Transcription

1 Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Å ÑÓ Ö Å Ø Ö¾ ÙÜ ÓÖÐÓ ËÓÙ Ð Ö Ø ÓÒ È ØÖ ÓÙÝ Ö ØÆ ÓÐ Å Ö Ý ÙÝ Ð ÒÆ Ú ÔØ Ñ Ö ¾¼¼

2 Ò Ö ÔÔÓÖØ ÒÓÙ ØÙ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ³ÙÒ Ø Ø Ò Ð Ê ÙÑ Ú ÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ ºÆÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ³ Ð ØÆȹÓÑÔÐ ØÔÓÙÖÙÒ Ð Ö ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ºÁÐ ØÓÒÒÙÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ¹ ÓÙ ¹Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ºÆÓÙ ÓÒÒÓÒ Ù ÙÒ Ð Ø ØÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø Ú ØÖÓ ÓÖÐÓ ØÕÙ³ Ð ØÆÄÇ ËÈ ÐÓ ØØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ÒØÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÐ Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø ÐÓÖ ÕÙ Ð ÐÓ Þ ÖÓØÓÙØ ÒÓÒ ÖÚ ÒØÐ ÔÖÓÔÖ Ø ³ Ð Ø ØÐ ÒÓÑ Ö ³ ÓÖ¹ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒÔ ÖÑ ØØ ÒØ ³ Ð Ñ Ò ÖÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ñ ØØ ÒØÔ ³ ÓÖ¹ ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ Ø ÓÖÒ ºÍÒ Ô Ø ÔÓ Ð ÔÓÙÖÑÓÒØÖ ÖÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ÙØ Ð Ö Ø Ò ÕÙ ³ Ð Ö Ø ÓÒ ÝÐ º Ô Ò ÒØ Ø Ò ÕÙ Ò Ø ÓÒ Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ô ÔÓÐÝÒÓÑ ÐºÈÓÙÖ Ð ÓÙÔÓÙÖÖ Ø Ý Ö ÕÙ ÒÓÙ ÓÒ ÖÓÒ ØÆȹÓÑÔÐ ØÓÒ Ø Ý Ö ÓÑÔÖ ÖÐ Ü Ù¹ Ô ÙÚ ÒØÔ ØÖ ÙØ Ð Ò Ò Ö Ðº Ò Ø ÒÓÙ Ü ÓÒ ÙÒ Ð ³ ÙØÓ¹ Ô Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø º Ò ÒÒÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ð ÔÖÓ¹ Ñ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ÙÖÐ Õ٠Рг Ð Ö Ø ÓÒ ÝÐ Ò Ô ÖÑ Ø Ø ÈÌÁÅ ¹ÓÑÔРغ Ð Ñ ÝÒØ ÓÒØÖÐ ÙÖ ÙÖÐ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ

3 Ì Ð Ñ Ø Ö ½¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ¾º½ Ò Ø ÓÒººººººººººººººººººººººººººººººº ¾º ¾º¾ Ð Ø Ò ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ºººººººººººººººººººººººº Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ º¾ º½ º¾º½ Ø ºººººººººººººººººººººººººººººººº Æȹ ÙÐØ Ø ÓÒÒ ÙÖººººººººººººººººººººººººº ½ º¾º º¾º¾ ÅÙÐØ ÔÐ ÙÖ ËÓÙ ØÖ Ø ÙÖ ºººººººººººººººººººººººººº ½ ½ ½ º º ÙØÖ ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø ºººººººººººººººººººº º¾º ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÓÖÐÓ Ú Ø Øºººººººººººººººº Ì Ø ³ÙÒ Ø º º½ Ö ÑÓ ÙÐÓ ººººººººººººººººººººººº ½ ½ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Þ ÖÓ º º¾ ¾¼ º½ ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ººººººººººººººººººº ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒÔ Ö2 º º¾ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ñ Þ ÖÓ Ý Ø Ñ Ø ÕÙ ººº ³ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒг ÙØÖ ºººººººººººººººººººººº ¾ ¾¾ ØÙ ³ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ¾ º½ º º¾ Ð Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ ÓÖÐÓ ºººººººººººººº Ì ÐÐ ³ÙÒ Ü ÙØ ÓÒÓÑÔÖ ºººººººººººººººººº ÓÑÔÖ ÓÒ ³ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ºººººººººººººººººººº ¼ È Ø º ÔÔÐ Ø ÓÒ ºººººººººººººººººººººººººººººº º¾ º½ Ü ÙØ ÓÒ Ö ÙÐ Ö ººººººººººººººººººººººººº Ä Ñ Ø ÙØ ÓÖ Ñ º º ºººººººººººººººººººººº ½

4 ËÝÒØ ÓÒØÖÐ ÙÖ Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ º¾ ÓÖÐÓ º½ ÈÌÁÅ ¹ ÙÐØ Ò Ø ÓÒ ººººººººººººººººººººººººººººººº ÓÒÐÙ ÓÒ ¾ ¾

5 Ô ØÖ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ô ÖÐ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÙ Ý Ø Ñ ÓÙ ÓÖÑ ³Ó Ø Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÑÔÐ Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÜØ Ò ÓÒ ³ ÙØÓÑ Ø ÙÖ Ä ÑÓ Ð¹ Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ø Ò ½¾ ÔÓÙÖÔ ÖÑ ØØÖ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ð Ð ØÔÓ Ð Ú Ö Ö ÔÖÓÔÖ Ø ÜÔÖ Ñ Ô Ö ÓÖÑÙÐ ÐÓ¹ Ñ ÒØ Ò ÒØÒÓÑ Ö Ù ºÄ Ó Ü ÙÑÓ Ð Ö ÔÓ ÙÖ ÙÜ Ô Ø ÒÓÒØÖ ¹ Ø ÓÒ Ð ÑÓ Ð Ó Ø ØÖ Ù Ñ ÒØ ÜÔÖ ÔÓÙÖ ÔØÙÖ ÖØÓÙØ Ð Óѹ ÕÙ º ØØ ÔÔÖÓ ÓÒÒ ÙÓÙÔ Ö ÙÐØ Ø Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÔÐ Ü Ø ÙÔÖÓ Ö ÑÑ Ú Ö Ö Ø Ó Ø ØÖ Ù ÑÑ ÒØ ÑÔÐ ÔÓÙÖÔ ÖÑ ØØÖ Ú Ö Ö Ñ ÒØÐ ÔÖÓÔÖ Ø ØØ Ò Ù ºÄ Ó Ü ÙÑÓ Ð Ø ÓÒ ÙÒÓÑÔÖÓÑ ÒØÖ ÜÔÖ Ú Ø ØÓÑÔÐ Ü Ø ºÁÐ Ø ÐÓÖ Ò Ö ³ ÚÓ Ö ÙÒ Ö Ò Ó Ü ÑÓ Ð Ø ÒÐ ÓÒÒ ØÖ Ò ÔÓÙÚÓ Ö Ó Ö Ð ÑÓÑ ÒØÚ ÒÙ Ð ÑÓ Ð Ð ÔÐÙ ÔØ ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒÖ ØºÇÒÔÓÙÖÖ ÒÓ¹ Ø ÑÑ ÒØÓÒ ÙÐØ Ö Ø ÙÖ Ù Øº Ò ÙÒÔÖ Ñ ÖØ ÑÔ Ð ÑÓ Ð ØÐ ÐÓ ÕÙ ØÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÙÖ Ø ÙÒ Ø Ø Ò Ö ÙÜ Ø¹ Ð Ò Ð Ø ÐÙ Ø ÒØ Ô ÖÐ Ý Ø Ñ Ø ÙÖгÓÖ Ö Ù ÓÒ Ú Ò Ñ ÒØ º ÒÔ ÖØ ÙÐ Ö Ý Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ú Ö Ö ÔÖÓÔÖ Ø ÙÖÐ Ø Ø Ø¹ Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÓÑÔØ ÙÖ Ð Ö ÙÜ È ØÖ º Ô Ò ÒØ Ö ÒØ ÔÔÖÓÔÖ ºÈ ÖÑ ÑÓ Ð ÓÒÔ ÙØ ÒÔ ÖØ ÙÐ Ö Ø ÖÐ ÙØÓÑ Ø ¹ Ú Ö ÖÕÙ³ÙÒ Ú Ò Ñ ÒØ ÓÒÒ Ð Ò Ý Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØÙÒ Ö Ø ÓÒ ÑÓ Ð Ò Ô ÖÑ ØØ ÒØÔ ÔÖ Ò Ö ÒÓÑÔØ Ð Ø ÑÔ Ñ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ø ¹ ÔÓ Ö ÑÓ Ð ÔÖ Ò ÒØ ÒÓÑÔØ ÙÒ Ø Ø ÓÒÔÖ Ú Ò Ñ ÒØ º Ð Ò ¹Ø¹ Ðг Ú Ò Ñ ÒØb ÒÑÓ Ò ÙÜ ÓÒ ººººÁÐÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø Ú ÓÑ Ò Ø ÑÔ Ô Ö ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ ÓÒÒ Ð³ Ú Ò Ñ ÒØa Ò Ø ÐÓÖ ÒÓÒÔÐÙ ÙÒ ÕÙ Ò ³ Ú Ò Ñ ÒØ ÙÒÑÓØ Ñ ÙÒ ÕÙ Ò ÒØ ÑÔ Ö Ø Ð Ú Ò Ñ ÒØ ÓÒØÐ Ù Ø ÒØ Ö ºÄ ÑÓ Ð Ö ÓÒ¹ ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ú