 x ) ( 3 x ) x = x x x D = 4x3 3 + x2 4 + x 3 Corrigé de l exercice I.19 (p.21) 1 E = 5x 2 (4x 1) = 5x 2 4x + 5x 2 ( 1) = 5 4 x 2 x 1 5x 2 = 20x 2+1 5x 2 = 20x 3 5x 2. 2 F = 9x 4 (3x 3 4x 2 + 7x 5) = 9x 4 3x 3 9x 4 4x 2 + 9x 4 7x 9x 4 5 F = 27x x x x 4 = 27x 7 36x x 5 45x 4. 3 G = 3xy 2 (2x 2 4xy + y 3 ) = 3xy 2 2x 2 3xy 2 4xy + 3xy 2 y 3 G = 6x 3 y 2 12x 2 y 3 + 3xy 5. 4 H = (2x + 1)(3x + 2) = 2x 3x + 2x x = 6x 2 + 4x + 3x + 2 H = 6x 2 + 7x I = (x 2) 2 = (x 2)(x 2) = x 2 x 2 2x = x 2 4x J = (x 1) 2 + 3(2x + 3) 2 = (x 1)(x 1) + 3 [ (2x + 3)(2x + 3) ] J = (x 2 x x + 1) + 3(4x 2 + 6x + 6x + 9) = x 2 2x x x + 27 = 13x x K = (x 1) 2 + ( 3(2x + 3) ) 2 = x 2 2x (2x + 3) 2 = x 2 2x (4x 2 + 6x + 6x + 9) K = x 2 2x x x + 81 = 37x x L = (3x 2)(2x 1) 2 9(3x + 2) = (3x 2) ( (2x 1)(2x 1) ) 27x 18 L = (3x 2)(4x 2 2x 2x + 1) 27x 18 = (3x 2)(4x 2 4x + 1) 27x 18 L = 12x 3 12x 2 + 3x 8x 2 + 8x 2 27x 18 = 12x 3 20x 2 16x M = (6x 2 + 4x 3 + 9x)(2x 3) = 12x 3 18x 2 + 8x 4 12x x 2 27x = 8x 4 27x. 10 N = (x 2 + 9)(2x + 6)(3 x) = (x 2 + 9) ( (2x + 6)(3 x) ) = (x 2 + 9)(6x 2x x) N = (x 2 + 9)( 2x ) = 2x x 2 18x = 2x Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

46 34 D A E U B Année de remise à niveau Corrigé de l exercice I.20 (p.21) 1 O = 8x3 12x x 4x O = 2x 2 3x P = 2ax4 + 5a 2 x 3 6a 4 x 2ax 3 Q = 2abx + 3aby + abc2 2ab Q = x y + c2 2 Corrigé de l exercice I.21 (p.22) 1 A = 32x 3 24x = 8x(4x 2 3). = 8x3 4x 12x2 4x + 16x 4x = 2 4 x2 x 3 4 x x + 4 4x 4 x 4 x 4x = 2ax( x ax2 3a 3 ) = x ax 2 ax2 3a 3. ( ) 2ab x + 3y + c2 2 2 = 2ab 2 B = 5x(3x 1) 4(3x 1) = (3x 1)(5x 4). 3 C = 4x(2x + 1) 6(2x + 1) = (2x + 1)(4x 6). 4 D = (2x 3) 2 x(2x 3) = (2x 3) [ (2x 3) x ] = (2x 3)(x 3). 5 E = 5(x 1) 2 4x(x 1) = (x 1) [ 5(x 1) 4x ] = (x 1)(5x 5 4x) E = (x 1)(x 5). Corrigé de l exercice I.22 (p.23) 1 A = (5x + 4)(4 3x) (3x 4)(x 3) = (5x + 4)(4 3x) + (4 3x)(x 3) A = (4 3x) [ (5x + 4) + (x 3) ] = (4 3x)(6x + 1). 2 B = (3x + 2)(1 x) + (2x 1)(x 1) = (3x + 2)(1 x) (2x 1)(1 x) B = (1 x) [ (3x + 2) (2x 1) ] = (1 x)(3x + 2 2x + 1) = (1 x)(x + 3). 3 C = (x 8)(4x 1) + (x 2 8x) = (x 8)(4x 1) + x(x 8) = (x 8) [ (4x 1) + x ] C = (x 8)(5x 1). 4 D = (5 3x)(x 1) (3x 5) 2 = (3x 5)(x 1) (3x 5)(3x 5) D = (3x 5) [ (x 1) (3x 5) ] = (3x 5)( x + 1 3x + 5) = (3x 5)( 4x + 6). Corrigé de l exercice I.23 (p.24) 1 a = 49 (x 1) 2 ; c est bien sûr la règle (I.1) p.23 qu il faut utiliser : a = 7 2 (x 1) 2 = [ 7 + (x 1) ] [ 7 (x 1) ] = (6 + x)(8 x). 2 b = (3x + 1) 2 (2x 3) 2 encore la règle (I.1) p.23 : b = [ (3x+1)+(2x 3) ] [ (3x+1) (2x 3) ] = (3x+1+2x 3)(3x+1 2x+3) = (5x 2)(x+4). 3 c = 4(2x 1) 2 9. Deux termes, un signe, ce sont des indices pour la règle (I.1) p.23 : c = 2 2 (2x 1) = [ 2(2x 1) ] 3 2 = [ 2(2x 1) + 3 ][ 2(2x 1) 3 ] c = (4x 2 + 3)(4x 2 3) = (4x + 1)(4x 5). 4 d = x 2 6x + 9. Ici, il y a trois termes et un signe, ce sont des indices pour essayer d utiliser la règle (I.3) p.23 ; les carrés sont x 2 et 3 2, donc le double produit doit être égal à 2 x 3 = 6x, c est bien le terme qui apparaît dans d. d = x 2 2 x = (x 3) 2. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

47 35 5 e = 4x x ; ici, trois termes et uniquement des +, donc on essaie d utiliser la règle (I.2) p.23, avec les carrés 4x 2 = (2x) 2 et 25 = 5 2, donc 2 2x 5 = 20x comme double produit, qui est bien ce qu on rencontre : e = (2x) x = (2x + 5) 2. ( 6 f = x + x On essaie d utiliser la règle (I.2) p.23 ; les carrés sont 1 = 12 et x2 x ) 2 4 = ; 2 vérifions que le dernier terme est bien le double carré attendu : 2 x 1 = x, c est bon, donc : 2 ( x ) 2 x ( x ) ( x ) f = = g = x2 9 x ; trois termes avec un signe, donc on pense à la règle (I.3) p.23, avec les carrés 4 x 2 ( 9 = x2 x ) ( ) = 1 et = =, donc un double produit qui devrait être 2 x = x, 2 3 c est bien ce qu on a donc : ( x ) 2 x g = ( ) 2 ( 1 x 2 + = ) h = 49a a. C est la formule (I.2) p.23 qu on essaie d utiliser, avec les carrés 49a 2 = (7a) 2 et 4 = 2 2, donc un double produit qui doit être 2 7a 2 = 28a, c est bon, donc : h = (7a) a = (7a + 2) 2. Corrigé de l exercice I.24 (p.25) 1 A = (2x+1)(3x 5) (x+6)(2x+1) = (2x+1) [ (3x 5) (x + 6) ] = (2x+1)(3x 5 x 6) A = (2x + 1)(2x 11). 2 B = (x + 1)(2x 3) + (3 2x)(5x + 7) ; il faut retourner un des termes (2x 3) ou (3 2x) en changeant son signe. B = (2x 3)(x + 1) (2x 3)(5x + 7) = (2x 3) [ (x + 1) (5x + 7) ] = (2x 3)(x + 1 5x 7) B = (2x 3)( 4x 6) ; on pourrait encore mettre 2 en facteur dans le dernier facteur : B = (2x 3)( 2)(2x + 3) = 2(2x 3)(2x + 3) ; 3 C = (7x + 2) 2 3x(7x + 2) = (7x + 2)(7x + 2) 3x(7x + 2) = (7x + 2) [ (7x + 2) 3x ] C = (7x + 2)(7x + 2 3x) = (7x + 2)(4x + 2) = 2(7x + 2)(2x + 1). 4 D = x (x 1)(7x + 3). On commence par factoriser x 2 1 avec la formule (I.1) p.23 : D = (x + 1)(x 1) + (x 1)(7x + 3) = (x 1) [ (x + 1) + (7x + 3) ] = (x 1)(8x + 4) D = 4(2x + 1)(x 1). 5 E = (1 4x) 2 (4 x) 2 ; une différence de deux carrés, donc E = [ (1 4x)+(4 x) ] [ (1 4x) (4 x) ] = (1 4x+4 x)(1 4x 4+x) = (5 5x)( 3 3x) E = ( 5)(x 1)( 3)(x + 1) = 15(x 1)(x + 1). 6 F = x 2 8x + 16 ; on applique la formule (I.3) p.23 avec les carrés x 2 et 16 = 4 2, après avoir vérifié qu on a le bon double produit : 2 x 4 = 8x, c est bon : F = x 2 2 x = (x 4) 2. 7 G = (2x + 3)(3x + 2) 3x 2 ; on met entre parenthèses les deux derniers termes : G = (2x + 3)(3x + 2) (3x + 2) = (2x + 3)(3x + 2) 1(3x + 2) G = (3x + 2)(2x + 3 1) = (3x + 2)(2x + 2) = 2(3x + 2)(x + 1). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

48 36 D A E U B Année de remise à niveau 8 H = 4x 2 4x (2x 1)(x + 2). On factorise les trois premiers termes avec la formule (I.3) p.23 ; les carrés sont 4x 2 = (2x) 2 et 1 = 1 2, et 4x est bien le double produit 2 2x 1, donc H = (2x) 2 2 2x (2x 1)(x + 2) = (2x 1) 2 + (2x 1)(x + 2) H = (2x 1) [ (2x 1) + (x + 2) ] = (2x 1)(3x + 1). 9 I = (2x 3)(x 1) (1 x) 2 + 3(x 1)(1 3x). (1 x) = (x 1), donc (1 x) = [ (x 1) ] 2 = (x 1) 2. On a donc I = (2x 3)(x 1) (x 1) 2 + 3(x 1)(1 3x) I = (x 1) [ (2x 3) (x 1) + 3(1 3x) ] I = (x 1)(2x 3 x x) = (x 1)( 8x + 1). 10 J = x x Il est naturel d essayer d utiliser la formule (I.2), p.23, avec les carrés x 2 et 16 = 4 2 ; il ne faut pas oublier de vérifier que le double produit est bien celui dont on a besoin : 2 x 4 = 8x. On constante que 10x 8x, donc cette tentative n aboutit pas. On procède différemment, en essayant d utiliser la même formule, mais en s appuyant sur le carré x 2 et le double produit 2 x 5, ce qui demande le second carré 5 2 = 25. Donc on peut écrire J = x x = (x + 5) 2 9 = (x + 5) ; on a maintenant une différence de deux carrés : J = [ (x + 5) + 3 ] [ (x + 5) 3 ] = (x + 8)(x + 2). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

49 37 Université de Franche-Comté Centre de Télé-Enseignement Universitaire D.A.E.U. B, année de remise à niveau DEVOIR n 1 à envoyer à la correction Exercice I Simplifier les expressions suivantes (c est-à-dire supprimer crochets et parenthèses puis réduire les termes). 1 a = 2(x 3y 4) 2 [ x 3 4( 3y + x 2) ] ; 2 b = 2x + 3 [ 5 + 2x 2( x + 5) ]. Factoriser les expressions suivantes. Exercice II 1 c = (x 1)(x 2) (1 x)(5 x) + x 1 ; 2 d = 2(x 3)(x 1) + x 2 9 2(1 x)(3x 9) ; 3 e = 16x x ; 4 f = (x 7y) 2 4(2x y) 2 ; 5 g = x 2 6x + 9 (x + 1)(2x 6) ; 6 h = 2(x 2) 2 (x 2 4) + (x 2)(x 8) ; 7 i = 16a 2 9x 4 ; 8 j = 4x 2 52x Exercice III Développer et réduire les produits suivants : 1 k = (2x 2 + 5x + 1)(2x 1) ; 2 l = (2a + b 2 c) 2 ; 3 m = (2x 2 xy + y 2 )(2x + 3y) ; 4 n = (a 3 a 2 b b 3 )(a 2 + 3ab + 4b 2 ). Exercice IV Factoriser les numérateurs et les dénominateurs des fractions suivantes, afin de les simplifier au maximum. 1 o = a2 + ab a 2 ab a ; 2 p = x2 4 x 2 + 2x ; 3 q = (2a + 3)2 a 2 a 2 1 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

50 38 D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

51 Chapitre II Équations du premier degré II.1 Introduction II.1.1 Définition Définition II.1 Une équation à une inconnue est une égalité faisant intervenir une quantité inconnue (en général notée x). Une solution de cette équation est une valeur de x qui rend l égalité vraie. Cette définition abstraite n est pas très simple à interpréter. commençons par un exemple. Exemple 1 : Considérons les deux expressions 4x + 7 et 6x + 1. On va chercher pour quelles valeurs de x ces expressions sont égales. Faisons différents essais. x 4x + 7 6x Nous remarquons que lorsqu on remplace x par 3, les deux expressions prennent la même valeur numérique ; cela se traduit mathématiquement en disant que 3 est une solution de l équation 4x + 7 = 6x + 1. Le tableau ne nous permet pas de découvrir d autres solutions, mais cela ne prouve pas qu il n y en a pas d autres. L objet de ce chapitre est d étudier les équations de ce genre et de trouver toutes leurs solutions. Exercice II.1 Voici des équations et des nombres. Déterminer, pour chaque équation, si les nombres proposés sont des solutions de cette équation 1 2x + 3 = x + 2 ; 4, 1, 0, 2. 39

52 40 D A E U B Année de remise à niveau 2 x 2 = x + 2 ; 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3. 3 x x = 6x ; 1, 0, 1, 2, 3, 4. II.1.2 Vocabulaire Dans une équation, l expression qui figure à gauche du signe = s appelle le premier membre de l équation (ou membre de gauche). L expression qui figure à droite du signe = s appelle le second membre de l équation (ou membre de droite). Une équation a donc deux membres. Quand le second membre est nul, on dit souvent, par abus de langage, qu on a affaire à une équation sans second membre. Un nombre est une solution de l équation, si lorsqu on substitue l inconnue par ce nombre, les valeurs prises par les deux membres de l équation prennent la même valeur. II.2 Règles de transformation des équations Pour résoudre une équation, on lui applique des règles de transformation que nous allons expliciter dans ce paragraphe, jusqu à obtenir une équation évidente à résoudre. II.2.1 Illustration sur un exemple Commençons par interpréter l équation 4x + 7 = 6x + 1 en terme d équilibre d une balance : 4x + 7 = 6x + 1 On cherche quelle est donc la valeur du poids x sachant que l équilibre est réalisé. On commence par se dire qu enlever un poids de 1 de chaque côté ne change rien. 4x = 6x On a obtenu l équation 4x = 6x. Par rapport à l équation initiale, c est comme si on avait changé le terme 1 de membre de l équation (il est passé du second membre au premier membre) en changeant le signe qui le précédait. On a donc maintenant l équation 4x + 6 = 6x. On se dit que si on enlève 4x sur chaque plateau, on ne changera pas l équilibre : 4x 4x + 6 = 6x 4x Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

53 41 On a obtenu l équation 4x 4x+6 = 6x 4x, soit 6 = 6x 4x ; à partir de l équation 4x+6 = 6x, on a changé le terme 4x de membre de l équation (il est passé du premier membre au second) en changeant son signe. On a maintenant l équation 6 = 2x. Pour terminer, on se dit qu on ne changera pas l équilibre si on divise par deux les quantités présentes sur chaque plateau : on ne laissera que 3 poids de 1 à gauche et juste un poids inconnu x à droite : 6 2 = 2x 2 On obtient pour terminer l équation 6 = 2x, soit 3 = x, ou encore x = On a déterminé la seule valeur de x possible pour que l équilibre soit réalisé : le poids x doit valoir 3. Nous pouvons maintenant formaliser par des règles ce que nous venons d illustrer II.2.2 Règle d addition-soustraction R19 Dans une équation, si un des membres est une somme, on peut changer de membre un des termes de cette somme, à condition de changer le signe qui le précède. Plus précisément, si on change un terme précédé d un signe, il sera précédé de + après le changement de membre ; s il était précédé de + (ou sans rien devant, si c est le premier terme de la somme), il se retrouve précédé de après changement de membre. En fait, changer un terme de membre revient à l additionner (ou le soustraire) aux deux membres de l équation. II.2.3 Règle de multiplication-division R20 Dans une équation, on peut multiplier ou diviser les deux membres par le même terme non nul. II.3 II.3.1 Équations du premier degré à une inconnue Définition Définition II.2 On dit qu une équation est du premier degré à une inconnue x lorsqu elle peut être mise sous la forme ax = b (a et b désignant deux nombres) en utilisant les règles R19 et R20. C est le cas lorsque les deux membres sont des polynômes en x ne comportant pas de termes avec des puissances de x. Traitons quelques exemples. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

54 42 D A E U B Année de remise à niveau Exemple 1 : Résoudre l équation 3x + 1 = 5 2x. On est sûr que cette équation est du premier degré, à une seule inconnue x. On passe d un seul côté tous les termes qui contiennent x, et au contraire, on met dans l autre membre tous les termes qui ne contiennent pas x (on parle des termes constants). Passons dans l autre membre le terme 2x du second membre ; il était précédé du signe, il faudra donc l écrire précédé du signe + dans le premier membre. L équation devient donc 3x + 2x + 1 = 5, soit 5x + 1 = 5. Maintenant passons dans le second membre le terme 1 du premier membre ; il était précédé de +, on l écrira donc précédé de dans le second membre. On obtient : 5x = 5 1, soit 5x = 4. C est sous la forme ax = b, avec a = 5 et b = 4, ce qui confirme bien qu il s agissait d une équation du premier degré à une inconnue. Maintenant on divise les deux membres par 5. On obtient 5x 5 = 4 5, soit x = 4 5. On a prouvé que l équation qu on étudiait (3x + 1 = 5 2x) possède une seule solution qui est 4 5 On peut, si on le souhaite, vérifier cette solution : en remplaçant x par 4 dans le membre de 5 gauche de 3x+1 = 5 2x, on obtient = = 17, et en faisant le même remplacement dans le membre de droite, on obtient = 25 8 = 17 ; on trouve la même valeur dans les deux membres, ce qui prouve bien que 4 est une solution de cette équation. 5 Exemple 2 : Résoudre l équation 2 3x + 5(x 3) = 3x + 7 4(x 1). Cette équation est aussi du premier degré, car x n est jamais multiplié par lui-même. Devant une telle équation, on commence par réduire les deux membres, en appliquant les règles vues au premier chapitre. On obtient : 2 3x+5x 15 = 3x+7 4x+4, soit 2x 13 = x+11 ; maintenant on applique la règle R19 : on passe dans le premier membre le terme x, en changeant son signe, ce qui donne 2x+x 13 = 11 ; on passe dans le second membre le terme 13 en changeant son signe : 3x = 11+13, soit 3x = 24 ; maintenant on divise les deux membres par le même nombre, 3 : 3x 3 = 24, soit x = 8. On a prouvé que 8 est la seule solution de l équation qu on devait résoudre. 3 On peut vérifier dans l équation initiale que 8 est bien solution. Exemple 3 : Résoudre l équation x 2 x 1 x 2 = x Cette équation est du premier degré, car x n est jamais multiplié par lui-même, et n est jamais au dénominateur. Devant une telle équation, on a souvent intérêt à commencer par supprimer tous les dénominateurs, en multipliant les deux membres par un nombre qui est un multiple commun des dénominateurs. Ici, on remarque que 12 est divisible par 2, 3 et 6, ce multiplicateur fera l affaire. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

55 43 On multiplie donc les deux membres par 12 (règle R20) ; on obtient : ( x 12 2 x 1 x 2 ) ( ) x + 7 = 12, x 2 12 x 1 12 x 2 = 12 x + 7, ce qui s écrit aussi x (x 1) (x 2) = (x + 7), donc en simplifiant les fractions x 4(x 1) (x 2) = 2(x + 7) (bien sûr, on peut, avec un peu d habitude, aller beaucoup plus vite et obtenir directement cette dernière ligne) : On applique maintenant les règles de calcul du premier chapitre et la règle R19 (p.41) : 6x 4x + 4 x + 2 = 2x + 14, soit x + 6 = 2x + 14, et donc 6 14 = 2x x (on a passé simultanément le terme 14 de droite à gauche et le terme x de gauche à droite, en pensant à changer de signe) On obtient donc 8 = x, et on a donc prouvé que 8 est la seule solution de cette équation. Exemple 4 : Résoudre l équation 5x = 13 4 x 3 On peut appliquer la technique de l exemple 3, et multiplier les deux membres par 12 ; cependant, dans certains exemples comme celui-ci, il est plus judicieux de commencer par la règle R19, car on pourra réduire des termes analogues. L équation peut aussi s écrire 5x 3 + x 3 = , soit 5x + x = 13 5, ou encore 3 4 6x 3 = 8 et en simplifiant les fractions 2x = 2, soit, en divisant par 2 4 x = 1 Cette équation a donc 1 pour unique solution. Les inconnues ne s appellent pas forcément x ; voici deux exemples d équation où l inconnue est désignée par une autre lettre, avec en plus des ensembles de solutions surprenants. Exemple 5 : Résoudre l équation 5(t 1) 3t = 2(t + 2) 1. L inconnue est évidemment t. On développe et on réduit les deux membres ce qui donne 5t 5 3t = 2t + 4 1, soit 2t 5 = 2t + 3. On fait maintenant les transferts : 2t 2t = 3 + 5, soit 0t = 8. On ne peut pas diviser les deux membres par 0. On revient à la définition d une solution d une équation : y a-t-il des nombres t qui, multipliés par 0, donnent 8 comme résultat? Non, bien sûr. puisque la multiplication de tout nombre par zéro donne un résultat nul. Donc l équation n a pas de solution. Exemple 6 : Résoudre l équation z + 1 2z z + 4 = z L inconnue est ici z. Commençons par éliminer les dénominateurs en utilisant le multiple commun 30 des dénominateurs. L équation devient : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

56 44 D A E U B Année de remise à niveau 10(z + 1) 6(2z + 1) + 5(z + 4) = 3(z + 8) 10z z 6 + 5z + 20 = 3z z + 24 = 3z + 24, soit 3z 3z = ou encore 0z = 0. Y a-t-il des nombres z tels que, multipliés par 0, donnent 0 comme résultat? Oui, bien sûr : n importe quel nombre z convient. L équation admet donc tout nombre réel comme solution. II.3.2 Récapitulation Nous avons constaté que toutes les équations du premier degré à une inconnue (x) pouvait finir par se mettre sous la forme ax = b Si a est non nul, alors l équation s écrit x = b et b est l unique solution. a a Si a est nul, l équation s écrit 0x = b ; Si b est lui aussi nul, l équation s écrit 0x = 0 et tout nombre est solution. Si b est non nul (alors que a =), alors l équation qui s écrit 0x = b n a pas de solution. Exercice II.2 Résoudre les équations suivantes : 1 5(3x + 1) (1 + 2x) = 3(4x + 2) ; 2 2u 3(u + 1) = 1 2u 2 3 7x 5 2 6x 5 = 3x ; 6 3 2x + 15 = 3 ; 6 5 4(x + 2) (x + 11) = 4x 3x x 6 3x 1 2 ; 8 3 II.4 Équations se ramenant à des équations du premier degré Certaines équations ne sont pas du premier degré, mais leur résolution se ramène à la résolution d équations du premier degré. II.4.1 Équations produit sans second membre Si le premier membre d une équation est un produit de facteurs, et que le second membre est nul, comme on sait qu un produit de facteurs ne peut être nul que si un des facteurs au moins est nul, on peut résoudre «par morceaux» une telle équation. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

