1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

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1 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes de représentation d un sous-espace vectoriel E de R n : Par des équations cartésiennes c est-à-dire que l ensemble E est donné comme la partie de R n qui vérifie un certain nombre d équations. Par exemple : E } (x, y, z) R 3 x + y z, et x + 3z. L avantage de cette représentation est qu il est très facile de calculer l intersection de deux sev : il suffit de prendre la partie qui vérifie toutes les équations. Par exemple, l ensemble précédent E est : } } E (x, y, z) R 3 x + y z (x, y, z) R 3 x + 3z. Ce mode de représentation correspond à identifier E et le noyau d une application linéaire : le sous-espace vectoriel E de K n s écrit : E x K n } f(x), où f est une application linéaire de K n dans K p, avec p le nombre d équations. Dans l exemple, E s identifie avec le noyau de l application linéaire : R 3 R f : (x, y, z) (x + y z, x + 3z). On peut écrire cela en disant que E est l ensemble de solutions 1 d un système homogène (S h ). Dans l exemple, le système (S h ) correspondant est : (S h ) : x + y z x + 3z Par des paramètres c est-à-dire l ensemble des éléments qui s écrivent en fonction de certains paramètres : F (a + c, a + b + c, b + c, b + c) (a, b, c) R 3}. L avantage de cette représentation est qu il est très facile de trouver une famille génératrice, et ainsi une base, en enlevant des vecteurs. Par exemple ici : F V ect((1, 1,, ), (, 1, 1, 1), (1,, 1, 1)). 1. Ce qui démontre au passage que les solutions d un système homogène forment un espace vectoriel.

2 que l on peut simplifier, en remarquant que : (1, 1,, ) + (, 1, 1, 1) (1,, 1, 1), en : F V ect((1, 1,, ), (, 1, 1, 1)). qui est une famille libre, donc E est de dimension. Cette représentation peut-être vue comme l image d une application linéaire : le sous-espace vectoriel F de K n peut s écrire sous la forme : F f(x) x K p } où f est une application linéaire de K p avec p le nombre de paramètres dans K n. Dans l exemple F s identifie avec l espace image de l application : R 3 R 4 f : (a, b, c) (a + c, a + b + c, b + c, b + c) On peut dire que c est l ensemble des seconds membres, tel qu un système (S) ait des solutions : dans l exemple, le sous-espace vectoriel F s identifie avec l ensemble des triplets (x, y, z, t), tel que le système : a + c x a + b + c y (S) b + c z b + c t d inconnue (a, b, c) ait une solution.. Ainsi, on retiendra : lorsqu on veut faire une intersection de sev, on passe par la forme équations. lorsqu on veut déterminer une base ou calculer la dimension, on passe par la forme paramètre. Il faut donc être capable de passer d un mode de représentation à l autre. Passage des équations aux paramètres Pour passer de la forme équation cartésienne à la forme paramètre, on résout le système (S h ), en considérant les coordonnées (x, y, z) comme des inconnues. L ensemble des solutions s exprime alors en fonction de paramètres, ce qui donne la représentation paramétrique. On rappelle que la technique est de se ramener à un système échelonné et d utiliser la méthode de remontée. Par exemple, pour le sev E, on fait : x + y z (S h ) x + 3z x + y z x 3z y 1 (x + z) x 3z y z x 3z

3 Ainsi, E ( 3z, z, z) z R} V ect( 3, 1, 1). 3 Passage des paramètres aux équations Pour passer d une représentation sous forme paramétrique à une représentation sous forme d équations, on résout le système (S) avec pour inconnues les paramètres, et pour second membre, des coordoonées génériques. On peut dire que l on cherche à exprimer les paramètres en fonction des coordonnées. On met le système sous forme échelonnée et apparaissent alors des équations de compatibilité. Ainsi, le système (S) n a de solutions que si et seulement si le second membre, i.e. les coordonnées, vérifient certaines conditions. On obtient ainsi les équations cartésiennes. Par exemple pour F, on a : (S) a + c x a + b + c y b + c z b + c t a + c x b + c y x b + c z b + c t a + c x b + c y x z y + x t y + x Ainsi, le système a une solution si et seulement si z y + x, et t y + x. Si ces équations sont vérifiées, alors le système a une solution, par exemple : a x, b y et c. Cette solution n est pas unique (on retrouve ici le fait que la famille génératrice n est pas une base de F). On a donc : } F (x, y, z, t) R 4 z y + x, et t y + x. Attention, il est inutile de résoudre le système : on cherche les conditions pour lesquels ce système admet une solution, c est-à-dire les équations de compatibilité.

