Examen - septembre Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

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1 Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Exercice 1 1. Pour a R on note A(a) la matrice [ a 3 A(a) 3 a Déterminer selon la valeur de a si la matrice A(a) est positive, négative, définie positive, définie négative.. Soit f la fonction définie dans R à valeurs dans R par f(x) x 3 1 3x 1x + x 3 pour x (x 1, x ) R. Déterminer les éventuels extrema locaux de f dans R et donner leur nature. Sont-ils des extrema globaux de f sur R? ]. Exercice. Soit q la forme quadratique définie dans R par q(x) (1 + λ)(x 1 + x ) + (1 λ)x 1x. pour x (x 1, x ) R. Effectuer la décomposition de Gauss de la forme q. Déterminer la signature et le rang de q suivant la valeur du paramètre λ dans R.

2 Exercice Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice 4 1 A 1 0. En déduire une diagonalisation de la matrice A. 3. En déduire l expression de A n pour n entier Soit (u n ) n une suite définie par la formule de récurrence u n+1 4u n u n 1 pour n 1. 4.a. Pour n 1 on note U n (u n, u n 1 ) R. Montrer que U n+1 AU n pour tout n et en déduire la valeur de U n en fonction de U 1, pour tout n. 4.b. En déduire la valeur de u n pour tout n si on suppose que u 0 0 et u 1 1. Exercice 4 Soit E l espace vectoriel des polynômes à cœfficients réels de degré et f l application définie sur E par f(p) P + (X + 1) P + X P où P est le polynôme dérivé de P et P le polynôme dérivé de P. 1. Rappeler la dimension et la base canonique de E.. Montrer que f est une application linéaire de E dans E. 3. Déterminer la matrice représentative de f dans la base canonique de E. 4. Déterminer le noyau et l image de f. Exercice 5 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f une application linéaire de E dans F. 1. On suppose que f est une bijection de E sur F. Montrer que l image par f de toute base de E est une famille libre et une famille génératrice de F. Que peut-on en déduire sur les dimensions de E et F?. Inversement, on suppose que l image par f de toute base de E est une base de F. Montrer que f est injective et surjective de E sur F.

3 3 Corrigé Exercice 1 1. Le polynôme caractéristique de la matrice A(a) est (a λ) 9 (a λ 3)(a λ+3), de racines a 3 et a+ 3. Par conséquent la matrice A(a) est positive (resp. négative, définie positive, définie négative) si et seulement si ses deux valeurs propres sont positives (resp. négatives, strictement positives, strictement négatives), soit si et seulement si a 3, (resp. a 3, a > 3, a < 3).. La fonction f admet des dérivées partielles d ordre 1 données par f x 1 (x) 3x 1 3x f x (x) 3x 3x 1 et donc les points (0, 0) et (1, 1) sont les deux points critiques de f. Ainsi f admet au plus deux extrema locaux dans R et ces extrema éventuels sont en ces points critiques. De plus f admet des dérivées partielles d ordre continues données par f (x) 6x x 1 1 f x 1 x (x) f x x 1 (x) 3 La matrice hessienne de f au point critique (0, 0) est 0 3 H f,(0,0) A(0) 3 0 f (x) 6x x. qui n est ni positive ni négative d après 1. Par conséquent f n admet ni minimum local, ni maximum local au point (0, 0). La matrice hessienne de f au point critique (1, 1) est 6 3 H f,(1,1) A(6) 3 6 qui est définie positive d après 1. Donc la forme bilinéaire D f(1, 1) est définie positive. Par conséquent f admet un minimum local strict au point (1, 1). En conclusion la fonction f admet un et un seul extremum local dans R, il s agit d un minimum local atteint au point (1, 1). Ce n est pas un point de minimum global car par exemple f(x 1, 0) si x 1. Exercice Si λ 1, alors q(x) 4x 1 x (x 1 + x ) (x 1 x ) avec des formes linéaires x x 1 + x et x x 1 x linéairement indépendantes, donc Si λ 1, alors sign(q) (1, 1) et rg(q) q(x) (1 + λ)(x λ 1 + λ x ) + 4λ 1 + λ x