57 45 Exemple 7 : Résoudre l équation (x 2)(4 3x) = 0. Une très mauvaise méthode serait de commencer par essayer de développer ce produit de facteurs. On obtiendrait une équation du deuxième degré, que nous n avons pas encore appris à résoudre, et même plus tard, ce n est pas la bonne méthode. On raisonne en disant que le produit (x 2)(4 3x) ne peut être nul que si un des facteurs au moins est nul, c est-à-dire (x 2) ou (4 3x) est nul. On obtient donc x 2 = 0 ou 4 3x = 0, et maintenant on sait résoudre ces deux équations du premier degré : x 2 = 0 pour x = 2 et 4 3x = 0 pour 4 = 3x, soit x = 4 3. L équation admet donc deux solutions qui sont 2 et 4 3 Exemple 8 : Résoudre l équation x 3 4x = 0. Cette équation est du troisième degré, mais heureusement on peut factoriser le membre de gauche. L équation devient : x(x 2 4) = 0, ce qui s écrit aussi x(x ) = 0, soit x(x 2)(x + 2) = 0. Cette fois on exprime que ce produit est nul donc un de ses facteurs au moins est nul, soit : x = 0 ou x 2 = 0 ou x + 2 = 0 et finalement on a prouvé que l équation a trois solutions qui sont 0, 2 et 2. Exemple 9 : Résoudre l équation 4x (2x 7)(1 x) = 0. Nous avons appris à factoriser une expression comme le membre de gauche, au premier chapitre. L équation peut s écrire 2 2 x (2x 7)(1 x) = 0, ou encore (2x) (2x 7)(1 x) = 0, soit [ (2x 7)(2x + 7) ] + (2x 7)(1 x) = 0; maintenant on peut factoriser : (2x 7) [ (2x + 7) + (1 x) ] = 0, on réduit le contenu des crochets : (2x 7)(x + 8) = 0. On s est ramené à l étude d un produit nul, un des facteurs est donc nul, soit 2x 7 = 0 ou x + 8 = 0, c est-à-dire x = 7 ou x = 8. L équation admet deux solutions qui sont 7 et Exemple 10 : Résoudre l équation (x + 12)(x 4) = 2x(x 4). Pour se ramener à un produit nul, on transfère tout dans le même membre, l équation peut s écrire : (x + 12)(x 4) 2x(x 4) = 0, on peut maintenant factoriser, ce qui donne (x 4) [ (x + 12) 2x ] = 0, soit (x 4)( x + 12) = 0 ou encore x 4 = 0 ou x + 12 = 0. L équation possède donc deux solutions qui sont 4 et 12. Il ne fallait surtout pas «simplifier» par x 4 l équation initiale, car on n a pas le droit de diviser les deux membres d une équation par un facteur qui pourrait être nul ; en effet, x 4 s annule pour x = 4, ce n est pas un nombre non nul. Exercice II.3 Résoudre les équations 1 2x 2 + 7x = 0 ; 2 16y 2 (3y 1) 2 = 0 ; Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

58 46 D A E U B Année de remise à niveau 3 4t 2 = 25 ; 4 16x 2 56x + 49 = 0 ; 5 (3x + 1)(2x + 7) = 9x 2 1. II.4.2 Équations avec des fractions où l inconnue est au dénominateur Une telle équation n est pas du premier degré, mais on s en sort en appliquant les règles suivantes : R21 Une égalité du type a b = c peut être remplacée par les deux conditions a = c et b b 0. En pratique, on remplace une égalité a b = c (où b est un dénominateur contenant l inconnue { b a = c de l équation) par le système ; l accolade signifie que les deux conditions doivent être b 0 réalisées. R22 Une égalité du type a b = c peut être remplacée par les trois conditions ad = bc d et b 0 et d 0. En pratique, on remplace une égalité a b = c (où b et d sont des dénominateurs dont l un au d ad = bc moins contient l inconnue de l équation) par le système b 0 ; l accolade signifie que les d 0 trois conditions doivent être réalisées. De la même manière, en appliquant la règle R21, on obtient la règle suivante : R23 Une égalité du type a = 0 peut être remplacée par les deux conditions a = 0 et b b 0. (En effet, on peut écrire cette égalité sous la forme a b = 0 b ). En pratique, on remplace une égalité a b = 0 par le système { a = 0 b 0. Traitons quelques exemples : Exemple 11 : Résoudre l équation 2 + x x + 3 = 1 { 3 (2 + x) 3 = 1 (x + 3) (C 1 ) en application de la règle R22, on écrit x (C 2 ) (Il faudrait normalement écrire aussi une troisième condition (C 3 ) : 3 0, mais cette dernière condition étant évidemment toujours vraie, on ne l écrit pas!) Traitons d abord l équation que représente la condition (C 1 ). Elle s écrit 6 + 3x = x + 3, soit 3x x = 3 6, c est-à-dire 2x = 3, et x = 3 ; l équation (C 2 1) a pour unique solution 3 2 Cette unique solution de (C 1 ) vérifie la condition (C 2 ), puisque 3 +3 = 3 0. Donc l équation 2 2 initialement posée admet comme unique solution 3. 2 (Quand on a fini de résoudre l équation (C 1 ), il ne faut pas oublier de rédiger en montrant qu on a vérifié la condition (C 2 ). Parfois une des solutions de l équation tirée de la première Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

59 47 solution est une valeur interdite par une des conditions (C 2 ) ou (C 3 ). C est assez rare, mais nous rencontrerons de telles situations, et si on oublie de faire cette vérification, on fait au moins une erreur de méthode, même quand la solution trouvée est valable.) x 4 Exemple 12 : Résoudre l équation : 2x 3 = x + 1 2x 4 (x 4)(2x 4) = (2x 3)(x + 1) (C 1 ) Cette équation peut être remplacée par 2x 3 0 (C 2 ) 2x 4 0 (C 3 ). Occupons-nous de (C 1 ) : même en passant tout du même côté de l égalité, on ne voit pas de factorisation. On va donc essayer de tout développer, en espérant une simplification. 2x 2 8x 4x + 16 = 2x 2 3x + 2x 3, on passe maintenant tout du même côté 12x + 16 = x 3, soit = x + 12x ou encore 11x = 19. L équation (C 1 ) admet donc 19 comme unique solution. 11 Comme et 2 4 0, les conditions (C ) et (C 3 ) sont aussi vérifiées par le nombre 19 19, donc l équation proposée admet bien comme unique solution la valeur Exemple 13 : Résoudre l équation : x + 2 x 2 1 x = 2 x(x 2) Pour pouvoir appliquer la règle R21 ou la règle R22, on met le premier membre sous la forme d une fraction unique, en réduisant au même dénominateur : x + 2 x 2 1 x(x + 2) = x x(x 2) x 2 x(x + 2) (x 2) = = x2 + x + 2 x(x 2) x(x 2) x(x 2) L équation à résoudre s écrit donc x2 + x x(x{ 2) x(x 2) x 2 + x + 2 = 2 (C 1 ) On applique la règle R21 et on obtient x(x 2) 0 (C 2 ). L équation (C 1 ) s écrit x 2 + x = 0, soit x(x + 1) = 0, elle admet donc les deux solutions 0 et 1. Mais 0 ne vérifie pas (C 2 ) (puisqu on a 0(0 2) = 0), donc 0 n est pas solution de l équation proposée. En revanche, puis que ( 1)( 1 2) 0, 1 vérifie (C 2 ). La seule solution de l équation initiale est donc 1. Exercice II.4 Résoudre les équations : 1 3x 2 x + 1 = 3 2 ; 2 7x x = 1 ; 3 x x = 1 2 ; 4 1 2x 3 5 x = 3 2x 2 3x ; 5 4x 7 x + 3 = 0. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

60 48 D A E U B Année de remise à niveau II.5 Problèmes conduisant à la résolution d équations du premier degré À partir de quelques exemples, nous allons expliquer la démarche et les principales étapes à mettre en œuvre pour résoudre par voie algébrique un tel problème. Les étapes d un tel raisonnement sont les suivantes : 1 choisir l inconnue ; 2 mettre le problème en équation ; 3 résoudre l équation obtenue ; 4 conclure en répondant à la question ; 5 éventuellement, vérifier la réponse. Exemple 14 : Une mère de 42 ans a un fils de 12 ans? Dans combien d années l âge de la mère sera-t-il le triple de celui de son fils? Choix de l inconnue : en général, ce choix est naturel dans le problème, c est le plus souvent la quantité qu on cherche à déterminer. Ici, soit x le nombre d années répondant à la question. Mise en équation : on traduit les données de l énoncé sous forme algébrique. Nous avons à exprimer que dans x années, l âge de la mère sera égal au triple de celui du fils. Dans x années, l âge de la mère sera 42+x et celui du fils sera 12+x. On obtient alors l équation : 42 + x } {{ } l âge de la mère }{{} = 3(12 + x) } {{ } est le triple de l âge du fils Résolution de l équation : on développe et on obtient 42 + x = x, soit = 3x x ou encore 6 = 2x, donc x = 3. Cette équation a pour unique solution 3. Conclusion : (on vérifie que la solution trouvée a un sens, et convient au problème posé). 3 est un résultat plausible (un nombre négatif ne l aurait pas été). C est donc dans trois ans que la mère aura un âge qui sera le triple de celui de son fils. Vérification : dans 3 ans, la mère aura 45 ans et le fils 15 ans, et on a bien 45 = L âge de la mère sera bien le triple de celui du fils. Exemple 15 : Un cycliste va de la ville A à la ville B à la vitesse de 23km/h et revient par la même route à la vitesse de 27km/h ; la durée totale du trajet est 5 heures ; quelle est la distance de A à B? Choix de l inconnue : soit d la distance, exprimée en kilomètres, de A à B (c est aussi la distance de B à A). Mise en équation : Traduisons que la durée totale est égale à 5 heures. La distance d (en km) parcourue par un véhicule roulant pendant le temps t (en heures) à la vitesse v (en km/h) est, puisque v = d t, d = v t ; on a aussi t = d v Le temps mis par le cycliste à l aller est donc d 23, tandis que le temps du retour est d 27 ; le temps total est donc d 23 + d ; l énoncé nous dit que le temps total est égal à 5 heures, donc on 27 a l équation d 23 + d 27 = 5. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

61 49 Résolution de l équation : on multiplie par 23 27, pour faire disparaître les dénominateurs : ( d 23 + d ) = , donc d d = 3 105, soit 27 27d + 23d = et finalement 50d = Cette équation a pour solution = 62,1. 50 Conclusion : ce résultat est plausible, 62,1km est bien la distance entre les deux villes A et B. Vérification : à 23km/h, le cycliste met 62,1 = 2,7 heures pour faire l aller, et à 27km/h, il met 23 62,1 = 2,3 heures pour faire le retour, cela fait bien 2,7 + 2,3 = 5 heures en tout. 27 Remarque : il s agit d heures décimales, comme dans les calculs horaires sur des fiches de paie : 2,7 heures signifie 2+ 7 heures, c est-à-dire, puisqu un dixième d heure fait six minutes, 2 heures 10 et 42 minutes pour l aller, 2 heures et 3 6 = 18 minutes pour le retour, ce qui fait bien encore 5 heures en tout. Exercice II.5 Voici quelques problèmes et quelques équations. Trouvez l équation qui convient à chaque problème (puis bien sûr, résoudre l équation et le problème correspondant). Voici les problèmes 1 Pierre a dans son atelier plusieurs billes d acier identiques ; il voudrait trouver la masse d une bille, possède une balance Roberval (avec deux plateaux et une position d équilibre) mais pas de masses marquées. Il pense pouvoir s en sortir car il a un morceau de plomb de 3kg et un autre de laiton de 2,7kg. en effet, il s aperçoit qu une bille et le morceau de plomb ont ensemble la même masse que quatre billes et le morceau de laiton. Déterminez la masse d une bille. 2 Dans la cour de l école maternelle, il y a deux bacs à sable, l un est carré et l autre est un triangle équilatéral ; le carré et le triangle ont des côtés de même mesure ; le périmètre du bac triangulaire a 2,7m de moins que celui du carré ; trouvez la mesure commune du côté du carré et du triangle. 3 Les abricots et les pêches sont au même prix sur le marché ; un enfant rapporte 2,7kg d abricots et 1kg de pêches ; les pêches ne sont pas mûres et sa mère, qui ne voulait pas d abricots le renvoie au marché. Il rapporte le tout au commerçant (compréhensif!) et pour la même somme revient avec 2,7kg de pêches mûres et 4 pamplemousses à 1e la pièce. Quel est le prix commun du kg d abricots et celui du kg de pêches? et voici les équations a) 4x 2,7 = 3x ; b) x + 3 = 4x + 2,7 ; c) 4 x = 3 2,7x ; d) 2,7x + x = 2,7x + 4. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

62 50 D A E U B Année de remise à niveau Exercice II.6 Voici quelques problèmes et quelques équations. Trouvez l équation qui convient à chaque problème (puis bien sûr, résoudre l équation et le problème correspondant). Voici les problèmes 1 Des amis décident de se cotiser pour s acheter un objet ; s ils donnent 10e chacun, ils peuvent acheter cet objet et il restera 35e. Il décident finalement de donner 15e chacun et ils peuvent ainsi acheter exactement deux objets. Combien sont-ils? 2 Marc a 10 ans et son père a 35 ans ; ils fêtent leurs anniversaires le même jour. Dans combien d années soufflera-t-il exactement deux fois plus de bougies que son fils? 3 Je choisis un nombre, je lui ajoute 15, je double le résultat obtenu puis j enlève 35, et je retrouve le nombre choisi au début! Quel est ce nombre? et voici les équations a) 35 + x = 2(10 + x) ; b) 2(x + 15) 35 = x ; c) 10 2(x + 15) = x 35 ; d) 2(10x 35) = 15x. Revenons sur les différentes étapes de la résolution algébrique d un problème du genre de ceux qu on étudie dans ce chapitre : Le choix de l inconnue : il est nécessaire de bien identifier ce que l on cherche, ce n est souvent pas le plus difficile. La mise en équation : c est l étape difficile, car il faut traduire chaque donnée de l énoncé dans l équation qu on va écrire. Bien sûr l équation cherchée prend en compte bien sûr l inconnue que l on cherche, mais aussi toutes les données «utiles» de l énoncé. La résolution de l équation : c est la partie technique, qui normalement ne devrait pas vous poser de problème si vous avez bien compris le début du chapitre. La conclusion : on met dans une phrase la valeur de l inconnue que l on a trouvée en résolvant l équation. On vérifie au passage que la valeur trouvée est plausible, par exemple si l équation qu on a posée admet une solution négative, c est en général que le problème concret n a pas de solution ; cela peut arriver. De même, si la solution de l équation un nombre décimal ou fractionnaire non entier, alors qu on est en train de chercher un nombre entier, c est aussi que le problème est sans solution. La vérification : on reprend les termes du problème avec la valeur qu on a trouvée comme solution, et on vérifie que «ça marche». C est la deuxième étape qui est la plus délicate dans ce genre d exercice. Cela n a rien d évident de mettre en équation un problème, et il n y a malheureusement pas de méthode miracle pour y arriver. Comme dit le problème, c est en forgeant qu on devient forgeron ; entraînez-vous, faites bien tous les exercices et vous y arriverez petit à petit de mieux en mieux. Voici une méthode qui peut vous aider à y voir plus clair dans l énoncé, et à trouver plus facilement l équation qui correspond au problème posé. Il s agit de commencer par essayer un nombre plausible au hasard et de faire les calculs pour voir si on a eu «un gros coup de chance» ; en général, ce n est pas le cas, mais ensuite, on refait les mêmes calculs en remplaçant la valeur qu on avait choisie (au hasard) par la lettre qui représente l inconnue... Souvent on arrive alors à écrire très naturellement l équation qu on cherche. Voyons deux exemples de cette méthode. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

63 51 Exemple 16 : Considérons le problème suivant : On place 7 500e à un certain taux et 2 500e à 2% de plus. Au bout d un an, les intérêts versés se montent à 200e. À quel taux étaient placés les 7 500e? Choix de l inconnue. L inconnue x est évidemment le taux d intérêt auquel on place les Exploration Avant d essayer une mise en équation, si on a du mal à trouver ce qu il faut écrire, on choisit une valeur pour x (au hasard). Par exemple, si on prend x = 3%, a-t-on miraculeusement trouvé la solution? (1) 7 500e placés à 3% rapportent, au bout d un an : = 75 3 = 225e. 100 (2) 2 500e placés à 2% de plus (que les 3%), soit à 5% rapportent, au bout d un an : = 25 5 = 125e. 100 (3) Les intérêts versés au bout d un an sont donc = 350, soit 350e. Conclusion provisoire : 3% n est pas la bonne réponse. Bien sûr c est un peu décevant, mais si on y réfléchit, c est aussi bien comme ça : si on avait trouvé une solution du problème, on aurait malgré tout été incapable d affirmer que c est la seule solution, que les autres valeurs ne conviennent pas aussi. Il faudrait quand même faire la mise en équation et la résolution! Mise en équation : on reprend donc la même démarche, en remplaçant tous les 3 par l inconnue x. (gardons la même numérotation). (1) 7 500e placés à x% rapportent, au bout d un an : x = 75 x = 75x. 100 (2) 2 500e placés à 2% de plus (que les x%), soit à (x+2)% rapportent, au bout d un an : (x + 2) = 25 (x + 2) = 25(x + 2). 100 (3) Les intérêts versés au bout d un an sont donc 75x + 25(x + 2), et on veut que ce total soit égal à 200e. On a donc obtenu l équation que nous cherchions 75x + 25(x + 2) = 200. Résolution de l équation On termine maintenant l étude de l exemple, c est facile puisqu on a l équation : 75x + 25x + 50 = 200 donc 100x + 50 = 200 ou encore 100x = x = 150 doncx = = 1,5 Conclusion La somme de 7 500e a été placée à 1,5% ; cette valeur est plausible et correcte. Vérification ,5 1,5 + 2 = 75 1,5 = 112,5 et = 25 3,5 = 87,5, et on a bien ,5 + 87,5 = 200. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

64 52 D A E U B Année de remise à niveau Exemple 17 : La vitesse du son dans l air est de 340m/s et dans l eau elle est de 1 400m/s. D un bateau, on entend le bruit d une explosion sous l eau, et 10,6s plus tard, on entend le bruit de cette même explosion dans l air. À quelle distance du bateau s est produite l explosion? Choix de l inconnue : on prend comme inconnue la distance x entre le bateau et le lieu de l explosion. Exploration : recherchons si la bonne réponse est 5 000m (on prend cette distance au hasard). (1) Dans l air, pour arriver au bateau, le bruit mettrait alors (en secondes) ,70 ; (2) dans l eau, pour arriver au bateau, le bruit mettrait alors (en secondes) ,57 ; (3) la différence des temps est alors environ 14,70 3,57 11, m n est donc pas la bonne réponse! Mise en équation : on utilise x au lieu de 5 000, en faisant le même raisonnement. Depuis la distance x, x (1) dans l air, pour arriver au bateau, le bruit met 340 ; x (2) dans l eau, pour arriver au bateau, le bruit met ; x (3) la différence des temps est 340 x On doit choisir x pour que cette différence soit 10,6. On a donc l équation x 340 x = 10,6. Résolution de l équation : On multiplie les deux membres de l équation par un multiple commun de 340 et ; on prend x x = ,6, ce qui donne x 17 = , soit 53x = donc x = Conclusion : l explosion s est produite à 4 760m du bateau. Vérification : = 14 3,4 = 10, Cette méthode pourra être utilisée pour tous les problèmes que vous rencontrerez dans la suite du cours, si vous n arrivez pas à faire immédiatement la mise en équation. Exercice II.7 Deux sommes, l une de 4 800e, l autre de 5 400e, sont placées respectivement à 5% et à 4% (intérêts simples). Soit x un nombre d années. Exprimer en fonction de x les intérêts rapportés par chaque somme en x années. Au bout de combien d années ces deux sommes, augmentées des intérêts qu elles ont chacune rapporté, seront-elles égales? Exercice II.8 Aux quatre coins d un carré de côté 4cm, on découpe 4 carrés de même côté. Calculer la longueur des côtés des quatre carrés qu on enlève pour que l aire de la croix qu on obtient soit égale à la moitié de l aire du grand carré. Exercice II.9 Un réservoir contient 850l d eau. Le premier jour, on en tire une certaine quantité d eau, puis chacun des trois jours suivants, on tire le quart de ce qu on avait tiré la veille. Pour que le réservoir soit à moitié plein, il faudrait tirer encore 170l d eau. Calculer la quantité d eau tirée le premier jour. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

65 53 II.6 Corrigé des exercices du deuxième chapitre Corrigé de l exercice II.1 (p.39) 1 2x + 3 = x + 2 ; 4 est-elle une solution? On calcule 2( 4) + 3 et ( 4) + 2 ; on trouve 5 et 2, qui ne sont pas égaux, donc 4 n est pas une solution de 2x + 3 = x est-elle une solution? On calcule 2( 1) + 3 = 1 et ( 1) + 2 = 1 ; on trouve que 2( 1) + 3 = 1 = ( 1) + 2 donc 1 est une solution de 2x + 3 = x est-elle une solution? On calcule = 3 et = 2 ; 3 2, donc 0 n est pas une solution de 2x + 3 = x est-elle une solution? On calcule = 7 et = 4 ; 7 4, donc 2 n est pas une solution de 2x + 3 = x On doit trouver des solutions de x 2 = x + 2 ; Présentons les calculs sous forme d un tableau. x x x Dans ce tableau, on constate qu on trouve les mêmes valeurs l une en dessous de l autre dans les deux dernières lignes pour x = 1 (valeur commune 1) et pour x = 2 (valeur commune 4). Donc 1 et 2 sont des solutions de l équation x 2 = x + 2 et il n y en a pas d autres parmi les valeurs 3, 2, 1, 0, 1, 2 et 3. 3 Pour x x = 6x faisons également un tableau ; x x x x Ce tableau nous montre que parmi les valeurs 1, 0, 1, 2, 3 et 4, il y a trois solutions de l équation x x = 6x qui sont 1, 2 et 3. Corrigé de l exercice II.2 (p.44) 1 5(3x + 1) (1 + 2x) = 3(4x + 2) ; on développe tout, et on obtient : 15x x = 12x + 6 ; on réduit et on a : 13x + 4 = 12x + 6 ; on passe tous les termes en x à gauche, tous les autres termes à droite : 13x 12x = 6 4, soit x = 2. 2 est la seule solution de l équation 5(3x + 1) (1 + 2x) = 3(4x + 2). 2 2u 3(u + 1) = 1 2u ; l inconnue est ici u. Commençons par tout multiplier par 2 pour ne 2 plus avoir de dénominateurs : 2 [ 2u 3(u + 1) ] = 1 2u ; maintenant, on développe : 4u 6(u + 1) = 1 2u, donc 4u 6u 6 = 1 2u. On réduit : 2u 6 = 1 2u ; on passe tous les termes en u à gauche et les autres termes à droite : 2u + 2u = 1 + 6, soit 0u = 7. Il n est pas possible de trouver un nombre u qui, multiplié par 0 donne 7. Donc l équation 2u 3(u + 1) = 1 2u 2 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté n a pas de solution.