4 4 Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux définitions du rang d une matrice Le rang d une matrice M M n,p (K) est défini de deux manières : Soit comme le rang de l application linéaire f qui vérifie M Mat B,C (f), Soit comme le rang de la famille F constituée de p vecteurs de K n, qui vérifie M Mat C (F). B et C désignant les bases canoniques de K p et de K n. Le rang d une matrice se calcule en faisant des opérations élémentaires inversibles sur les lignes ou les colonnes de manière à se ramener à une matrice échelonnée. Le rang d une matrice échelonnée est alors égal aux nombres de lignes qu elle contient (ou de pivots). On peut aussi utiliser la propriété rg(m) rg( t M) et calculer le rang de la transposée. Il faut bien avoir en tête que les matrices sont un support de calcul permettant de faire des calculs rapidement pour obtenir des propriétés sur les familles de vecteurs et sur les applications linéaires. Le but de cette fiche est d illustrer les informations que l on peut tirer du calcul du rang d une matrice dans le cas où on ne fait que des opérations élémentaires sur les lignes. Le calcul du rang d une application linéaire / d une famille de vecteurs n est possibles que dans le cas où on connaît l expression de f / les coordonnées des vecteurs. Si ce n est pas le cas, il faut revenir aux définitions. Applications aux familles de vecteurs Si on considère une famille de vecteurs F (u 1,... u p ), dont on connaît les coefficients sur une base, pour savoir si cette famille est libre ou génératrice, le plus simple est de mettre leurs coordonnées dans une matrice M et de faire des opérations sur les lignes, de manière à calculer le rang. On obtient alors : si le rang est égal au nombre de vecteurs que la famille F contient (ici p) alors la famille est libre, si le rang est égal à la dimension du sous-espace vectoriel E qui contient la famille F (ici n), alors la famille est génératrice de E. Exemple: On considère la famille de 5 vecteurs de R 4 donnés par : u 1 (1,, 1, 1) u (, 4,, ) u 3 ( 3, 7,, 4) u 4 (5, 1, 1, 7) u 5 ( 1, 3, 9, 1).

5 On calcule le rang de la matrice associée avec la réduction de Gauss : l 3 3l -7 6 l 4 l Le rang de la matrice est donc de 3. Elle n est ni libre ni génératrice. l l 1 l 3 + l 1 l 4 l 1 7l 4 + 6l 3 L avantage de ne faire que des opérations sur les lignes est qu on obtient plus d information. Notons E vect(f), on vient de voir que dim(e) rg(f) 3. On a alors : Extraire une base de E Considérons les vecteurs (u 1, u 3, u 5 ) (les colonnes qui contiennent des pivots), la matrice de cette famille correspond aux colonnes 1,3 et 5 : Mat(u 1, u 3, u 5 ) En refaisant les mêmes calculs, on voit que cette matrice se réduit matrice en : Cette matrice est donc de rang 3, ce qui signifie que (u 1, u 3, u 5 ) est une famille libre de E, donc une base de E. On peut donc dire qu une base de E est ( ) (1,, 1, 1), ( 3, 7,, 4), ( 1, 3, 9, 1). Attention : on utilise les coordonnées dans la matrice originale, et non dans la matrice réduite. Le principe est donc de considérer les vecteurs de la famille tels que les colonnes correspondantes dans la matrice réduite contiennent un pivot. De même, on voit donc que (u, u 3, u 5 ) forment une famille libre. Par contre, on ne sait rien sur (u 3, u 4, u 5 ), puisqu en refaisant les mêmes calculs, on obtient pas une matrice échelonnée. Déterminer une relation de dépendance entre les vecteurs. Il faut trouver une solution non nulle de : S : λ 1 u 1 + λ u + u 3 + λ 4 u 4 + u 5, ce qui s écrit sous forme matriciel comme le système : λ S λ

