Identités remarquables. I - Principe : k = k + k a b a b. Aire : k (a+ b) = k a + k b. II - Développements : 1. Développement de base :

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Charlotte Beauregard
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1 Chp 4 Identités remrqules I - Principe : k = k + k Aire : k (+ ) = k + k II - Développements : 1. Développement de se : k( + ) = k + k Exemple : 2( x + ) =... Remrque : x x = x 2 Ex : - x ( x - 2) = Autres développements : Ex : ( x + ) ( x + 5) =... (-2 x + ) ( x - 4) =... III - Identités remrqules : 1. Crré d une somme «Avec les flèches» Développe : ( + ) ( + ) =... «sns les flèches» = Aires : ( + )( + ) = ( + ) 2 =

2 Formule : ( + ) 2 = Ex : Développer S = (2 x + 1) 2 et T = (2 x + ) 2.. crré d une différence = 2 + Aires: ( ) ( ) = 2 + ( + ) 2 = Développer : ( - ) 2 = ( )( ) =... ( + )( ) = Rppel des formules : ( + ) 2 = ( ) 2 = ( + )( - ) = Exemples : Développer : A = ( x - ) 2 B = (2 x -1) 2 C = ( x + 2)( x - 2) D = ( x - 5) ( x + 5) IV. Fctoristions: Définition Fctoriser une somme de termes c'est l trnsformer en un produit de fcteurs. fctorisée développée Crré d une somme ( + )² = ² ² Crré d une différence ( - )² = ² ² Produit de l somme et de l différence ( + )( ) = ² - ² Développement Fctoristion Principe : On repère les groupes (le plus souvent il y en 2) séprés pr les signes + ou - et on souligne dns chque groupe le fcteur commun. Ex : Fctoriser : 5( x + 2) + x ( x + 2)

3 Fctoriser : ( x + 4)( x + ) - ( x + 4)( x - 2) Fctoriser : ( x + 2) 2 + ( x + 2)( x - 1) 2. Fctoristions vec les identités remrqules : Méthode 1 : on reconnît une identité remrqule. A = x² + 10x + 25 Cette expression ressemle à ² ² qui vut ( + )² A = x² + 10x + 5² vudrit x et vudrit 5. Vérifions si 10x est le doule produit 2. A = x² + 2 x 5 + 5² 10x est ien le doule produit donc... A = (x + 5)² B = 9x² 24x + 16 Cette expression ressemle à ² 2 + ² qui vut ( )² B = (x)² 24x + 4² vudrit x et vudrit 4. Vérifions si 24x est le doule produit 2. B = (x)² 2 x 4 + 4² 24x est ien le doule produit donc... B = (x 4)² B = 9x² 16 Cette expression ressemle à ² ² qui vut ( + ) ( ) B = (x)² 4² vut x et vut 4 donc... B =(x + 4)(x 4) Appliction : fctoristions et synthèse. 1/Utilistion des identités remrqules = ou =. Somme lgérique à fctoriser Forme reconnue : ou Résultt de l fctoristion 4x 2 +6x+81 = (2x) x = (2x + 9) 2 25x 2 +70x+49 = = 12x+9x 2 +4 = = 25x x = = 9x 2-24x+16 = = 9x 2 +48x+64 = = x 2-10x+25 = =. Méthode 2 le terme «sns fcteur» : A = (x + 7) (x + 5) + (x + 5) = (x + 7) (x + 5) + (x + 5) 1 = (x + 5) [(x + 7) + 1) A = (x + 5)(x + 8) le crré : B = (x + )² + (2x +5)(x + ) = (x + )(x + ) + (2x + 5)(x + ) = (x + ) [(x + ) + (2x + 5)] Prfois le fcteur commun est plus difficile à voir : A = (2x + 1)(7x ) + (2x + 1)( x + 2) B = (x )(2x + 5) + 5( x) C =(5x 2)(x 1) + (10x 4)(x + 1) D = (5x 1)(x 7) (5x 1)(5x )

