(n 7) 2 (n 6) 2) n N

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "(n 7) 2 (n 6) 2) n N"

Transcription

1 TES Suites arithmétiques et géométriques Soit u une suite arithmétique telle que u 5 = 7 et u =, déterminer sa raison r ainsi que son terme initial u 0 Calculer la somme 8 i=0 u i puis la somme 5 i=9 u i Soit w une suite géométrique telle que w 5 = 7 et w =, déterminer sa raison q ainsi que son terme initial w 0 Calculer la somme i=0 w i puis la somme 00 p=5 w p Pour chacune des suites suivantes : calculer les trois ou quatre premiers termes, déterminer si la suite est arithmétique ou géométrique Le cas échéant préciser la raison 7 5 n n +, 7 + 5n 7+n 5 n 8n 7 n 7n 8 n 7 n 6 n 9 7+n n 5 n n + π 7 8 n n 5 n n n+ Démontrer qu une suite qui est à la fois arithmétique et géométrique est nécessairement constante Soit U n une suite géométrique de raison q 0 On suppose que pour tout n entier, on a la relation U n+ = U n+ + U n 5a Quelles sont les valeurs que peut prendre q? 5b Sachant que, de plus, la suite U n n est pas monotone, quelle est la valeur de q? 5c Sachant que la suite converge vers 0, quelle est la valeur de q? On considère la suite U dont les premiers termes ont U 0 = et U = et qui satisfait la relation U n+ = U n+ U n pour tout n N On définit une seconde suite V en posant V n = U n+ U n pour tout n N 6a Calculez V 0, V et V 6b Montrez que la suite V est géométrique et exprimez V n en fonction de n 6c Déterminez alors l expression de U n en fonction de n 6d Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle u n < 0, 00?

2 Soient a n et b n les suites numériques définies par a 0 =, b 0 = et n N a n+ = 5 a n + b n b n+ = 5 a n + b n 7a Calculez a, b, a et b 7b On pose U n = a n + b n Donnez une relation entre U n+ et U n Que peut-on en déduire? Donnez alors l expression de U n en fonction de n 7c On pose V n = a n b n Donnez une relation entre V n+ et V n Que peut-on en déduire? Donnez alors l expression de V n en fonction de n puis précisez si cette suite converge 7d En utilisant les résultats précédents, donnez l expression de a n et de b n en fonction de n 8 Calculez les sommes suivantes I = 0 A = k, B = 0 E = k +, F = 50 k= 0 k= k, C = 9 k, G = 0 k= 0 k, D = 5 k, H = k= 5 5 k= k, k 5, k +, J = , K = Le but de cet exercice est d établir directement la formule de cours sur les suites arithmétiques donnant la somme des n premiers nombres entiers naturels k = nn + Pour cela, on pose P x = ax + bx + c où a, b et c sont des réels On cherche alors P tel que P n = n, n N E 9a Montrez que si P vérifie la relation E alors on doit avoir c = 0 9b On pose Qx = P x P x, pour x R Montrez que P vérifie la relation E si et seulement si pour tout n N, Qn = n { a = 9c Vérifiez alors que P vérifie E si et seulement si a b = 0 9d Retrouvez alors la formule vue en cours

3 Dans cet exercice, on veut établir une formule directe pour le calcul de k = n Pour cela, on cherche un polynôme P de degré trois de la forme P x = ax + bx + cx + d tel que P n = n, n N F 0a Montrez que si P vérifie la relation F alors on doit avoir d = 0 0b On pose alors pour x R, Qx = P x P x Montrez que P vérifie la relation F si et seulement si pour tout n N on a Qn = n 0c Vérifiez alors que P vérifie la relation F si et seulement si a, b, c est solution du système suivant: a = a + b = 0 a b + c = 0 0d Déterminez alors les valeurs de a, b et c puis vérifiez que P x = xx+x+ 6 0e Donnez alors l expression de n directement en fonction de n 0f Donnez la valeur exacte de a En vous inspirant de l exercice précédent, déterminez un polynôme P de degré quatre tel que P n = k = n, n N b Déterminer un polynôme R de troisième degré tel que Rx + Rx = x x En déduire une formule de sommation pour k k = n n p= Pour n N, on définit la suite U : g : x x de R vers R { U 0 = U n+ = U n +, n N ainsi que les fonctions f : x x + et a Calculer U, U, U et U b Tracer sur une même figure les courbes de f et de g et déterminer les coordonnées du point d inter