ÐÓÔÔ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò Ø ÐÓÖ ³ÙØ Ð ÖÙÒÑÓ Ð Ú Ò Ñ ÒØ ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØг Ò Ñ Ð Ö Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÑÓ Ð Ö Ð ØØÖ ºÍÒ ÙØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø ³ÙØ Ð ÖÙÒÑÓ Ð ÒØ ÑÔ Ö Ð Ð Ø Ô Ö ³ÙÒ Ð ØØÖ Ø ³ÙÒ ÒØ ÖÒ ØÙÖ Ð Ð Ø Ð³ Ú Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö ØØ Ý Ø Ñ Ô Ý ÕÙ Ú ÙÒ Ñ ÐÐ ÙÖ ÔÖ ÓÒº

6 Ô ÖØ Ô ÖÐ ØÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÚ ÙÐ Ò Ö ÓÒÒÙÔ ÖÙÒ ÙØÓÑ Ø ÔÖÓÔÓ Ò ¾ Ò½ Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ º Ù ³ ÜÔÐ ÕÙ Ò Ä³ÙÒ ÑÓ Ð ÒØ ÑÔ Ö ÐÕÙ ÓÒØÖ ÒÓÒØÖ Ð ÔÐÙ Ù Ø ÐÙ ÔÓ ÒØ ÚÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÈËÈ ¹ ÙÖ ÓÒØÒ ÒÑÓ Ò ØÖ Ð Ö ÓÙ Ö Ø Ð Ö Ø ÓÙ Ø Ð ³ Ü Ö ÑÓ Ð ÔÐÙ º Ø ÑÔÓÖ ØÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø Ñ Ñ Õ٠г Ð Ø ³ÙÒ Ø Øº ³ÙÒ ÈÓÙÖ Ð ÐÔ ÙØ ØÖ ÔÖÓ Ø Ð Ö Ö ÑÔÐ ÖÐ ÑÓ Ð Ô Ö Ü ÑÔÐ ÒÖ Ù ÒØÐ ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ º Ò Ð Ø ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÙÔÖÓ Ð Ñ ÓÙÚ ÖØ Ø ÖÑ Ò ÖÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð³ Ð Ø Ò Ð ÐÐ ÙÖ ÕÙ³ Ð ØÆÄÇ ËÈ ÔÓÙÖÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ ½¼ ºÆÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ¹ г Ð Ø Ö Ø ÈËÈ ¹ ÙÖ Ú ÙÐ Ñ ÒØØÖÓ ÓÖÐÓ ØÓÒ ØÔ Ö ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ º Ò ½¼ Ð ØÑÓÒØÖ ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø Ù ÈËÈ º ØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ØÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ØÆȹ ÙÖ Ñ Ñ ÐÓÖ Õ٠г ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ø ÝÐ ÕÙ º ÓÑÑ ÙÒ Ù¹ Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ºÇÒÔÖ ÒØ Ö ÙÒ Ø Ò ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ñ¹ Ð ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø٠г Ð Ø ÙÖÔÐÙ ÙÖ ÜØ Ò ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÔÖ ÚÓ Ö Ò Ñ Ò Ö ÔÖ Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÒÓÙ ÑÓÒØÖ ÖÓÒ ÕÙ Ò Ö Ñ ØØ ÒØÔ ³ ÓÖÐÓ Þ ÖÓ ÕÙ ÒÓÙ Ô ÖÑ ØØÖ ÑÓÒØÖ ÖÐ ÆȹÓÑÔÐ ØÙ ÙÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ÙÖÙÒ Ð Ö ÓÙ ¹Ð Ù¹ ÔÐ ÖÐ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ò ÙÔÔÖ Ñ ÒØÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ º Ò Ò ÒÓÙ ØÙ ÖÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØÖÐ ÙÖÐ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ º

