Chapitre 14. Fonctions de deux variables

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Luc Fleury
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1 Chapitre 14 I Continuité d'une fonction de deux variables Dans cette partie, A désigne une partie quelconque de R 2. 1 Dénitions a) Norme euclidienne Dénition 1 La norme euclidienne sur R 2 est l'application : R 2 R (x, y) (x, y) = x 2 + y 2 La norme euclidienne de (x, y) est la distance du point M(x, y) au point O(0, 0) dans le plan. De même on a d(m, M ) = (x, y ) (x, y) = (x, y) (x, y ). La norme euclidienne joue le rôle dans le plan que jouait la valeur absolue dans l'ensemble des réels. D'ailleurs on retrouve (x, 0) = x = x. b) Limite Dénition 2 Soit f une fonction de A dans R, où A R 2, et (x 0, y 0 ) A ou "à la frontière" de A. On dit que f admet une limite l R en (x 0, y 0 ) si : On note alors l = ɛ > 0, ρ > 0, (x, y) (x 0, y 0 ) ρ f(x, y) l ɛ lim f(x, y). (x,y) (x 0,y 0) Cela signie que f(x, y) "se rapproche" de l aussi près qu'on le souhaite (ɛ), à condition de rapprocher susamment (x, y) de (x 0, y 0 ) (ρ). c) Continuité Dénition 3 Soit f une fonction de A dans R, où A R 2, et (x 0, y 0 ) A. La fonction f est dite continue en (x 0, y 0 ) si lim = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0) La fonction f est dite continue sur A si elle est continue en tout point de A. Ces dénitions ne seront bien entendu jamais utilisées. Les calculs de limite ou de continuité sur R 2 sont absolument hors programme et on se contentera d'utiliser le théorème suivant. 1

2 2 Opérations élémentaires / Théorèmes généraux Propriété 1 de deux variables et d'une fonction d'une variable continues sont continues. II Dérivées partielles d'ordre 1 Dans toute cette partie, A désigne un ouvert de R 2. 1 Dénition Dénition 4 Soit f une fonction de A dans R, et (x 0, y 0 ) R. On dit que f admet une dérivée partielle par rapport à la variable x (ou à la variable y) si la fonction : est dérivable en x 0 (ou en y 0 ). f x : x f(x, y 0 ) (ou f y : y f(x 0, y)) On note alors 1 (f)(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 ) ( ou 2 (f)(x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 )) la dérivée partielle par rapport à x (ou y) de f. Méthode En pratique, pour calculer 1 (f)(x, y), on dérive f en considérant que y (plus généralement la seconde variable) est une constante et que x (plus généralement la première variable) est la variable. De même pour calculer 2 (f)(x, y), on dérive f en considérant que x est une constante et que y est la variable. 2 Fonctions de classe C 1 et gradient Dénition 5 Une fonction f : A R est dite de classe C 1 sur A si elle admet des dérivées partielles par rapport à x et y en tout point de A, et si les applications de deux variables (x, y) 1 (f)(x, y) et (x, y) 2 (f)(x, y) sont continues sur A. Dénition 6 Soit f une fonction de classe C 1 de A dans R. On dénit alors le gradient de f en un point (x, y) de A, noté (f)(x, y), comme le vecteur colonne dont les coordonnées sont les dérivées partielles de f en (x, y) : 1 (f)(x, y) (f)(x, y) = 2 (f)(x, y) b) Opérations élémentaires / Théorèmes généraux Propriété 2 de deux variables et d'une fonction d'une variable de classe C 1 sont de classe C 1. 2

3 3 Point critique Dénition 7 Soit f : A R une fonction de classe C 1 sur A. On appelle points critiques de f les solutions du système : ( 0 (f)(x, y) = 0) f x f y (x, y) = 0 (x, y) = 0 III Dérivées partielles d'ordre 2 A nouveau, A désigne un ouvert de R 2. 1 Dénition Dénition 8 On appelle dérivées partielles d'ordre deux de f les dérivées partielles, lorsqu'elles existent, de 1 (f) = f x = f x et 2(f) = f y = f y. On note de plus : 2 1,1(f)(x, y) = f x,x(x, y) = 2 f x 2 (x, y) = 1 [ 1 (f)](x, y) 2 2,2(f)(x, y) = f y,y(x, y) = 2 f y 2 (x, y) = 2 [ 2 (f)](x, y) 2 1,2(f)(x, y) = f x,y(x, y) = 2 f x y (x, y) = 1[ 2 (f)](x, y) En toute rigueur il faudrait aussi dénir 2,1(f)(x, 2 y) = f y,x(x, y) = 2 f jamais utilisée. y x (x, y) = 2[ 1(f)](x, y) mais celle-ci n'est En eet on va voir très rapidement (théorème de Schwarz) que dans le cas de fonctions de classe C 2 (ce qui sera toujours le cas en pratique), on a 1,2(f) = 2,1(f) et une seule notation sura donc. 2 Fonctions de classe C 2 et matrice Hessienne Dénition 9 Une fonction f : A R est dite de classe C 2 sur A si elle admet des dérivées partielles premières et secondes par rapport à x et y en tout point de A, et si toutes ses dérivées partielles sont continues sur A. Dénition 10 Soit f une fonction de classe C 2 de A dans R. On dénit alors la matrice Hessienne de f en un point (x, y) de A, notée 2 (f)(x, y), comme la matrice symétrique de M 2 (R) dont les coecients sont les dérivées partielles de f en (x, y) : 2 2 (f)(x, y) = 1,1 (f)(x, y) 1,2(x, 2 y) 2,1(f)(x, 2 y) 2,2(x, 2 y) La symétrie de 2 (f)(x, y) est une conséquence du théorème de Schwarz ci-après. 3