4 section A de ces deux courbes c On pose alors V n = U n 9 Calculer V 0, V, V et V Que peut-on remarquer? d Montrer que pour tout V n+ = V n, n N Quelle est la nature de la suite V n l expression de V n en fonction de n? Donner e Déterminer l expression de U n en fonction de n, puis étudier la convergence de la suite U n f On pose pour tout n N A n = U 0 + U + U + + U n = U k et S n = V 0 + V + V + + V n = g Montrer que pour tout n N on a A n = S n + 9 n + Déterminer l expression de S n en fonction de n Donner l expression de A n en fonction de n h Étudier la convergence des suites A n et An n+ i Pour les suites géométriques suivantes de raison q et de premier terme U 0, donner l expression de U n, de S n = U 0 + U + + U n et étudier la convergence de U n et de S n : premier cas : U 0 = et q =, deuxième cas : U 0 = et q =, troisième cas : U 0 = et q =, quatrième cas : U 0 = 0, et q = 0,, cinquième cas : U 0 = 0, et q = 0, V k Une suite réelle U n est définie par son premier terme U 0 strictement positif et par la relation de récurrence suivante: n N, U n+ U n = 0, 0U n a Exprimer U, U et U en fonction de U 0 b Démontrer que cette suite est géométrique et déterminer sa raison Préciser son sens de variation c Exprimer U n en fonction de U 0 et de n d Le er janvier 997, la population d une commune rurale était de 000 personnes On admet que cette population a diminué de % par an Quelle était la population de cette commune au er janvier 999? e Quelle sera la population au er janvier 000? f A partir de quelle année la population sera-t-elle inférieur ou égale à 000 personnes? On considère la suite géométrique U n de raison r = et telle que U 0 = On définit une seconde suite V n par la relation V n = lnu n, n N a Quelle est l expression de U n en fonction de n? b Calculez la somme S n = U 0 + U + U + + U n c Calculez les valeurs exactes de V 0, V et V d Montrez que la suite suite V n est arithmétique et donnez sa raison e Trouvez le plus petit entier naturel n tel que V n > 0

5 Soit a un réel strictement supérieur à On considère la fonction f définie sur R par fx = x a Déterminer F la primitive de f sur R qui prend la valeur ln a 5a Soit u n a la suite définie pour tout entier n N par u n a = n+ n t dt a pour x = 0 Montrer que u n a est géométrique de raison a 5b On pose Calculer et simplifier S N a S N a = 5c On considère la fonction g définie sur R par N u i a i=0 gx = + + x Calculer g x, établir le tableau de variation de g Préciser les limites Justifier que quelque soit le réel x 5d Soit la fonction h définie sur R par Justifier que quel que soit x [0, + [ puis montrer que hx = gx x = S N En déduire un encadrement de 00 0 hx dx gx x hx N+ 0 + x + x x hxdx S N On considère la suite V n définie par ln7 n V n = n n N 6a Soit n N, résolvez dans R l équation ln7 n x = n 6b Calculez V 0 6c Montrez que cette suite est géométrique et déterminez sa raison Admet-elle une limite? 6d Déterminez l ensemble des n N tels que V n > 00 5

T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique.

T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique. T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique. Exercice : D après le concours d inspecteur du trésor, épreuve 2, 2004.. Étudier la fonction de la variable réelle x définie par : f(x) = ln

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR.