7 Ô ØÖ ¾ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ¾º½ Ò Ó ÖÐ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ý Ø Ñ Ø ÑÔ Ö Ð ÓÒ ÒØÖÓ Ù ØÐ Ò Ø ÓÒ Ù Ý Ø Ñ Ø ÙØ ÑÔ ÙÕÙ Ð Ð Ù ØØ Ø ÓÒº Ò Σ Øг ÐÔ Ø ÓÒ ÔØ ÑÓØØ ÑÔÓÖ ÑÓØ ÙÖг ÐÔ Ø ÓÙÔÐ ÓÖÑ ³ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ¾º½º½ Ê+ Øг ÐÔ ØØ ÑÔÓÖ ÕÙ ÒÓÙ ÓÒ ÖÓÒ º Ø ÓÒ Ù Ý Ø Ñ Σ. ÍÒÑÓØØ ÑÔÓÖ ÙÖг ÐÔ ØΣ ØÙÒ Ù Ø Ò ÓÙÒÓÒµ(a Ú Ö º 1, τ 1 ), (a 2, τ 2 ),.. Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙØi Ò Ö ÙÖÓÙ ÐÐ ÐÓÒ Ù ÙÖ ØØ Ù Ø a i Ø i>1 ÐÓÖ τ Ü ÑÔÐ i τ i 1º ÔÐÙ ØØ Ù Ø Ø Ò Ò ÐÓÖ Ð Ù Ø (τ.ò г ØÔ º Ø ÙÒ ÑÓØ Ø ÑÔÓÖ Ñ ).. ØÓÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÕÙ Ò Ð ØØÖ ÐÙ ÙÖÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ä ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÓÒØÙÒÑÓ Ð ÐÙÐÔ ÖÑ ØØ ÒØ Ö ÓÒÒ ØÖ ÖØ Ò Ð Ò Ø ÑÔÓÖ ºÄ ÑÓØÓÖÖ ÔÓÒ ÒØÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Ð³ Ù¹ 2 n ÙØ ÑÔ ÓÙÐ ÐÓÖ ÙÔ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÙ Ð ÙØ Ð³ Ü Ù¹ Ø ÓÒºËÓ ØXÙÒ Ò Ñ Ð Ú Ö Ð ÓÒÒÓØ LC(X)г Ò Ñ Ð ÓÑ ¹ ƺÍÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÖÐÓ X ØÙÒ Ð Ñ ÒØ X Ò ÓÒ ÓÓÐ ÒÒ ³ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÙÖX Ð ÓÖÑ x c Ú x ÊX +ºËÓ ØvÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ X v Ø ØÙÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒx RÔÖ Ò Ð Ñ Ñ Ú Ð ÙÖÕÙ X ÓÒÒÓØ tºçòòóø Ø ØP LC(X) ÓÒÒÓØ v P ÒÓÒÓÒÒÓØ v PºËÓ ØR v[r 0]Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒÕÙ ÙÖRÚ Ùؼ Ø ÙÖX v ØÔ Öv + tôóùöt Ê+Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒÕÙ x X Ó v(x) v 0Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒÕÙ Ó ¼ ÕÙ ÓÖÐÓ ºËÓ Øx b[c]ôóùöa ØÓÒ ÖÙbÑÓ ÙÐÓcº 1[ Ô ÖØ Æ Ê+ ÓÒÒÓØ x Ô ÖØ ÒØ Ö Ò Ö ÙÖ x Ô ÖØ ÒØ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ø{x} [0, Ö Ø ÓÒÒ Ö º Ò Ò ÓÒÒÓØ a = (a, 1)(b,2)(a,3)(b,4)...(a,2n)(b,2n + 1)... (a, 1 )(a, 1 )(a, 1 )(a, 1 )...(a, Σ τ i Ê+ i ) i Æ {=,, >,, <} Øc c v(x) cºë v +

8 Ò Ø ÓÒ¾º½º¾ ¹QÙÒ Ò Ñ Ð Ò Ð³ Ò Ñ Ð Ø Ø A F) Ú ÍÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A ØÙÒ7¹ÙÔÐ Ø(Q, q 0, X, Σ, δ, I, ¹ΣÙÒ ÐÔ Ø Ò Ð Ø ÓÒ A ¹XÙÒ Ò Ñ Ð Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÓÖÐÓ Qг Ø Ø Ò Ø Ð ¹q 0 Q Σ LC(X) P(X) Q Ò Ñ Ð Ò ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø LC(X) ÓÒØ ÓÒÕÙ ÕÙ Ø Ø Ó ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ }ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÔØ Ø ÓÒº ¹δ ¹I : Q P ØR Øг Ò Ñ Ð ÓÖÐÓ Ö Ñ ¼º Ô Öг Ø ÓÒa ÓÙ Ð ÓÒØÖ ÒØ ÓÙ Ö µ δºáð ³ Ø ³ÙÒ ¹E : Q Q ω {, ÇÒÙØ Ð Ö Ð ÒÓØ Ø ÓÒq a,p,r q ÔÓÙÖ(q, P, R, q ) Ü ÑÔÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð³ Ø ØqÚ Ö Ð³ Ø Øq a, x = 1, x 0 a, Ä ÒÔÖ ÒØÖ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ Ø Ø Ø ÙÜ ÓÖÐÓ b, x = 0 y = 2 n г ÓÖÐÓ x ØÖ Ñ ¼Ô ÖÐ ØÖ Ò Ø ÓÒº 0ÔÓÙÖ Ö ÕÙ x ØyºÄ³ Ø Ø Ò Ø Ð