66 54 D A E U B Année de remise à niveau 3 7x 5 6x 5 = 3x ; éliminons tous les dénominateurs, en multipliant les deux membres par 6 : 6 7x 5 6 6x 5 = 6 3x , donc 3(7x 5) (6x 5) = 2(3x + 7) 12 ; on développe, on réduit, on passe tous les termes en x du même côté, et les autres termes de l autre ; ce qui donne, successivement : 21x 15 6x + 5 = 6x x 10 = 6x+2 et finalement 15x 6x = 2+10, soit 9x = 12. La seule solution de l équation 7x 5 6x 5 = 3x est donc x = = x 6 3x x 3x x + 15 = 3 ; même méthode, avec moins de détails, on obtient successivement : 6 2x + 15 = ; 7x 3(3x 1) = 18 (2x+15) ; 7x 9x+3 = 18 2x 15 6 soit 2x+3 = 3 2x ou encore 2x+2x = 3 3, soit 0x = 0. Tout nombre x vérifie cette dernière égalité, donc l équation 7x 5 6x 5 = 3x admet tout nombre comme solution (x + 2) (x + 11) = 4x 3x ; on multiplie tout par 3 : (x + 2) 3(x + 11) = 12x (3x + 2) 8, donc 12x x 33 = 12x 3x 2 8 ou encore 9x 11 = 9x 10 ; on obtient 9x 9x = , soit 0x = 1, l équation n a pas de solution. Corrigé de l exercice II.3 (p.45) 1 2x 2 + 7x = 0 ; on factorise x, et on obtient x(2x + 7) = 0 ; un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, donc on a x = 0 ou 2x + 7 = 0, soit 2x = 7, c est-à-dire x = 7 2 L équation 2x 2 + 7x = 0 a deux solutions qui sont 0 et y 2 (3y 1) 2 = 0 ; comme 16y 2 = 4 2 y 2 = (4y) 2, on reconnaît une différence de deux carrés, ce qui nous permet de factoriser en utilisant la formule a 2 b 2 = (a b)(a + b). L équation s écrit donc [ 4y (3y 1) ] [ 4y + (3y 1) ] = 0, c est-à-dire (4y 3y + 1)(4y + 3y 1) = 0 ou encore (y + 1)(7y 1) = 0. La nullité de ce produit équivaut donc à y + 1 = 0 ou 7y 1 = 0 soit y = 1 ou y = 1 7 L équation 16y 2 (3y 1) 2 = 0 a deux solutions qui sont 1 et t 2 = 25 ; ici l inconnue est t. On passe tout du même côté de l égalité pour pouvoir factoriser et appliquer la méthode vue plus haut : l équation s écrit (2t) = 0, soit (2t 5)(2t+5) = 0, ce qui revient à 2t 5 = 0 ou 2t + 5 = 0, c est-à-dire t = 5 2 ou t = 5 2 L équation 4t 2 = 25 a deux solutions qui sont 5 2 et x 2 56x + 49 = 0 ; ici, c est la formule (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 qu on va essayer d utiliser. L équation s écrit (4x) 2 56x = 0. Cela ressemble au carré de (4x 7), mais il faut bien vérifier que le double produit est bien celui dont on a besoin : pour a = 4x et b = 7, on a 2ab = 2(4x)7 = 56x, qui est bien le terme du milieu. L équation peut donc s écrire (4x 7) 2 = 0, ou encore (4x 7)(4x 7) = 0, c est-à-dire 4x 7 = 0 ou (est-ce bien utile de le répéter?) 4x 7 = 0, soit x = 7 4 L équation 16x 2 56x + 49 = 0 possède une seule solution qui est 7 4 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

67 55 5 (3x + 1)(2x + 7) = 9x 2 1 ; passons tout du même côté pour essayer de factoriser. On obtient (3x + 1)(2x + 7) (9x 2 1) = 0. On remarque que 9x 2 1 = (3x) = (3x 1)(3x + 1), de sorte que l équation peut s écrire (3x + 1)(2x + 7) (3x + 1)(3x 1) = 0 ; cette fois on peut factoriser (3x + 1), de sorte qu on obtient (3x + 1) [ (2x + 7) (3x 1) ] = 0, ou encore (3x + 1)(2x 3x ) = 0, c est-à-dire (3x + 1)( x + 8) = 0. Un des facteurs est nul, donc on obtient 3x + 1 = 0 ou x + 8 = 0, soit x = 1 ou x = 8. 3 L équation (3x + 1)(2x + 7) = 9x 2 1 possède deux solutions qui sont 1 et 8. 3 Corrigé de l exercice II.4 (p.47) 1 3x 2 x + 1 = 3 ; en appliquant la règle R22 p.46, cette équation équivaut à { 2 2(3x 2) = 3(x + 1) (C 1 ) (pas besoin d écrire que 2 0, c est évident). x (C 2 ) Étudions la condition (C 1 ) : elle s écrit aussi 6x 4 = 3x + 3, soit 6x 3x = ou encore 3x = 7, soit x = 7. 3 Cette valeur 7 vérifie la condition (C 3 2) ( 7 1), donc elle convient et on peut conclure : 3 l équation 3x 2 x + 1 = 3 2 admet une unique solution qui est x x = 1 ; on applique encore la règle R22 p.46 (en écrivant 1 = 1 ), on obtient donc { 1 7x 3 = 2 + x (C 1 ) 2 + x 0 (C 2 ) La condition (C 1 ) s écrit 7x x = 2 + 3, soit 6x = 5, c est-à-dire x = 5 6 Comme , la condition (C 2) est aussi vérifiée par cette valeur, et on peut conclure. L équation 7x x = 1 admet une unique solution qui est x x = 1 2 ; toujours la même méthode. Cette équation équivaut au système { 2(x + 2) = 1(3 + 2x) (C 1 ) 3 + 2x 0 (C 2 ) La condition C 1 s écrit 2x + 4 = 3 + 2x, soit 2x 2x = 3 4, c est-à-dire 0x = 1. Il n y a aucune valeur de x qui vérifie cette condition, donc l équation x x = 1 n a pas de solution x 3 5 x = 3 ; pour pouvoir appliquer la même méthode, on commence par 2x 2 3x réduite le membre de gauche, en mettant sur le même dénominateur : l équation s écrit : x 5(2x 3) x(2x 3) x(2x 3) = 3 ou encore, en factorisant le dénominateur du second 2x 2 3x x 5(2x 3) 3 membre et en réduisant le premier membre : = x(2x 3) x(2x 3) On { peut à présent appliquer la règle R21 p.46. L équation équivaut donc au système x 10x + 15 = 3 (C 1 ) x(2x 3) 0 (C 2 ). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

68 56 D A E U B Année de remise à niveau On étudie la condition (C 1 ) : elle revient à 9x = 3 15, soit 9x = 12 ou encore x = 12 = 4 ; comme ( ) 0, la condition (C 3 2 ) est aussi vérifiée, donc on conclut : 1 L équation 2x 3 5 x = 3 2x 2 3x possède une unique solution qui est x 7 = 0 ; cette fois, on applique la règle R23 p.46 : l équation équivaut au système { x + 3 4x 7 = 0 (C 1 ) x (C 2 ) La condition (C 1 ) a pour unique solution x = 7 et il est évident que , donc la 4 4 condition (C 2 ) est vérifiée par ce nombre. L équation 4x 7 x + 3 = 0 admet une unique solution qui est le nombre 7 4 Corrigé de l exercice II.5 (p.49) 1 L inconnue à choisir est bien sûr la masse d une bille d acier, qu on appelle x. L égalité de l équation qu on cherche à écrire provient de la phrase : «une bille et le morceau de plomb ont la même masse que quatre billes et le morceau de laiton» ; comme le morceau de plomb a une masse de 3kg et le morceau de laiton une masse de 2,7kg, on peut donc écrire x + 3 = 4x + 2,7 ; on reconnaît l équation b). On résout cette équation ; elle s écrit x 4x = 2,7 3, soit 3x = 0,3, ou encore x = 0,3 3 = 0,1. Conclusion : une bille d acier a une masse de 0,1kg. Vérification : une bille et le morceau de plomb ont ensemble une masse de 3,1kg (3 + 0,1) et quatre billes et le morceau de laiton ont ensemble une masse de 4 0,1 + 2,7 = 3,1kg. 2 L inconnue est la longueur commune x du côté du carré et du triangle équilatéral. Le carré a un périmètre de 4x, tandis que le triangle équilatéral a un périmètre de 3x ; la phrase de l énoncé qui permet d écrire l égalité de l équation est «le périmètre du bac triangulaire a 2,7m de moins que celui du carré» ; elle se traduit naturellement par 3x = 4x 2,7. On reconnaît l équation a). Résolution : l équation revient à 4x 3x = 2,7, soit x = 2,7. Conclusion : la mesure commune du côté du carré et du triangle est 2,7m Vérification : le triangle a un périmètre de 3 2,7 = 8,1m ; le carré a un périmètre de 4 2,7 = 10,8m et 10,8 2,7 = 8,1, c est bon. 3 Soit x le prix d un kg de pêches (ou d un kg d abricots). Le prix payé par l enfant la première fois est 2,7x+1x ; la deuxième fois, il doit payer 2,7x+4. L équation correspondant à ce problème est donc 2,7x + x = 2,7x + 4 ; on reconnaît l équation d). On soustrait 2,7x aux deux membres de l équation et on trouve x = 4. Le prix du kg de pêche et du kg d abricots est donc 4e. La vérification est immédiate. 4 Pour le plaisir, on va quand même résoudre l équation c) 4 x = 3 2,7x qui ne correspond à aucun de ces trois problèmes : elle s écrit aussi : x + 2,7x = 3 4 ou encore 1,7x = 1 ; on a donc x = 1 1,7 = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

69 57 10 est la seule solution de l équation c). 17 Heureusement que cette équation ne correspondait pas à un problème, car cette valeur négative n aurait pas été une valeur plausible comme réponse à un des trois problèmes étudiés : ce ne pouvait être ni une masse, ni une longueur, ni un prix au kg. Corrigé de l exercice II.6 (p.50) 1 Soit x le nombre d amis. La première hypothèse signifie que le prix de l objet est 10x 35 ; la deuxième hypothèse signifie que deux objets coûtent 15x. On a donc l équation 2(10x 35) = 15x. On reconnaît l équation d). Résolution : l équation s écrit 20x 70 = 15x, ou encore 20x 15x = 70, soit 5x = 70 et x = 14. Conclusion : il y a 14 amis. Vérification : s ils donnent 10e chacun, cela fait 140e, et puisqu il reste 35e, c est que l objet coûte 105e. Deux objets coûtent donc 210e, et s ils donnent 15e chacun, on dispose justement de = 210e. 2 Soit x le nombre d années que l on cherche. Dans x années, Marc aura un âge de 10 + x ans et son père 35 + x ans. On veut que le père ait un âge qui soit le double de celui de son fils ; cette condition se traduit par 35 + x = 2(10 + x) ; on reconnaît l équation a). Résolution : l équation s écrit 35 + x = x, soit = 2x x, ce qui donne x = 15. Conclusion : dans 15 ans, le père aura un âge qui sera le double de celui de son fils. Vérification : dans 15 ans, le fils aura 10+1 = 5 = 25 ans, tandis que le père aura = 50 ans, 50 est bien le double de Soit x le nombre que l on cherche (le nombre que «j ai choisi»). Quand on ajoute 15 à ce nombre, on obtient x + 15 ; ensuite on double le résultat obtenu, cela donne 2(x + 15) ; ensuite on enlève 35, pour obtenir 2(x + 15) 35. L énoncé dit qu on retombe sur le nombre du départ. Cette affirmation se traduit par 2(x + 15) 35 = x. On reconnaît l équation b). Résolution : l équation s écrit : 2x = x, soit 2x 5 = x ou encore 2x x = 5, c est-à-dire x = 5. Conclusion : le nombre choisi était 5. Vérification : on ajoute 15 à 5, on obtient 20, on double le résultat obtenu, cela donne 40, on enlève 35, on retombe bien sur 5. 4 Résolvons maintenant la dernière équation c), pour s entraîner : 10 2(x + 15) = x 35 ; cette équation s écrit : 10 2x 30 = x 35, soit 2x x = ou encore 3x = 15, soit x = 5. L équation 10 2(x + 15) = x 35 admet 5 pour seule solution. Remarque : ce n est pas parce que l on obtient aussi la solution du troisième problème que cette équation aurait aussi pu convenir pour interpréter ce problème ; même si les nombres apparaissant dans cette équation c) sont analogues à ceux de l équation b), même si la solution est la même, cette équation n a rien à voir avec le problème posé! Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

70 58 D A E U B Année de remise à niveau Corrigé de l exercice II.7 (p.52) Prenons (arbitrairement) x = 3. Au bout de 3 ans, la somme de 4 800e, placée à 5% aura rapporté = = 720e, et on disposera de = 5 520e. 100 Dans le même temps, la somme de 5 400e, placée à 4%, aura rapporté = = e, et on disposera de = 6 024e. Ce n est donc pas au bout de 2 ans que les sommes augmentées des intérêts qu elles auront rapporté seront égales. Mise en équation : il suffit maintenant de remplacer 3 par x dans les calculs ci-dessus pour faire correctement la mise en équation. Au bout de x années, la somme de 4 800e, placée à 5% aura rapporté x = x 5 48 = x, et on disposera de xe. Dans le même temps, toujours après x années, la somme de 5 400e, placée à 4%, aura rapporté x = x 4 54 = 216x, et on disposera de xe. 100 L équation permettant de trouver le nombre d années cherché est donc x = x. Résolution : l équation s écrit 240x 216x = , donc 24x = 600, soit x = = 25. Conclusion : c est au bout de 25 ans que les deux sommes augmentées des intérêts qu elles auront rapporté seront égales. Vérification : au bout de 25 ans, les 4 800e auront rapporté = = 6 000, 100 et on disposera donc de = e ; dans le même temps, les 5 400e auront rapporté = = 5 400, et on disposera de = e : c est bien la 100 même somme. Corrigé de l exercice II.8 (p.52) x x Soit x, en centimètres, le côté des carrés découpés. On n utilisera que des cm et des cm 2. Commençons les calculs en supposant que x = 0,8 (au hasard). L aire du grand carré est 16. L aire d un petit carré découpé est 0,8 2 = 0,64 ; l aire de la croix est donc ,64 = 16 2,56 = 13,44. Ce n est pas la moitié de l aire du grand carré, puisque ce n est pas égal à 8. Nous pouvons maintenant faire la mise en équation : il suffit de reprendre les calculs en remplaçant 0,8 par x. L aire d un des petits carrés découpés est x 2 ; l aire de la croix est donc 16 4x 2. 4 L équation qui correspond à ce problème est donc 16 4x 2 = 8. Résolution : on peut écrire l équation sous la forme 16 8 = 4x 2, donc x 2 = 2. On cherche un nombre positif dont le carré vaut 2. on sait que c est le nombre 2 qui convient. Conclusion : le côté du petit carré qu on doit retirer dans chaque coin doit être égal à 2 1,414. Vérification : pour x = 2, chaque petit carré a une aire de 2 2 = 2, on enlève donc une aire de 4 2 = 8 au grand carré, et la croix a bien une aire de 8. Voici une figure correspondant à la solution : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

71 Corrigé de l exercice II.9 (p.52) Soit x la quantité d eau qu on tire le premier jour du réservoir. Nous allons commencer en supposant que x = 100. Le premier jour, la quantité retirée du réservoir est 100 ; le second jour, on en enlève = 25 ; le troisième jour, la quantité tirée est 25 ; le quatrième et dernier jour de l expérience, la quantité 4 d eau tirée du réservoir est 1 25 ; on a donc retiré en tout ( = ) ( ) = 100 = ce qui fait 132,812 5l. Il reste donc ,812 5 = 717,187 5, et ceci n est pas égal à la moitié du réservoir plus 170l, ce qui fait = 595. Donc ce n est pas 100l qu il faut retirer le premier jour, mais on peut maintenant faire la mise en équation : Si( on retire x litres le premier jour, en quatre jours on aura retiré x ) ( ) = x = 85x 85x ; il reste donc 850 et on veut que cette quantité soit égale à la moitié du réservoir plus 170, d où l équation : x 64 = Résolution : on réduit le membre de droite, ce qui donne x = 595, soit 64 85x = = 255. On multiplie tout par 64, ce qui donne : 85x = = , donc x = = Conclusion : on a retiré 192l le premier jour. Vérification : on retire 192l le premier jour, donc on retire 48l le second jour, 12l le troisième jour et 3l le quatrième et dernier jour, on a donc retiré = 255l, et il reste donc = 595l, il faut encore retirer 170l pour obtenir = 425l, ce qui est bien la moitié des 850l initiaux. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

72 60 D A E U B Année de remise à niveau Université de Franche-Comté Centre de Télé-Enseignement Universitaire D.A.E.U. B, année de remise à niveau DEVOIR n 2 à envoyer à la correction Résoudre les équations suivantes : 1 2(x 4) 4(3x 1) = 6(2x 1) ; 2 5x 1 x + 1 = 1 x ; 2 2x (2x + 7)(3x 7) = 2x + 1 ; 6 (x 5)2 = (x 1) 2 4(2x + 3) 2 = 0 ; 3 x 3 3 (x + 1)2 3 6 (2x 1)(2x 3) (1 2x)(2x + 1) = 0 ; 7 6,25 x + 1,75 = x 3 Résoudre les problèmes suivants : Exercice I ; Exercice II 1 Quel nombre faut-il retrancher au numérateur et au dénominateur de fraction égale à 3 4? pour obtenir une 2 Un cycliste allant à une allure régulière à 15km/h et un piéton marchant régulièrement à 4km/h partent en même temps d une ville A pour aller vers une ville B où le cycliste fait demi-tour et repart immédiatement dans l autre sens à la même vitesse pour revenir vers A ; durant le retour, le cycliste croise le piéton qui est à 10km de A. Quelle est la distance entre les deux villes? Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

73 Chapitre III Résolution de systèmes III.1 Équation du premier degré à deux inconnues Définition III.1 Une équation du premier degré à deux inconnues x et y est une équation qui peut se mettre sous la forme ax + by = c (a, b, c désignent trois réels) après éventuellement application des règles de transformation d équations vues dans le chapitre précédent. Une telle équation s appelle aussi une équation linéaire à deux inconnues. x et y sont les inconnues, et a, b, c sont les coefficients. Une solution de l équation ax + by = c est un couple de nombres qui sont tels que si on remplace x et y par ces deux nombres (en respectant l ordre), on trouve une égalité vraie. Exemple 1 : L équation 2x + y = 4 est bien une équation du premier degré à deux inconnues x et y ; le couple (3, 5) n est pas une solution de cette équation, puisque = 11 4 : l égalité = 4 est fausse! En revanche le couple (1, 2) est bien une solution, puisque = 4 est une égalité vraie. Attention, le couple (1, 2), ce n est pas la même chose que le couple (2, 1). Ici (1, 2) est une solution, mais (2, 1) n est pas une solution de 2x + y = 4, puisque = 5 4. Cherchons maintenant s il existe une solution de cette équation 2x + y = 4 dont le premier élément vaut 3 ; est-ce qu on peut trouver un couple ( 3,... ) qui soit solution. Pour cela, on 2 2 remplace les points de suspension par une lettre, disons t, et on regarde si on peut déterminer une valeur de t qui soit telle que l égalité obtenue en remplaçant x par 3 et y par t dans 2x+y = 4 2 soit vraie. On cherche donc t tel que t = 4. Ceci n est rien d autre qu une équation du 2 premier degré comme on a appris à les résoudre au chapitre précédent : on trouve 3 + t = 4, donc t = 4 3 = 1. Le couple ( 3, 1) est une solution. 2 De même, cherchons si on peut trouver une solution de cette équation 2x + y = 4 dont le second élément soit 7. On cherche donc s il existe une valeur de u telle que le couple (u, 7 ) soit solution 3 3 de 2x + y = 4. On doit donc avoir 2u + 7 = 4 (on a remplacé x par u et y par 7, donc on a 3 3 2u = 4 7 = = 5, donc u = 5 1 = 5. Le couple ( 5, 7 ) est donc une solution de x + y = 4. On pourrait continuer ainsi et écrire autant de couples solutions que l on veut. On dit que cette équation admet une infinité de solutions. Exercice III.1 61

74 62 D A E U B Année de remise à niveau 1 Déterminer, parmi les couples suivants, ceux qui sont solutions de l équation 2x + y = 4 : (0, 4) ; (4, 0) ; ( 4, 12) ; (12, 4) ; (0, 2) ; (2, 0) ; (3, 1) ; (19, 34). 2 Déterminer une solution de l équation 2x + y = 4 qui soit telle que son premier élément soit égal à 1 5 (une solution de la forme ( 1 5,... ). 3 Déterminer une solution de l équation 2x + y = 4 qui soit telle que son deuxième élément soit égal à 23 (une solution de la forme (..., 23). 4 Déterminer une solution de l équation 2x + y = 4 qui soit telle que son premier élément soit égal à son deuxième élément (une solution de la forme (u, u). Exercice III.2 Déterminer cinq couples différents qui soient tous des solutions de l équation 3x + 4y = 2. Nous admettrons que à part dans quelques cas particuliers 1, toute équation du premier degré à deux inconnues admet toujours une infinité de couples solutions. Il faut parfois faire quelques transformations pour obtenir une équation sous la forme ax+by = c ; par exemple, l équation 2x+4y 1 = 5x y +3 s écrit, en application ici de la règle R19 (p.41) : 2x 5x + 4y + y = 3 + 1, soit 3x + 5y = 4. III.2 Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues III.2.1 Introduction Lorsqu on considère simultanément deux équations du premier degré à deux inconnues, il est fréquent de rechercher des couples de nombres qui soient solution à la fois des deux équations. Déterminer tous les couples qui sont effectivement solution des deux équations, c est résoudre le système constitué par les deux inconnues. III.2.2 Présentation d un système Il est recommandé de toujours «bien» écrire un système, c est-à-dire d écrire les deux équations l une en dessous de l autre reliées par une accolade devant, avec les inconnues bien placées : les x en dessous des x, les y en-dessous des y et les termes constants dans les deuxièmes membres Exemple 2 : Considérons les deux équations { 2x + y = 4 et 5x + 2y = 9. Lorsqu on considère 2x + y = 4 simultanément les deux équations, on note le système formé par ces deux 5x + 2y = 9 équations. { Ici, le système est «bien» écrit. En revanche, si on écrivait le système équivalent : y + 2x = 4, le système ne serait pas «bien écrit» et on aurait éventuellement plus 5x + 2y 9 = 0 de mal à le résoudre (on verra l importance d une «bonne» écriture lors de la méthode de combinaison linéaire). 1. Penser à une équation comme 0x + 0y = 29. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