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. I Notion de suite réelle ) Définition : Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. Le réel U(n) est noté U n il est appelé terme général

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

Exercices. Rappels sur les suites. Récurrence. u0 = 2, u 1 = 4. u n+2 = 4u n+1 u n

Exercices. Rappels sur les suites. Récurrence. u0 = 2, u 1 = 4. u n+2 = 4u n+1 u n Exercices. Rappels sur les suites. Récurrence Exercice 1 : Généralités sur les suites 1) La suite (v n ) est telle que : v 0 = 1 et pour tout n, v n+1 = 3v n 1. Calculer v 2, v 3. Exprimer v n+2 en fonction

Plus en détail

. Mais ceci entraîne successivement q 1. 2(q 1) = (q 1)(q + 1) 2 = q = q.

. Mais ceci entraîne successivement q 1. 2(q 1) = (q 1)(q + 1) 2 = q = q. ES Suites arithmétiques et géométriques Réponses & Corrigés Démontrer qu une suite qui est à la fois arithmétique et géométrique est une suite constante Si u est à la fois arithmétique et géométrique on

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

Exercices : nombres réels et fonctions numériques

Exercices : nombres réels et fonctions numériques ECS 1 Dupuy de Lôme Semaine du 15 octobre 2004 Exercices : nombres réels et fonctions numériques Exercice 1 : Démontrez que pour tout (x, y, z) R 3 Propriétés des nombres réels x + y + z x + y + z et x

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Suites numériques

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Suites numériques Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 9 avril 008 Document diffusé via le site wwwbacamathsnet de Gilles Costantini fredericdemoulin

Plus en détail

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x.

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x. I. Propriétés algébriques La fonction logarithme néperien est dérivable et strictement croissante de R + sur R. Le théorème de la bijection, qu on abordera au chapitre 7, permet de prouver l existence

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

Limites de suites. Révisions

Limites de suites. Révisions Limites de suites Révisions Soit ( ) une suite définie pour tout n N par = n 2 + n Exprimer en fonction de n : a b + c + 2 La suite ( ) est-elle arithmétique? 3 Quel est le sens de variation de ( )? 2

Plus en détail

Fonctions et équations

Fonctions et équations Le Centre d éducation en mathématiques et en informatique Ateliers en ligne Euclide Atelier n o Fonctions et équations c 014 UNIVERSITY OF WATERLOO Ateliers en ligne Euclide Atelier n o # FONCTIONS ET

Plus en détail

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2 Université Denis Diderot Paris 7 (03-04) Maths, Agro & Véto Devoir maison Exercice [Sujet Analyse 03] Soit la fonction d une variable réelle f définie sur D = [0,+ [ par f(x) = xe x +x. On appelle Cf la

Plus en détail

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES Exercice n. x si x Soit f la fonction numérique définie par : f( x) = 5 x si x > f est-elle continue sur son ensemble de définition? x pour x Mêmes questions avec : f (

Plus en détail

2. f(x) = 4 x e x 3. f(x) = e x 2 4. f(x) = 1 e 2x. Exercice n 6 Dériver la fonction f dans les cas suivants : 1. f définie sur R par f(x) = xe x

2. f(x) = 4 x e x 3. f(x) = e x 2 4. f(x) = 1 e 2x. Exercice n 6 Dériver la fonction f dans les cas suivants : 1. f définie sur R par f(x) = xe x Exponentielle Exercice n 1 Simplifier les expressions suivantes : A = e ln 8 B = e 3 ln 5 C = ln ( e 3) + e 1 2 ln 4 D = e 2+ln 3 E = (e x ) 2 (e x ) 3 F = (e x e x ) 2 e x ( e 3x + e x) Exercice n 2 Résoudre

Plus en détail

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques Université de Rennes 1 Ronan Quarez UFR Mathématiques Année 2008-2009 CAPES 1 Critère de Cauchy 1.1 QCM Suites numériques a) Toute suite de Cauchy, d entiers relatifs, converge dans Z? b) Toute suite de

Plus en détail

SUITES - RECURRENCE - SOMMES

SUITES - RECURRENCE - SOMMES SUITES - RECURRENCE - SOMMES Chapitre 1 I Généralités sur les suites Définition I.1 Une suite réelle est une fonction d une partie A de N dans R. u : A R n u(n) := u n l intervalle de définition peut donc

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Les suites numériques chapitre 4 I Premier regard Définition : suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels, numérotés généralement par des indices, entiers naturels consécutifs 0,

Plus en détail

Feuille d Exercices : Calcul matriciel

Feuille d Exercices : Calcul matriciel ECS 1 Dupuy de Lôme Semaine du 24 janvier 2005 Feuille d Exercices : Calcul matriciel Opérations sur les matrices Exercice 1 : Calculez A 2, A 3, A 4 puis A n dans les cas suivants : 1 0 1 0 1, 0 0 0,

Plus en détail

BTS domotique 1 -Équations différentielles

BTS domotique 1 -Équations différentielles BTS domotique -Équations différentielles Premier ordre 4. Déterminer la solution ϕ de l équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ() =. Exercice BTS (E) : y 2y = xε x où y est une

Plus en détail

Fonction exponentielle TD Année

Fonction exponentielle TD Année Fonction exponentielle TD Année 009-010 Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment

Plus en détail

LES SUITES RÉELLES. = L > Montrer que, si L > 1, alors lim u n = +. , ln(n), n. n!nn n) 2 n.

LES SUITES RÉELLES. = L > Montrer que, si L > 1, alors lim u n = +. , ln(n), n. n!nn n) 2 n. LES SUITES RÉELLES Exercice Soit (u n ) et (v n ), deux suites convergeant respectivement vers α et β. On pose : pour tout n N, m n = min(u n, v n ) et M n = max(u n, v n ) : ces deux suites convergent-elles

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 1. MATHÉMATIQUES - MATH 101 Pratique des Fonctions Numériques

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 1. MATHÉMATIQUES - MATH 101 Pratique des Fonctions Numériques Année 201-2014 UNIVERSITÉ DE CERGY LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATHÉMATIQUES - MATH 101 Pratique des Fonctions Numériques Enseignant responsable : J. Stéphan CM/TD de C. Andrianasitera,

Plus en détail

Exercices : Suites réelles

Exercices : Suites réelles Exercices : Suites réelles Exercice : Démontrer par récurrence les résultats suivants : n+. n N, k k = n n+ + n. n N, (k +) = n. Soit a R + fixé, n N, (+a) n +na 4. n, n! n Analyse : Chapitre Exercices

Plus en détail

Second degré et polynômes Résolution d équation, inéquations et problèmes du second

Second degré et polynômes Résolution d équation, inéquations et problèmes du second Second degré et polynômes Résolution d équation, inéquations et problèmes du second degré Y. Morel Table des matières 1 Trinôme du second degré 1 1.1 Equations du second degré...............................

Plus en détail

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP BANQUE ALGÈBRE

Exercices d oraux de la banque CCP BANQUE ALGÈBRE Exercices d oraux de la banque CCP 2014-2015 20 exercices sur les 37 d algèbre peuvent être traités en Maths Sup. BANQUE ALGÈBRE EXERCICE 59 Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients dans

Plus en détail

Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG

Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG F.Gaudon 3 juillet 2015 Table des matières 1 Fonction dérivée 2 2 Opérations sur les fonctions dérivables 2 2.1 Somme..............................................

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

EXERCICE 1 (4 points)

EXERCICE 1 (4 points) EXERCICE 1 4 points) Pour chaque question de cet exercice, plusieurs réponses sont proposées. Parmi elles, une seule est exacte. Le candidat devra choisir l une des réponses et justifier son choix. 1.

