Simulations de Monte Carlo

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1 Simulations de Monte Carlo 2 février 261 CNAM GFN 26 Gestion d actifs et des risques Gréory Taillard GFN 26 Gestion d actifs et des risques

2 2 Biblioraphie Hayat, Sere, Patrice Poncet et Roland Portait, «Mathématiques financières : évaluations des actifs et analyse du risque», Dalloz, 1996 Glasserman, Paul, «Monte Carlo Methods in Financial Enineerin», Spriner, 23 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

3 3 Un premier exemple Calcul d une surface Comment estimer la surface d une ellipse? En remplissant uniformément un rectanle contenant l ellipse S Ellipse S Rectanle N Ellipse / N Rectanle GFN 26 Gestion d actifs et des risques

4 4 Un exemple en banque commerciale Perte en capital sur un portefeuille de crédit Une banque souhaite connaître la probabilité de perte en capital sur son activité de crédit Chaque client emprunte un montant M i à un taux r i et pour une durée T i Il y a une probabilité p i pour que le prêt ne soit pas remboursé Soit à calculer : P[ M i (1+r i ) T i xi M i ] avec P[x i = ] = p i Calcul explicite de la distribution du P&L? GFN 26 Gestion d actifs et des risques

5 5 Calcul de la distribution du P&L Caractéristiques d un portefeuille de 1 lines Line N Probabilité de défaut Nominal Taux d'intérêt Maturité ,37% 4,41 4,17% ,32% 1,32 1,62% ,13% 2,36 3,71% ,4% 4,25 2,43% ,24% 4,54,51% ,71%,29 2,25% ,62% 2,15,7% ,17% 3,81 3,7% ,52% 4,7 1,7% ,28%,77 2,5% GFN 26 Gestion d actifs et des risques

6 6 Calcul de la distribution du P&L Distribution pour 1 line 1E+ Probabilité (échelle lo) 1E-2 1E-4 1E-6 1E-8-1% -8% -6% -4% -2% % 2% 4% Gain sur le portefeuille GFN 26 Gestion d actifs et des risques

7 7 Calcul de la distribution du P&L Distribution pour 2 lines 1E+ Probabilité (échelle lo) 1E-2 1E-4 1E-6 1E-8-1% -8% -6% -4% -2% % 2% 4% Gain sur le portefeuille GFN 26 Gestion d actifs et des risques

16 16 Simulation de la distribution du P&L Perte en capital sur un portefeuille de crédit Une banque souhaite connaître la probabilité de perte en capital sur son activité de crédit Chaque client emprunte un montant M i à un taux r i et pour une durée T i Il y a une probabilité p i pour que le prêt ne soit pas remboursé Soit à calculer : P[ M i (1+r i ) T i xi M i ] avec P[x i = ] = p i Cette probabilité est estimée à partir d un rand nombre de scénarios Pour chaque scénario, on simule les variables x i sur l ensemble du portefeuille Le revenu final est calculé puis comparé avec le capital initialement prêté La proportion de scénarios défavorables détermine la probabilité de pertes La modélisation du portefeuille peut être plus complexe : dépendance des défauts, remboursements périodiques, valorisation à des dates intermédiaires GFN 26 Gestion d actifs et des risques

17 17 Un exemple en estion de portefeuilles Etude d un Stop Loss Un érant définit la stratéie suivante Investissement initial dans un panier d actions (rentabilité annuelle de 1% pour une volatilité de 2%) Il coupe sa position si le panier perd plus de 1% par rapport à son plus haut historique (depuis la date d investissement) et le substitue par un investissement monétaire rémunéré à 3% Il réinvestit dans les actions lorsque le marché remonte de 5% à partir du plus bas historique (depuis la date de désinvestissement) Quelle est la performance moyenne de cette stratéie? Sa volatilité? Quelle est la durée moyenne de monétarisation? GFN 26 Gestion d actifs et des risques

18 18 Simulation du portefeuille Marché d actions orienté à la hausse Stratéie Actions Date (années) GFN 26 Gestion d actifs et des risques

