Convergence des suites monotones

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1 Convergence des suites monotones Suites majorée, minorée, bornée Définition Une suite (u # ) est majorée par un nombre réel M si pour tout n N, u # M Une suite (u # ) est minorée par un nombre réel m si pour tout n N, u # m Une suite (u # ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Exemple La suite définie sur N de terme général u # = 0 # est bornée. En effet, quelque soit n 1, 0 u # 4 Exercice 1 a) On considère la suite (u # ) définie pour tout entier naturel n par u # = 5n + 3. Montrer que (u # ) est majorée. b) Montrer que la suite (u # ) définie pour tout entier naturel n par u #89 = 4u # + 5 et u : = 1 est majorée par 5. c) On considère la suite définie pour tout entier naturel n par u # = n ; + 1 n. Montrer que : n N, 0 u # 1. d) On considère la suite (u # ) définie pour tout entier naturel n par u # = ;#89: Montrer que pour tout entier naturel n, 2 u # 9: = #8= Théorème de convergence monotone 1) Toute suite croissante et majorée est convergente 2) Toute suite décroissante et minorée est convergente N. Duceux LFIB TS 1

2 Remarque Le théorème de convergence monotone affirme la convergence de la suite mais ne précise pas quelle est sa limite l. On peut seulement affirmer : Théorème 1) Si une suite (u # ) est croissante et admet pour limite l alors quelque soit n, u # l 2) Si une suite (u # ) est décroissante et admet pour limite l alors quelque soit n, u # l Preuve On montre la proposition 1 par l absurde. On considère une suite (u # ) croissante et qui converge vers une limite l. Supposons qu il existe un entier p tel que : u p > l. Comme (u # ) croissante, on a alors : pour tout entier naturel n tel que n p, u # u E. Considérons l intervalle I = Gl 1; u E I. On a alors l 1 < l < u E. I est un intervalle ouvert contenant l donc il existe un rang n : à partir duquel tous les termes u # appartiennent à l intervalle I = Gl 1; u E I car l est la limite de la suite. Mais comme (u # ) est croissante, à partir du rang p tous les u # sont supérieurs à u E et donc à l extérieur de l intervalle I = Gl 1; u E I. Si N désigne le plus grand des entiers entre p et n :, alors pour n N, on a la fois u # u E et u # < u E ce qui est impossible. Il est donc absurde de supposer qu il existe un entier p tel que : u E > l. Exercice 2 (Antilles Guyane Juin 2012) Soit u # la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u 9 = 9 ; et u #89 = #89 ;# u #. 1) Calculer u ;, u = et u 0. 2) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u # est strictement positif. b) Démontrer que la suite (u # ) est décroissante. c) Que peut- on en déduire pour la suite (u # )? Exercice 3 (Nouvelle Calédonie Mars 2008) On considère la fonction f définie sur ] ; 6[ par f x = On définit pour tout entier naturel n la suite (U # ) par R STU U : = 3 U #89 = f(u # ) N. Duceux LFIB TS 2

3 1) La courbe représentative de la fonction f est donnée ci- dessous accompagnée de celle de la droite d équation y = x. Construire sur ce graphique les points M : (U : ; 0), M 9 (U 9 ; 0), M ; (U ; ; 0), M = (U = ; 0) et M 0 (U 0 ; 0). Quelles conjectures peut- on formuler en ce qui concerne le sens de variation de la suite (U # )? 2) a) Démontrer que si x < 3 alors R STU < 3 b) En déduire que U # < 3 pour tout entier naturel n. c) Étudier le sens de variation de la suite (U # ). 3) On considère la suite (V # ) définie par V # = 9 Y Z T= pour tout entier naturel n. a) Démontrer que la suite (V # ) est une suite arithmétique de raison 9 = b) Déterminer V # puis U # en fonction de n. c) Calculer la limite de la suite (U # ). Théorème 1) Toute suite croissante et non majorée diverge vers + 2) Toute suite décroissante et non minorée diverge vers Preuve Une suite est majorée s il existe un réel M tel que, quelque soit n N, alors u # M. Donc la suite est non majorée si : quelque soit M R, il existe un entier naturel p tel que u E > M. (u # ) croissante n p u # u E. Or u E > M donc pour n p on a u # > M. Tous les u #, sauf peut être un nombre fini, sont dans l intervalle M; + ce qui signifie que la suite (u # ) tend vers +. N. Duceux LFIB TS 3

4 Exercice 4 Soit la suite u définie par u : = 0 et pour tout entier naturel n, u #89 = u ; # + 3u # ) a) Montrer que pour tout entier naturel n, u # 0. b) En déduire que la suite u est croissante. 2) On suppose que la suite u est majorée. Déterminer dans ce cas la valeur de sa limite. 3) Que peut- on en déduire? Exercice 5 On considère une suite (u # ) définie par u : = 1 et pour tout entier naturel n, u #89 = u # + 2n + 3 1) Etudier le sens de variation de (u # ). 2) Démontrer que pour tout entier n, u # > n ;. 3) En déduire le comportement de la suite (u # ) quand n tend vers +. Exercice 6 1) Soit (u # ) la suite définie par u : = 3 et pour tout entier naturel n, u #89 = 0_ ZT; a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u # > 1. b) Montrer que (u # ) est décroissante. c) En déduire que (u # ) est convergente. Déterminer la limite l éventuelle. 2) On définit la suite v # pour n N, par v # = _ ZT; a) Montrer que v # est géométrique et déterminer sa limite. b) En déduire que (u # ) est convergente et retrouver sa limite calculée à la question 1c). _ Z T9 _ Z 89 Exercice 7 On considère la suite (u # ) définie sur N par u : = 1 et pour tout n de N, u #89 = 9 u ; # 2. On pose v # = u # + 4 pour tout n de N. a) Montrer que (v # ) est une suite géométrique. b) En déduire v # puis u # en fonction de n c) Déterminer la limite de la suite (u # ) quand n tend vers + Exercice 8 La suite (u # ) définie sur N par la donnée de son premier terme u : = 800 et la relation u #89 = 0,6u # ) Calculer u 9 et u ;. 2) On définit une autre suite (v # ) sur N en posant pour tout entier naturel n, v # = 1000 u # a) Calculer les trois premiers termes de cette suite (v # ). N. Duceux LFIB TS 4

5 b) Montrer que cette suite (v # ) est géométrique de raison 0,6 et en déduire l'expression de v # en fonction n. 3) Déduire des résultats précédents que u # = , 6 # 4) En déduire la limite de (u # ) quand n tend vers + N. Duceux LFIB TS 5