75 63 L accolade devant les deux équations signifie que l on considère simultanément les deux équations, qu on cherche les solutions de la première et de la deuxième équation. Vérifions que le couple (1, 2) est solution du système. En remplaçant x par 1 et y par 2, on obtient pour la première équation = 4, ce qui est vrai, et pour la deuxième équation { : = 9, 2x + y = 4 qui est vrai aussi. Le couple (1, 2) est donc bien une solution du système 5x + 2y = 9. Pour l instant, nous ne pouvons pas dire si c est la seule solution, ou s il en existe d autres. Nous verrons plus loin que c est bien la seule solution. Exercice III.3 { 9x 6y = 21 On considère le système 21x + 14y = 49 Déterminer, parmi les couples (3, 1) ; ( 5, 11), (5, 4), (9, 10), (1, 3), ( 7, 14), ceux qui sont solution du système et ceux qui ne sont pas solution. III.3 Quelques méthodes de résolution Nous ne ferons pas de théorie générale, mais nous exposerons les méthodes sur des exemples. III.3.1 Méthode de substitution Exemple 3 : Considérons le système { 2x + 5y = 17 x y = 2; nous désignerons l équation de la première ligne, 2x + 5y = 17 par E 1 (E comme Équation, et 1 car elle occupe la première ligne), et bien sûr E 2 désignera l équation x y = 2 de la deuxième ligne. { 2x + 5y = 17 (E 1 ) On peut écrire le système ainsi : x y = 2 (E 2 ). Dans E 2, nous exprimons x en fonction de y (c est-à-dire qu on calcule x) ; on obtient x = y 2. Remplaçons dans E 1, x par y 2 (qu on mettra prudemment entre parenthèses : c est par (y 2) qu on remplacera x). Cela s appelle substituer, d où le nom de la méthode. L équation E 1 devient alors : 2(y 2) + 5y = 17. Observons que nous avons obtenu maintenant une équation où y est la seule inconnue, et que nous savons résoudre une telle équation : on l a fait au chapitre précédent. On trouve successivement : 2y 4 + 5y = 17, donc 7y = , 7y = 21 donc y = 3. Nous remplaçons (substituons) maintenant la valeur 3 à y dans l équation E 2 modifiée : x = y 2 devient alors x = 3 2, donc x = 1. Nous avons prouvé que le seul couple solution possible est le couple (1, 3). (Bien penser à mettre toujours la valeur de x avant la valeur de y). On peut vérifier que ce couple est bien solution en reportant ces deux valeurs dans les équations E 1 et E 2 initiales. (En pratique, ce n est pas obligé de faire cette vérification.) Dans E 1, si on remplace x par 1 et y par 3, cela donne = = 17, c est bon, et dans E 2, avec les mêmes substitutions, on obtient 1 3 = 2, qui est bien aussi une égalité vraie. Remarque III.1 On aurait pu appliquer, dans l exemple ci-dessus, la même méthode, en exprimant y en fonction de x à partir de l équation E 2 : x y = 2 aurait permis d écrire y = 2 x, donc Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

76 64 D A E U B Année de remise à niveau y = x + 2, et on aurait pu substituer (x + 2) à la place de y dans l équation E 1. On aurait obtenu 2x + 5(x + 2) = 17, donc 7x + 10 = 17 et x = 1, en reportant dans E 2, on retrouvait aussi y = 3, ce qui faisait qu on obtenait (bien sûr) la même solution (1, 3) avec cette méthode. C est normal, lorsqu il n y a qu une solution, deux méthodes différentes doivent donner le même résultat. On aurait aussi pu essayer d obtenir x en fonction de y ou y en fonction de x à partir de la première équation E 1 : 2x + 5y = 17. Ce n aurait pas été une bonne idée, car même si c est possible, et si ça amène au même résultat, les calculs auraient été bien plus compliqués à cause de la présence de dénominateurs. Le lecteur qui n est pas convaincu n a qu à essayer et voir! Moralité : Pour appliquer cette méthode de substitution, il vaut mieux essayer de trouver dans une des deux équations une inconnue dont le coefficient est 1 ou 1. Exercice III.4 Résoudre par substitution les systèmes suivants : 1 { x + 2y = 7 x + 3y = 11; 2 { 2x + 5y = 31 4x + y = 15; 3 { y = x y = 2x 3; { 4 x + y = 0 2x = 3y; { 5 3x y = 1 6x + 2y = 4; { 6 2x + 4y = 10 15x 9y = 3. III.3.2 Méthode de combinaison linéaire { 6x + 2y = 1 (E 1 ) Exemple 4 : Considérons le système : 6x + 5y = 48 (E 2 ). Nous remarquons que dans E 1 et dans E 2, les coefficients de l inconnue x sont opposés. (Comme le système est «bien» écrit, c est facile de faire cette remarque). Nous allons confectionner une nouvelle équation qui ne comportera plus l inconnue x (et donc uniquement l inconnue y) en ajoutant membre à membre les égalités E 1 et E 2. On applique ainsi la règle suivante : si on a a = b et c = d, alors forcément, on a aussi a + c = b + d. On { remplace une (au choix) des deux équations par l équation E 1 + E 2. Par exemple on écrira : 6x + 2y = 1 (E 1 ) 7y = 49 (E 1 + E 2 ). On peut maintenant conclure facilement : la deuxième ligne permet d obtenir (en divisant par 7) : y = 7 et en reportant dans E 1, on trouve 6x = 1 donc 6x + 14 = 1 d où 6x = 1 14 = 13 et x = 13 6 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

77 65 On a prouvé que le couple ( 13, 7) est la seule solution possible, et on admet que c est bien la 6 solution (la vérification est faisable mais compliquée). { 3x 5y = 1 (E 1 ) Exemple 5 : Considérons maintenant le système 7x + 10y = 24 (E 2 ). Il n y a pas de coefficients qui sont les mêmes pour une inconnue. Mais on peut, en appliquant la règle R20 p.41, toujours réussir à obtenir les mêmes coefficients pour une inconnue. Par exemple, ici, en multipliant la première équation par 2, on obtient 6x 10y = 2, et on a le système { : 6x 10y = 2 (2E 1 ) 7x + 10y = 24 (E 2 ). On additionne alors les équations et on obtient l équation 13x = 26 qui permet d obtenir x = 2. On pourrait maintenant terminer en substituant cette valeur x dans l équation E 1 ou dans l équation E 2 (le lecteur est invité à essayer). Mais pour illustrer qu il est toujours possible de faire apparaître deux coefficients analogues pour la même inconnue, appliquons { à nouveau cette méthode pour éliminer x et trouver y. 3x 5y = 1 (E 1 ) On repart du système initial 7x + 10y = 24 (E 2 ). Pour obtenir le même coefficient pour x dans les deux équations, il suffit de multiplier la première équation { par 7 et la deuxième par 3 : on obtient alors : 21x 35y = 7 (7E 1 ) 21x + 30y = 72 (3E 2 ). Il suffit maintenant de soustraire ces deux équations pour obtenir une équation avec comme seule inconnue y : (7E 1 3E 2 ) donne ( 35 30)y = 7 72 soit 65y = 65, et y = 1. Finalement, on a prouvé que forcément x = 2 et y = 1, donc la seule solution possible est le couple (2, 1) ; on vérifie facilement que ce couple convient. Remarquons qu on aurait bien trouvé aussi y = 1 en substituant 2 pour x dans l équation E 1 : 3.2 5y = 1 donc 5y = 1 6 = 5 et y = 1. Un dernier exemple de cette méthode : { 4x + 3y = 25 (E 1 ) Exemple 6 : On considère le système 5x + 7y = 43 (E 2 ) Pour éliminer les y et trouver la valeur de{ x, on multiplie la première équation E 1 par 7 et la 28x + 21y = 175 (7E 1 ) deuxième (E 2 ) par 3, avant de soustraire : donc avec (7E 1 3E 2 ), 15x + 21y = 129 (3E 2 ) on obtient : (28 15)x = , soit 13x = 46 et x = Il serait particulièrement maladroit et difficile d essayer de substituer cette valeur compliquée dans une des deux équations pour trouver y ; en revanche, on peut appliquer à nouveau cette méthode pour éliminer x et trouver une équation avec uniquement y comme inconnue ; il suffit { de multiplier la première équation E 1 par 5 et la deuxième (E 2 ) par 4 : 20x + 15y = 125 (5E 1 ) 20x + 28y = 172 (4E 2 ); Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

78 66 D A E U B Année de remise à niveau maintenant on soustrait ces deux équation, ce qui donne (15 28)y = , soit 13y = 47 et y = Le seul couple solution possible est ( 46, 47 ) ; on admet que c est bien la solution (les calculs pour vérifier seraient pénibles, on s en dispense généralement). III.3.3 Choix de la méthode Substitution ou Combinaison linéaire? La méthode de combinaison linéaire est toujours faisable, lorsqu on l a comprise, elle n est pas trop compliquée ; mais elle demande de la rigueur (il est indispensable de «bien» écrire le système) ; il faut indiquer ce qu on fait : c est indispensable, pour le correcteur, de voir des indications de ce qui est fait comme 5E 1, 4E 2, 5E 1 4E 2,... Cela vous permet aussi de vous relire, et de chercher d éventuelles erreurs. La méthode de combinaison linéaire est la seule à utiliser lorsqu aucune inconnue n a 1 ou 1 comme coefficient, si on ne veut pas se noyer dans des calculs avec des fractions. On peut l appliquer une seule fois pour trouver une des deux inconnues et ensuite utiliser une substitution pour trouver la deuxième inconnue. Mais quand la valeur qu on trouve pour la première inconnue déterminée s écrit comme une fraction, il est vraiment recommandé de ne pas essayer la substitution, mais d appliquer une seconde fois la méthode de combinaison linéaire pour trouver la deuxième inconnue. La méthode de substitution est à réserver aux cas où il est très simple d exprimer une inconnue en fonction de l autre. Mais en pratique elle amène beaucoup plus d erreurs que la méthode de combinaison linéaire, alors qu elle a souvent les faveurs des étudiants et des lycéens... Exercice III.5 Résoudre les systèmes suivants en utilisant obligatoirement la méthode de combinaison linéaire : 1 { 3x + 5y = 19 3x 2y = 5; 2 { 6x 9y = 2 3x 4y = 1; 3 { 5x + 8y = 22 7x + 4y = 2; 4 { 5x + 4y = 23 2x + 5y = 16. Exercice III.6 Pour résoudre les systèmes suivants, vous pouvez utiliser la méthode de votre choix. { 1 x 2y = 5 7x 3y = 2; { 2 y = 3x + 2 x = 2y + 1; 3 { 7x 23y = 24 x = 3y 2; Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

79 67 { 4 y = 3x 1 y = 2x + 4; { 5 4x 12y = 4 7x + 21y = 7; 2x y + 2 = (y + 2) = 3(2x + 1); { 7 39x 21y = 3 26x 14y = 4; { 8 3x + 5y = 1 2x 7y = 3. III.4 Rudiments de théorie générale Ce paragraphe n est pas vraiment au programme ; il n est là que pour aider les meilleurs lecteurs à comprendre ce qui se passe lorsqu on résout un système Nous avons rencontré des systèmes qui n ont qu une solution, d autres qui ont une infinité de solutions et enfin certains systèmes n ont aucune solution. Peut-on prévoir dans quelle situation on se trouve avant d engager la résolution? { a x + b y = c (E 1 ) Considérons le système général suivant, qui s écrit a x + b y = c (E 2 ). Les lettres a, b, c, a, b, c désignent des nombres connus mais ici nous ne précisons pas leurs valeurs. En pratique, ce sont des valeurs bien précises qu on rencontre à la place de ces paramètres. Nous supposons que ces nombres ne sont pas tous nuls (en tout cas il ne faut pas que a, a, b, b soient simultanément nuls). Nous allons appliquer la méthode de «double» combinaison linéaire à ce système pour tenter de déterminer x et y. Pour déterminer x, on essaie d éliminer y ; pour cela, on multiplie la première équation par b et la { deuxième par b, avant de soustraire les deux équations. On obtient d abord ab x + bb y = cb (b E 1 ) puis (b E 1 be 2 ) : (ab a b)x = cb bc. On pourra déterminer la a bx + bb y = bc (be 2 ), valeur de x si ab a b 0 ; sinon, on verra ce qui se passe. Pour déterminer y, on essaie d éliminer x ; pour cela, on multiplie la première équation par a et la { deuxième par a, avant de soustraire les deux équations. On obtient d abord aa x + a by = a c (a E 1 ) puis (a E aa x + ab y = ac 1 ae 2 ) : (a b ab )y = a c ac. On pourra déterminer (ae 2 ), la valeur de x si a b ab 0 ; sinon, (c est en fait le même cas critique que pour déterminer x, car a b ab = (ab a b)) on fera l étude plus tard. Nous constatons que si ab a b 0, on peut déterminer x et y, et le système possède une unique solution. Cette condition critique qui empêche le système de «bien» se résoudre est ab a b = 0 ; elle s écrit aussi ab = a b, ou encore, lorsque a et b sont tous deux non nuls, Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

80 68 D A E U B Année de remise à niveau a = b. Elle correspond au fait que les membres de gauche des deux équations du systèmes a b sont proportionnels. { Lorsque a b a b, le système a x + b y = c a x + b y = c possède une unique solution (un unique couple solution). Exemple 7 : Le système { 2x + 3y = 7 5x + 4y = 7 est tel que a = 2 a 5 et b = 3 b 4, on a donc on est 4 sûr qu il admet une unique solution. Exercice III.7 Résoudre le système de l exemple 7 : { 2x + 3y = 7 5x + 4y = 7. Lorsque a = b a b, on a donc ab = a b, donc ab a b = 0. Lors de la détermination de x, on a obtenu l égalité (ab a b)x = cb bc ; elle s écrit donc 0x = cb bc ; on a donc deux cas possibles : Si cb bc = 0, ce qui correspond à cb = bc, ou encore, en divisant par b c qu on peut supposer non nul, c c = b b ; on est donc dans un cas où a a = b b = c c : les deux équations sont dans ce cas proportionnelles. L équation qui aurait dû nous permettre de déterminer x s écrit 0x = 0, elle est toujours vraie. Mais comme les deux équations sont proportionnelles, elles sont équivalentes, et il suffit d en résoudre une seule : le système revient dans ce cas à la seule équation ax+by = c, et on sait que cette équation (donc le système aussi) possède une infinité de couples solutions. Exemple 8 : Le système { 9x + 12y = 6 12x + 16y = 8 est tel que a = 9 a 12 = 3 4 et b = 12 b 16 = 3, et on 4 a c = 6 c 8 = 3 : ces trois rapports sont égaux, donc en fait ces deux équations sont les mêmes : 4 on peut s en rendre compte en divisant la première par 3 et la seconde par 4 : on obtient dans les deux cas l équation simplifiée 3x + 4y = 2. On sait que cette équation admet une infinité de solutions. Exercice III.8 Résoudre le système de l exemple 8 : { 9x + 12y = 6 12x + 16y = 8 Si cb bc 0, ce cas correspond donc à a = b c ; dans ce cas l équation qui aurait a b c dû nous permettre de déterminer x s écrit 0x = cb bc, elle est toujours fausse puisqu on a supposé cb bc 0. Le système n a dans ce cas aucune solution. Exemple 9 : Le système { 9x 12y = 6 15x 20y = 11 est tel que a a = 9 15 = 3 5 et b b = = 3 5, mais on a c = 6 c 11 3 : les deux premiers rapports sont égaux, mais pas le troisième : on est donc 5 sûr que le système n a aucune solution. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

81 69 III.5 Exemples de résolutions de systèmes de 3 équations à 3 inconnues III.5.1 Méthode de substitution x + y + z = 6 (E 1 ) Considérons le système x y z = 4 (E 2 ) 2x + 3y + 2z = 14 (E 3 ). On peut exprimer une des variables en fonction des autres : par exemple, à partir de E 1, on peut obtenir x = 6 y z et substituer cette valeur dans les équations E 2 et E 3. (Rappelons qu il faut penser à remplacer plutôt x par (6 y z) en n oubliant pas les parenthèses). On obtient alors un «sous-système» de deux équations aux deux inconnues y et z, qu il suffira de résoudre en appliquant une des méthodes vues plus haut ; ensuite, on substitue les valeurs trouvées pour y et z en résolvant le sous-système dans l égalité x = 6 y z et cela permet de trouver l inconnue qui manquait. On conclut alors { en donnant le triplet solution du système. (6 y z) y z = 4 (E Appliquons cette méthode : on obtient le système 2) soit 2(6 y z) + 3y + 2z = 14 (E { { 3) 6 2y 2z = 4 (E encore 2) 2y 2z = 10 (E ou 2) On a trouvé y = 2, on 12 + y = 14 (E 3) y = 2 (E 3) reporte cette valeur dans E 2, ce qui donne 4 2z = 10, donc 2z = 6 et z = 3. On reporte ces deux valeurs y = 2 et z = 3 dans l égalité x = 6 y z, cela donne x = 6 2 3, donc x = 1. Finalement, on a trouvé que la seule solution possible pour ce système est le triplet (1, 2, 3) (1 pour la valeur de x, 2 est la valeur de y, 3 est la valeur de z). III.5.2 Méthode de combinaison linéaire x + y + z = 9 (E 1 ) Considérons le système x y + 2z = 7 (E 2 ) 2x + 3y + 2z = 13 (E 3 ). On peut soustraire les deux premières équations, cela éliminera x dans la deuxième équation ; pour éliminer x dans la troisième équation, il suffit de remplacer E 3 par 2E 1 + E 3 (le coefficient de x sera = 0, donc x va disparaître). Appliquons ces transformations : le système devient x + y + z = 9 (E 1 ) 2y + z = 2 (E 2 E 1 ) 5y + 4z = 31 (E 3 + 2E 1 ). Dans la dernière équation, le terme 5y a été obtenu comme 3y + 2y, 3y venant de l équation E 3 et 2y venant de 2E 1 ; de même 4z = 2z + 2z, le premier 2z venant de E 3, le deuxième de 2E 1 ; enfin, le terme 31 du membre de droite de cette dernière équation a été obtenu comme , 13 étant le deuxième membre de E 3 et 2.9 étant le membre de droite de 2E 1. (Essayez de bien comprendre d où viennent les termes écrits pour E 2 E 1, en détaillant comme je viens de le faire). { 2y + z = 2 (E On a obtenu un sous-système de deux équations à deux inconnues 2) 5y + 4z = 31 (E 3) qu il nous suffit de résoudre en appliquant une des méthodes vues plus haut. Par exemple, on peut appliquer la méthode de substitution, dans la première de ces deux équations E 2 : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

82 70 D A E U B Année de remise à niveau on obtient facilement z = 2y 2, valeur que l on reporte dans l équation E 3 pour obtenir : 5y + 4(2y 2) = 31, soit 13y = = 39, et y = 39 = 3. On en déduit z = = 4 et on 13 peut maintenant substituer ces deux valeurs y = 3, z = 4 dans l équation E 1, ce qui permet de trouver x : on trouve x = 9, donc x = 2. Finalement l unique triplet solution du système est (2, 3, 4) (toujours bien penser à écrire ces valeurs dans l ordre x, y, z). Traitons un autre exemple de cette méthode, où cette fois on éliminera la dernière inconnue z. x + y + z = 7 (E 1 ) Exemple 10 : Considérons le système 3x + 5y + 4z = 29 (E 2 ) 2x + y z = 0 (E 3 ). En multipliant par 4 la première et la troisième équation, les coefficients de z seront tous égaux à 4 ou 4, ce qui permettra facilement d éliminer z en additionnant ou soustrayant des équations ; 4x + 4y + 4z = 28 (4E 1 ) on obtient : 3x + 5y + 4z = 29 (E 2 ) 8x + 4y 4z = 0 (4E 3 ). On remplace maintenant E 2 par E 2 4E 1 et 4E 3 par 4E 3 + 4E 1, cela donne : 4x + 4y + 4z = 28 (4E 1 ) x + y = 1 (E 2 4E 1 ) 12x + 8y = 28 (4E 3 4E 1 ). On est ramené à un système de deux équations à deux inconnues facile à résoudre ; remarquons qu on { peut simplifier la dernière équation, en la divisant par 4. On résout donc le sous-système : x + y = 1 (E 2) On obtient facilement y = x + 1 grâce à la première équation E 2, on 3x + 2y = 7 (E 3) reporte dans la deuxième, cela donne 3x+2(x+1) = 7, soit 5x = 5 et x = 1, d où y = 1+1 = 2, et substituant ces deux valeurs x = 1 et y = 2 dans E 1, on obtient z = 7, soit z = 4. L unique triplet solution du système est (1, 2, 4). Exercice III.9 Résoudre les systèmes suivants : x + y + 2z = 9 1 2x y + z = 6 x + y 5z = 14 2x + 4y z = 6 2 4x y + 2z = 3 6x + y 3z = 7 III.6 Problèmes conduisant à la résolution de systèmes On travaille comme dans le chapitre précédent, au II.5. Traitons deux exemples. III.6.1 Premier exemple de problème J ai acheté des tartelettes au citron à 2,50e pièce et des tartelettes aux pommes à 2,20e pièce ; j ai acheté trois fois plus de tartelettes au citron que de tartelettes aux pommes. Il me semble Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

83 71 me rappeler que j ai payé en tout 39,80e. Est-ce possible? Choix des inconnues : appelons x le nombre de tartelettes au citron achetées et y le nombre de tartelettes aux pommes. Ce sont forcément des nombres entiers positifs. Mise en équation : analysons l énoncé pour essayer de trouver des équations à écrire. Il y a deux indications. La première est «j ai acheté trois fois plus de tartelettes au citron que de tartelettes aux pommes». Elle se traduit par x = 3y (le nombre x de tartelettes au citron est égal au triple du nombre y de tartelettes aux pommes). La deuxième indication est «j ai payé en tout 39,80e». Le prix payé pour les tartelettes au citron étant forcément x.2,50 et le prix payé pour les tartelettes aux pommes étant y.2,20, le prix payé pour le total est 2,5x + 2,2y ; cette deuxième indication de l énoncé se traduit donc par 2,5x + 2,2y = 39,8. { x = 3y On a donc obtenu le système linéaire de deux équations à deux inconnues : 2,5x + 2,2y = 39,8. Résolution : la méthode de substitution semble une évidence, en observant la première équation : on substitue 3y à x dans la deuxième équation, et on obtient 2,5(3y) + 2,2y = 39,8, soit (7,5 + 2,2)y = 39,8, ou encore 9,7y = 39,8. On devrait donc avoir y = 39,8 9,7 ; mais on s aperçoit facilement que cette fraction ne peut pas se réduire en un nombre entier (il suffit de faire la division à la calculatrice, par exemple, on obtient 39,8 9,7 = ,103). Il est inutile de pousser plus loin les calculs, on peut conclure. Réponse au problème : il n est pas possible qu on ait payé 39,80e. En fait, ce n était pas demandé, mais probablement on a acheté y = 4 tartelettes aux pommes et 3 4 = 12 tartelettes au citron, et le prix payé a sans doute été 12 2, ,2 = 38,80e. III.6.2 Deuxième exemple de problème Une entreprise fabrique trois types d objets en bois notés A, B, C. Un objet du type A nécessite 6 kg de bois et 5 heures de travail. Un objet du type B nécessite 3 kg de bois et 3 heures de travail. Un objet du type C nécessite 1 kg de bois et 2 heures de travail. Déterminer le nombre d objets de chaque type fabriqués pendant une journée sachant que l on a utilisé 291 kg de bois, que le nombre d heures de travail est 270 et que l on a fabriqué 72 objets en tout. Choix des inconnues : appelons x le nombre d objets de type A, y le nombre d objets de type B et z le nombre d objets de type C. Ce sont forcément des nombres entiers positifs. Mise en équation : Recherchons les indications contenues dans l énoncé. «On a utilisé 291 kg de bois» correspond au fait que la quantité totale de bois utilisée vaut 291. Mais la quantité de bois nécessaire aux objets de type A est x 6, celle nécessaire aux objets de type B est y 3 et il faut z 1 kg de bois pour les objets de type C, donc la quantité de bois consommée dans la journée a été 6x + 3y + z, ce qui donne la première équation (E 1 ) : 6x + 3y + z = 291. «Le nombre d heures de travail est 270» ; on raisonne de la même façon : pour les objets de type A, il a fallu x 5 heures de travail, pour ceux de type B, il en a fallu y 3 et il en a fallu Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