19 19 Simulation du portefeuille Marché d actions orienté à la baisse Stratéie Actions Date (années) GFN 26 Gestion d actifs et des risques

20 2 Simulation du portefeuille Marché d actions sans tendance Stratéie 1 5 Actions Date (années) GFN 26 Gestion d actifs et des risques

21 21 Gestion dynamique et Monte Carlo Recours aux simulations pour l étude des stratéies Quelle est la performance moyenne de cette stratéie? Sa volatilité? Quelle est la durée moyenne de monétarisation? L analyse sur quelques scénarios donne une première idée du comportement de la stratéie mais des simulations intensives sont nécessaires pour quantifier plus précisément la stratéie Tout l historique des actions et du portefeuille doit être simulé La valeur finale du portefeuille dépend de la trajectoire suivie par le marché actions L étude porte éalement sur le comportement de la stratéie à des dates intermédiaires GFN 26 Gestion d actifs et des risques

22 22 Un exemple de pricin d options Le prix d un accumulator On considère l option suivante de maturité 5 ans On observe à la fin de chaque trimestre la performance de l Eurostoxx 5 et l on retient le minimum entre cette performance et 5% Au bout des 5 ans, l option paie la somme des performances retenues si elle est positive En absence d opportunité d arbitrae, on montre que le prix d une option est éale à l espérance, sous la probabilité risque neutre, de son payoff actualisé Si on connaît la loi d évolution de l Eurostoxx 5 sous la probabilité risque neutre On simule les trajectoires de prix sous cette probabilité On calcule le payoff pour chaque trajectoire Le prix de l option est estimé par la moyenne empirique des payoffs que l on actualise GFN 26 Gestion d actifs et des risques

23 23 Technique de Monte Carlo Définition Méthode numérique permettant de décrire la distribution d une variable aléatoire ou d un processus stochastique et, plus particulièrement, de calculer l espérance d une fonction de cette variable Construction d une suite de nombres (x n ) n 1 dont la répartition empirique reproduit la distribution de probabilité de la variable aléatoire x à étudier Converence assurée par la loi des rands nombres 1/n 1 i n f(x i ) E[f(x)] Particulièrement utile en l absence de solution analytique GFN 26 Gestion d actifs et des risques

24 24 Génération d une distribution uniforme La première étape de toute simulation Quelle place pour le hasard? Recours à l ordinateur qui produit des séquences de nombres pseudo-aléatoires au moyen de procédures déterministes Nécessité d initialiser la séquence : seed Générateur linéaire conruentiel : suite d entiers définie par récurrence X n+1 = ax n + c (mod m) X = seed Méthode utilisée par de nombreux calculateurs calculateurs (Excel ) Exemple de valeurs pour les constantes : m = , a = et c = Tous les énérateurs ne sont pas équivalents La lonueur de la séquence est limitée par la période du énérateur ( m) Attention à la présence de corrélation sérielle GFN 26 Gestion d actifs et des risques

25 25 Génération d une distribution uniforme Suite de 5 points énérés par conruence linéaire 1,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

26 26 Génération d une distribution uniforme Amélioration de la capacité du énérateur Pour aumenter la période du énérateur Choix d une valeur de m plus rande mais limitée par la taille du CPU Combinaison de 2 énérateurs conruentiels avec des constantes différentes Pour diminuer la présence de corrélation sérielle Initialisation d un tableau de nombres aléatoires A chaque étape, on choisit aléatoirement une valeur du tableau et on la remplace par un autre nombre aléatoire Le choix d un énérateur dépend de l utilisation qui en est faite Les énérateurs simples suffisent pour un petit nombre de tiraes (< 1 6 ) Pour simuler des trajectoires sur un panier d actifs, il faut recourir à un énérateur plus puissant GFN 26 Gestion d actifs et des risques