ØÑ ÖÕÙ Ô ÖÙÒ ÒØÖ ÒØ ºÇÒÒÓØ x ÓÖÐÓ Ò Ê+ Ø ÐÐ ÕÙ v Ø ØI(q)ºÇÒ Ò ØÐ Ý Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ v)ó q ØÙÒ Ø Ø A Øv ØÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð E) ØÙÒ ÍÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A = (Q, q 0, X, Σ, δ, I, ÓÙÔÐ (q, Ô ÖÐ Ö Ð Ù Ú ÒØ )Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ø ØÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Aг Ò Ñ Ð ÓÒ Ù¹ Ø ÑÔÓÖ Ó AÔ ÖT A = (C A, Σ, s 0, ) Ú C Ö Ø ÓÒ A s 0 = (q 0, v 0 0] Ø ¹(q, v) a (q, v ) q a,p,r q Ú v I(q) v P v = v[r Ø ÓÒ Ð º Ä ÔÖ Ñ ÖØÝÔ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÔÔ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒ ØÐ ÓÒ ØÖ Ò¹ v I(q ) ¹(q, v) ǫ(d) (q, v ) q=q v = v + d Ø 0 d d, v + d I(q) Ò Ø ÓÒ¾º½º E) ØÙÒ ÍÒ Ü ÙØ ÓÒρ г ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A = (Q, q 0, X, Σ, δ, I, ÕÙ Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ac 1, c 2 i Æ Ú Ö º. Ò ÓÙÒÓÒµØ ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙØ i ØØ ÐÐ ÕÙ ρ Ø Ò Ò ÔÓÙÖ,.. i > 1 Ò Ö ÙÖÐ ÐÓÒ Ù ÙÖ ρ c i 1 c t i = ǫ(d j ) d j Ð Ù Ø (t i ) {j i:c j 1 c j } ËÓ Øj 1 < j 2 <...г Ò Ñ Ð Ò Ø Ð ÕÙ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒc a i ji cji+1 Ó ØÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒºρ Ò Ø ÐÓÖ ÙÒÙÒ ÕÙ ÑÓØØ ÑÔÓÖ w(ρ) = (a 1, t j1 ), (a 2, t j2 ),...

9 Ò Ø ÓÒ¾º½º ÔÖÓ Ø ÓÒØÖ Ú Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÖÐ Ø Ø ºÄ³ Ò Ñ Ð ÑÓØ ÔØ ÍÒÑÓØØ ÑÔÓÖ w ÙÖΣ Ø ÔØ Ô Öг ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A Ô ÖA Ø ÔÔ Ð Ð Ò Ö ÓÒÒÙÔ ÖA Ø ØÒÓØ l(a)º Ó π ØÐ = ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ü ÙØ ÓÒρ AØ ÐÕÙ w=w(ρ) ØE(π(ρ)) = Ò ØÖ ÙÒÐ Ò ÑÓØ Ø ÑÔÓÖ Ò ÓÒ Ò ØFÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Q Ò Ò Ö Ð ÓÒÙØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÖÖ Ø ÑÔÐ ºÄÓÖ ÕÙ³ÓÒÚ ÙØÖ ÓÒ¹ ÍÒ ÙØÖ ÓÒ Ø ÓÒÐ ÕÙ ØÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÔÓÙÖÐ ÑÓØ Ø ÑÔÓ¹ Fº г Ò Ñ Ð Ø Ø Ò ÙܺÇÒ Ò Ø ÐÓÖ E(π(ρ)) = ρ Ø Ò Ò Ø ρ Ø Ò Ú (q, v)ð ÖÒ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ρ E(π(ρ)) = q v) Ú q Fº n ØÙÒ Ö Ò Ò ºËÓ ØFÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Q ÓÒ Ò ØEÔ ÖE(π(ρ)) = ρ Ø Ò Ø ÒÓÒE(π(ρ)) = ÔÓÙÖØÓÙØn Æ Ð Ü Ø j ÖÓ Ø Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒÒ ØÐ Ð Ò ÓÖÑ ³ÙÒÙÒ ÕÙ ÑÓØØ ÑÔÓÖ ÕÙ Ø Ü ÑÔÐ Ò Ð³ Ü ÑÔÐ ÔÖ ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÔØ Ò Ø ³ ØØ Ò Ö Ð³ Ø Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒvØ ÐÐ ÕÙ Ð i ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ρ Ø Ð ÓÖÑ (q, ¾º¾ÇÒÔÖ ÒØ ÙÒ Ø Ò ÕÙ Ù Ù ÐÐ ÙÖÐ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ º ØØ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ Ò Ð ³ ÕÙ Ú Ð Ò º ÙÜÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô ÖØ ÖÓÒØ Ø Ò ÕÙ ÓÒ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Öг Ò Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒÙÒÒÓÑ Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ñ Ð Ð ºÇÒÔ Ò ³ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ò ÒÓÑ Ö Ð ÓÒ ¹ ÔÐÙ ÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖÐ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ º ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒÒÓÑ Ö Ò Ð ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ø ÓÒ ÔÔРРгÙÒ Ð³ Ø Ù Ð³ ÙØÖ Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ Ö Ñ Ô ÇÒ ÓÙ Ø ÕÙ ÙÜÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓÙØ Ù Ø ØÖ Ò¹ ÙÜÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ò Ð Ñ Ñ Ø Ø Ð³ ÙØÓÑ Ø ºÈÓÙÖØÓÙØ ÓÖÐÓ ÓÖ Ñ ÒØ ÙÑ Ñ ÑÓÑ ÒصºÍÒ ÓÒ Ø ÓÒÒ Ö ÔÓÙÖ Ð ØÕÙ Ð Ö ÓÙÙÒ ÒÚ Ö ÒØ Ð³ ÙØÓÑ Ø º xð ÔÐÙ Ö Ò ÒØ Ö ÙÕÙ ÐÐ Ú Ð ÙÖ x ØÓÑÔ Ö Ò ÙÒ x ÓÒÒÓØ M Ò Ø ÓÒ¾º¾º½ v) Ð ØÖÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØÚÖ p ËÓ ÒØ(q, u) Ø(p, v) ÙÜÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A (q, u) (p, µq = x Ó ØÐ ÙÜÓÒ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØÚ Ö X Ó Øu(x) Øv(x) ÓÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙÔ Ö ÙÖ µôóùöøóùø ÓÖÐÓ x M )º (a, 1)(a,2)... (a,2 n 1)(a,2 n )(b,2 n (Q, q 0, X, Σ, δ, I, E) = (Q, q 0, X, Σ, δ, I, E)º ¹ u(x) = v(x) Æ y ¹u(x) Æ v(x) µôóùöøóùø Ô Ö ³ ÓÖÐÓ x ØyØ ÐÐ ÕÙ u(x) M x Øu(y) M {u(x)} < {u(y)} {v(x)} < {v(y)}º

10 v)º ÇÒÒÓØ [(q, Ü ÑÔÐ v)]ð Ð ÕÙ Ú Ð Ò (q, v) ØÓÒг ÔÔ ÐÐ Ö ÓÒ (q, ÇÒÒÓØ R Aг Ò Ñ Ð Ö ÓÒ A a, x 4, x 0 c, y > 3 ÍÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ØÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ø Ù¹ b, x 2, y 0 ØÓÑ Ø º ÕÙ ÔÓ ÒØ Ñ ÒØ Ñ ¹ ÖÓ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ó ÙÒ Ø Ø ÙÒ Ö ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø ºËÓÒ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ÓÒ¾¼ Ø Ø Ð Ñ Ñ ÓÒØÖ ÒØ LC(X) ÓÒÐ Ñ Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÓÙÖÖÓÒØ ØÖ ÔÖ Ò Ð³ ÙØÓÑ Ø ºÄ ÓÒ Ø ÓÒ(iii)Ô ÖÑ Ø Ø Ð ÖÐ Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ v) ÐÓÖ u Øv Ø ÓÒØ ÒÔ ÖØ ÙÐ Ö Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ(ii) (q, u) (q, ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¾º¾º¾ ËÓ Ø(q, v 1 )º ÐÓÖ ÔÓÙÖØÓÙØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ )ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒØ ÐÐ ÕÙ³ Ð Ü Ø t Ê+ÔÓÙÖÐ ÕÙ Ð(q, v 