84 72 D A E U B Année de remise à niveau z 2 pour les objets de type C, soit en tout 5x + 3y + 2z, et la deuxième équation obtenue est (E 2 ) : 5x + 3y + 2z = 270. «On a fabriqué 72 objets» : cette hypothèse est la plus facile à traduire mathématiquement, on a la troisième équation (E 3 ) : x + y + z = 72. 6x + 3y + z = 292 (E 1 ) Voici donc le système qui correspond au problème : 5x + 3y + 2z = 270 (E 2 ) x + y + z = 72 (E 3 ). Résolution : On peut par exemple éliminer les y par combinaison linéaire dans deux des trois équations, en multipliant la troisième équation par 3 : 6x + 3y + z = 292 (E 1 ) 5x + 3y + 2z = 270 (E 2 ) et maintenant en faisant des soustractions : 3x + 3y + 3z = 216 (3E 3 ). 6x + 3y + z = 292 (E 1 ) x + z = 21 (E 2 E 1 = E 2) 3x + 2z = 75 (3E 3 E 1 = E 3). { On résout maintenant le sous-système d inconnues x et z formé par les deux dernières équations : x + z = 21 (E 2) On peut éliminer z dans la deuxième équation, en la remplaçant par 3x + 2z = 75 (E 3). { E 3 2E 2, x + z = 21 (E ce qui donne 2) (le nombre 33 vient du résultat de x = 33 (E 3 2E 2); 75 2( 21) = , le coefficient de x est 1, obtenu comme 3 2.( 1) = ) On trouve donc x = 33, on reporte dans l équation E 2, ce qui donne 33 + z = 21, donc z = = 12. Et enfin, pour trouver y, on reporte ces deux valeurs dans E 1, ce qui nous donne y + 12 = 291, donc 3y = = 81 et y = 27. Le triplet solution du système est (33, 27, 12). C est bien un triplet d entiers. Réponse au problème : On a fabriqué 33 objets de type A, 27 objets de type B et 12 objets de type C. Vérification : Il est prudent (mais facultatif) de vérifier ces réponses dans les trois équations du problème, ou mieux encore, dans les trois affirmations des hypothèses : pour fabriquer les 33 objets de type A, il a fallu 33 6 = 198 kg de bois, pour fabriquer les 27 objets de type B, il a fallu 27 3 = 81 kg de bois, et pour les 12 objets de type C, il a fallu 12 kg de bois, donc on a consommé = 291 kg de bois. la fabrication des 33 objets de type A, a nécessité 33 5 = 165 heures de travail, celle des 27 objets de type B, a nécessité 27 3 = 81 heures de travail, et enfin, pour les 12 objets de type C, il a fallu 12 2 = 24 heures de travail, donc on la consommation d heures de travail a été = 270 heures. enfin, on a bien fabriqué, en tout, = 72 objets. Exercice III.10 On a placé son capital sur deux livrets différents pendant 2 mois, à intérêts simples, l un à 3%, l autre à 5% (il s agit de taux d intérêts annuels, le taux d intérêt mensuel est égal au douzième du taux d intérêt annuel). Ensuite, pendant les 4 mois suivants, le taux d intérêt du premier livret monte à 5%, tandis que le deuxième livret tombe à 3%. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

85 73 La somme des intérêts rapportés par les deux capitaux pendant la première période de deux mois s élève à 106e, tandis que pendant la deuxième période de quatre mois, les deux livrets rapportent en tout 204e. Quel était le capital initial, et combien a-t-on placé sur chaque livret? III.7 Corrigé des exercices du troisième chapitre Corrigé de l exercice III.1 (p.61) 1 Remplaçons, dans l équation 2x + y = 4, x et y par leurs valeurs ; nous mettrons le résultat dans un tableau. (x, y) x 2x y 2x + y (0, 4) (4, 0) ( 4, 12) (12, 4) (0, 2) (2, 0) (3, 1) (19, 34) Les couples solutions de l équation sont ceux pour lesquels 2x + y = 4, c est-à-dire ceux pour lesquels on trouve 4 dans la dernière colonne : on voit que parmi les couples proposés, ceux qui sont solution sont (0, 4), ( 4, 12), (2, 0) et (19, 34). 2 On cherche une solution de 2x + y = 4 qui soit telle que son premier élément soit égal à 1 (une solution de la forme ( 1,... ). Soit b le deuxième élément du couple. On a donc ( 5) 1 + b = 4, donc b = = = La solution de l équation 2x + y = 4 dont le premier élément vaut 1 est donc le couple 5 ( 1, 22) Une solution de l équation 2x + y = 4 qui soit telle que son deuxième élément soit égal à 23 sera un couple (a, 23), a étant un nombre à déterminer. On doit avoir 2a + ( 23) = 4, donc 2a = = 27 et a = 27 2 La solution de l équation 2x + y = 4 dont le deuxième élément vaut 23 est donc le couple ( 27 2, 23). 4 Une solution de l équation 2x + y = 4 qui soit telle que son premier élément soit égal à son deuxième élément est une solution de la forme (u, u) ; on doit donc avoir 2u + u = 4, donc 3u = 4 et par conséquent u = 4 3 La solution de l équation 2x + y = 4 dont le premier et le deuxième élément sont égaux est donc le couple ( 4 3, 4 3 ). Corrigé de l exercice III.2 (p.62) L équation considérée est 3x + 4y = 2. Pour trouver un couple solution, il suffit de fixer une valeur de x et de résoudre l équation en y correspondante, ou au contraire, de fixer une valeur de y et de résoudre l équation en x correspondante. Par exemple, si on prend x = 0, et qu on reporte cette valeur dans l équation, on obtient y = 2, donc 4y = 2 et y = 2 4 = 1 2. Le couple (0; 1 2 ) est Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

86 74 D A E U B Année de remise à niveau donc une solution de l équation. Voici une façon de trouver autant de couples que l on veut. Si on fixe x = a, et qu on remplace dans l équation, on obtient 3a + 4y = 2, donc 4y = 2 3a et par conséquent y = 2 3a. On peut aussi dire que l équation 3x + 4y = 2 revient à y = 2 3x. 4 4 Si au contraire, on se fixe une valeur de y, on peut exprimer x en fonction de y ainsi : 3x = 2 4y, donc x = 2 4y. 3 Voici deux tableaux qui donnent un grand nombre de solutions (évidemment pas toutes), à partir de valeurs de x pour le premier, à partir de valeurs de y pour le second. x 3x 2 3x y = 2 3x 4 (x, y) (0, 1 2 ) (1, 1 4 ) ( 1, 5 4 ) (2, 1) ( 2, 2) (3, 7 4 ) ( 3, 11 4 ) (4, 5 2 ) ( 4, 7 2 ) (5, 13 4 ) ( 5, 17 4 ) (6, 4) ( 6, 5) y 4y 2 4y x = 2 4y 3 (x, y) ( 2 3, 0) ( 2 3, 1) (2, 1) ( 2, 2) ( 10 3, 2) ( 10 3, 3) ( 14 3, 3) ( 14 3, 4) (6, 4) ( 6, 5) ( 22 3, 5) ( 22 3, 6) ( 26 3, 6) Tous les couples de la dernière colonne de ces deux tableaux sont des solutions de l équation. Si vous observez attentivement ces deux tableaux, vous constaterez que certains couples apparaissent dans les deux tableaux. Je propose donc ici non pas 26 couples solution mais seulement 22. (Les 5 couples que vous avez proposés ne sont pas forcément dans ce tableau. En particulier, je n ai proposé que 4 couples d entiers, on peut aussi en trouver autant qu on veut, même si c est un peu plus compliqué à justifier). Corrigé de l exercice III.3 { (p.63) 9x 6y = 21 On considère le système 21x + 14y = 49 On procédera un peu comme dans l exercice III.1 : avec un tableau. (x, y) 9x 6y 9x 6y 21x 14y 21x + 14y (3, 1) ( 5, 11) (5, 4) (9, 10) (1, 3) ( 7, 14) Les couples solutions sont ceux pour lesquels on trouve à la fois 21 dans la colonne 9x 6y et 49 dans la colonne 21x + 14y. On remarque que parmi (3, 1) ; ( 5, 11), (5, 4), (9, 10), (1, 3), ( 7, 14), seul (1, 3) n est pas solution, tous les autres sont des solutions du système. Corrigé de l exercice III.4 (p.64) Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

87 75 Je propose pour chacun des exercices, une solution, qui n est pas forcément la seule possible. L essentiel est qu à la fin vous obteniez le même couple solution que moi s il est unique, ou le même ensemble de couples solutions dans les autres cas. { 1 x + 2y = 7 de la première équation, on peut tirer x en fonction de y : x = 7 2y ; on x + 3y = 11; reporte dans la deuxième équation : (7 2y) + 3y = 11 (il est prudent de toujours mettre entre parenthèses la valeur que l on substitue à x, surtout lorsqu elle est compliquée, comme ici). On en déduit 7 + y = 11, donc y = 4 et en substituant cette valeur 4 à y dans x = 7 2y, on trouve x = = 7 8 = 1. Le couple solution est donc ( 1, 4). (Il est toujours prudent de vérifier que le couple qu on a trouvé est bien solution. Ici, on a bien ( 1) = 7 et ( 1) = 11. Ce n est pas très long, et c est facile, en tout cas lorsque le couple trouvé est un couple de nombres entiers.) { 2 2x + 5y = 31 seule la deuxième équation permet facilement d exprimer une inconnue 4x + y = 15; en fonction de l autre : de 4x + y = 15, on tire y = 15 4x, on substitue cette valeur (entre parenthèses) dans la première équation, ce qui donne 2x + 5(15 4x) = 3, donc 2x x = 31 et 22x = 44. On a donc x = 44 = 2. On reporte cette valeur de x 22 dans y = 15 4x, ce qui donne y = = 15 8 = 7. L unique couple solution est (2, 7). (Vérification : on a bien = = 31 et = = 15.) 3 { y = x Ici, la substitution est immédiate : y = x, donc on substitue x à y dans la y = 2x 3; deuxième équation, ce qui donne x = 2x 3, donc x 2x = 3, soit x = 3 et x = 3 ; comme y = x, c est qu on a aussi y = 3 et l unique couple solution est (3, 3) (vérification immédiate). { 4 x + y = 0 ici, au contraire, on tire de la première équation y = x, d où, en substituant 2x = 3y; ( x) à y dans la deuxième équation : 2x = 3( x), soit 2x = 3x soit 5x = 0 et x = 0 ; comme on a y = x, cela donne y = 0 = 0 et l unique couple solution est (0, 0) (résultat évident, en fait!) { 5 3x y = 1 ici, c est la première équation qui fournit une substitution possible : 6x + 2y = 4; y = 1 3x, donc y = (1 3x) = 1 + 3x = 3x 1. Reportons dans la deuxième équation (avec des parenthèses!) 6x + 2(3x 1) = 4 donne 6x + 6x 2 = 4, donc 0x = 6. Il est impossible de trouver aucun x vérifiant cette égalité, donc aucun couple (x, y) n est solution du système. C est un système sans solution (pas au sens qu il est impossible de le résoudre, mais au sens que son ensemble de solutions est vide). { 6 2x + 4y = 10 Pour pouvoir faire facilement une substitution, divisons par 2 la première 15x 9y = 3. équation : on trouve x+2y = 5, ce qui permet d écrire x = 5 2y. On reporte dans la deuxième équation et cela donne : 15(5 2y) 9y = 3, donc 75 30y 9y = 3 ou encore 39y = 78. On en déduit y = 78 = 2 et en reportant dans x = 5 2y, on obtient x = = 5 4 = L unique couple solution est (1, 2). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

88 76 D A E U B Année de remise à niveau Corrigé de l exercice III.5 (p.66) On commencera systématiquement par nommer les équations. { 1 3x + 5y = 19 (E 1 ) 3x 2y = 5 (E 2 ); il est naturel de soustraire les deux équations pour supprimer les x : on { obtient 3x + 5y = 19 (E 1 ), donc y = 2 ; il suffit maintenant de substituer cette valeur 7y = 14 (E 2 E 1 ); dans l équation E 1 : 3x = 19, donc 3x = = 9 et x = 3. L unique couple solution est donc (3, 2). { 2 6x 9y = 2 (E 1 ) 3x 4y = 1 (E 2 ); Pour trouver y en éliminant x, il suffit de multiplier E 2 par 2 avant de { soustraire : { 6x 9y = 2 (E 1 ) 6x 9y = 2 (E 1 ) donc on peut alors facilement substituer cette valeur y = 0 dans E 1, on obtient 6x = 2, donc x = 2 = 1. L unique couple solution 6x 8y = 2 (2E 2 ); y = 0 (2E 2 E 1 ); 6 3 est donc ( 1, 0) 3 { 3 5x + 8y = 22 (E 1 ) 7x + 4y = 2 (E 2 ); par 2, avant de soustraire : { 5x + 8y = 22 (E 1 ) 14x + 8y = 4 (2E 2 ); Pour éliminer les y et trouver x, on multiplie la deuxième équation donc { 5x + 8y = 22 (E 1 ) 9x = 18 (2E 2 E 1 ); d où x = 2. On substitue cette valeur dans E 1, cela donne 5( 2) + 8y = 22, donc 8y = = 32 et y = 4. L unique couple solution est donc ( 2, 4). Vérification : 5( 2) = = 22 et 7( 2) = = 2. { 4 5x + 4y = 23 (E 1 ) Ici, aucune combinaison linéaire n est évidente, mais la méthode de 2x + 5y = 16 (E 2 ). substitution serait pire. Pour trouver x en éliminant les y, on multiplie E 1 par 5 et E 2 par 4, ensuite on pourra soustraire : { 25x + 20y = 115 (5E 1 ) donc 5E 1 4E 2 donne 17x = 51, x = = 3 On peut substituer 8x + 20y = 64 (4E 2 ). cette valeur de x dans E 1, mais nous proposons une autre méthode, consistant à recommencer une combinaison linéaire pour trouver y. Pour trouver y en éliminant les x, on multiplie E 1 par 2 et E 2 par 5, ensuite on pourra soustraire : { 10x + 8y = 46 (2E 1 ) 10x + 25y = 80 (5E 2 ). L unique solution est donc le couple (3, 2). (Vérification facile : = 23 et = 16.) Corrigé de l exercice III.6 (p.66) donc 5E 2 2E 1 donne 17y = 34, y = = 2 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

89 { 1 x 2y = 5 (E 1 ) on peut procéder par substitution, mais je préfère toujours la combinaison linéaire : pour éliminer x, il suffit de multiplier E 1 par 7, puis de soustraire : 7x 3y = 2 (E 2 ); { 7x 14y = 35 (7E 1 ) et E 2 7E 1 nous donne 11y = 33, donc y = 3 et en reportant 7x 3y = 2 (E 2 ); dans E 1 : x = 2y + 5 donc x = 2( 3) + 5 = 1. L unique solution est le couple ( 1, 3). { 2 y = 3x + 2 (E 1 ) ici, les substitutions sont vraiment fortement suggérées. Par exemple, x = 2y + 1 (E 2 ); en substituant y = 3x + 2 dans E 2, on obtient x = 2(3x + 2) + 1 donc x = 6x soit 7x = 3 et x = 3 ; on substitue cetete valeur dans E 7 1 et on obtient : y = 3( 3) + 2 = = 5 ; l unique couple solution est donc ( 3, 5 { ) x 23y = 24 (E 1 ) la substitution est toute prête avec l équation E 2 : reportons x = 3y 2 (E 2 ); x = 3y 2 dans l équation E 1, on obtient 7(3y 2) 23y = 24, donc 21y 14 23y = 24 ou encore 2y = 38, ce qui donne y = 19. Maintenant on reporte cette valeur dans l équation E 2, ce qui donne x = 3( 19) 2 = 57 2 = 59. La seule solution est donc le couple ( 59, 19). Vérification : 7 ( 59) 23 ( 19) = = = 24 et 3( 9) 2 = 57 { 2 = y = 3x 1 (E 1 ) ce type d équation permet d écrire immédiatement l équation en x : y = 2x + 4 (E 2 ); 3x 1 = 2x + 4, donc 5x = 5 et x = 1, ce qui permet de trouver, en reportant cette valeur dans E 1 : y = = 2. L unique couple solution est donc (1, 2). Vérification { : = 2 et = x 12y = 4 (E 1 ) divisons par 4 la première équation : elle s écrit alors (E 1 /4) : 7x + 21y = 7 (E 2 ); x 3y = 1, donc x = 3y + 1 ; reportons dans E 2, cela donne 7(3y + 1) + 21y = 7, donc 0y = = 0 : tout nombre y vérifie cette dernière équation. Mais il faut encore, pour trouver une solution, que l équation E 1 soit vérifiée : donc les couples solutions sont les couples de la forme (3y + 1, y), où y est un nombre quelconque. Il y a donc une infinité de solutions. 2x y + 2 = 3 (E 1 ) 4 3 On peut commencer par multiplier l équation E 1 par 12, puis 2(y + 2) = 3(2x + 1) (E 2 ); développer et réduire les équations E 1 et E 2 obtenues. Mais une méthode astucieuse consiste à exprimer y +2 en fonction de x : de E 2, on tire y +2 = 3 (2x+1). On reporte cette valeur dans 2 E 1, et on obtient : 2x + 1 3(2x + 1) 2 = 3, donc (2x+1)( ) = 3, ou encore 1 (2x+1) = 3, 2 4 donc 2x + 1 = 12. On en déduit y + 2 = 3 ( 12) = 18, donc y = 20, et comme 2x = 13, 2 on a aussi x = 13 2 L unique solution du système est ( 13 2, 20). { 7 39x 21y = 3 (E 1 ) 26x 14y = 4 (E 2 ). diviser E 2 par 2, ce qui donne On peut simplifier E 1 en la divisant par 3, et de même on peut Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté 77

90 78 D A E U B Année de remise à niveau { 13x 7y = 1 (E 1 /3) Ce système n a pas de solution, car 13x 7y ne peut pas être égal 13x 7y = 2 (E 2 /2). en même temps à 1 et à 2. { 8 3x + 5y = 1 (E 1 ) 2x 7y = 3 (E 2 ). Éliminons { y, en multipliant E 1 par 7 et E 2 par 5, avant d additionner : 21x + 35y = 7 (7E 1 ) donc 7E 1 + 5E 2 donne : 31x = 22 et x = 22 10x 35y = 15 (5E 2 ), 31 Il n est pas question de substituer une valeur aussi compliquée, donc la meilleure méthode pour trouver maintenant y consiste à recommencer la méthode de combinaison linéaire en essayant, cette fois d éliminer x ; pour cela, on multiplie E 1 par 2 et E 2 par 3, puis on soustraira. Cela donne { 6x + 10y = 2 (2E 1 ) 6x 21y = 9 (3E 2 ) donc 2E 1 3E 2 permet d obtenir : 31y = 2 9 = 7, donc y = On a prouvé que le seul couple solution est ( 22 31, 7 31 ). Il est délicat, ici, de faire une vérification. (Sauf à utiliser une calculatrice qui gère les fractions). Corrigé { de l exercice III.7 (p.68) 2x + 3y = 7 (E 1 ) La méthode de combinaison linéaire s impose. Pour déterminer x en 5x + 4y = 7 (E 2 ). { éliminant les y, on multiplie E 1 par 4 et E 2 par 3 avant de soustraire : 8x + 12y = 28 (4E 1 ) donc 4E 1 3E 2 donne 7x = 7, et x = 1 ; 15x + 12y = 21 (3E 2 ), Pour { déterminer y en éliminant x, on multiplie E 1 par 5 et E 2 par 2 avant de soustraire : 10x + 15y = 35 (5E 1 ) donc 5E 1 2E 2 donne 7y = 21, et y = 3. 10x + 8y = 14 (2E 2 ), L unique couple solution est donc ( 1, 3). Vérification : = 7 et = 7. Corrigé { de l exercice III.8 (p.68) 9x + 12y = 6 (E 1 ) on divise E 1 par 3 et E 2 par 4, on obtient : 12x + 16y = 8 (E 2 ); { 3x + 4y = 2 (E 1 /3) les deux équations sont les mêmes, il suffit d en résoudre une. 3x+4y = 2 3x + 4y = 2 (E 2 /4); équivaut à x = 2 4y, donc les couples solutions sont tous les couples de la forme ( 2 4y, y ), y étant 3 3 un nombre quelconque. Corrigé de l exercice III.9 (p.70) x + y + 2z = 9 (E 1 ) 1 2x y + z = 6 (E 2 ) x + y 5z = 14 (E 3 ) Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