27 27 Génération d une distribution quelconque Transformation d une distribution uniforme Utilisation de la fonction de répartition inverse La fonction de répartition d une variable aléatoire est uniformément distribuée Si elle s inverse facilement, il suffit de l appliquer à un énérateur uniforme pour obtenir la distribution désirée (ex : distribution exponentielle) Méthode de Box-Muller pour obtenir une distribution normale standard y 1 = -2lnx 1 cos(2πx 2 ) y 2 = -2lnx 1 sin(2πx 2 ) A partir de 2 variables aléatoires uniformes x 1 et x 2, on obtient 2 variables aussiennes y 1 et y 2 Plus énéralement, la distribution d une variable aléatoire peut être simulée par la transformation d autres variables aléatoires (ex : distributions lonormale, khi-deux, student ) GFN 26 Gestion d actifs et des risques

28 28 Génération d une distribution aussienne Suite de 5 points énérés par la méthode de Box-Muller GFN 26 Gestion d actifs et des risques

29 29 Simulation d une trajectoire Processus markovien à temps discret L évolution future d un processus markovien dépend uniquement de son état présent, pas de son histoire Exemple de la marche aléatoire : X t+1 = X t +ε t+1 ou X t+1 = X t (1+ε t+1 ) avec X donné et (ε t ) t 1 i.i.d De manière énérale, le processus est défini par récurrence : X t+1 = f(x t,ε t+1 ) La simulation de la trajectoire se construit pas à pas A chaque date t, on énère l innovation ε t+1 On applique la fonction de transition f à X t et ε t+1 pour obtenir X t+1 Pour N trajectoires de T périodes, il faut énérer N T nombres aléatoires GFN 26 Gestion d actifs et des risques

30 3 Simulation d une trajectoire La marche aléatoire pas à pas GFN 26 Gestion d actifs et des risques

36 36 Simulation en temps continu Processus défini par une Equation Différentielle Stochastique Discrétisation de la loi d évolution du processus Les ordinateurs ne connaissent pas le temps continu Temps continu comme limite du temps discret lorsque le pas de temps tend vers dx t X t = X t+ t X t lorsque t En temps discret, l EDS dx t = µ(t, X t )dt + σ(t, X t )dw t devient : X t+ t = X t + µ(t, X t ) t + σ(t, X t ) W t Simulation d un mouvement brownien Mouvement brownien : processus continu dont les accroissements sont indépendants et suivent une loi normale W t W t ~ N(,t -t) Simulation en temps discret de la relation W (i+1) t = W i t + t ε (i+1) t Choix du pas de temps : arbitrae entre une meilleure approximation et la rapidité du calcul GFN 26 Gestion d actifs et des risques

37 37 Simulation en temps continu Le modèle de Black & Scholes Ce modèle spécifie l EDS représentant l évolution du prix S t d un actif risqué ds t = S t (µ dt + σ dw t ) En temps discret, la solution peut être approximée par : S t+ t = S t (1 + µ t + σ W t ) L EDS de Black & Scholes peut être résolue analytiquement Lemme d Ito : df(t,s t ) = f/ t dt + f/ S ds t + ½ ²f/ S² d<s t ²> En choisissant f(t,s t ) = ln(s t ), l EDS devient dln(s t ) = (µ σ ²/2) dt + σ dw t Pour simuler le modèle de Black & Scholes, on utilise de préférence la relation suivante S t+ t = S t exp[(µ σ ²/2) t + σ W t ] GFN 26 Gestion d actifs et des risques

38 38 Simulation de variables corrélées Décomposition de Choleski Toute matrice symétrique définie positive Σ peut s écrire sous la forme Σ = ΛΛ où Λ est une matrice trianulaire inférieure Le terme énéral λ ij (1 j i M) de Λ découle des relations de récurrence λ ii ² = σ ii j<i λ ij ² λ ij = (σ ij k<j λ ik λ jk )/λ jj j<i Simulation en 2 étapes Simulation des N composantes indépendantes d un vecteur aléatoire X Application de la transformation linéaire Y = ΛX La matrice de variance covariance du vecteur Y est éale à Σ = ΛΛ Pour simuler N trajectoires d un panier de P actifs sur T périodes, il faut énérer N T P nombres aléatoires GFN 26 Gestion d actifs et des risques

39 39 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, Λ = GFN 26 Gestion d actifs et des risques

40 4 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ = GFN 26 Gestion d actifs et des risques

