Énergie d interaction coulombienne mutuelle d un système de deux ellipsoïdes uniformément chargés admettant un axe de symétrie global

Transcription

1 Énergie d interaction coulombienne mutuelle d un système de deux ellipsoïdes uniformément chargés admettant un axe de symétrie global Ph. Quentin To cite this version: Ph. Quentin. Énergie d interaction coulombienne mutuelle d un système de deux ellipsoïdes uniformément chargés admettant un axe de symétrie global. Journal de Physique, 1969, 30 (7), pp < /jphys: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1969 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Le T. The 2013 R12, Tome 30 No 7 JUILLET 1969 LE JOURNAL DE PHYSIQUE ÉNERGIE D INTERACTION COULOMBIENNE MUTUELLE D UN SYSTÈME DE DEUX ELLIPSOÏDES UNIFORMÉMENT CHARGÉS ADMETTANT UN AXE DE SYMÉTRIE GLOBAL Par PH. QUENTIN, Service de la Métrologie et de la Physique Neutroniques Fondamentales, Centre d Études Nucléaires de Saclay. (Reçu le 6 mays 1969.) Résumé L énergie d interaction coulombienne mutuelle d un système de deux ellipsoïdes admettant un axe de symétrie global, évaluée sous forme de série double par Darwin puis Cohen et Swiatecki, est donnée par une formule en termes finis. On étudie le domaine de validité de la formule ainsi que les cas limites où l un des ellipsoïdes tend vers la sphéricité. Un exemple d application de cette formule est donné. mutual coulombian interaction energy of a system of two ellipsoids 2014 Abstract. with a total symmetryaxis, evaluated as a double series by Darwin after by Cohen and Swiatecki, is given here in a finiteterms formula. We study the field of relevance of the formula, as also the limit cases in which one of the ellipsoids becomes a sphere. application is given. An example of an 1. Introduction. probleme de 1 evaluation d une telle energie se pose, en particulier, dans certains problemes lies a la fission nucl6aire. Au moment de la scission en deux fragments, certains auteurs [1] supposent, pour des raisons de commodite math6matique, que les dits fragments ont la forme de deux ellipsoides de revolution ayant des axes de sym6trie alignes (1). La consideration de 1 energie coulombienne mutuelle est importante pour la dynamique du centre de masse d un fragment, le champ coulombien 6tant le seul champ ext6rieur. D autre part, dans un modele statistique de la fission [2], cette energie mutuelle apporte une contribution a 1 energie potentielle d une configuration de scission. Darwin [3] a considere l interaction gravitationnelle de deux ellipsoides quelconques a d6duite de la forme du potentiel cree en un point (X, Y, Z) par un ellipsoide de masse Q1 d axes A, B, C, place a l origine : Cohen et Swiatecki [4] ont transpose au cas coulombien et au cas de deux ellipsoides de revolution allong6s et tels que le syst6me total admette un axe de sym6trie de revolution. Ils ont deduit la formule suivante : avec les notations suivantes (cf. fig. 1) : distance des deux centres des ellipsoides, Xl (ou x2), nouvelle variable d6finie par son carr6 : (a et b 6tant les valeurs des demiaxes de l ellipsoide sur la direction de I axe de sym6trie et la direction perpendiculaire). L 6nergie d interaction avec un autre ellipsoide de masse Q2 sera : (1) Pour notre probleme, il n est pas n6cessaire de supposer que les ellipsoides sont au contact. LE JOURNAL DE PHYSIQUE. 30. N 7. JUILLET Article published online by EDP Sciences and available at

3 Nous Toujours 498 L 6nergie d interaction coulombienne mutuelle s 6crira donc : donc f( x) est la partie paire de : ce qu on 6crit : Px[A] voulant dire partie paire L expression (8) devient : en x de A. 2. Sommation de la serie. la s6rie double S(x, y). allons sommer On peut donc écrire : Supposons oc > 0, nous discuterons plus loin (section III) cette condition; en effectuant le changement de variable Z = ocz, nous obtiendrons : Nous transformons la factorielle du numérateur en une int6grale sur le contour C (cf. fig. 2) suivant la formule : La formule (7) se d6montre en calculant l int6grale sur la partie rectiligne et la partie circulaire de C. L int6grale sur la partie circulaire est nulle; sur la partie rectiligne, on a : La s6rie s ecrit maintenant : Sachant que : (y est la constante d Euler), on obtient pour ttudions la fonction f (x) en remarquant que : Calcul de 12 (n). en supposant on applique le th6or6me des residus en fermant le contour autour de l origine; on obtient : cx > 0,