91 79 2 Les coefficients de y étant tous égaux à 1 ou 1, il est pratique d additionner ou de soustraire les équations pour éliminer y et se ramener à un système de deux équations en les deux inconnues x et z : x + y + 2z = 9 (E 1 ) 3x + 3z = 15 (E 2 + E 1 ) 2x 7z = 5 (E 3 E 1 ). { x + z = 5 (E 2 = (E 2 + E 1 )/3) On résout le sous-système par exemple par substitution. De E 2, on tire x = 5 z, on substitue cette valeur dans E 3, ce qui donne 2(5 z)+7z = 5, 2x + 7z = 5 (E 3 = (E 3 E 1 )) soit 10 2z + 7z = 5 ou encore 5z = 15, z = 3, donc x = 5 z nous donne x = 5 ( 3) = 8. On substitue maintenant ces deux valeurs x = 8 et z = 3 dans E 1, cela nous donne 8 + y + 2( 3) = 9 donc y = = 7. L unique triplet du système est (8, 7, 3). Vérification : dans E 1, on a bien : = 9 ; dans E 2 : = 6 et dans E 3 : = 14. 2x + 4y z = 6 (E 1 ) 4x y + 2z = 3 (E 2 ) 6x + y 3z = 7 (E 3 ) On peut par exemple éliminer les x dans les deuxième et troisième équation en utilisant E 2 2E 1 et E 3 3E 1 : 2x + 4y z = 6 (E 1 ) 9y + 4z = 9 (E 2 2E 1 ) De la dernière équation, on tire y = 1, on reporte dans 11y = 11 (E 3 3E 1 ) la deuxième 9y + 4z = 9 devient 9 + 4z = 9, donc 4z = 0 et z = 0. Pour finir, on reporte les deux valeurs y = 1 et z = 0 dans l équation E 1, et on obtient 2x = 6, donc 2x = 2 et x = 1. L unique solution est donc le triplet (1, 1, 0). (Vérification immédiate et facile). Corrigé de l exercice III.10 (p.72) On a placé son capital sur deux livrets différents pendant 2 mois, à intérêts simples, l un à 3%, l autre à 5% (il s agit de taux d intérêts annuels, le taux d intérêt mensuel est égal au douzième du taux d intérêt annuel). Ensuite, pendant les 4 mois suivants, le taux d intérêt du premier livret monte à 5%, tandis que le deuxième livret tombe à 3%. La somme des intérêts rapportés par les deux capitaux pendant la première période de deux mois s élève à 106e, tandis que pendant la deuxième période de quatre mois, les deux livrets rapportent en tout 204e. Quel était le capital initial, et combien a-t-on placé sur chaque livret? Choix des inconnues : appelons x la partie du capital placée sur le premier livret, et y la partie du capital placée sur le deuxième livret. Le capital initial est bien sûr x + y. Mise en équations : la somme x déposée sur le premier livret rapporte 3% pendant 2 mois, cela fait x 3 5 ; pendant cette même période, la somme y a rapporté 5%, donc y ; les intérêts pendant cette première période ont été en tout de 106e. On a donc comme première équation : x y 5 2 = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

92 80 D A E U B Année de remise à niveau Pendant la deuxième période de 4 mois, avec le même raisonnement, les intérêts ont été de x pour le premier livret et de y 4 pour le deuxième livret, et comme cela a rapporté 204e en tout, on a la deuxième équation { x y 3 4 = x y 5 2 = Résolution : on doit donc résoudre le système x y 3 4 = Multiplions les deux équations par pour faire disparaître les dénominateurs, nous nous ramenons donc au système : { 6x + 10y = (E 1 ) 20x + 12y = (E 2 ). Divisons { la première équation par 2 et la deuxième par 4, pour simplifier : 3x + 5y = (E 1 = E 1 /2) 5x + 3y = (E 2 = E 2 /4). { Pour trouver x en éliminant y, il suffit de multiplier E 1 par 3 et E 2 par 5 avant de soustraire : 9x + 15y = (3E 1) et 5E 25x + 15y = (5E 2) 2 3E 1 nous donne : 16x = , soit x = Pour { trouver y en éliminant x, on multiplie E 1 par 5 et E 2 par 3 avant de soustraire : 15x + 25y = (5E 1) et 5E 15x + 9y = (3E 2) 1 3E 2 nous donne : 16y = , donc y = Réponse au problème : les valeurs trouvées sont des entiers positifs, plausibles. On a donc déposé 7 200e sur le premier livret et 8 400e sur le deuxième livret, ce qui correspond à un capital initial de e Vérification : elle est ici assez fastidieuse (et reste facultative). La somme déposée sur le premier livret a rapporté = 36e pendant les deux premiers mois pendant que dans le même temps les 8 400e sur le deuxième livret rapportaient = 70e, ce qui faisait bien = 106e d intérêts pour la première période ; pendant la deuxième période de quatre mois, les intérêts des 7 200e sur le premier livret ont rapporté = 120e ; pendant ce temps, les 8 400e sur le deuxième livret rapportaient = 84e, ce qui a bien fait = 204ed intérêts pendant cette deuxième période. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

93 81 Université de Franche-Comté Centre de Télé-Enseignement Universitaire D.A.E.U. B, année de remise à niveau DEVOIR n 3 à envoyer à la correction Résoudre les systèmes suivants : { 1 3x 5y = 6 2x + 7y = 27; 2x 3y 4z = 5 2 5x + y z = 5 6x y + 5z = 10; x + y + x y + 2 = x + y x y + 2 = 10; 4 3 x + 7y = 9 4 3x + 11y = 37 5x 3y = 7. Exercice I Résoudre les problèmes suivants : Exercice II 1 Une voiture consomme x litres d essence aux 100km en montée, et y litres aux 100km en descente. Pour aller de la ville A à la ville B, il y a 20km de montée puis 25 km de descente. Calculer x et y sachant qu on a consommé 4,33 litres à l aller (de A vers B) et 4,49 litres au retour (de B vers A). 2 À bicyclette, pour aller de la ville C à la ville D, en roulant à 10km/h, j arrive à 13 heures. Mon ami sportif qui est parti en même temps que moi, mais qui, lui, roule à 15km/h, est arrivé à 11 heures. Quelle est la distance entre les villes C et D? Et à quelle heure sommes-nous partis? Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

94 82 D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

95 Chapitre IV Équations du second degré IV.1 Introduction IV.1.1 Présentation Définition IV.1 Une équation est du second degré à une inconnue x lorsqu elle est sous la forme ou qu elle peut en application des règles vues au chapitre II, se mettre sous la forme ax 2 +bx+c = 0, a, b, c étant des nombres, a étant non nul. En fait, nous avons déjà résolu beaucoup d équations du second degré au chapitre précédent : nous avons su le faire chaque fois que nous pouvions factoriser, soit directement, soit après application d une ou de plusieurs identités remarquables. En tournant un peu en arrière les pages de ce cours, nous pouvons constater qu au chapitre 2, les exemples et exercices suivants étaient des équations du second degré. Les exemples 7, 9 et 10, p.45 ; toutes les équations de l exercice II.3 p.45 ; l équation qu on obtient lorsqu on traite l équation avec dénominateur de l exemple 13 p.47 ; (mais pas celle de l exemple 12 p.47, qui se simplifie en une équation du premier degré) ; (quant à celle de l exemple 8 p.45, c est une équation du troisième degré). IV.1.2 Premier exemple Étude de quelques exemples Considérons le problème suivant. Un rectangle ABCD a pour longueur 4 et pour largeur l. On construit à l intérieur un carré AEFD. L aire du rectangle FCBE est 3. Calculer l. A E B l D l 4 F 3 C 83

96 84 D A E U B Année de remise à niveau Pas besoin de beaucoup réfléchir pour choisir l inconnue (l s impose, et comme c est une largeur du rectangle et que la longueur est 4, on a forcément l < 4). La mise en équation peut se faire en écrivant que l aire du grand rectangle ABCD est égale à la somme de l aire du carré AEFD et de l aire du petit rectangle FCBE. Comme l aire de ABCD vaut 4l (longueur largeur), et comme l aire du carré vaut l 2 (longueur du côté au carré), et enfin comme on nous donne 3 comme aire du petit rectangle FCBE, l équation qui correspond au problème est 4l = l 2 + 3, ou encore, en changeant de membre le terme 4l, l 2 4l + 3 = 0, ce qui est bien une équation du second degré. Cette équation ne peut guère se factoriser facilement. On ne reconnaît aucun développement de (a + b) 2 ou de (a b) 2, ni une différence de deux carrés du type a 2 b 2. Nous allons utiliser une technique que nous avons déjà rencontrer pour réussir une factorisation lorsque la situation était délicate (voir le dernier des exemples 22, p.24, ainsi que le corrigé de l exercice 24, 10, p.36 ; voir aussi, dans le devoir n 1, l exercice II, 8 ). Il s agit de reconnaître dans les deux premiers termes de l 2 4l + 3 (donc dans l 2 4l) le début du développement d un carré. C est forcément la formule (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 qu on utilise, avec a 2 = l 2 (donc a = l) et 2ab = 4l, donc 2lb = 4l, soit 2b = 4 et b = 2. On a donc (l 2) 2 = l 2 4l + 4, et donc l 2 4l est le début de ce développement. Pour pouvoir l utiliser, on complète avec 4 ; mais comme on ne peut pas ajouter 4 comme ça, on le soustrait juste derrière. On écrit donc, à la place de l équation l 2 4l + 3 = 0, l expression suivante qui revient évidemment au même : l 2 4l = 0 ; maintenant, on met des parenthèses : (l 2 4l + 4) + ( 4 + 3) = 0, et on peut utiliser l identité remarquable : l équation s écrit donc (l 2) 2 1 = 0. Cette fois, c est l identité a 2 b 2 = (a + b)(a b) qui va nous permettre de factoriser, avec ici a = (l 2) et b = 1 (donc b 2 = 1 2 = 1 aussi). On écrit l équation sous la forme (l 2) = 0, donc [ (l 2) + 1 ][ (l 2) 1 ] = 0, ce qui donne (l 1)(l 3) = 0. On a donc obtenu que l doit être tel que l 1 = 0 ou l 3 = 0, c est-à-dire l = 1 ou l = 3. L équation l 2 4l + 3 possède donc deux solutions qui sont 1 et 3. Le problème posé a donc aussi deux solutions, car ces deux nombres correspondent bien à des solutions du problème, ce que l on peut facilement vérifier en faisant une figure. Deuxième exemple Essayons de résoudre, avec la même méthode, l équation x 2 + 6x + 5 = 0. On s intéresse aux deux premiers termes : x 2 + 6x, et on essaie de reconnaître en eux le début d un carré. En raisonnant comme ci-dessus, on constate que c est le carré (x + 3) 2 qui fait l affaire : on a bien (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9. On introduit maintenant 9 dans l équation, en l ajoutant et en le soustrayant aussitôt pour ne pas modifier l expression : x 2 + 6x + 5 = 0 peut s écrire x 2 + 6x = 0, soit (x 2 + 6x + 9) = 0 c est-à-dire [ (x][ + 3) 2 4 = ] 0, ou encore (x + 3) = 0, et on obtient la forme factorisée : (x + 3) + 2 (x + 3) 2 = 0, donc (x + 5)(x + 1) = 0. L équation a deux solutions qui correspondent à x + 5 = 0 ou x + 1 = 0 : les deux solutions sont 1 et 5. Troisième exemple Résoudre x 2 + 8x + 23 = 0. On applique la même méthode : x 2 + 8x est le début du carré (x + 4) 2 = x 2 + 8x On ajoute donc 16 (avant de le retrancher aussitôt), ce qui fait que l équation s écrit x 2 + 8x = 0, donc (x + 4) = 0. On doit donc résoudre Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

97 85 cette dernière équation, qu on peut aussi écrire, en changeant 7 de membre : (x + 4) 2 = 7. Or (x + 4) 2 est un carré, c est donc un nombre toujours positif (ou à la rigueur nul), mais en tout cas ce carré ne peut en aucun cas (c est-à-dire pour aucune valeur de x) être égal à 7. L équation n a donc pas de solution. IV.2 Méthode de résolution générale On considère une équation du second degré quelconque ; elle est donc du type ax 2 + bx + c = 0, avec a, b, c des nombres quelconques mais fixés (même si nous ne connaissons pas leurs valeurs). De plus, pour que l équation soit bien du second degré, on doit imposer a 0. (Si on avait a = 0, l équation s écrirait bx + c = 0, ce serait une équation du premier degré qu on a résolu au chapitre II). IV.2.1 Cas particuliers Commençons par étudier quelques cas particuliers, dans lesquels on sait résoudre sans difficulté ce type d équation. Si c = 0 et b 0 L équation s écrit ax 2 + bx = 0, elle se factorise aisément en x(ax + b) = 0, et peut s écrire x = 0 ou ax + b = 0 ; elle admet donc deux solutions : évidemment la solution 0 pour x = 0, et la solution b qui correspond à ax + b = 0. a Par exemple, l équation 3x 2 + 5x = 0 s écrit x(3x + 5) = 0 et a donc comme solution 0 et 3 5 Si b = 0 et c 0 L équation s écrit ax 2 + c = 0, et peut donc s écrire ax 2 = c ou encore x 2 = c ; la suite de la a résolution dépend du signe de c. a! Attention : la présence du signe ne signifie pas que c a est négatif. En effet, on ne sait rien du signe de c, ni du signe de a. En pratique, on voit clairement le signe de cette quantité. Par exemple, si on doit résoudre l équation 3x 2 7 = 0 (ici a = 3 et c = 7) ; on écrit cette équation 3x 2 = 7, donc x 2 = 7 3 ; comme un carré n est jamais négatif, et comme 7 3 est négatif, cette équation n a pas de solution. Si par exemple on doit résoudre l équation 8x = 0 (ici a = 8 et c = 2), on écrit 8x 2 = 2, donc x 2 = 2 = 2 = 1. Cette fois il n y a pas d impossibilité, et pour être sûr de ne pas oublier de solution, on repasse 1 dans l autre membre, en l écrivant ( ) : on a donc x 2 ( ) 1 2 ( )( 2 = 0, c est-à-dire x x 1 2) = 0, donc l équation admet deux solutions qui sont 1 ou D une façon générale, si a et c sont de même signe, c est négatif et l équation n a pas de a solution, alors que si a et c sont de signe différents, c est un nombre positif. Soit d ce nombre a positif. L équation s écrit donc x 2 = d avec d positif. On sait que d est le carré de d (la racine carrée de d). Donc on écrit l équation x 2 ( d ) 2 = 0, soit (x + d)(x d) = 0, et l équation a deux solutions qui sont d et d. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

98 86 D A E U B Année de remise à niveau Si b = 0 et c = 0 L équation est donc ax 2 = 0, qui s écrit aussi x 2 = 0 (en divisant par a qui est non nul), et a donc comme unique solution («double») la valeur 0. IV.2.2 Cas général Dans ce cas général, nous ne sommes même pas obligés de supposer que b et c sont non nuls, mais si un de ces deux coefficients est nul, on a vu que la résolution est facile. On considère donc une équation du second degré ax 2 + bx + c = 0. IV.2.3 Forme canonique Commençons par multiplier par a, qui est non nul, afin que le premier terme soit le carré a 2 x 2 = (ax) 2. L équation est devenue a 2 x 2 + abx + ac = 0. On essaie de reconnaître dans les deux premiers termes a 2 x 2 + abx le début du développement d un carré du type (u + v) 2 = u 2 + 2uv + v 2. Il faudra bien sûr prendre u = ax, pour avoir u 2 = (ax) 2. Ensuite, on veut avoir 2uv = abx, et puisque u = ax, cela s écrit 2axv = abx. Il suffit donc de prendre v = b. On a 2 (ax + b 2 )2 = (ax) 2 + 2ax b + b2 = 2 4 a2 x 2 + abx + b2 ; 4 On va donc réécrire l équation en ajoutant b2 juste après 4 a2 x 2 + abx. Mais bien sûr, pour ne rien changer il faudra le soustraire juste après. On écrit donc l équation ainsi : a 2 x 2 + abx + b2 b2 + ac = 0, et on a obtenu ce qu on voulait : 4 4 un carré. On a ramené l équation à ( ax + 2) b 2 b 2 + ac = 0. Regroupons maintenant en une seule fraction 4 (de dénominateur 4) les deux derniers termes, cela donne ( ax + 2) b 2 b 2 + 4ac 4 ( ax + b 2 ) 2 b 2 4ac 4 = 0. Cette écriture de l équation est ce qu on appelle une forme canonique de l équation. IV.2.4 Discriminant 4 = 0, ou encore Peut-on écrire le membre de gauche comme une différence de deux carrés? Cela dépend du signe de la quantité b 2 4ac. Cette quantité est très importante dans l étude d une équation du second degré. Tellement importante qu on lui donne un nom : c est le discriminant. On le note = b 2 4ac. IV.2.5 Lorsque > 0 Discussion selon le signe du discriminant La forme canonique de l équation s écrit ( ax + 2) b 2 = ( ) 2, Or un nombre positif est toujours le carré de sa racine carrée : on peut écrire = donc l équation peut s écrire ( ) ax + b 2 ( ) 2 2 = 0 ou encore ( ) ( ) ax + b = 0. On s est ramené à une différence de deux carrés, que l on peut maintenant factoriser : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

99 87 [ (ax + b 2 ) + 2 ] [ (ax + b 2 ) ] = 0, ou encore en multipliant les deux facteurs par 2 (ce qui 2 revient à multiplier les deux membres de l équation par 2 2 = 4) : ( 2ax + b + )( 2ax + b ) = 0. Ce produit est nul lorsqu un des deux facteurs est nul, donc on est ramené à 2ax+b+ = 0 ou 2ax+b = 0, ce qui se résout ainsi : 2ax = b ou 2ax = b+, et en divisant finalement chacune de ces deux égalités par 2a (qui est non nul) : x = b ou x = b + ; 2a 2a Conclusion : lorsque > 0, l équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux solutions qui sont les nombres x 1 = b et x 2 = b + (avec = b 2 4ac). 2a 2a Si = 0 L équation, sous forme canonique, s écrit donc en fait tout simplement : ( ax + 2) b 2 = 0, donc on obtient deux fois ax + b b = 0, soit x = 2 2a Conclusion : lorsque = 0 (avec = b 2 4ac), l équation ax 2 + bx + c = 0 admet une solution (double) qui est le nombre b 2a. Si < 0 La forme canonique de l équation s écrit ( ax + 2) b 2 = 0 ; mais comme < 0, on a aussi 4 > 0, donc ( ax + 2) b 2 + est la somme d un nombre positif ou nul (le carré) et d un 4 nombre strictement positif ( ) ; le résultat est forcément un nombre strictement positif, et ne 4 peut donc jamais être nul : l équation n a donc pas de solution. Conclusion : lorsque < 0 (avec = b 2 4ac) l équation ax 2 + bx + c = 0 admet zéro solution, elle n a aucune solution. IV.2.6 Récapitulation En présence d une équation du second degré, la méthode de résolution est la suivante : On commence par observer, avant de tout réduire, si par hasard on ne reconnaît pas une situation qu on sait résoudre avec des techniques élémentaires (factorisation, équation incomplète, identité remarquable...) Sinon, on réduit l équation au maximum, on la met sous la forme ax 2 + bx + c = 0, et on repère bien les nombres a, b et c. On calcule le discriminant = b 2 4ac On discute : Si < 0, l équation n a pas de solution. Si = 0, l équation possède une racine double qui est le nombre b 2a Si > 0, l équation possède deux racines, qui sont les nombres x 1 et x 2 tels que x 1 = b 2a et x 2 = b + ; il est pertinent de calculer auparavant. L ordre x 1 et x 2 n est pas 2a Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

100 88 D A E U B Année de remise à niveau important. On pourrait très bien dire que x 1 d importance. = b + 2a et x 2 = b, ça n a pas 2a IV.3 Mise en pratique IV.3.1 Quelques exemples Dans tous les exemples qui suivent, on va appliquer le schéma défini ci-dessus. Exemple 1 : x 2 + 4x + 3 = 0 : ici a = 1, b = 4, c = 3. = = = 4 ; > 0. On remarque que = 2 (puisque 2 2 = 4). Il y a donc deux solutions qui sont x 1 = = = 1 et x 2 = = = 3. Exemple 2 : 3x 2 + 2x + 5 = 0 : ici a = 3, b = 2, c = 5. = = 4 60 = 56. < 0, il n y a donc pas de solution. Exemple 3 : x 2 4x 5 = 0 : ici, on a a = 1, b = 4, c = 5. = ( 4) ( 5) = = 36. > 0. On remarque que 36 = 6 2, donc = 6. Il y a deux solutions qui sont les nombres x 1 = ( 4) 36 = 4 6 = 1 et x 2 = ( 4) + 36 = = Sur cet exemple, on voit qu il faut être très attentif à la gestion des signes, surtout lorsqu il y a des nombres négatifs parmi les coefficients a, b, c. En particulier, lorsque b est négatif comme ici, il y a deux écueils à éviter : dans le calcul de, ( 4) 2 donne +16 (règle des signes), et ne doit pas être confondu avec 4 2 ; d autre part dans l expression des solutions, il faut bien penser à écrire b (dans le numérateur b + ) avec une parenthèse : c est bien ( 4), qui devient +4 un peu plus loin. Exemple 4 : 3x x + 10 = 0 : ici, on a a = 3, b = 17, c = 10, donc = = = 169. > 0, il y a donc deux solutions. Une calculatrice peut nous aider à remarquer que = 13 (13 13 = 169). Donc les deux solutions sont x 1 = = = 30 6 = 5 et x 2 = = = 4 6 = 2 3 Exemple 5 : 2x 2 5x 19 = 0 : ici a = 2, b = 5 et c = 19, donc = ( 5) ( 19) = = = 177. > 0, il y a donc deux solutions. En utilisant une calculatrice, on voit que 177 n est pas un entier : on trouve ,304. Dans ce cas, l usage est de ne pas utiliser cette valeur approchée, et de donner le résultat sous sa forme exacte, en laissant 177. Les deux solutions sont x1 = ( 5) 177 = et x 2 = C est seulement dans des applications, si on a besoin de valeurs approchées qu on utilisera la calculatrice pour obtenir des valeurs approchées des solutions. Exemple 6 : 2x 2 8x 8 = 0 : ici a = 2, b = 8 et c = 8, donc = ( 8) 2 4 ( 2) ( 8) = = 0. = 0, il y a donc une seule racine qui est 8 2 ( 2) = 2. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

101 89 Sur cet exemple, on voit la difficulté de résoudre une équation avec beaucoup de coefficients négatifs. Il aurait été astucieux de commencer par multiplier l équation par 1, on aurait obtenu l équation équivalente 2x 2 + 8x + 8 = 0, bien plus facile à traiter (et bien sûr, on aurait eu le même résultat). Exemple 7 : 5x 2 4x 1 = 0 : ici a = 5, b = 4, c = 1, donc = ( 4) ( 1) = = 36 = 6 2 > 0. Il y a donc deux racines qui sont x 1 = ( 4) 36 = 4 6 = et x 2 = ( 4) = = 1. Exemple 8 : x 2 x + 1 = 0. Il est toujours délicat de travailler avec des fractions. Il est 2 16 toujours plus simple de commencer par éliminer les dénominateurs, comme on a appris à le faire au chapitre II, en multipliant tout par un nombre bien choisi. Ici la multiplication par 16 fera l affaire : l équation devient alors 16x 2 8x + 1 = 0, et on a a = 16, b = 8, c = 1. Donc = ( 8) = = 0, il y a donc une seule solution (double) qui est le nombre ( 8) 2 16 = 1 4 On aurait pu trouver cette solution sans calculer le discriminant, en reconnaissant dans 16x 2 8x + 1 (grâce à l identité remarquable (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ) le carré (4x 1) 2. Exemple 9 : 4x 2 11 = 0. Ici a = 4, b = 0, c = 11. Quand un des coefficients est nul, c est que l équation est incomplète, et il est toujours maladroit de résoudre une telle équation en utilisant le discriminant (même si c est quand même possible). Il est bien plus simple d écrire ici 11 = ( 11 ) 2, donc l équation peut se mettre sous la forme (2x) 2 ( 11 ) 2 = 0, soit ( )( ) (2x) 11 (2x) + 11 = 0 et les deux solutions sont donc et 2 2 Exemple 10 : 3x 2 + 5x = 0 ; ceci est encore une équation incomplète (c = 0), donc évitons de calculer le discriminant (même si on peut résoudre l équation avec un calcul de, c est bien plus compliqué) : on factorise simplement x en écrivant x(3x + 5) = 0, donc x = 0 ou 3x + 5 = 0 et on peut conclure que l équation admet deux solutions qui sont 0 et 5 3 Exercice IV.1 Résoudre les équations suivantes : 1 33x x = 0 ; 2 (2x 5) 2 (4x 1) 2 = 0 3 x 2 27x = 0 ; 4 30x 2 19x 5 = 0 ; 5 2x x + 3 = 0 ; 6 3x 2 + 6x = 0 ; 7 3x 2 + 8x + 6 = 0 ; 8 (x + 5) 2 = 2(x + 3) 2 17 ; 9 15 x + 12 x 1 = 11 ; Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

