Lycée Saint-Exupéry BAC BLANC - Février Terminales S Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures. CORRECTION

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1 Lycée Saint-Eupéry BAC BLANC - Février 06 - Terminales S Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures. CORRECTION Eercice : commun à tous les candidats Partie A :. On a l arbre pondéré ci-contre : A 3,5 points P 0, 0,9. a) D après l arbre ( B P) p( B) p ( P) 0,30 0,0 0, 06 p B 0,7 P. b) p( P) p( A P) p( B P) d après la formule probabilités totales Donc p( P) p( A) p ( P) p( B) p ( P) 0,70 0,90 0,0 0, 80 p ( P) 0,63 0,4 0,87 p( B P) p( P) 3. ( B) 0, 46 p P A 0,06 0,87 0,06 0,3 B 0,3 P 0, B 0,8 P Partie B :. Il s agit de la répétition de 0 épreuves de Bernoulli identiques indépendantes. La probabilité du succès (une bouteille ne contient pas de pesticide) vaut p ( P) 0, 87. X, variable aléatoire qui compte le nombre de succès, suit la loi binomiale B(0 0,87) p ( X 0) 0,87 ( 0,87) 0,87 0, p( X 8) p( X 8) p( X 9) p( X 0) 0,87 0,3 0,87 0,3 0,87 0, E ( X ) np 0 0,87 8, 7. Le gérant peut espérer avoir en moyenne 8,7 bouteilles (soit presque 9) sans trace de pesticides dans un lot de 0 bouteilles. Eercice : commun à tous les candidats 6,5 points Partie A : Restitution ganisée de Connaissances Il faut introduire la fonction f : e, dériver f démontrer que ( 0 f pour tout réel. Voir cours. lim donc par comparaison lim e

2 Partie B : Soit la fonction définie sur R par f e X. lim lim 0 X ( e e donc par composition lim e 0 Donc par produit puis somme lim D où par somme e e. e e e donc par produit lim e lim enfin par produit lim f ( e e e e e f ( pour tout réel e lim e lim donc par produit lim ( e e lim donc par inverse lim 0 e donc par somme De plus lim e donc par produit lim f ( lim ( e e 3. f uv w avec u(, v( e w ( e On adm que f est dérivable sur R u '(, v' ( e w' ( e Donc f '( u'( v( u( v'( w'( e e e e e Finalement f '( ( ) e 4. Soit la fonction définie sur R par pour tout réel u( ( ) e. a. X lim lim e donc par composition lim e lim X donc par produit lim ( ) e donc par somme lim u( u ( e e X lim lim e 0 donc par composition lim e 0 X X lim lim Xe 0 donc par composition lim e 0 X Finalement par somme lim u( b. u vw avec v( w( e v est dérivable sur R (fonction affine) w aussi (composée fonction linéaire eponentielle) donc u aussi. v '( w' ( e donc u' ( v'( w( v( w'( e ( ) e e ( 4 4e pour tout réel e 0 pour tout réel D où le tableau de variation :

3 0 + signe de u ( + variations de u c. Sur [0 ;] u est continue car dérivable, strictement décroissante, ( 0) 0 e ; u, u( ) e Donc d après le théorème de la bijection l équation possède une solution unique dans l intervalle [0 ;]. Avec la calculatrice on trouve 0, 64 d. Du tableau de variation on en déduit que ( 0 5. On en déduit donc : + signe de u( Signe de u f ' u sur ; ; ( 0 u sur ; que u ( ) 0 variations de f( ) f 6. a. Sur l intervalle ; 0 la fonction u b. u f ' donc une primitive de u est f. c. A u( d f '( d f ( f ( ) f (0) est continue positive Donc A e e 0 u( d Eercice 3 : commun à tous les candidats 5 points Question : On considère le plan passant par de vecteurs directeurs, la droite de représentation paramétrique R. On s intéresse à la position relative de. Le vecteur est un vecteur directeur de la droite. On cherche à savoir si les vecteurs, sont coplanaires. On cherche s il eiste deu réels tels que. Ceci se traduit par le système :. Ce système adm une solution, donc les vecteurs, sont coplanaires.