6 6 Pour résoudre ce système, on va faire des opérations sur les lignes i.e. multiplier à gauche par des matrices inversibles pour se ramener à un système échelonné. Bien entendu, il est inutile de refaire les calculs (à moins que ce soit pour vérifier), on obtient directement : λ S λ 4 On n a donc plus qu à appliquer la méthode de remontée : λ 1 + λ 3 + 5λ 4 + λ λ 1 λ λ 4 λ 4. λ 1 + λ 3 + 5λ 4 λ 4.. Ainsi, l ensemble des solutions de ce système est : S } ( ) ( λ λ 4, λ, λ 4, λ 4, ) Vect (, 1,,, ), ( 1,,, 1). Deux exemples de relation linéaire est donc : u 1 + u u 1 + u 3 + u 4. (il y a bien sûr une infinité de solutions). Savoir si un vecteur v est dans l espace vectoriel engendré. On doit résoudre le système : S : λ 1 u 1 + λ u + u 3 + λ 4 u 4 + u 5 v, ce qui se fait encore une fois en se ramenant au même système échelonné. Attention, il ne faut pas oublier de faire des opérations sur les lignes sur le membre de droite, i.e. les coordonnées de v. Exemple: Pour savoir si (, 1,, 3) E, on résout le système : S λ λ

7 On refait donc les mêmes opérations (sur les deux membres) : 7 λ λ λ l l 1 l 3 + l 1 λ l 4 l 1 λ l 3 3l λ 4 6 l 4 l λ λ 4 8 7l 4 + 6l 3 La dernière équation est 8, ainsi, (, 1,, 3) E. Déterminer les équations cartésiennes de E par le même principe avec un second membre générique : (x, y, z, t) R 4, on fait des opérations sur le second membre, pour obtenir les équations de compatibilité.

8 8 On refait donc les mêmes opérations (sur les deux membres) : x λ y z λ t x λ y x l l 1 z + x l 3 + l 1 λ t x l 4 l 1 x λ y x z + 7x 3y l 3 3l λ 4 6 t + x y l 4 l x λ y x z + 7x 3y λ 4 7(t + x y) + 6(z + 7x 3y) 7l 4 + 6l 3 Le système admet alors une solution si et seulement si l équation de compatibilité est vérifiée. Inutile de résoudre. On obtient l équation : 7(t+x y)+6(z+7x 3y) 49x 5y+6z+7t Ainsi : E (x, y, z, t) R 4 } 49x 5y + 6z + 7t. Attention, ces applications ne sont valables que si l on a fait uniquement des opérations sur les lignes. Applications aux applications linéaires Pour déterminer si une application linéaire f est injective ou surjective, le plus simple est de calculer le rang de la matrice M associée, par exemple dans les bases canoniques : Si le rang est la dimension de l espace d arrivée, alors l application est surjective, Si le rang est la dimension de l espace de départ, alors l application est injective, Le théorème du rang donne le rapport entre le rang de l application f et la dimension du noyau. Pour calculer le rang d une application, on calcule le rang de la matrice associée. Cela permet de déterminer si l application linéaire f est surjective et/ou si elle est injective (en utilisant le théorème du rang). Exemple: Si on considère l application linéaire : f : R 3 R 3 (x, y, z) (x + 3y z, x + y, 7y z).

9 3 1 La matrice associée est : 1 On calcule son rang avec la méthode de Gauss : l + l l 3 l 9 Le rang est donc, donc le noyau a pour dimension 1. L application n est ni injective ni surjective. L avantage de ne faire que des opérations sur les lignes est qu on obtient plus d information : Déterminer une base de l espace image On sait déjà que dim(im(f)), or les deux vecteurs (f(e 1 ), f(e )) dont on lit les coordonnées dans les deux premières colonnes de la matrice forment une famille libre de l espace image. Puisque si on avait pris que les deux premières colonnes, on aurait obtenu une famille de rang. Ainsi, une base de Im(f) est : ( ) (, 1, ), (3,, 7). On peut aussi choisir (f(e 1 ), f(e 3 )), mais on ne sait rien sur (f(e ), f(e 3 )). Déterminer les équations cartésiennes de Im(f) Ici encore, il suffit de refaire les mêmes opérations sur le système : 3 1 λ 1 x S 1 λ y 7 1 z x x Le second membre devient y + x puis y + x. z z y x On en déduit l équation cartésienne de Im(f) : Im(f) (x, y, z) R 3 z y x }. Déterminer une base du noyau On sait déjà que dim(ker(f)) 1. Il s agit de résoudre l équation 3 1 x 1 f(x) qui se ramène au système : S : 1 x, que l on résout en faisant 7 1 x 3 des opérations sur les lignes, i.e. encore une fois en multipliant à gauche par des matrices de manière à obtenir : 3 1 x x. système qui se résout facilement par remontée. x 3