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Exercices 2 octobre 2014 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Raisonnement par récurrence Exercice 1 Prouver que pour tout entier n, 4 n + 5 est un multiple de 3. Exercice 2 Prouver que pour

Plus en détail

EXERCICES D ARITHMÉTIQUE

EXERCICES D ARITHMÉTIQUE 101. 1. n désigne un entier naturel. a. Vérifier que, pour n = 15, le reste de la division euclidienne de (n + 2) 3 par n 2 est égal à 12n + 8. b. Déterminer tous les entiers n pour lesquels cette propriété

Plus en détail

Exercices et Annales Maths Terminale S

Exercices et Annales Maths Terminale S Stages intensifs Exercices et Annales Maths Terminale S www.groupe-reussite.fr contact@groupe-reussite.fr 1 Chapitre 1 Fonction exponentielle, logarithme népérien et logarithme décimal 1.1 Exercices préliminaires

Plus en détail

POLYNOMES. Table des matières. Fonction polynôme. I.1 Fonction polynôme de degré n

POLYNOMES. Table des matières. Fonction polynôme. I.1 Fonction polynôme de degré n POLYNOMES Table des matières I Fonction polynôme 1 I.1 Fonction polynôme de degré n.................................. 1 I.2 Egalité de deux polynômes................................... 1 I.3 Racine d un

Plus en détail

TS Feuille de révision n 1 novembre 2017

TS Feuille de révision n 1 novembre 2017 TS Feuille de révision n 1 novembre 017 Exercice 1 Dans un pays de population constante égale à 10 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

La fonction Logarithme Népérien

La fonction Logarithme Népérien Terminale S, Logarithme népérien 1 La fonction Logarithme Népérien Existence Théorème: (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, strictement monotone sur I à valeurs dans J. Alors

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à 6 OBLIGATOIRE L emploi des

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC MATHEMATIQUES. Mardi 2 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont autorisées *****

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC MATHEMATIQUES. Mardi 2 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont autorisées ***** SESSION 207 TPCMA02 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC MATHEMATIQUES Mardi 2 mai : 4 h - 8 h N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente f est la fonction définie sur D = ]- ;3[ ]3 ;+ [ par f(x) = x + 1 3 - x. 1) a) Etudier les variations de f sur D, ses limites aux bornes de D puis construire sa représentation graphique C f dans un repère

Plus en détail

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4 Chapitre 6 Logarithme TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 6 Logarithme Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible,

Plus en détail

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

Suites. 1 Généralité. 1.1 Définition. 1.2 Variations d une suite. Terminale L ES

Suites. 1 Généralité. 1.1 Définition. 1.2 Variations d une suite. Terminale L ES Suites 1 Généralité 1.1 Définition Une suite u est une fonction définie dans l ensemble des entiers naturels N : La suite u peut être notée (u) n N, u : N R n u(n) Le terme u(n), image de n par u, est

Plus en détail

Baccalauréat blanc Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures

Baccalauréat blanc Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures Baccalauréat blanc 013-014 Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Le numéro de la classe devra figurer dans la partie anonymée.

Plus en détail

Chapitre I : LES SUITES

Chapitre I : LES SUITES Chapitre I : LES SUITES I- Généralités sur les suites 1) Définition et notations Définition 1 : 1) Définir une suite par une formule explicite, c est donner une relation entre le terme et l entier, pour

Plus en détail

60. Une équation d un plan P tel que P est perpendiculaire à P et passe par le point A est : A =0 B =0 C =0 D.

60. Une équation d un plan P tel que P est perpendiculaire à P et passe par le point A est : A =0 B =0 C =0 D. Dans un repère orthonormé 0;,,, on donne le point A de coordonnées : A(5,3,1) et le plan P d équation : +2 3+4=0 57. Un point E du plan P est : A. E (3,-2,1) B. E (-1,-2,3) C. E (3,2,1) D. E (0,0,0) 58.

Plus en détail

VA CONTINUES - Sujets de concours

VA CONTINUES - Sujets de concours Lycée Dominique Villars ECE Exercices VA CONTINUES - Sujets de concours Exercice - Problème EDHEC On considère deux variables aléatoires X et Y, définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P), et indépendantes.

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire. Suites numériques

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire. Suites numériques Recueil d annales en Mathématiques Terminale S - Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : septembre 2005 fredericdemoulin@voilafr Tableau récapitulatif des exercices indique que cette

Plus en détail

A quoi servent les suites numériques?