41 41 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

42 42 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,9959 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

43 43 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

44 44 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959,666 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

45 45 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959,666,72 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

46 46 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959,666,72,5161 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

47 47 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959,666,72,5161 -,284 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

48 48 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959,666,72,5161 -,284,3957 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

49 49 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959,666,72,5161 -,284,3957,735 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

50 5 Simulation de variables corrélées Exemple de décomposition d une matrice de corrélation 1,,899,278,5161 Σ =,899,278 1,,6823,6823 1, -,1612,2792,5161 -,1612,2792 1, 1, Λ =,899,278,9959,666,72,5161 -,284,3957,735 GFN 26 Gestion d actifs et des risques

51 51 Précision des résultats Faible vitesse de converence Le Théorème Central Limite indique que la méthode de monte carlo convere assez lentement en O(N -1/2 ) Si (X i ) i 1 est une suite i.i.d. de variance finie σ², sa moyenne empirique M N = i X i suit asymptotiquement une loi normale centrée sur l espérance des X i et de variance σ²/n Pour aumenter la précision d un facteur 1, il faut effectuer 1 fois plus de simulations Pour accroître l efficacité des simulations, il existe différentes techniques de réduction de la variance Variables antithétiques Variable de contrôle Importance samplin GFN 26 Gestion d actifs et des risques

52 52 Précision des résultats Calcul du prix d un call 1 an ATM,12,1, Taux d intérêt : 3%, volatilité : 2% GFN 26 Gestion d actifs et des risques

53 53 Variables antithétiques Doubler simplement le nombre de points Pour chaque valeur énérée à partir d une densité de probabilité centrée et symétrique, on sélectionne éalement la valeur opposée Le temps de calcul est plus faible que si on énérait 2N valeurs indépendantes Permet de s assurer que la moyenne de l échantillon simulé est nulle Si la distribution n est pas centrée, il suffit de prendre le symétrique par rapport à la moyenne L efficacité en terme de réduction de variance dépend de la fonction que l on applique à la variable aléatoire et dont on cherche à estimer l espérance Cette méthode n est pas valable pour des distributions non symétriques GFN 26 Gestion d actifs et des risques

54 54 Variables antithétiques Calcul du prix d un call 1 an ATM,12,1, Taux d intérêt : 3%, volatilité : 2% GFN 26 Gestion d actifs et des risques

55 55 Variable de contrôle Utiliser une variable similaire et d espérance connue Si on dispose d une variable Y dont on peut calculer explicitement l espérance et qu on suppose assez proche de X, on utilise un estimateur de la forme M X β(m Y E[Y]) où M X et M Y sont les moyennes simulées de X et Y Pour obtenir une efficacité optimale, il faut prendre β = cov(m X,M Y )/var(m Y ) La variance de l estimation vaut alors (1- ρ XY ²) var(m X ) En pratique, X et Y s expriment sous la forme de 2 fonctions similaires d une même variable aléatoire On commence par simuler un petit nombre de valeurs pour estimer β On lance une simulation à rande échelle et on calcule E[X] à partir du β estimé Technique réellement intéressante si les valeurs de X et Y sont très corrélées GFN 26 Gestion d actifs et des risques

56 56 Importance samplin Priviléier les trajectoires qui comptent le plus Lorsqu on veut estimer l espérance de f(x), il arrive fréquemment qu une petite partie des simulations contribue pour une rande partie du résultat Pour une option très en dehors de la monnaie, il y a peu de trajectoires du sousjacent pour lesquelles l option terminera dans la monnaie Ces trajectoires contribuent peu à l estimation du prix ce qui ralentit la converence On cherche alors une nouvelle distribution pour X qui favorise le tirae de trajectoires où f prend ses valeurs les plus sinificatives Il convient de corrier l estimateur de la moyenne afin de prendre en compte la déformation de la distribution de X Si p(x) est la distribution d oriine et q(x) la distribution modifiée, chaque trajectoire est pondérée par p(x i ) /q(x i ) Toute la difficulté réside dans le choix de la distribution modifiée GFN 26 Gestion d actifs et des risques