4 Pour savoir si est incluse dans, on regarde si le point de la droite appartient à. On cherche s il eiste deu réels tels que. Ceci se traduit par le système :. Ce système adm une solution, donc le point appartient à P. est incluse dans P Réponse B Question : On pose l équation devient. Puis on calcule on trouve. Comme, pour tout réel,, on a seulement ce qui donne une unique solution. Réponse B Question 3 : On calcule chaque longueur,,,, on trouve qu elles sont toutes égales à Réponse D Question 4 : Un vecteur directeur de est un vecteur directeur de est. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc on élimine les réponses B C. Pour savoir si sont sécantes, on résout le système : donc le système n a pas de solution les droites ne sont pas sécantes. Il reste donc la proposition D vraie car M est le point de de paramètre t = 3 M n appartient pas au droites Réponse D Question 5 : L algorithme qui convient est celui de la réponse A. Celui de la réponse B n affiche que le dernier terme calculé, c est-à-dire. Celui de la réponse C initialise la variable à à chaque passage dans la boucle, rons il ne calcule que (plusieurs fois ) n affiche que la valeur de, en eemplaires!

5 Eercice 4 : uniquement pour les candidats NON spécialistes maths Partie A : Conjecture 5 points. ; semble croissante semble converger vers 3. Partie B : Validation des conjectures On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par :.. Pour tout entier naturel, on a :.. Soit la propriété :. Initialisation : donc est vraie. Transmission : supposons que pour un certain rang,. Alors donc c est-à-dire d où. La propriété est héréditaire. Conclusion : la propriété est vraie au rang est héréditaire, donc pour tout entier naturel, on a. 3. a) Pour tout entier naturel on a. b) Pour tout, donc. D où. La suite est donc croissante. 4. est croissante majorée par 0 donc converge vers une limite. 5.. Comme, on a. 6. Pour tout entier naturel, donc. Comme est croissante converge vers 0, est aussi croissante converge vers 3. Eercice 4 : Uniquement pour les candidats ayant choisi la spécialité maths 5 points Partie A : Inverse de 3 modulo 6. le couple est solution de l équation.. Notons.

6 Soit une solution de l équation. On a ainsi :. Donc :. Donc : or 3 6 sont premiers entre eu, d après le théorème de Gauss,. Ainsi : où. En remplaçant dans, on a : càd. Ainsi, si est solution de l équation alors où. Vérification (ou réciproque) :. Conclusion : les solutions de l équation sont les couples de la forme où. 3. Si alors donc. Ainsi : si est solution de l équation alors. On peut donc chercher tel que avec. càd Conclusion : un entier tel que est Partie B : Chiffrement de Hill. Codage du mot ST : Etape : on associe au mot en clair ST le couple. Etape : on a avec soit or or,. soit or or,. Etape 3 : le mot codé est VU.. Procédure de décodage : a) Soit tel que Ainsi : Soit Donc : Soit Donc : Conclusion : Si est solution de alors b) Soit tel que. En multipliant par 7, chaque ligne du système, on obtient : : cf. Partie A.3 :. Donc, ;. Donc, le système devient On a : Donc,. Donc, le système devient. Conclusion : Si est solution de alors c) Soit tel que Ainsi : Soit Donc : Donc : Soit Conclusion : Si est solution de alors est solution de

7 d) Pour décoder le mot YJ, on utilise le système : Etape : on associe au mot en clair YT le couple. Etape : on a avec soit or or,. soit or or,. Etape 3 : le mot décodé est DX. Page 7 sur 8

8 BAREME sur 40 Eercice /7 Partie A /3 Partie B /4. 0,5. a. 0,5. b Eercice /3 Partie A /,5 (+0,5) Partie B /,5.. (*) 3. 4a.,5 (0,5+) 4b. 4c.,5 (+0,5) 4d. 0,5 5. 0,5 6a. 0,5 6b. 0,5 6c. 0,5 Eercice 3 : /0 point par affirmation Eercice 4 non spé : /0 Partie A /,5 Partie B /7,5. (0,5*).. (0,5*). 3. 0,5 3a. 0,5 3b.,5 4. 0, Eercice 4 spé : /0 Partie A /3 Partie B /7. 0,5..,5 a.,5 3. b.,5 c.,5 d.,5 Page 8 sur 8