A quoi servent les suites numériques? FICHE METHODE SUITES NUMERIQUES A quoi servent les suites numériques? a) Illustrations : 1 Ce mois ci ( dans 0 mois ) il a 150 euros sur son compte et il en ajoute 0 par mois! On note U n la valeur de

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

2 FONCTIONS CARREES 1.0

2 FONCTIONS CARREES 1.0 FONTIONS ARREES Exercices de base : Soit f la fonction carrée. alculer les images par f des nombres réels : 5 00 0 0. 5 6 7 8 9 0 5 5 5 5 9 5 0 6 8x0 7 5 0 8 + 9 8 0 6 Soit f la fonction carrée. Déterminer

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion Année 2012-2013 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Économie & Gestion LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Enseignant responsable : J. Stéphan Documents

Plus en détail

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrer une intégrale Exercice 2 : donner un encadrement

Plus en détail

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015

Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015 Exercice 1 6 points ) On considère la fonction f définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels par fx) = x+1+ x e x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O; i ; ) j 1 Soit

Plus en détail

TD1 Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

TD1 Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Polytech Paris - UPMC Agral 3, 206-207 TD Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Exercice. Étudier la continuité des fonctions suivantes : { { x 2 y 2 (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 g(x, y) =

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Le présent sujet devra

Plus en détail

lim n + Kholle B2 Programme 1 25 septembre 2012 Sujet 1

lim n + Kholle B2 Programme 1 25 septembre 2012 Sujet 1 Kholle B Programme 5 septembre 0 Sujet Exercice de cours : Montrer que si (u n ) et (v n ) sont deux suites réelles à termes strictement positifs, équivalentes et ayant une ite différente de, alors ln(u

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a)

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a) 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre VII : Dérivation Notations : On reprend dans ce chapitre les notations

Plus en détail

Les suites. u : N R. n u(n) = e ln(n+1)+2 Compléter le tableau de valeurs (les images) par la suite u : n u n.

Les suites. u : N R. n u(n) = e ln(n+1)+2 Compléter le tableau de valeurs (les images) par la suite u : n u n. Les suites 1 Suites généralités 1.1 Définition Une suite u est une fonction de l ensemble des entiers naturels N dans l ensemble des nombres réels R : Le terme u(n) est plus souvent noté u n. 1. Soit la

Plus en détail

Exercices de mathématiques Première Pro. François BINET

Exercices de mathématiques Première Pro. François BINET Exercices de mathématiques Première Pro François BINET 6 janvier 8 BINET Première PRO Exercices de mathématiques 7 - Table des matières Premier degré. Exercices préliminaires de calcul.......................................

Plus en détail

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites) Exercices d entrainement pour le chapitre 0 récurrence et suites 0. Énoncés Exercice. Démontrer l inégalité n > n pour tout entier naturel n. Exercice. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre

Plus en détail

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010 application de la dérivée 1 er décembre 2010 Enoncé On considère la fonction f définie sur R par : f : x 6x 3 3x 2 + 1 2 x + 24 1 Étudier les variations de f. 2 Justifier que l équation f(x) = 0 admet

Plus en détail

Série d exercices Polynomes Hichem Khazri e sc Vrai/Faux POLYNOMES Parmi les 5 affirmations suivantes, dites si elles sont vraies ou fausses. Si elles sont vraies, les démontrer, si elles sont fausses,

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES. DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE MP (Durée de l épreuve : 4 heures)

CONCOURS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES. DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE MP (Durée de l épreuve : 4 heures) 00 MATH. II - MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

Généralités sur les suites : Ce module revient sur le programme de première : les différents types de suites,

Généralités sur les suites : Ce module revient sur le programme de première : les différents types de suites, Généralités sur les suites Cours maths Terminale S Généralités sur les suites : Ce module revient sur le programme de première : les différents types de suites, la monotonie, la convergence des suites,

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

Terminale ES Rappels sur les suites I Qu est-ce qu une suite? Définition : liste ordonnée de nombres réels,

Terminale ES Rappels sur les suites I Qu est-ce qu une suite? Définition : liste ordonnée de nombres réels, I Qu est-ce qu une suite? Définition : Rappels sur les suites Une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie. On note ( ) la suite u 0, u 1, u 2,..,, +1, Le nombre

Plus en détail

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 009-00 Chapitre : Correction des Travaux dirigés. Soit v n n i0 qi la somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q, et de premier terme.

