ACTIVITES NUMERIQUES 12 points

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1 BREVET BLANC Mai 2012 Mathématiques Le corrigé La rédaction et la présentation sont prises en compte pour 4 points. Les calculatrices sont autorisées. Durée de l'épreuve : 2 heures. EXERCICE 1 On donne A=(x 3) 2 +(x 3)(1 2 x) ACTIVITES NUMERIQUES 12 points 1. Développer et réduire A. A=(x x)+ (x 2 x x) A= x 2 + x Prouver que l'expression factorisée de A est (x 3)( x 2). A=(x 3)( x 3)+ ( x 3)(1 2 x) A=(x 3)[( x 3)+ (1 2 x)] A=( x 3)( x 2) 3. Calculer A pour x= 2 (on écrira le résultat sous la forme a+ b 2 avec a et b deux entiers relatifs) Pour x= 2, A= A= A= Résoudre l'équation A=0. (x 3)( x 2)=0 Si un produit est nul alors au moins un des facteurs est nul : x 3=0 ou x 2=0 x=3 x= 2 Les deux solutions de l'équation son x=3 et x= 2. EXERCICE 2 1. Écrire un système de deux équations à deux inconnues représentant la situation. x et y sont solutions du système suivant : 2 x+ 10 y=152 x+ 12 y=160 { 2. Résoudre le système obtenu. En multipliant par 2 la deuxième ligne, on obtient : 2 x+ 10 y=152 { 2 x+ 24 y=320 On soustrait la 1 ère ligne à la 2 nde : 14 y=168 donc y= =12 Comme x+ 12 y=160 x =160 x+ 144=160 x=16 Page 1 sur 6

2 3. En déduire la longueur en mètres d'une locomotive et celle d'un wagon-citerne. Une locomotive mesure 16 mètres et un wagon-citerne 12 mètres. EXERCICE 3 1. v= d t = ,3 132 La vitesse de la fusée est d'environ 530 m.s ,3 3600= La vitesse de la fusée est donc d'environ 1909 km.h Ariane 5 libère un satellite de télécommunication à une altitude h=1, mètres. a) Calculer r+h r+ h=6, , r+ h=8, b) Quelle doit être la vitesse de la fusée à cette altitude? On arrondira au m.s -1 près. Écrire ce résultat en notation scientifique. v= 13, , v 9842 m.s -1 ACTIVITES GEOMETRIQUES 12 points EXERCICE 1 1. On souhaite faire une couture suivant le segment [CT]. a) Si (CT) est parallèle à (MW), quelle sera la longueur de cette couture? On sait que : - (MC) et (WT) sont sécantes en P - (CT) et (MW) sont parallèles D'après le théorème de Thalès : PC PM = PT PW = CT MW CT = 3,78 3,4 =3,06 4,2 m 3,78 4,20 = CT 3,40 donc b) La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture? Est-ce que 7 mètres de fil suffiront? Il faut au minimum 6,12 mètres de fil, donc 7 mètres suffiront. Page 2 sur 6

3 2. Une fois la couture terminée, on mesure : PT = 1,88 m et PW = 2,30 m. La couture est-elle parallèle à (MW)? D'une part : PC PM = 3,78 4,2 = 9 10 D'autre part : PT PW = 1,88 2,3 = PC Comme PM PT PW Thalès n'est pas vérifié., les droites (CT) et (MW) ne sont pas parallèles car le théorème de EXERCICE 2 2. Montrer que : AB = 4,8 cm. Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : AC 2 =AB 2 + BC 2 5,2 2 = AB AB 2 =5, AB 2 =23,04 donc AB= 23,04=4,8 cm. 3. Calculer le volume de SABC en cm 3. L'aire de la base est : Aire= 4,8 2 =4,8 cm 2 2 Volume de la pyramide : V = 4,8 3 =4,8cm On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base pour obtenir une pyramide SA'B'C' telle que SB' = 1,5 cm. Calculer le volume de la pyramide SA'B'C' en cm 3. Il s'agit d'une réduction de rapport 3 1,5 = 1 2 Donc le volume de la pyramide SA'B'C' est 4,8 ( 1 3 2) =0,6cm 3 PROBLEME 12 points PARTIE 1 : installation d'un ordinateur dans une bibliothèque d'école 1. Si on déplace les deux étagères de 1 mètre, on a CF = CG = 1. Combien mesure alors GF? On donnera la valeur exacte. Dans le triangle rectangle CGF, d'après le théorème de Pythagore : GF 2 =CF 2 + CG 2 GF 2 = GF 2 =2 donc : GF= 2 Page 3 sur 6

4 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. On souhaite avoir GF = 1 m. De combien doit-on alors déplacer les étagères? Soit x la longueur cherchée, d'après le théorème de Pythagore, il faut que : x 2 + x 2 =1 2 x 2 =1 donc x 2 = 1 2, on obtient donc : x= 1 2 = 2 0,71 2 On doit donc déplacer les étagères d'environ 71 cm. PARTIE 2 : achat d'un logiciel de gestion de bibliothèque L'école décide de tester un logiciel pour sa bibliothèque. Elle télécharge ce logiciel sur Internet. 1. Le fichier a une taille de 87,1 Mo (mégaoctets) et le téléchargement s'effectue en 2 minutes et 14 secondes. Quel est le débit de la connexion internet? On donnera le résultat en Mo/s. 2 min 14 s = s = 134 s 87,1 134 =0,65 Le débit est de 0,65 Mo/s Après une période d'essai de 1 mois, l'école décide d'acheter le logiciel. Il y a 3 tarifs : Tarif A : 19 Tarif B : 10 centimes par élève Tarif C : centimes par élève 2. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre d' élèves Tarif A 19,00 19,00 19,00 Tarif B 10,00 20,00 30,00 Tarif C 13,00 18,00 23,00 3. a) Si x représente le nombre d'élèves, laquelle des fonctions suivantes correspond au tarif C? x 8+5 x x 8+0,05 x x 0,05+8 x La deuxième fonction correspond au tarif C. b) Quelle est la nature de cette fonction? C'est une fonction affine. 4. Sur le graphique donné en annexe, représenter les tarifs A, B et C. 5. Par lecture graphique, à partir de combien d'élèves le tarif A est-il plus intéressant que le tarif C? Page 4 sur 6

5 On fera apparaître sur la feuille Annexe les tracés nécessaires à la lecture graphique. La droite représentant le tarif A passe en dessous du tarif C à partir de x=220, ce tarif devient donc plus intéressant à partir de 220 élèves. 6. Dans l'école, il y a 209 élèves. Quel est le tarif le plus intéressant pour l'école? Justifier. Graphiquement : pour x=209, c'est la droite d'équation y=0,05 x+8 qui est en dessous. Elle représente le tarif C, c'est donc le tarif C le plus avantageux. Sinon, par un calcul: Pour 209 élèves, le logiciel coûte 19 euros avec le tarif A, 20,90 euros avec le tarif B et 18,45 euros avec le tarif C. PARTIE 3 : fonctionnement de la bibliothèque Grâce au logiciel, on peut obtenir des informations précises sur les emprunts effectués par les 209 élèves de l'école. On a, par exemple, les données suivantes : Nombre d'emprunts en novembre Nombre d'élèves Quel est le nombre moyen d'emprunts par élève? Moyenne= =3 209 Le nombre moyen d'emprunts est de 3 livres. 2. Quelle est la médiane de cette série? Commme =105 et 105 est plus grand que la moitié de 209, la médiane est donc de 2 livres. PARTIE 4 : fête de fin d'année A la fin de l'année scolaire, l'école décide d'offrir des colis lecture aux élèves. 1. Étienne a reçu un colis. Ce colis contient 3 bandes-dessinées et 2 albums. Il sort, au hasard, un premier livre du colis sans regarder. Quelle est la probabilité que ce soit une bande-dessinée? La probabilité est de Étienne a sorti un album au premier tirage. Comme il veut lire une bande-dessinée, il sort, au hasard, un deuxième livre du colis sans regarder. Quelle est la probabilité que ce soit une bande-dessinée? La probabilité est de 3 4. Page 5 sur 6

6 DOCUMENT REPONSE A RENDRE AVEC VOTRE COPIE ANNEXE NOM :... Prénom :... Prix en euros Tarif B Tarif C Tarif A Nombre d'élèves Page 6 sur 6