4 III Résolution d'une éqution produit du type (x + ) (cx +d) = 0 1. Produit nul. Si A = 0 ou B = 0 lors A B = 0 Si A B = 0 lors A = 0 ou B = 0 (c'est l réciproque) Autrement dit : Dire qu'un produit de fcteurs est nul revient à dire que l'un u moins de ses fcteurs est nul. 2. Exemple : résoudre l'éqution (4x + 1) (9x 7) = 0 Résoudre cette éqution, c'est trouver toutes les vleurs de x qui vérifient l'églité donnée. Ici on veut qu'un produit de deux fcteurs soit égl à zéro (nul). Dire qu'un produit de fcteurs est nul revient à dire que l'un u moins de ses fcteurs est nul On donc 4x + 1 = 0 ou 9x 7 = 0 4x = -1 ou 9x = 7 x = ou x = 7 9 Conclusion : Les solutions de cette éqution sont et Mettre en éqution un prolème 1 Eqution Exemple : un rectngle un de ses côtés qui mesure 12,5 m et son ire vut 187,5 m 2. Quelle est l mesure de l utre côté. 1) Choix de l inconnue : j ppelle x l longueur en mètre de l utre côté. 2) Mise en éqution en utilisnt l énoncé : 12,5 x = 187,5 ) Résolution : 12,5 x =187,5 x = 187,5 : 12,5 x = 15 4) Vérifiction : 12,5 15 est-il ien égl à 187,5? 12,5 15 =.187,5 5) Phrse donnnt l réponse : l longueur de l utre côté est 15 m. 2. Résolution d une éqution

5 On peut dditionner (soustrire) le même nomre dns chque memre d une éqution Exemples : x + = 8 x + = 8 x + (+) + (-) = 8- x = 5 7x =-x 7x + x = x + x 8x = 7x + x = + (-x) + x On peut multiplier (diviser), en entier, chque memre de l éqution pr un même nomre. Exemples : 8x = 8x 8 = 8 x = 8 x 4 = 7 x 4 4 = 7 4 en vérifint on ien 8 8 = x = 28 on ien 28 4 = 7 Contre exemple : 2+2x= x 2 = x = 2 x = 0 Pourtnt en vérifint on : =2+0=2 4 cr le memre de guche n ps été divisé en entier pr 2 Exemple : x = 8 x x = 8 x = 8x 8 = x On vérifie : 8 = 8 = 8 Autre méthode : deux nomres égux ont des inverses égux : x = 8 donc x = 1 8 donc x = 1 donc x 8 = 8 Pour résoudre une éqution plus «complexe», il suffit d ppliquer plusieurs fois ces règles Exemple : 7x 4 = 5x + 7 7x = 5x x = 5x + 11

6 7x 5x = 5x x 7x 5x = 5x (-5x) 2x = 11 x = 11 2 x = 5,5 On vérifie en deux clculs (memre de guche puis memre de droite) : 7 5,5 4 = 8,5 4 = 4,5 5 5,5 + 7 = 27,5 + 7 = 4,5. Produit nul Propriété : un produit est nul si u moins un de ses fcteurs est nul. Exemple : (x + 6) (x 4) = 0 soit x + 6 = 0 soit x 4 = 0 x = -6 x = 4 x = 4 L éqution deux solutions -6 et 4 Vérifiction : (-6 + 6)( (-6) 4) = 0 ( (-6) 4) = 0 et ( 4 + 6)( 4 4) = (4 + 6) 0 = 0 4. Eqution x² = 1. Soit strictement positif, l éqution x² = dmet eux solutions, et - Exemples : x² = 7 Il y deux solutions 7 et 7. x² = 25 Il y deux solutions 5 et Si est nul l éqution x² = dmet une seule solution, 0 x² = 0 donc x = 0. Si est négtif l éqution x² = n dmet ps de solution. x² = -9 n ps de solution

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