10 1 Fiche méthodologique Révisions Algèbre linéaire BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Sous-espaces vectoriels Caractérisation Une partie E de K n est un sous-espace vectoriel de K n si et seulement si : E, (x, y) E, λ K, x + λy E. Si f L(K n,k p ), ker(f) et Im(f) sont des sous-espaces vectoriels de K n et de K p respectivement. Une intersection de sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel. Représentation Il y a essentiellement deux manières de décrire les sous-espaces vectoriels : par équations cartésiennes : E X K n } AX, où AX est un système linéaire homogène à n inconnues et p équations. Le sous-espace vectoriel E est donc l ensemble des solutions d un système homogène. Cela revient à identifier E comme le noyau de l application linéaire f : K n K p dont la matrice dans les bases canoniques (de K n et K p ) est A. du système, La dimension de E est n r où r est le rang de la matrice A, de l application linéaire f. Ce mode de représentation est utile pour les intersections et pour, étant donné un vecteur v K n, savoir si v E. Exemple: E (x, y, z) R 3 x + y } R 3 R, dans ce cas l application f est x + y + z (x, y, z) (x + y, x + y + z). par des paramètres : E Y K n } X K p tel que AX Y AX X K p}. C est donc l ensemble des seconds membres tel que le système linéaire dont les coefficients sont A admet une solution. Cela revient à considérer E comme l image de l application linéaire f : K p K n dont la matrice dans la base canonique est A. On a alors facilement une partie génératrice du sous-espace vectoriel E, en considérant l image par f de la base canonique.

11 11 du système, La dimension de E est le rang de de la matrice A, de l application linéaire f. Exemple: E (a, a + b, a b) (a, b) R } R R 3, dans ce cas l application f est (x, y (x, x + y, x y). On passe d un mode à un autre en résolvant ou en échelonnant le système. Inclusion Si A et B sont deux sous-espaces vectoriels de E, pour montrer que A B, on peut montrer que A B, dim(a) dim(b). Famille de vecteurs Sous-espace engendré par une famille Pour une famille de vecteurs F (u 1, u,..., u p ) de E, le sous-espace vectoriel engendré par la famille F est l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs (u i ) i [1,p]. C est donc : p } Vect(F) λ i u i (λ 1,... λ p ) K p. i1 Pour savoir si un vecteur v E est élément de Vect(F) on résout le système les poids (λ i ) i1...p. p λ i u i v d inconnue i1 Famille génératrice Une famille F (u 1, u,..., u p ) d éléments de E est génératrice de E si tout vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs (u k ), i.e. E V ect(u 1, u,..., u p ). Pour montrer qu une famille est génératrice de E, on peut : p résoudre le système λ i u i x d inconnue les poids (λ i ) i1...p avec un second membre x E i1 quelconque. Plus exactement on montre que le système admet une solution en l échelonnant, il est inutile de le résoudre sauf si cela est demandé (calcul des coordonnées dans une nouvelle base). Si on dispose des coordonnées, on montre : rg(f) dim(e), en calculant le rang de la matrice de la famille. Famille libre Une famille F (u 1, u,..., u p ) d éléments de E est libre si la seule combinaison linéaire des vecteurs de F qui donne le vecteur nul est celle constituée de poids tous nuls.