4 Si Dans La 499 Donc la formule (12) devient : également avec l hypothèse (vérifiée dans ce cas) de 1 + x + y > o. Cette quantit6 pr6sente une singularit6 en : On obtiendra donc pour les deux premiers termes du crochet une partie polynomiale en x et y, et pour le dernier le produit d un polynome par un logarithm e. Nous effectuons le calcul en prenant la partie impaire en x et en y de : En dehors de ces points et des coupures que l on introduit a cause des logarithmes, on a donc fourni un prolongement analytique de la s6rie en dehors du domaine de convergence, en particulier pour les points d int6r6t physique de notre problème. 4. Cas limite d interaction d une sphere et d un ellipsoide. le cas ou l un des ellipsoides est une sphere, la = quantite y 0 et la s6rie (6) devient : soit : qu il est ais6 de sommer : finalement : de la for On peut retrouver ce r6sultat a partir mule (20), en effet : 3. Domaine de validite physique et domaine de convergence. 1 ellipsoide est allong6, la variable x est r6elle, et en explicitant la dependance en e on voit que 0 x 1 (s 6tant 1 excentricite). Si 1 ellipsoide est aplati, la variable x est imaginaire pure (cf. formule (4)). Dans ce cas, [ x n est plus borne. La demonstration donnee pour le calcul de 1 energie mutuelle depend de la realite de x ou de y, mais pas le r6sultat. Consid6rons la s6rie S(x, y). Le terme general de la suite est major6 en module par : avec ly[a] voulant dire partie impaire de A, en y. En effectuant les operations du second terme et a l ordre 1 en y, on trouve : En prenant un d6veloppement limit6 du logarithme jusqu a l ordre 3 en _1 Y, 1 +x à l ordre 1 en y : le troisi6me terme devient En effectuant la somme (26), on trouve pour cette limite la quantite calcul6e en (25). converge pour x I + I y I 1. Donc les rayons de convergence pour x et pour y de E sont tels que I x ) I y 1 au plus. La formule condens6e donnee en (20) a ete d6montr6e dans le cas ou les deux ellipsoides 6taient allong6s et 5. Exemple d appheation. formule (20) d un emploi num6rique ais6 meme au voisinage de zero pour l un des param6tres nous a permis de faire quelques calculs d 6nergie de configuration de scission (2). (2) A publier.

5 500 En effet, l énergie potentielle d une telle configuration est la somme de deux energies propres (on suppose qu elles sont donn6es par une formule semiempirique de masse tenant compte des deformations par exemple [5]) et de 1 energie mutuelle que nous avons evaluee. Dans une hypothese statistique, la recherche de la configuration la plus probable se ram6ne, en derniere analyse, a la minimisation de 1 energie potentielle, suivant les parametres de la configuration, en particulier suivant les excentricit6s des deux fragments. Je tiens a remercier tres vivement M. Michel Gaudin qui a eu l id6e de ce calcul et qui m a apporte, a cette occasion, son soutien de façon constante et devouee. BIBLIOGRAPHIE [1] NIX (J. R.), U.C.R.L., 1964, ; Nucl. Phys., 1965, 71, 1. [2] FONG (P.), Phys. Rev., 1953, 89, 332 ; Phys. Rev., 1956, 102, 434. [3] DARWIN (G. H.), Scientific Papers, III, p. 462, Cambridge Univ. Press (1910). [4] COHEN (S.) et SWIATECKI (W. J.), Annals of Physics, 1962, 19, 67. [5] MYERS (W. D.) et SWIATECKI (W. J.), U.C.R.L., 1965, ; Arkiv för Fysik, 1966, 36, 43, 343.