4 4 avec des formes linéaires x x λ 1+λ x et x x linéairement indépendantes, donc sign(q) (1, 1) et rg(q) si λ < 1 sign(q) (1, 1) et rg(q) si 1 < λ < 0 sign(q) (, 0) et rg(q) si 0 < λ sign(q) (1, 0) et rg(q) 1 si λ 0 Exercice Les valeurs propres de A sont les racines λ 1 et λ de l équation caractéristique λ(4 λ) soit λ λ 3. Un vecteur propre u i de A correspondant à la valeur propre λ i pour i 1,, est tel que Au i λ i u i soit pour ses composantes (x 1, x ) (4 λ i )x 1 x 0 x 1 λ i x 0. Ainsi tout vecteur propre de A correspondant à la valeur propre λ i est proportionnel au vecteur u i (λ i, 1).. Les vecteurs propres u 1 et u forment une base de R. La matrice P de passage de la base canonique de R vers cette nouvelle base est λ1 λ P 1 1 et on a λ1 0 P 0 λ 1 AP, soit λ1 0 A P P 0 λ Elevant à la puissance n on a λ A n n P λ n P 1 avec P λ λ 1 λ 1 λ 1 d où A n 1 λ1 λ λ n λ λ 1 λ λ n 1 λ 1 soit

5 A n 1 λ 1 λ 4.1. On remarque que [ 4 1 AU n 1 0 [ λ n+1 1 λ n+1 λ n+1 1 λ + λ 1 λ n+1 λ n 1 λn λ n 1 λ + λ 1 λ n ][ un ] u n 1 ]. 4un u n 1 U u n+1. n On en déduit par récurrence que pour tout n 1, U n A n 1 U Par le calcul de A n pour n 1 on en déduit que la première composante du vecteur U n est u n λn 1 λ n ( + 3) n ( 3) n λ 1 λ 3 Exercice L espace E est de dimension 3 et sa base canonique est la famille {1, X, X }.. Tout d abord, si P est un polynôme, alors f(p) est un polynôme. Si de plus il est de degré au plus, alors, P est de degré au plus 1, et P de degré au plus 0; ainsi f(p) est de degré au plus, et donc f(p) E. Enfin, Si P et Q sont deux polynômes de E et si a est un réel, alors f(ap + Q) (ap + Q) + (X + 1)(aP + Q) + X (ap + Q) ap + Q + (X + 1)(aP + Q ) + X (ap + Q ) af(p) + f(q) par linéarité de la dérivation. Ainsi f est une application linéaire de E dans E. 3. La matrice représentative de f dans la base canonique est la matrice de la famille {f(1), f(x), f(x )} dans la base {1, X, X }, donc est la matrice M Le déterminant de la matrice M est 10 0, donc la matrice M est inversible; autrement dit l application f est une bijection de E sur E, son noyau est {0} et son image E. Exercice On suppose d abord que f est une bijection. Etant donnée une base B {e 1,...,e n } de E, on montre alors que la famille B {f(e 1 ),...,f(e n )} est une base de F. D une part la famille B est libre. En effet soit λ 1,...,λ n R tels que λ 1 f(e 1 ) + + λ n f(e n ) 0. Comme f est linéaire on en déduit que f(λ 1 e 1 + +λ n e n ) 0, puis comme f est injective, que λ 1 e 1 + +λ n e n 0 et enfin comme B est libre, que λ 1 λ n 0. D autre part la famille B est génératrice. En effet soit y F. Comme f est surjective, il existe x E tel que y f(x) et comme B est génératrice, on peut choisir λ 1,, λ n R tels que x λ 1 e λ n e n. Alors y λ 1 f(e 1 ) + + λ n f(e n ).. 5

6 6. Inversement on suppose maintenant que l image par f de toute base de E est une base F. On montre alors que f est une bijection. Soit B {e 1,...,e n } une base de E et soit B la base {f(e 1 ),..., f(e n )} de F. D une part Im f est un sous-espace vectoriel de F qui contient B qui est une partie génératrice de F. Donc Im f F, c est-à-dire f est surjective. D autre part soit x E tel que f(x) 0. Comme B est une base de E, il existe λ 1,...,λ n R tels que x λ 1 e λ n e n. Comme f est linéaire on en déduit que 0 f(x) λ 1 f(e 1 ) + + λ n f(e n ), puis comme B est libre, que λ 1 λ n 0. Donc x 0, c est-à-dire f est injective.