Plus en détail

TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2. Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices donnés en annexe

TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2. Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices donnés en annexe TRAVAIL DE MATHEMATIQUES ECE 2 Revoir les définitions, propriétés, théorèmes. de cours Retravailler les DS, TD, fiche d exercices à l aide des corrigés Faire pour le jour de la rentrée sur copie les exercices

Plus en détail

Epreuve commune mathématiques TS mardi 4 avril Sujet obligatoire

Epreuve commune mathématiques TS mardi 4 avril Sujet obligatoire Epreuve commune mathématiques TS mardi 4 avril 2017 Sujet obligatoire EXERCICE 1 Dans le plan muni d un repère orthonormé ( O, ı, j représentative de la fonction u définie sur l intervalle ]0 ; + [ par

Plus en détail

une longue série d'exercices divers sur les suites (28 exercices) - première Suites : Exercices

une longue série d'exercices divers sur les suites (28 exercices) - première Suites : Exercices Suites : Exercices exercice 1 La suite (u n ) est une suite arithmétique de raison r. 1. On donne : u 5 = 7, r = 2. Calculer u 1, u 25 et u 100. 2. On donne : u 3 = 12, u 8 = 0. Calculer r, u 0 et u 18.

Plus en détail

SUITES. Exercice 01 (voir réponses et correction) Exercice 02 (voir réponses et correction) Exercice 03 (voir réponses et correction)

SUITES. Exercice 01 (voir réponses et correction) Exercice 02 (voir réponses et correction) Exercice 03 (voir réponses et correction) SUITES Exercice 01 (voir réponses et correction) On considère un carré ABCD de coté c = 4. On appelle A 1, B 1, C 1 et D 1, les points situés respectivement sur [AB], [BC], [CD], [DA] à la distance 1 de

Plus en détail

LES SUITES 3. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Représentation graphique (n ;u n ) 4

LES SUITES 3. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Représentation graphique (n ;u n ) 4 LES SUITES 3 I Généralités 3 1.1 Définitions 3 Exemple : 3 1. Différentes façons de définir une suite 3 a ) Par une formule explicite 3 3 3 b ) Par récurrence 4 ex 4 II Utilisation de la calculatrice Représentation

Plus en détail

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m 1 TS Rappels sur les suites Cours I. Définitions Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m L image u(n) de l entier n est notée

Plus en détail

Suites numériques. Z, auctore. 4 octobre u n+1 = u n + r. (1) u n = u 0 + n r (2) u 0 + u 1 + u u n = (n + 1) u 0 + u n 2

Suites numériques. Z, auctore. 4 octobre u n+1 = u n + r. (1) u n = u 0 + n r (2) u 0 + u 1 + u u n = (n + 1) u 0 + u n 2 Suites numériques Z, auctore 4 octobre 005 1 Suites arithmétiques Définition. Une suite de nombres (u n ) n N est arithmétique lorsqu il existe un nombre r tel que pour tout entier n on ait Ce nombre r

Plus en détail

ou de manière simplifiée ou de manière simplifiée n a j a j + b j

ou de manière simplifiée ou de manière simplifiée n a j a j + b j P 2 : doc 9 Des sommes, des produits 205-206 I Les symboles et I. Mise en place d une notation Une somme finie de nombre réels ou complexes notées a, a 2,..., a n s écrit a + a 2 +... + a n. Une notation

Plus en détail

Équations Différentielles

Équations Différentielles Équations Différentielles Pré-requis : Savoir calculer une primitive dans les cas décrits au chapitre précédent. Objectifs : Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d ordre 1 homogène. Savoir