102 90 D A E U B Année de remise à niveau 10 3x 2 8x 16 x 4 = 2x. IV.3.2 Factorisation du trinôme Il est intéressant de pouvoir donner une factorisation de l expression ax 2 + bx + c (une telle impression s appelle un trinôme) ; les racines du trinôme ax 2 + bx + c sont les solutions de l équation ax 2 + bx + c = 0. C est possible, grâce à la forme canonique qu on a vue un peu plus tôt (p.86). On a vu que a(ax 2 + bx + c) = a 2 x 2 + abx + ac pouvait s écrire (IV.1) a(a 2 + bx + c) = ( ax + b ) Lorsque 0, (ce que nous allons faire est encore valable lorsque = 0, mais est utilisé ( ) ( ) 2 2, surtout pour > 0), on peut écrire, puisqu alors = donc 4 = : 2 [ ( a(a 2 + bx + c) = ax + b ) ] [ ( + ax + b ) ] ( = ax + b + ) ( ax + b ) 2 2 et en factorisant a dans chacune des parenthèses a(ax 2 + bx + c) = a ( x b 2a ) a ( x b + 2a ) et en divisant maintenant par a, et en reconnaissant les racines x 1 et x 2 (IV.2) ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Nous avons ainsi factorisé le trinôme ax 2 + bx + c. Reprenons les exemples du IV.3.1, en essayant à chaque fois de factoriser les trinômes dont on a trouvé les racines. Exemple 1 : Factoriser le trinôme x 2 + 4x + 3. On a vu que les racines de ce trinôme sont 1 et 3, on peut donc factoriser ce trinôme ainsi (ici a = 1) : x 2 + 4x + 3 = 1(x + 1)(x + 3) = (x + 1)(x + 3). Exemple 2 : Factoriser le trinôme 3x 2 + 2x + 5. On a vu que le discriminant était négatif, il n y a pas de racine, donc il est impossible de factoriser 3x 2 + 2x + 5. Exemple 3 : Factoriser le trinôme x 2 4x 5. On a vu que les racines de ce trinôme sont 1 et 5, et comme a = 1, on a la factorisation : x 2 4x 5 = 1(x + 1)(x 5) = (x + 1)(x 5). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

103 91 Exemple 4 : Factoriser le trinôme 3x x On a vu que les racines de ce trinôme sont 5 et 2 ; comme a = 3, on a la factorisation 3 3x2 + 17x + 10 = 3(x + 5)(x + 2) ; 3 en développant le 3 dans le deuxième facteur (i.e. la deuxième parenthèse), on obtient aussi 3x x + 10 = (x + 5)(3x + 2) (ce qu on peut vérifier en développant à nouveau le membre de droite). Exemple 5 : Factoriser le trinôme 2x 2 5x 19. On a vu que les racines de ce trinôme sont x 1 = et x 2 = ; comme ici a = 2, on a la factorisation 4 4 2x 2 5x 19 = 2 (x x 1 ) (x x 2 ) = 2 ( x ) ( x ). Exemple 6 : Factoriser le trinôme 2x 2 8x 8. On a vu que ce trinôme admet une seule racine double, qui est x 1 = x 2 = 2. Puisque a = 2, une factorisation de ce trinôme est donc : 2x 2 8x 8 = 2(x + 2)(x + 2) = 2(x + 2) 2. Exemple 7 : Factoriser le trinôme 5x 2 4x 1. On a vu que ce trinôme admet deux racines qui sont 1 et 1 ; on a donc la factorisation 5 5x2 4x 1 = 5(x 1)(x + 1 ) = (x 1)(5x + 1) 5 (on a développé le 5 dans le deuxième facteur). Exemple 8 : Factoriser le trinôme x 2 x + 1. On a vu que la seule racine double de ce trinôme 2 16 est 1 ; comme a = 1, on a donc la factorisation 4 x2 x + 1 = 1(x 1)(x 1) = (x )2. Pour les exemples 9 et 10, on a déjà procédé à la factorisation des trinômes rencontrés, c est même comme ça qu on a trouvé leurs racines. Exercice IV.2 Factoriser les trinômes intervenant dans les équations qu il a fallu résoudre lors de l exercice IV.1 IV.3.3 Somme et produit des racines On considère l équation 33x x 70 = 0 ; il est assez facile, pour qui a un bon coup d œil et quelques compétences en calcul mental, de remarquer, puisque = 70, que 1 est racine de cette équation. Du coup, il serait intéressant de trouver une méthode pour avoir directement l autre racine sans passer par le calcul du discriminant. Remarquons que puisqu il existe une racine, on est sûr que le discriminant est positif (ou à la rigueur nul, si par hasard cette racine 1 était une racine double). Un autre argument pour la positivité du discriminant est le fait que a et c (ici 33 et 70) sont de signe opposé. Le produit 4ac est donc forcément négatif, et donc ( 4ac) est positif. Comme = b 2 4ac, avec le carré b 2 qui est positif ou nul en écrivant = b 2 + ( 4ac), on est sûr que le résultat, somme de deux nombres positifs, est positif. Utilisons la factorisation de ce polynôme vue au précédent. Le trinôme 33x x 70 admet deux racines (éventuellement confondues) x 1 = 1 et x 2 dont on ne connaît pas la valeur. On a donc la factorisation 33x x 70 = 33(x x 1 )(x x 2 ) = 33(x 1)(x x 2 ). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

104 92 D A E U B Année de remise à niveau Mais on peut aussi développer le membre de droite : (x 1)(x x 2 ) = x 2 x x 2 x + 1.x 2 = x 2 (1 + x 2 )x + x 2. On a donc 33x x 70 = 33 ( ) x 2 (1 + x 2 )x + x 2, et en développant encore le membre de droite, cela donne 33x x 70 = 33x 2 33(1 + x 2 )x + 33x 2. En identifiant les deux membres, on a forcément 33 = = 33(1 + x 2 ) 70 = 33x 2. En utilisant la dernière équation, on trouve que 33x 2 = 70, donc x 2 = Généralisation Dans le calcul précédent, si nous avions gardé x 1 au lieu de remplacer par sa valeur 1, nous aurions trouvé l égalité 33x x 70 = 33x 2 33(x 1 + x 2 )x + 33x 1 x 2, ce qui nous aurait donné, en identifiant : 37 = 33(x 1 +x 2 ) et 70 = 33x 1 x 2. On aurait donc trouvé que la somme des racines valait x 1 + x 2 = et que la somme des racines valait x 1x 2 = Cette méthode permet donc de trouver la somme et le produit des racines d un trinôme, avec des formules très simples ; ces formules sont toujours applicables, mais elles n ont de sens que si ces racines existent. Considérons maintenant le trinôme ax 2 + bx + c, on suppose que son discriminant est 0, il y a donc deux racines x 1 et x 2 (ou éventuellement une seule double, on dit dans ce cas que x 1 = x 2 ). On dispose de la factorisation ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ), et en redéveloppant le membre de droite, puisque (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2, on trouve : a = a ax 2 + bx + c = ax 2 a(x 1 + x 2 )x + ax 1 x 2. En identifiant, cela donne : b = a(x 1 + x 2 ) c = ax 1 x 2. La première égalité ne sert à rien, mais la deuxième nous donne l expression de la somme des racines : x 1 + x 2 = b a et la troisième égalité donne l expression du produit des racines : x 1 x 2 = c a Signe des racines Ces relations permettent de prévoir le signe des racines, sans avoir à les calculer. Si c et a sont de signes opposés (on a déjà vu qu alors forcément le discriminant est strictement c positif), le produit x 1 x 2 des deux racines est le nombre négatif (quotient d un positif par un a négatif ou d un négatif par un positif : la règle des signes permet d affirmer dans tous les cas Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

105 93 que le résultat est négatif). Dans ce cas x 1 et x 2 sont forcément de signe contraire : il y a une racine positive et l autre est négative. Si c et a sont de même signe, il est possible que le discriminant soit négatif, et donc qu il n y ait pas de racine. Mais s il y a des racines, comme c a > 0, le produit x 1x 2 est positif, donc x 1 et x 2 sont de même signe, soit toutes les deux positives, soit toutes les deux négatives. Pour savoir dans quel cas on est, il suffit d observer le signe de la somme des deux racines, c est-à-dire de b a : si x 1 + x 2 > 0, alors c est que x 1 et x 2 sont toutes les deux positives et si b a = x 1 + x 2 < 0, alors les deux racines sont négatives. Exemple 11 : Considérons l équation 37x 2 280x + 31 = 0. On n a pas envie de calculer son discriminant, mais on peut affirmer que s il y a des racines, elles sont de même signe, puisqu ici 31 > 0, et puisque la somme des racines x x 2 = 280 = 280 > 0, on est sûr que s il y a des racines, elles sont toutes les deux positives. Exemple 12 : Pour l équation 297x 2 331x 1024, on a c = 1024 et a = 297 qui sont de signes opposés, donc il y a deux racines, une positive et l autre négative. Exemple 13 : Pour l équation 23x + 49x + 21 = 0, s il y a des racines elles sont toutes les deux de même signe, et comme leur somme vaut 49 < 0, les racines, si elles existent, sont toutes les 23 deux négatives. Exercice IV.3 Dans les exemples 1 à 8 et dans l exercice IV.1, questions 3 à 7, appliquer les formules ci-dessus pour prévoir quel sera la somme des racines et le produit des racines, et en déduire le signe des racines. On vérifiera ensuite le résultat en considérant les valeurs des racines obtenues dans le corrigé. Exercice IV.4 Pour chacune des équations suivantes, il y a une racine «évidente» éventuellement donnée entre parenthèses (sinon, essayez 1 et 1). Sans faire de calcul de discriminant, déterminer quelle est l autre racine. 1 8x 2 7x 1 = 0 ; x x 1012 = 0 ; 3 x 2 + (1 + 2)x + 2 = 0 (racine «évidente» : 1) ; 4 x x + 14 = 0 ; 5 x 2 15x + 26 = 0 (racine «évidente» : 2) ; 6 2x 2 5x + 2 = 0 (racine «évidente» : 2). IV.4 Résolution de problèmes conduisant à la résolution d équations du second degré La démarche est toujours la même que dans les chapitres précédents. On commence par choisir l inconnue, on poursuit en traduisant les données du problème en équation(s), (ici on obtiendra au moins une équation du second degré) puis on résout la ou les équations, enfin on revient au problème initial en vérifiant que la ou les solutions obtenues sont plausibles, et on conclut (ensuite, on peut facultativement faire une vérification). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

106 94 D A E U B Année de remise à niveau Voici un unique exemple de ce type de problème. Un autre exemple est donné en exercice et on applique cela dans le devoir n 4. Exemple 14 : Une association organise pour ses adhérents une excursion. Le prix total facturé par le voyagiste est de e. Au moment du départ deux personnes dont on avait accepté la réservation sans qu elles paient, se désistent. Comme le voyagiste ne change évidemment pas sa facture, il faut répartir le surcoût entre tous les participants : chacun doit payer 13e de plus. Quel était le nombre de personnes inscrites initialement? (et combien participent finalement au voyage?) Choix de l inconnue Soit x le nombre de personnes inscrites initialement au voyage (il y en a donc x 2 qui participent effectivement à l excursion) Mise en équation La part de chacun devait être initialement, en euros :. La part de x chacun est finalement de, puisque le prix total est réparti entre les participants effectifs. x 2 La différence entre le prix payé effectivement par chacun et le prix prévu est de 13e, ce qui se traduit par l équation : = 13. x 2 x Résolution L équation ci-dessus n est pas linéaire. Comme il y a des dénominateurs, on a déjà comme condition que x 0 et x 2, (conditions évidemment remplies, puisque forcément le nombre de personnes prévues pour l excursion était un entier supérieur à 2). On multiplie chaque membre de l équation par x(x 2) : ( x(x 2) x 2 donc ou encore On passe tout du même côté, cela donne ) = 13x(x 2) x x (x 2) = 13(x 2 2x) x x = 13x 2 26x. 13x x = 0. On a obtenu une équation du second degré. On peut remarquer que les coefficients a = 13 et c = sont de signes opposés, on est donc sûr que le discriminant sera positif, et qu il y aura deux racines, l une positive et l autre négative. Seule la racine positive a des chances d être une solution du problème, si elle est un nombre entier, ce qui n a rien d évident pour l instant. Calculons le discriminant : = ( 13) = Une calculatrice nous aidera à trouver que = = 1 066, et donc les deux solutions de l équation sont x 1 = = = = 40 et 2( 13) x 1 = = = = 42. 2( 13) Conclusion Bien entendu, seule la racine positive est satisfaisante, c est bien un nombre entier. Il était donc prévu que 42 personnes participent à l excursion, et finalement seulement 40 personnes se sont présentées au départ. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

107 95 Vérification Le prix prévu initialement par personne était = 260e ; le prix payé 42 finalement par chacun des 40 participants effectivement a été = 273e, et on a bien = 10920e, le voyagiste a bien été payé intégralement. Exercice IV.5 On enlève tout autour d un tapis rectangulaire une bande d étoffe de la façon suivante : on coupe de chaque côté, parallèlement au petit côté, une bande de 0,3m de large, et, parallèlement au grand côté, on coupe une bande de 0,5m de large. Ceci fait, on obtient un tapis rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur et on remarque que l aire du tapis restant est la moitié de l aire du tapis initial. Quelles sont les dimensions du nouveau tapis et du tapis initial? (Pour réussir à faire la mise en équation, on choisira comme inconnue la largeur du nouveau tapis, et on exprimera en fonction de l inconnue, la longueur du nouveau tapis, son aire, la longueur et la largeur du tapis initial, et l aire du tapis initial ; bien entendu, on fera une figure!) IV.5 Corrigé des exercices du quatrième chapitre Corrigé de l exercice IV.1 (p.89) 1 33x x = 0 ; ici, pas besoin de discriminant, l équation est incomplète (c = 0). On se contente de factoriser, comme on l a fait aux chapitres précédents : l équation s écrit x(33x + 55) = 0, soit x = 0 ou 33x + 55 = 0. Il y a donc deux solutions : les nombres 0 et = (2x 5) 2 (4x 1) 2 = 0 ; ici aussi, ne pas se précipiter sur le développement et la résolution avec calcul du discriminant : il faut se rappeler ce qu on savait faire aux chapitres précédents, [ à savoir factoriser ][ en utilisant les identités ] remarquables. Ici l équation peut s écrire : (2x 5) + (4x 1) (2x 5) (4x 1) = 0, soit (6x 6)( 2x 4) = 0 ; on a donc 6x 6 = 0 ou 2x 4 = 0, ce qui fait que l équation admet deux solutions, qui sont les nombres 6 = 1 et 4 = x 2 27x+140 = 0 ; bon, cette fois on entre dans le vif du sujet, et on a besoin du discriminant. Ici a = 1, b = 27 (attention quand b est négatif!), c = 140, donc = ( 27) = = 169 > 0. = 13 car 13 2 = 169. Donc l équation admet deux solutions qui sont ( 27) + 13 les réels x 1 = = = 20 et x ( 27) 13 2 = = = x 2 19x 5 = 0 ; ici aussi, pas moyen d échapper au calcul de discriminant. a = 30, b = 19, c = 5, donc = ( 19 2 ) 4 30 ( 5) = = 961 > 0. Comme 31 2 = 961, on a = 31. L équation possède donc deux solutions qui sont les réels ( 19) + 31 x 1 = = = 5 6 et x ( 19) 31 2 = = = x x + 3 = 0 ; toujours la méthode du discriminant ; a = 2, b = 26, c = 3 donc = = = 652 > 0. Ici 652 n est pas un carré parfait ; la calculatrice donne , , on gardera dans l expression du résultat le radical : l équation admet deux racines qui sont x 1 = = et x 2 = Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté =

108 96 D A E U B Année de remise à niveau (On pourrait à peine simplifier le résultat en simplifiant par 2, à condition de remarquer que 652 = 4 163, donc 652 = = = 2 163, ce qui fait que x 1 = et 2 x 2 = C est sans grand intérêt.) 2 (On peut aussi se servir d une calculatrice pour donner une valeur approchée des racines : on trouve alors x 1 12, et x 2 = 0, Ce n est absolument pas nécessaire, en tout cas dans ce chapitre.) 6 3x 2 + 6x = 0 ; le discriminant s impose : a = 3, b = 6 et c = 3 3, de sorte que = = = = 0. Le discriminant est nul, il y a donc une unique racine double qui est x 1 = x 2 = = = = x 2 + 8x + 6 = 0 ; ici a = 3, b = 8, c = 6, donc = = = 8 < 0. L équation n a donc aucune solution. 8 (x + 5) 2 = 2(x + 3) 2 17 ; on peut essayer de factoriser, mais on ne voit rien d évident à faire. Autant tout développer. L équation s écrit alors x x + 25 = 2(x 2 + 6x + 9) 17, ou encore x x + 25 = 2x x , soit, en passant tout du même côté : x 2 2x + 24 = 0. On calcule maintenant le discriminant, après avoir identifié a = 1, b = 2 et c = 24 : = ( 2) 2 4 ( 1) 24 = = 100 > 0. Ici = 10, donc l équation admet deux ( 2) + 10 solutions qui sont les nombres x 1 = = 12 2 ( 1) 2 = 6 et x ( 2) 10 2 = = 8 2 ( 1) 2 = x + 12 = 11 ; on remarque déjà qu il faut exclure les valeurs 0 et 1, à cause des x 1 dénominateurs : une solution de cette équation ne peut être aucun de ces deux nombres. Ensuite on multiplie par x(x 1) les deux membres, ce qui nous ramène à l équation : 15(x 1)+12x = 11x(x 1) ; on peut maintenant tout développer, on obtient 15x 15+12x = 11x 2 11x, soit, en passant tout du même côté : 11x 2 + ( )x 15 = 0, soit 11x x 15 = 0. Cette fois on n a plus qu à calculer le discriminant de cette équation du second degré ; comme a = 11, b = 38 et c = 15, on a = ( 11) ( 15) = = 784 > 0 ; à la calculatrice, on obtient 784 = 28, donc l équation a deux racines qui sont x 1 = 2 ( 11) = = 5 11 et x = 2 ( 11) = = 3. Comme x 1 et x 2 ne sont pas des valeurs interdites (0 et 1), ce sont bien les deux solutions de l équation initiale. 10 3x 2 8x 16 = 2x. Ici encore, à cause du dénominateur x 4, il y a une valeur interdite, x 4 qui est 4. On peut multiplier l équation par (x 4), on obtient 3x 2 8x 16 = 2x(x 4), et maintenant en développant : 3x 2 8x 16 = 2x 2 8x ; on passe tout du même côté, cela donne 3x 2 2x 2 8x+8x 16 = 0, donc x 2 16 = 0. Attention! ceci est une équation incomplète! Ce serait très maladroit et très dangereux d utiliser le discriminant : on peut facilement factoriser avec la formule a 2 b 2 =... puisque 16 = 4 2. On obtient l équation (x 4)(x + 4) = 0, et deux solutions 4 et 4. Mais 4 est une valeur interdite! L équation initiale n admet donc qu une seule solution, qui est 4. Corrigé de l exercice IV.2 (p.91) On doit factoriser les trinômes rencontrés dans l exercice IV.1. 1 Le trinôme de cette équation est 33x x et on l a factorisé pour pouvoir résoudre : 33x x = x(33x + 55) = 11x(3x + 5) = 11x(x ). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

109 97 2 Le trinôme intervenant ici est (2x 5) 2 (4x 1) 2 et on l a aussi factorisé pour la résolution : (2x 5) 2 (4x 1) 2 = (6x 6)( 2x 4) = 6(x 1)( 2)(x + 2) = 12(x 1)(x + 2). 3 On a vu que les racines du trinôme x 2 27x+140 sont x 1 = 20 et x 2 = 7, donc une factorisation de ce trinôme est x 2 27x = 1(x 20)(x 7) = (x 20)(x 7) (Il est prudent de toujours mettre a devant une telle factorisation, même quand, comme ici, a = 1 et qu il est donc inutile : cela permet d éviter de l oublier quand a ne vaut pas 1.) 4 Les racines du trinôme 30x 2 19x 5 sont x 1 = 5 et x 6 2 = 1, donc on a la factorisation : 5 30x 2 19x 5 = 30(x 5)(x + 1 ) et en décomposant 30 = 6 5, et en répartissant 6 avec le 6 5 premier facteur et 5 avec le second, on peut aussi écrire : 30x 2 19x 5 = (6x 5)(5x + 1). 5 Les racines du trinôme 2x 2 +26x+3 sont x 1 = et x 4 2 = ( ) (, donc une factorisation 4 ) de ce trinôme est 2x x + 3 = 2 x x Le trinôme 3x 2 + 6x admet une unique racine double x 1 = x 2 = 3, donc une factorisation est 3x 2 + 6x = 3(x + 3) 2. 7 Le trinôme 3x 2 + 8x + 6 n a pas de racine, donc on ne peut pas le factoriser. 8 Le trinôme qui intervient dans cette équation, est après réduction : (x+5) 2 [ 2(x+3) 2 17 ] = x 2 2x + 24, ses racines sont x 1 = 6 et x 2 = 4, donc une factorisation de ce trinôme est x 2 2x + 24 = ( 1)(x + 6)(x 4) = (x + 6)(x 4). 9 En résolvant l équation ici, on se ramène à la recherche des racines du trinôme 11x 2 +38x 15, et on a trouvé les racines x 1 = 5 et x 11 2 = 3, donc on a la factorisation : 11x x 15 = 11(x 5 )(x 3) = (11x 5)(x 3) Dans cette dernière équation, on n arrive au trinôme x 2 16, qu on a factorisé en x 2 16 = (x 4)(x + 4) (et on n avait pas besoin de la théorie pour ça!) Corrigé de l exercice IV.3 (p.93) Exemple 1 : Pour le trinôme x 2 + 4x + 3, comme a = 1 et c = 3 sont de même signe, s il y a des racines, elles sont aussi de même signe, et comme leur somme est b = 4 < 0, les deux racines, si a elles existent, sont négatives. Exemple 2 : Pour le trinôme 3x 2 + 2x + 5, même raisonnement, comme a = 2 et c = 5 sont de même signe s il y a des racines, elles sont de même signe, et même elles sont toutes deux négatives puisque leur somme éventuelle vaut b = 2 < 0. (En fait, on a vu qu ici, il n y a pas de racine). a 3 Exemple 3 : Pour le trinôme x 2 4x 5, comme a = 1 et c = 5 sont de signes opposés, on est sûr qu il y a deux racines de signes différents : il y a une racine positive et l autre négative. Exemple 4 : Pour le trinôme 3x x + 10, comme a = 3 et c = 10 sont de même signe, s il y a des racines, elles sont aussi de même signe, et comme leur somme est b = 17 < 0, les deux a 3 racines éventuelles sont négatives. Exemple 5 : Pour le trinôme 2x 2 5x 19, comme a = 2 et c = 19 sont de signes opposés, on est sûr qu il y a deux racines de signes différents : il y a une racine positive et l autre négative. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