4 b) Opérations élémentaires / Théorèmes généraux Propriété 3 de deux variables et d'une fonction d'une variable de classe C 2 sont de classe C 2. c) Théorème de Schwarz Théorème 4 Soit f : A R une fonction de classe C 2. Alors pour tout (x, y) A on a : 1,2 (f) = 2,1 (f) C'est une égalité de fonctions, qui signie que ces deux dérivées ont la même valeur en tout point M = (x, y). IV Extrema Dans toute cette partie, A est une partie quelconque de R 2 (on précisera ses propriétés selon les cas) et f une fonction de A dans R. 1 Extremum global Dénition 11 Un point (x 0, y 0 ) est un maximum global de f si : (x, y) A, f(x, y) f(x 0, y 0 ) Un point (x 0, y 0 ) est un minimum global de f si : (x, y) A, f(x, y) f(x 0, y 0 ) b) Fonction dénie sur une partie fermée bornée Théorème 5 (admis) Soit f une fonction continue de A dans R, où A est une partie fermée et bornée de R 2. Alors f admet un maximum et un minimum globaux. 2 Extremum local Dans cette partie, A est un ouvert de R 2. Dénition 12 Un point (x 0, y 0 ) est un maximum local de f s'il existe une boule ouverte centrée en (x 0, y 0 ), B((x 0, y 0 ), r), telle que : (x, y) B((x 0, y 0 ), r), f(x, y) f(x 0, y 0 ) Un point (x 0, y 0 ) est un minimum local de f s'il existe une boule ouverte centrée en (x 0, y 0 ), B((x 0, y 0 ), r), telle que : (x, y) B((x 0, y 0 ), r), f(x, y) f(x 0, y 0 ) 4

5 b) Lien avec les extrema globaux Propriété 6 Soit (x 0, y 0 ) un extremum global de f. Alors c'est un extremum local de f. s 1. La réciproque est bien entendu fausse. 2. Lorsqu'on demande de vérier qu'un point (x 0, y 0) est un extremum local, avant de chercher à utiliser les théorèmes qui suivent, on peut calculer f(x 0, y 0) et vérier si c'est un extremum global évident, ce qui permettrait de conclure immédiatement. c) Lien avec les points critiques (condition nécessaire d'extremum local) Propriété 7 Soit (x 0, y 0 ) un extremum local d'une fonction f. Alors (x 0, y 0 ) est un point critique de f, c'est-à-dire qu'il vérie : (f) = (f)(x 0, y 0 ) = 2 (f)(x 0, y 0 ) = 0 s 1. Attention, la réciproque est complètement fausse : les points critiques ne sont pas tous des extrema locaux. 2. Pour déterminer les extrema locaux sur un ouvert, on cherche donc les points critiques, et on étudie ensuite chacun de ces points séparément. d) Condition susante d'extremum local Propriété 8 Soit (x 0, y 0 ) est un point critique de f, et 2 (f)(x 0, y 0 ) la matrice Hessienne de f. Cette matrice est symétrique donc diagonalisable, elle admet donc une valeur propre avec un sous-espace propre associé de dimension 2 ou deux valeurs propres avec un sous-espace propre associé de dimension 1. On a alors : Si toutes les valeurs propres de M = 2 (f)(x, y) sont strictement positives (Sp(M) R + ), (x 0, y 0 ) est un minimum local. Si toutes les valeurs propres de M = 2 (f)(x, y) sont strictement négatives (Sp(M) R ), (x 0, y 0 ) est un maximum local. Si M = 2 (f)(x, y) admet une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative, le point (x 0, y 0 ) n'est pas un extremum local. En raison de l'allure de la représentation graphique de f en ce point, on dit que c'est un point-col ou point-selle. Si l'une au moins des deux valeurs propres de M = 2 (f)(x, y) est nulle, on ne peut rien conclure sur la nature de (x 0, y 0 ) (il peut être un minimum local, un maximum local, ou ne pas être un extremum selon les cas, et aucun outil du programme ne permet de lever l'incertitude. Preuve On ne peut pas donner de preuve correcte ici ; tout juste peut-on essayer de donner une idée de résultat à l'oral en utilisant astucieusement le développement limité d'ordre 2 (qui est écrit dans le programme mais non exigible, c'est-à-dire que les sujets de concours n'ont pas le droit de le demander). 5

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