Plus en détail

Chapitre 4. Suites. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. définir et représenter graphiquement une suite

Chapitre 4. Suites. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. définir et représenter graphiquement une suite Chapitre 4 Suites Objectifs du chapitre : item références auto évaluation définir et représenter graphiquement une suite étudier une suite arithmétique étudier une suite géométrique étudier le sens de

Plus en détail

Etude de limites de suites définies par

Etude de limites de suites définies par Etude de limites de suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) I) Généralités 1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence,

Plus en détail

Suites numériques (exercices)

Suites numériques (exercices) Suites numériques (exercices) Exercice 1 : u est la suite définie sur IN par u n = n 2-4n+5. 1. Déterminer une fonction f telle que :pour tout n IN u n = f(n) 2. Dans un repère tracer la courbe représentative

Plus en détail

Lycée Polyvalent de Taaone. Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures

Lycée Polyvalent de Taaone. Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Tout autre document est interdit Ce sujet s adresse aux élèves qui ont suivi la spécialité Mathématiques Il comporte

Plus en détail

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5 I Rappels de vocabulaire Suites réelles Définition 1 Une suite réelle u est une application de I R où I est une partie de N. Au lieu de noter u(n), pour les suites on note u n l image de n par l application

Plus en détail

6. Exercices et corrigés

6. Exercices et corrigés . Exercices et corrigés n 1 p.8 : Dans chacun des cas suivants, écrivez le trinôme fx) sous sa forme canonique. a) fx) x + x b) fx) x + x c) fx) x + x 1 d) fx) xx ) Corrigé du n 1 p.8 : Dans chacun des

Plus en détail

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES.

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. 1 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. I) RAPPELS DE COURS : Caractérisation par une relation de récurrence Caractérisation par une formule explicite Représentation graphique sur un axe Suites

Plus en détail

Athénée Royal d Uccle 1. Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin

Athénée Royal d Uccle 1. Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin Athénée Royal d Uccle 1 Cours de Mathématique 6 ème année Révision de juin A.Droesbeke Version : 016 Chapitre 1 Algèbre 1.1 Exercices { (1 + i)x + y = 1 i 1. Résoudre dans C : x iy = i. Démontrer que

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

SUITES I. GENERALITES. a. Définition et notations. b. Différentes façons de définir une suite

SUITES I. GENERALITES. a. Définition et notations. b. Différentes façons de définir une suite SUITES I. GENERALITES a. Définition et notations On appelle suite numérique, toute application de IN dans IR Une suite se note (u n ) n IN, (u n ) n 0 ou (u n ) On dit que u n est le terme général de la

Plus en détail

Université MONTPELLIER 3 UFR 4. Notes de Cours. Mathématiques M1 MRHDS Laurent Piccinini. version du 5 octobre 2011.

Université MONTPELLIER 3 UFR 4. Notes de Cours. Mathématiques M1 MRHDS Laurent Piccinini. version du 5 octobre 2011. Université MONTPELLIER 3 UFR 4 Notes de Cours Mathématiques M1 MRHDS 2011-2012 Laurent Piccinini version du 5 octobre 2011. M1 MRHDS 1 Table des matières I Les suites numériques 2 I.1 Généralités..............................................

Plus en détail

BAC BLANC TS ELEVES SUIVANT L ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE MATHS

BAC BLANC TS ELEVES SUIVANT L ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE MATHS BAC BLANC TS ELEVES SUIVANT L ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE MATHS La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies. Exercice 1

Plus en détail

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2 TS Suites récurrentes Exercices Exercice. Soit u la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier n, + = 4un +.. Démontrer que pour tout entier n, >.. On définit la suite v pour n N par v n = un. Montrer

Plus en détail

Généralités sur les suites

Généralités sur les suites 1 Chapitre 3 Généralités sur les suites I. Définition, mode de génération d'une suite et représentation graphique : 1) Définition : Une suite est une fonction définie de IN ou d'une partie de IN dans IR.

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail