Condensation de Bose-Einstein

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Condensation de Bose-Einstein"

Clarisse Vinet
il y a 6 ans
Total affichages :

Jean-Jacques Greffet, François Marquier, TD n 6, corrigé Condensation de Bose-Einstein ) Pour un oscillateur harmonique à une dimension, le hamiltonien est donné par : H x = p x m + mω x les valeurs

1 Jean-Jacques Greffet, François Marquier, TD n 6, corrigé Condensation de Bose-Einstein ) Pour un oscillateur harmonique à une dimension, le hamiltonien est donné par : H x = p x m + mω x les valeurs propres de ce hamiltonien sont les états d énergie : E nx = hω n x + ) où n x est un entier positif ou nul. L état d énergie E nx n est pas dégénéré. Il est associé à une fonction d onde que l on note habituellement simplement n x. À trois dimensions, le hamiltonien total peut s écrire sous la forme d une somme de trois hamiltoniens : H = H x + H y + H z Ces trois hamiltoniens commutent. Une fonction d onde du système peut donc s écrire comme un produit de fonctions d onde de chaque hamiltonien à une dimension. On note en général cette fonction d onde n x,n y,n z. Elle est associée à la valeur propre : E nx,n y,n z = hω n x + + n y + + n z + ) que l on peut bien-sûr mettre sous la forme : E n = hω n + 3 ) où n est un entier positif ou nul. Les états d énergie E n sont cette fois dégénérés car il y a plusieurs combinaisons des n x, n y et n z qui peuvent donner n. Pour un n x donné entre et n, il y a n n x + couples n y,n z ) tels que n x + n y + n z = n. La dégénérescence est donc donnée par : n = n n x + ) n x=

2 que l on peut réécrire avec p = n n x + sous la forme : soit : = = n+ p= p n + )n + ) ) Exprimer le grand potentiel requiert la donnée de la fonction de partition. Comme toujours en physique statistique, il nous faut commencer par définir un état du système. L état quantique d un atome dans le piège est donné par un triplet d entiers n x,n y,n z ). Pour simplifier les notations et se raccrocher aux notations du poly), appelons ce triplet d entier. caractérise un état possible une fonction d onde possible) pour un atome dans le piège. À cet état à un atome est associée une énergie ε = E nx,n y,n z. Nous devons définir un état contenant plusieurs atomes. Nous allons donc prendre un état du système r comme étant la donnée des nombres d occupation de chaque état quantique. Par exemple : atomes dans l état,,, dans l état,,, 3 en,, et aucun dans les autres est un état du système qui contient 5 atomes : il peut y avoir moins ou beaucoup plus d atomes... On note r = {N }. À cet état sont associés un nombre de particules N r = N et une énergie E r = N ε. La fonction de partition grand-canonique s écrit : Z = exp βe r + βµn r ) r = exp β N ε + βµ {N } N ) L exponentielle de somme donnant un produit d exponentielles, puis la donnée du nombre d atomes dans un état étant indépendant du nombre d atomes dans les autres états, on a : Z = exp [ βn ε µ)] exp [ βn ε µ)]... {N } = N exp [ βn ε µ)] N exp [ βn ε µ)]... Soit finalement : Z = exp[ βε µ)] exp[ βε µ)]... Il est possible d écrire cette dernière ligne à condition que ε µ >. Une condition suffisante est donc ε µ >, soit encore α < 3 β hω. Le grand potentiel s écrit Aα, β) = kt ln Z, soit : Aα,β) = ln β exp[ βε µ)]

3 En prenant en compte la dégénérescence, c est-à-dire le nombre de niveau de même énergie ε, il vient facilement : Aα,β) = [ ln exp β hωn 3 )] β β hω + α 3) Le nombre moyen de bosons dans le piège est donné par une simple dérivée du grand potentiel : lnz α = β A α Il vient donc : = ) exp β hωn 3 β hω + α exp β hωn 3 ) β hω + α exp β hωn + 3 β hω α ) Soit avec α = α 3 β hω : exp β hωn α ) 4) On se place dans le cas où kt hω. Dans ce cas de figure, l énergie peut apparaître comme une variable continue, et on doit remplacer la dégénérescence par une densité d état gε). La question à se poser est alors : combien a-t-on d états entre ε et ε + dε? On peut d abord compter le nombre de niveaux : on en a simplement dε/ hω. En prenant ensuite en compte la dégénérescence de chaque niveau = ε/ hω + )ε/ hω + )/, il vient : = dε hω [ ) ε + 3 ε hω hω + En première approximation, nous ne retenons que le terme de plus grande puissance, on a donc : ε gε) = hω) 3 ] 5) On a : expβ hωn α ) On peut changer la série en intégrale, il vient alors : N + expε α ) Il est intéressant de constater que la densité d états obtenue ici n est pas en ε. Ceci est bien-sûr dû au fait que l on est pas dans un puits carré, où l on ne compte habituellement que l énergie cinétique de translation, mais dans un piège harmonique, où les atomes sont de plus soumis à un potentiel non constant dans l espace. 3

4 Soit finalement : N I α ) γ 3 6) À très haute température, γ devient très petit devant et l on a alors : I α ) γ 3 N à N fixé, I α ) devient très petit. Or, il est facile de constater que I est une fonction croissante et positive. On a donc nécessairement α. 7) Pour garder N constant lorsque γ augmente la température T diminue), il faut que I α ) augmente. Ce terme va donc croître jusqu à atteindre α = qui correspond à la borne vue en question ). On a alors : I ) γ 3 ) d où la température T : T = hω k [ ] N /3 I ) γ varie en /N /3. Le remplacement d une série par une intégrale à la question 5) supposait que la température était «élevée», puisqu il fallait que γ = β hω soit beaucoup plus petit que un. On voit que cette hypothèse est vraie, non seulement à haute température, mais même à la température de transition, pourvu que N soit suffisamment grand pour que γ soit petit. 8) On a en fait : + exp α ) + expβ hωn α ) n= exp α ) + + = N T) + + expε α ) expε α ) Il vient donc : N I α ) Nγ 3 Lorsque la condensation commence on a α =, on voit dans l expression de N que le nombre d atomes présents sur le niveau fondamental tend donc vers l infini. En termes plus physique, cela signifie en fait que ce nombre devient macroscopique, ou encore de l ordre de grandeur du nombre total d atomes dans le système. On a alors : N I ) Nγ 3 4

5 9) On a donc : N N I ) Nγ 3 En reprenant l expression de N donnée par l équation ), on a alors : ) N γ3 T 3 γ 3 = T La figure montre la variation du nombre de bosons dans l état fondamental en fonction de la température. Fig. Variation de la population du niveau fondamental dans le piège harmonique en fonction de la température. Au-dessus de la température de condensation T, le niveau fondamental n est pas peuplé macroscopiquement. ) Les données de l expérience nous permettent d écrire γ 3.. Il est donc bien possible de considérer que l approximation de la question 5 passage d une série à une intégrale) était légitime. On obtient T.3 µk. 5

Documents pareils

8 Ensemble grand-canonique

Physique Statistique I, 007-008 8 Ensemble grand-canonique 8.1 Calcul de la densité de probabilité On adopte la même approche par laquelle on a établi la densité de probabilité de l ensemble canonique,