110 98 D A E U B Année de remise à niveau Exemple 6 : Pour le trinôme 2x 2 8x 8, comme a = 2 et c = 8 sont de même signe, s il y a des racines, elles sont aussi de même signe, et comme leur somme est b = 8 < 0, les deux a 2 racines éventuelles sont négatives (on a vu qu en fait, les deux racines sont confondues et valent 2, ce n est pas contradictoire avec ce qu on vient de dire). Exemple 7 : Pour le trinôme 5x 2 4x 1, comme a = 5 et c = 1 sont de signes opposés, on est sûr qu il y a deux racines de signes différents : il y a une racine positive et l autre négative. Exemple 8 : Pour le trinôme x 2 x + 1 1, comme a = 1 et c = sont de même signe, s il y a des racines, elles sont aussi de même signe, et comme leur somme est b = 1 2 a 1 > 0, les deux racines éventuelles sont positives (on a vu qu en fait, les deux racines sont confondues et valent 1, ce n est 4 pas contradictoire avec ce qu on vient de dire). Trinômes de l exercice IV.1, p.89 3 Pour le trinôme x 2 27x+140, on a a = 1 et c = 140 qui sont de même signe, donc s il y a des racines, elles sont de même signe. Comme la somme des racines éventuelles est 27 = 27 > 0, 1 les racines éventuelles sont positivees. 4 Pour le trinôme 30x 2 19x 5 = 0 comme a = 30 et c = 5 sont de signes opposés, on est sûr qu il y a deux racines de signes différents : il y a une racine positive et l autre négative. 5 Pour le trinôme 2x x + 3 = 0, comme a = 2 et c = 3 sont de même signe, s il y a des racines, elles sont de même signe, et comme leur somme est b = 26 < 0, les deux racines a 2 éventuelles sont négatives. 6 Pour le trinôme 3x 2 + 6x = 0, comme a = 3 et c = 3 3 sont de même signe, s il y a des racines, elles sont de même signe, et comme leur somme est b = 6 a 3 < 0, les deux racines éventuelles sont négatives. 7 Pour le trinôme 3x 2 + 8x + 6 = 0, comme a = 3 et c = 6 sont de même signe, s il y a des racines, elles sont de même signe, et comme leur somme est b = 8 < 0, les deux racines a 3 éventuelles sont négatives. Corrigé de l exercice IV.4 (p.93) 1 Il est évident que l équation 8x 2 7x 1 = 0 admet 1 comme racine, puisque = 0 ; le produit des racines vaut x 1 x 2 = c = 1 ; comme x a 8 1 = 1, on a donc 1x 2 = 1, donc la seconde 8 racine est Pour l équation 2 012x x = 0, heureusement qu on n est pas obligé de calculer un discriminant! 1 est racine évidente puisque = 0 ; Le produit des racines est x 1 x 2 = 2 012, comme x 1 = 1, on a donc x 2 = = Pour x 2 + (1 + 2)x + 2 = 0, on nous donne la racine «évidente» x 1 = 1 ; vérifions-le quand même : on a bien ( 1) 2 + (1 + 2)( 1) + 2 = = 0. Le produit des racines vaut x 1 x 2 = c = 2 = 2 ; comme x a 1 1 = 1, on a donc x 2 = 2, donc la deuxième racine est x 2 = 2. 4 On ne nous donne pas de racine évidente pour x x + 14 = 0 ; il est clair que 1 n est pas racine puisque = 30 0 ; essayons avec 1 : on a ( 1) ( 1) + 14 = = 0, donc x 1 = 1 est une des deux racines de cette équation. L autre racine x 2 est telle que x 1 x 2 = c a = 14 1 = 14, donc on a x 2 = 14 et la seconde racine est donc x 2 = 14. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

111 99 5 Pour l équation x 2 15x + 26 = 0, on nous donne la racine «évidente»2 ; vérifions : = = 0, x 1 = 2 est bien une racine ; l autre racine x 2 est telle que x 1 x 2 = c a = 26 1 = 26 ; on a donc 2x 2 = 26 et la deuxième racine est donc x 2 = Pour l équation 2x 2 5x + 2 = 0, on nous donne la racine «évidente»2 ; vérifions : = = 0, x 1 = 2 est bien une racine ; l autre racine x 2 est telle que x 1 x 2 = c a = 2 2 = 1 ; on a donc 2x 2 = 1 et la deuxième racine est donc x 2 = 1 2. Corrigé de l exercice IV.5 (p.95) On enlève tout autour d un tapis rectangulaire une bande d étoffe de la façon suivante : on coupe de chaque côté, parallèlement au petit côté, une bande de 0,3m de large, et, parallèlement au grand côté, on coupe une bande de 0,5m de large. Ceci fait, on obtient un tapis rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur et on remarque que l aire du tapis restant est la moitié de l aire du tapis initial. Quelles sont les dimensions du nouveau tapis et du tapis initial? (Pour réussir à faire la mise en équation, on choisira comme inconnue la largeur du nouveau tapis, et on exprimera en fonction de l inconnue, la longueur du nouveau tapis, son aire, la longueur et la largeur du tapis initial, et l aire du tapis initial) Choix de l inconnue : on choisit, conformément aux indications, la largeur du nouveau tapis comme inconnue x. 0,5 x 0,5 2x 0,3 0,3 Mise en équation La longueur du nouveau tapis étant le double de la largeur, cette longueur vaut 2x. L aire du nouveau tapis est égale à la longueur multipliée par la largeur, soit 2x x = 2x 2. La longueur du tapis initial est égale à la longueur du nouveau tapis plus deux fois la largeur de la bande enlevée parallèlement à la largeur, soit 2x + 2 0,3 = 2x + 0,6. La largeur du tapis initial est égale à la largeur du nouveau tapis plus deux fois la largeur de la bande enlevée parallèlement à la longueur, soit x + 2 0,5 = x + 1. L aire du tapis initial est donc (longueur largeur) : (2x + 0,6)(x + 1). Il suffit maintenant d écrire que l aire du nouveau tapis est la moitié de l aire du tapis initial : on a donc 2x 2 = 1 (2x + 0,6)(x + 1) 2 Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

112 100 D A E U B Année de remise à niveau Résolution : on multiplie par 2 l équation ci-dessus, ce qui donne 4x 2 = (2x + 0,6)(x + 1) ; on développe tout, puis on passe tout du même côté, on obtient successivement : 4x 2 = 2x 2 + 0,6x + 2x + 0,6 soit 4x 2 2x 2 = 2,6x + 0,6 ou encore 2x 2 2,6x 0,6 = 0. Pour ne pas être gêné par les nombres à virgule, il est conseillé (mais ce n est pas obligé) de tout multiplier par 10 : on obtient 20x 2 26x 6 = 0. Ici a = 20, b = 26 et c = 6, on a a et c qui sont de signes opposés, donc il y aura à coup sûr deux racines, l une négative et l autre positive. Bien entendu, seule la racine positive peut correspondre à une largeur de tapis, donc on rejettera la racine négative de ce trinôme. Le discriminant vaut = b 2 4ac = ( 26) ( 6) = = 1156 > 0 (ce n est pas une surprise que ce discriminant soit positif, on le savait déjà puisque a et c sont de signes contraires). On a = 1156 = 34, de sorte que les deux racines sont x 1 = ( 26) ( 26) 34 x 2 = = = 1 5 = 0,2. Conclusion : Le nouveau tapis a une largeur de 1,50m, donc une longueur de 3m. = = 1,5 et Vérification : L ancien tapis avait une largeur de 1, ,5 = 2,50m, sa longueur était de ,3 = 3,6m. L aire du nouveau tapis est 3 1,5 = 4,5m 2. L aire de l ancien tapis était 2,5 3,6 = 9m 2, ce qui fait bien le double de ce qu on obtient après découpage. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

113 101 Université de Franche-Comté Centre de Télé-Enseignement Universitaire D.A.E.U. B, année de remise à niveau DEVOIR n 4 à envoyer à la correction Résoudre les équations suivantes : 1 x 2 + x + 20 = 0 ; 2 3x 2 + 2x + 8 = 1 ; 3 5x 2 = 4 5 x 4 ; 4 (x + 5) 2 = 2(x + 3) 2 17 ; 5 15 x + 12 x 1 = 11 ; 6 (x 1)(x + 2) 3 x = Exercice I (3x + 1)(2x 3) 21 Exercice II On considère l équation x 2 (7 3)x = 0 ; calculer le discriminant de cette équation. Vérifier que = (3 + 3) 2 et en déduire les solutions de l équation. Résoudre les problèmes suivants : Exercice III 1 Un jardin et un champ ont ensemble une aire de 1 480m 2. Le jardin coûte e et le champ coûte e. Le prix du mètre carré de jardin surpasse 5e celui du mètre carré de champ. On demande de calculer l aire du jardin et l aire du champ. (On choisira comme inconnue l aire du jardin (en m 2 ) ; on calculera en fonction de x : l aire du champ, le prix du mètre carré de jardin, le prix du mètre carré de champ, avant de trouver x puis l aire du champ.) 2 On considère un carré ABCD de côté 1. Sur la droite (AB), on place A de sorte que A, B, A soient dans cet ordre. Sur (CD), on place C de sorte que C, D, C soient dans cet ordre. On place de même B sur (BC) et D sur (AD). On suppose de plus que BA = CB = DC = AD = x. On a ainsi construit un «grand» carré A B C D. Quelle valeur doit-on donner à x pour que l aire du grand carré soit égale à 5? (Penser au théorème de Pythagore pour exprimer la longueur du côté du grand carré en fonction de x.) Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

114 102 D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

115 Chapitre V Inéquations V.1 Généralités sur les inégalités V.1.1 Introduction Égalités, inégalités Dans les chapitres précédents, nous avons travaillé sur des égalités, qu on utilisait pour calculer des nombres au chapitre 1, puis pour écrire des équations dans les chapitres 2, 3 et 4. Nous nous intéressons maintenant aux inégalités. Mais qu est-ce donc qu une inégalité en mathématiques? Ce n est pas le contraire d une égalité. Certes, il est parfois intéressant d affirmer qu un nombre n est pas égal à un autre : par exemple c est important qu un dénominateur ne soit pas égal à 0. Mais il n est pas très facile de raisonner avec des phrases mathématiques négatives, et pour savoir quand un dénominateur n est pas égal à 0, on cherche en général quand ce dénominateur est égal à 0. La théorie que nous allons développer dans ce chapitre concernera les inégalités qui sont des relations de comparaisons. Notations Lorsque deux nombres a et b sont tels que a est inférieur à b, on note : a < b (on lit «a est inférieur à b» ou «a est plus petit que b»). On a bien sûr dans ce cas b qui est supérieur à a, et on peut aussi noter b > a (qui se lit «b est supérieur à a» ou «b est plus grand que a»). Par exemple, on sait que 3 est un nombre inférieur à 5, on note au choix 3 < 5 ou 5 > 3. Première propriété Proposition V.1 Si a et b sont deux nombres différents, il y en a toujours un qui est supérieur à l autre. Deux nombres sont toujours comparables pour l inégalité. Il est facile en général de comparer deux nombres positifs, lorsqu ils sont entiers, ou représentés par des valeurs approchées, on a l habitude de le faire. Par exemple, si on doit comparer 2,3 et 2,15 on sait sans hésiter que 2,15 < 2,3. C est facile aussi, si un des nombres est positif et l autre négatif : les nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs. Par exemple, pour comparer 3 et 4, on a bien sûr 3 >

116 104 D A E U B Année de remise à niveau C est un peu plus délicat et moins intuitif lorsqu on doit comparer deux nombres négatifs : quel est le plus grand nombre entre 6 et 8,5? Une bonne façon de donner le résultat sans hésiter est de penser à des températures? A-t-on plus froid lorsqu il fait 6 ou lorsqu il fait 8,5? Bien sûr c est pour 8,5 qu il fait le plus froid, que la température est la plus basse, donc on a 8,5 < 6. Une autre situation où il est plus compliqué de comparer deux nombres, c est lorsqu ils sont donnés par une expression compliquée. Par exemple, si a = et b = 2 + 3, quel est le plus grand nombre entre a et b? Une bonne solution, pour faire cette comparaison sans se tromper, consiste à prendre une calculatrice, et à trouver une valeur approchée décimale de chacun de ces nombres. Ici, on trouve a 3,449 et b 3,146, donc il est clair que a > b. V.1.2 Inégalités larges On considère aussi en mathématiques une autre classe d inégalités : les inégalités larges qui sont et. Lorsqu on écrit a b, (on lit «a est inférieur ou égal à b»), on veut exprimer qu on a soit a < b, soit a = b. Dans ce cas on a aussi b a, ce qu on lit «b est supérieur ou égal à a». Par opposition aux inégalités larges, les inégalités < et > sont appelées des inégalités strictes. Le plus souvent, lorsque a < b, on lira «a est strictement inférieur à b», même si c est une sorte de pléonasme. En fait, en mathématiques, on n aime pas trop les ambiguïtés, et c est pour cela qu on aime préciser les choses : on préfère ne pas rester dans le flou, et ne pas se contenter de dire a est inférieur à b, mais dire a est strictement inférieur à b. (Ou alors, si on ne sait pas que a est différent de b, on dira a est inférieur ou égal à b. Notons que si on a a < b, alors il est certain qu on a aussi a b. Par exemple, 3 < 5 est vrai, mais il est aussi vrai que 3 5. En revanche, si on est sûr que a b, on ne peut pas affirmer qu on a a < b, puisqu on pourrait avoir a = b. Pour illustrer ceci, voici une petite propriété qui devrait vous sembler évidente, mais qui a de nombreuses applications à un niveau supérieur. Proposition V.2 Deux nombres a et b sont égaux si et seulement si on a à la fois a b et b a. Bien sûr, il est donc possible que les deux inégalités larges a b et b a soient vraies en même temps (lorsque a = b). En revanche, il est bien sûr impossible qu on ait à la fois a < b et b < a. V.1.3 Comparaison de deux nombres Il est en général assez simple de voir si un nombre est positif ou négatif. Cela permet aussi de comparer deux nombres grâce à la proposition suivante : Proposition V.3 Pour comparer deux nombres a et b, il suffit de calculer leur différence b a. Si b a est positif (b a > 0), alors a est plus petit que b (a < b) (et b est plus grand que a, b > a) Si b a est négatif (b a < 0), alors a est plus grand que b (a > b) (et b est plus petit que a, b < a) Si b a est nul (b a = 0), alors a est égal à b (a = b). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

117 105 Remarquons qu on a aussi les deux résultats suivants : Si b a est positif ou nul (b a 0), alors a est inférieur ou égal à b (a b) (et b est supérieur ou égal à a, b a) Si b a est négatif ou nul (b a 0), alors a est supérieur ou égal à b (a b) (et b est inférieur ou égal à a, b a) V.2 Inéquations V.2.1 Définition, vocabulaire De même qu une équation était un problème consistant à chercher un nombre inconnu (en général noté s) qui vérifie une égalité, une inéquation est un problème consistant à chercher les nombres inconnus (en général eux aussi notés x) qui vérifient une inégalité. Exemple : 3x 2 < 4 est une inéquation. Une solution de cette inéquation est un nombre a qui est tel que si on remplace l inconnue x par ce nombre a, on trouve une inégalité vraie. Par exemple, 0 est une solution de cette inéquation, car si on remplace x par 0, on obtient l inégalité < 4, c est-à-dire 2 < 4, qui est bien une inégalité vraie. Mais si on essaie de remplacer x par le nombre 7, on obtient l inégalité < 4, ou 19 < 4, qui est fausse! Donc 7 n est pas une solution de l inéquation 3x 2 < 4. Résoudre une inéquation, c est trouver toutes les solutions d une inéquation. Nous allons énoncer des règles permettant de modifier une inéquation jusqu à trouver facilement toutes les solutions d une inéquation. V.2.2 Intervalles Remarquons tout d abord qu il y a des inéquations qu il est particulièrement simple de résoudre : ce sont celles qui sont de la forme x > a (avec a un nombre donné) ou x < a ou x a ou x a. Par exemple, les solutions de l inéquation x > 1 sont tous les nombres plus grands que 1. Si on représente l ensemble des nombres comme une droite graduée, on peut représenter l ensemble des solutions comme la partie épaisse de la droite ci-dessous Cet ensemble se note ]1, + [. On dit que c est l ensemble des solutions de l inéquation x > 1. D une façon générale, ceci est une notation d intervalle. Il y a essentiellement 8 sortes d intervalles : Si a et b sont deux nombres tels que a est inférieur à b, on définit quatre intervalles dont les bornes sont a et b : L intervalle ouvert ]a, b[, qui est formé de tous les nombres qui sont entre a et b : ils sont à la fois strictement plus grands que a et strictement plus petits que b. On peut le représenter ainsi : a b Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

118 106 D A E U B Année de remise à niveau L intervalle fermé [a, b], qui est formé de tous les nombres entre a et b, mais aussi de a et de b. L intervalle [a, b] contient donc tous les nombres qui sont à la fois supérieurs ou égaux à a et inférieurs ou égaux à b. On peut le représenter ainsi : a b L intervalle ]a, b] (on dit qu il est semi-ouvert, ouvert en a et fermé en b) est formé de tous les nombres qui sont entre a et b et aussi de b (mais pas a). L intervalle ]a, b] contient donc tous les nombres qui sont à la fois strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b. Voici sa représentation : a b Enfin l intervalle [a, b[ (on dit aussi qu il est semi-ouvert, mais il est fermé en a et ouvert en b) est formé de tous les nombres qui sont entre a et b et aussi de a (et pas b). L intervalle [a, b[ contient donc tous les nombres qui sont à la fois supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b. Voici sa représentation : a On retient qu un intervalle s écrit avec ses deux bornes entre des crochets. Lorsqu un crochet est tourné vers une borne, cette borne appartient à l intervalle (l intervalle est fermé en cette borne) et lorsqu un crochet tourne le dos à une borne, cette borne n est pas prise, elle n est pas dans l intervalle, l intervalle est ouvert en cette borne. Il y a aussi quatre autres sortes d intervalles, limités d un seul côté, par une seule borne (on convient, dans ces cas-là, que l autre borne est infinie), comme le premier intervalle que nous avons rencontré. Soit a un nombre. Les quatre intervalles qu il limite à lui tout seul sont : L intervalle ]a, + [, formé de tous les nombres qui sont strictement plus grands que a, qui sont donc les solutions de l inéquation x > a. Voici sa représentation : a L intervalle [a, + [, formé de tous les nombres qui sont supérieurs ou égaux à a, ce sont donc les solutions de l inéquation x a. Voici sa représentation : a L intervalle ], a[, formé de tous les nombres qui sont strictement inférieurs à a, ce sont donc les solutions de l inéquation x < a. Voici sa représentation : a L intervalle ], a], formé de tous les nombres qui sont inférieurs ou égaux à a, ce sont les solutions de l inéquation x a. Voici sa représentation : Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté b

119 107 a V.2.3 Règles de transformation des inéquations Le but de toutes les règles que nous allons donner est de transformer une inéquation en une autre inéquation plus simple, mais ayant les mêmes solutions (comme pour les équations, deux inéquations ayant les mêmes solutions sont équivalentes). Voyons tout d abord une règle qui est tout à fait analogue à ce qu on peut faire pour une équation : Proposition V.4 Soient a, b, c trois nombres. Alors a + c et b + c sont dans le même ordre que a et b. En conséquence, dans une inéquation, on peut changer un terme de membre, à condition de changer son signe, et on obtient alors une inéquation équivalente. Par exemple, pour résoudre l inéquation 3x 2 < 4, on peut changer le terme 2 de membre ; il faut, comme pour une équation, changer son signe. Comme 2 était précédé du signe, lorsqu on passera 2 dans le membre de droite, il faudra lui affecter le signe +. L inéquation 3x 2 < 4 est donc équivalente à l inéquation 3x < 4 + 2, c est-à-dire à 3x < 6. Voyons maintenant une règle beaucoup plus compliquée, et tout à fait différente de ce qui se passe pour les équations. Proposition V.5 Si a, b, c sont trois nombres (avec c différent de 0). Alors ac et bc sont dans le même ordre que a et b lorsque c est positif ; dans l ordre contraire de a et b lorsque c est négatif. Il en est de même pour a c et b c. En conséquence, on peut multiplier ou diviser les deux membres d une inéquation par un même nombre positif, on obtient alors une inéquation équivalente. Mais si on multiplie (ou si on divise) les deux membres d une inéquation par un même nombre négatif, pour obtenir une inéquation équivalente, il faut changer le sens de l inégalité (c est-à-dire remplacer < par >, remplacer par, remplacer > par <, ou remplacer par.! Il est donc essentiel, lorsqu on multiplie ou qu on divise les deux membres d une inéquation par un même nombre non nul, d être attentif au signe de ce nombre. De même, lorsqu on veut multiplier diviser les deux membres d une inéquation par une expression, on ne peut pas le faire si on ne connaît pas de façon sûre le signe de l expression. En particulier on ne multiplie jamais les deux membres d une inéquation par une expression dont le signe n est pas fixe. Appliquons cette règle pour finir de résoudre l inéquation 3x 2 < 4 que nous avons commencé à transformer. On a vu ci-dessus que cette inéquation est équivalente à l inéquation 3x < 6. On peut maintenant diviser les deux membres de l inéquation par le nombre 3, qui est non nul, et strictement positif. On ne change donc pas le sens de l inégalité, et on obtient l inéquation équivalente : 3x 3 < 6, ou encore x < 2. On peut maintenant conclure que l ensemble des solutions 3 est l intervalle ], 2[ (on lit «l intervalle ouvert moins l infini, 2»). Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

120 108 D A E U B Année de remise à niveau V.2.4 Résolution des inéquations du premier degré à une inconnue De même que les équations du premier degré à une inconnue étaient des équations qu on arrivait à écrire sous la forme ax = b (voir le chapitre 2), une inéquation du premier degré est une inéquation qui, en appliquant la proposition V.4 (et éventuellement la proposition V.5, peut se mettre sous une des quatre formes ax < b ou ax b ou ax > b ou ax b. C est toujours le cas lorsque les membres de l inéquation ne comportent que des termes du premier degré (c est-à-dire sans puissances de x, et aussi sans x au dénominateur). Apprenons à résoudre une telle inéquation : bien sûr la solution consiste à diviser les deux membres de l inéquation par a. Ceci est possible si a est non nul. Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

121 Chapitre VI Généralités sur les fonctions. Dérivation 109

122 110 D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

123 Chapitre VII Étude de fonctions élémentaires : polynômes 111

124 112 D A E U B Année de remise à niveau Centre de Télé-enseignement Universitaire Franche-Comté

125 Chapitre VIII Étude de fonctions élémentaires : fractions rationnelles 113