12 1 On a donc : ( p ) F est libre (α 1,... α k ) K n, α k u k k [[1, p]], α k (α 1,... α k ) K n, k1 ( Pour montrer qu une famille est libre : p on résout le système (homogène) α k u k, k1 (α 1,... α k ) (,..., ) ) p α k u k si on dispose des coordonnées, on montre : rg(f) card(f). Dire qu une famille F est libre revient à dire que c est une base de Vect(F) (le sous-espace vectoriel qu elle engendre). Rang Pour une famille de vecteurs F (u 1, u,..., u p ) de E, on a : rg(f) dim(vect(f)). Les propriétés du rang d une famille sont : rg(f) card(f), avec égalité si et seulement si F est libre, rg(f) dim(e), avec égalité si et seulement si F est génératrice de E. k1 Si l on dispose des coordonnées des vecteurs, le plus simple est de calculer le rang de la la matrice de cette famille. Base et dimension Une famille F (u 1, u,..., u p ) d éléments de E est une base de E si F est libre et génératrice de E. La dimension de E est le cardinal d une base (le nombre de vecteurs qui forment la base). Pour une famille F de E contenant p vecteurs : si F est libre, p dim(e), si F est génératrice de E, p dim(e). si p dim(e) alors F est libre F est génératrice F est une base. Pour montrer qu une famille est une base : on montre qu elle est libre et génératrice, on en déduit la dimension de E, on connaît la dimension de E, il suffit alors de montrer qu elle est génératrice ou qu elle est libre. Il est généralement plus simple de montrer que la famille est libre. si on dispose des coordonnées on calcule le rang de la matrice de cette famille. Lorsqu une famille est une base de E, tout vecteur de E admet des coordonnées dans cette base : Exemple: } Si E (x, y, z) x + y + z, on voit que B ( (1,, 1), (, 1, 1) ) est une base de E. On a alors pour le vecteur (1,, 3) E : (1,, 3) } } 1(1,, ) + (, 1, 1) (1, ) B } }. coordonnées dans la base canonique coordonnées dans la base B

13 Applications linéaires 13 Une application f : E F est linéaire si : (x, y) E, λ K, f(x + λy) f(x) + λf(y). Pour montrer qu une application est linéaire on peut se contenter de l écrire sous forme matricielle. Exemple: Pour l application : R 3 R 3 f : (x, y, z) (x + y, x + y z, y z), il suffit d écrire : x + y 1 x x + y z y y z 1 1 z Noyau, image et rang Le noyau de l application f : E F est } Ker(f) u E f(u). L application f est injective si et seulement si Ker(f) }, i.e le noyau est réduit au vecteur nul. On appelle image de f et on note Im(f), l ensemble des vecteurs de F qui sont l image d un vecteur par f : } } Im(f) y x E, y f(x) f(x) x E. L application f est surjective si et seulement si Im(f) F. Le rang de l application f est rg(f) dim(im(f)). Le rang se calcule à partir de la matrice de f dans n importe quelle base en l échelonnant. On utilise le rang car : f est injective si et seulement si rg(f) dim(e), f est surjective si et seulement si rg(f) dim(f), la dimension du noyau et le rang de f sont liés par le théorème du rang : dim(ker(f)) + Rg(f) dim(e). En particulier si f : E E, i.e. f es un endomorphisme, on a : f injective f surjective f bijective On connaît une famille génératrice évidente de Im(f) : si (e 1,..., e n ) est une base de E, alors Im(f) V ect(f(e 1 ),..., f(e n )). Ces vecteurs sont ceux que l on lit dans les colonnes de la matrice de f

14 14 Matrice d une application linéaire Si f : E F, et si on considère une base B (e 1,..., e n ) de E et une base C (f 1,..., f p ) de F, la matrice mat B,C (f) est la matrice obtenue en mettant dans la colonne j les coordonnées (dans la base C) du vecteur f(e i ). On a donc : coordonnées dans la base C de F f(e 1 ) colonne j : f(e n ) f(e j ) image des vecteurs de la base B de E La taille de la matrice est : dim(f) lignes dim(e) colonnes. Matrice d une famille de vecteurs Étant donné une famille F u 1,..., u p } d un espace vectoriel E et une base B de E, la matrice mat B (F) est la matrice obtenue en mettant dans la colonne j les coordonnées (dans la base B) du vecteur u j. coordonnées dans la base B de E u 1 colonne j : u j u p les vecteurs de la famille F

15 La taille de la matrice est : dim(e) lignes card(f) colonnes. 15 Ces matrices dépendent des bases choisies. Par contre, le rang de ces matrices ne dépend pas du choix de la base.