1 ) (q, v 1 + t)ºëó Øt 1 Ê+Ø ÐÕÙ (q, v) (q, v + t 1 ) ØÔÓÙÖØÓÙØt [0, t] (q, v 1 ) (q, v 1 + t )ÓÙ(q, v 1 + t 1 ) (q, v 1 )º ÔÐÙ Ò ) ØÔÓÙÖØÓÙØ + t (q, v 2 ) ÕÙ Ú Ð ÒØ (q, v 1 ) Ð Ü Ø t 2Ø ÐÕÙ (q, v 2 ) (q, v 2 + t 2 t ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¾º¾º [0, t] (q, v 2 ) (q, v 2 + t )ÓÙ(q, v 2 + t 2 ) (q, v 2 + t (q, v 1 + t 1 ) (q, v 2 + t 2 )ºÇÒ Ò Ø ÐÓÖ Ù([(q, v 1 )]) = [(q, XÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð v 1 + t 1 )] ËÓ ÒØ(q, u), (q, v) ÙÜÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ºËÓ ØR Ö ÙÜÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ ØÑ ÒØ Ò ÒØÕÙ ÔÙ ÙÜÓÒ Ù¹ ³ ÓÖÐÓ º ÐÓÖ (q, u[r 0]) (q, v[r 0])ºÇÒ Ò Ø ÐÓÖ [(q, v)][r 0] = [(q, v[r 0])]º ÓÒºÇÒ Ò Ø ÓÒг ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ Ô Öг ÙØÓÑ Ø ÓÒØÐ ÓÑÑ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÖÖ Ú Ò ÙÜÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔÔ ÖØ Ò ÒØÙÒ Ñ Ñ Ö ¹ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ØÙ ÒØÐ Ñ Ñ Ù Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ó ÒØ Ð Ô ÖÙÒ Ø ÓÒÓ ÙÒ Ð º ÓÒØÐ Ö ÓÒ A ØÐ Ö Ö Ð ÒØÙÒ Ö ÓÒÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÓÒ¾º¾º E)ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ºÇÒ Ò Øг ÙØÓÑ Ø ËÓ ØA=(Q, q 0, X, Σ, δ, I, Ö ÓÒ AÔ Öг ÙØÓÑ Ø (R A E) Ù Ú ÒØ, r 0, Σ,,

11 A Ò Ñ Ð Ø Ø ¹R ¹[(q, u)] ǫ [(q, v)] [(q, v)] = Ù([(q, u)]) ] Ø Ø Ò Ø Ð Ø ÐÐ ÕÙ u P [(q, v)] ³ Ð Ü Ø ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒq q ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¾º¾º E ØÐ ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÖÖ ØÕ٠гÓÒ Ø Ò Ñ Ò Ö ØÖ Ú Ð º r 0 = [q o, v 0 1º E) Ø Ä ÒÓÑ Ö Ö ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A=(Q, q 0, X, Σ, δ, I, ÓÖÒ Ô Ö Q Ø ÓÒ ³ ÖÖ ØÔ Ö Ø Ø Ò ÙܺÈÓÙÖ Ö Ð Ù Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ð³ ÙØÓÑ Ø ÙÚ ÙÐ Ò Ö ÓÒÒÙÔ ÖÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÓÒÒ Ú ÙÒ ÓÒ ¹ ØØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒØÖÓÙÚ ÓÒ ÒØ Ö ØÐÓÖ Õ٠гÓÒÚ ÙØÖ ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ X! M X Ó M = 4 max x X M x + Ö ÓÒ ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒÑÓØØ ÑÔÓÖ Ö ÓÒÒÙÔ ÖAØ ÐÕÙ ÔÖÓ ¹ Ö ÓÒ ÕÙ ÐÙ ØÙÒ ÙØÓÑ Ø ÒÓÒ¹Ø ÑÔÓÖ Ø ³ ÔÔÐ ÕÙ ÖÐ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÒ ÙÖΣ ØwºÇÒÔ ÙØ Ù Ú Ö ÖÕÙ³ÙÒ Ø Ø Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ø Ð ÕÙ Ø ÓÖ ÙØÓÑ Ø ºË ÙÒÑÓØw ØÖ ÓÒÒÙ Ò Ð³ ÙØÓÑ Ø Ñ Ø Ö ÓÒ º Ñ Ò Ö ÔÐÙ Ò Ö Ð Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ÔÓ ÒÓÑ Ö Ù ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØÐ ÑÓ Ð Ò ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÔÓÙÖ Ð ÒØÖÓÙÚ ÒØÙÒ Ö ÓÒ ÙÖ Ø Ø ØÕÙ Ø Ð Ò Ð³ ÙØÓ¹ Ù ÙÒÓÑ Ö Ö ÓÒ º Ú Ö ÐÓ ÕÙ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ºÇÒÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ò Ò Ö ÐÔ ÖÖ ÔÔÓÖØÐ Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ¾º Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ØÙÒÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ ÒØ ÐÐÓÖ Õ٠гÓÒ Ø Ð Ø Ò ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ú Ö ÖÔ ÙØ ØØ Ò Ö ÙÒ Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÑÑ ÙÒ ÐÓ Ô Ö Ü ÑÔÐ º Ö ÙÑÓ Ð Ò Ö³ Ø ÐÐ ÕÙ Ú Ô ÖÑ ØØÖ ÚÓ Ö Ð Ý Ø Ñ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð µº Ñ Ò Ö ÔÐÙ ÔÖ ÓÒ Ð Ö ÙÐØ Ø Ø ÑÔÓÖ Ø Ð ÓÙÒÓÒ ÔÙ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ÓÒÔ ÙØ Ö ÒÈËÈ ÙÒ Ø Ø Ð³ ÙØÓÑ Ø q Ø Ð ÔÙ c Ò A ØÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø Ñ Ñ ÐÓÖ ÕÙ AÒ³ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¾º º½ ÕÙ ØÖÓ ÓÖÐÓ º ËÓ ØAÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ qùò Ø Ø ØcÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Aº Ö ÑÔÐÓÝ Ò ½ º Ñ Ô ÙØ Ù Ú Ò Ö ÙÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ º ØØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒÓÖ Ò Ð ÙØ Ð ÇÒÑÓÒØÖ Ñ ÒØ Ò ÒØÕÙ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ú ÒØÔ ÕÙ ÙÒÓÑ Ö Ø Ø q Ø Ð ÔÙ c Ò A ØÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø Ñ Ñ ÐÓÖ ÕÙ AÒ³ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¾º º¾ ËÓ ØAÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ qùò Ø Ø ØcÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Aº Ö ÕÙ ÙÜ Ø Ø º a ¹[(q, u)] u I(q) Øv= u[r 0] a,p,r

12 ÈÖ ÙÚ ØÐ Ö Ô Ö ÓÒ Ø Ø ÐÐ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ØÔÙ ÕÙ ÆÈËÈ ÓÒ Ð³ Ð Ø Ò ÙÒ Ö Ô ØÙÒÔÖÓ Ð Ñ ÆÄÇ ËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÔÖÓ Ð Ñ ³ Ð Ø Ò Ð Ö Ô Ö ¹ ÈËÈ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÓÒ ÒÈËÈ ÒÓÒ ØÖÙ ÒØÐ Ö Ô ÓÙÒ ÌÙÖ Ò Å Ò µ ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð³ Ð Ø Ò ÙÒ Ñ Ò ÇÒÔÖÓÙÚ Ð ÈËÈ ¹ ÙÐØ ÒÖ Ù ÒØÔ ÖØ Ö Ä ÌÅ Ä Ò Ö¹ Ô Ö ÓÒ Ð ÚÓÐ º Ø Ö Øг ÒØÖ Ð Ñ Ò µºëó ÒØ ÓÒMÙÒ Ø ÐÐ Ñ Ò ØÙÒÑÓØ ÌÙÖ Ò Ò Ô Ð Ò Ö Ñ ÒØ ÓÖÒ ÓÒ Ô ØÖ Ú Ð Ø ÐÙ ÙÖÐ ÕÙ Ð Ø ÓÒ Ù ÙÖÙ Ò MºÇÒ Ò Ð Ø Ø M 1m Ø ÐÐ ÓÖØ ÕÙ Ð m Ø Ø Ó Øг Ø Ø Ò Ð ØÐ ÔÖ Ñ Ö Ó Øг Ø Ø Ò Ø Ðº w Σ Ú Σ {a, b}ºçòòóø mð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ø M ØnÐ Ø ÐÐ w ÇÒÓÒ ØÖÙ ØÑ ÒØ Ò ÒØÙÒ ÙØÓÑ Ø A ÙÜ Ø Ø u ió ÒØÐ Ú Ð ÙÖ Ð iµ ½ ÓÖÐÓ Ô Ö 1г Ø Ø Ò Ø Ð Øu 2 г Ø Ø Ò ÐºAÔÓ ÓÖÐÓ Ô Ö ÙÖÙ Ò x i, y i, z i, p Ñ Ò Øг Ø ØiºÈÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ø Ø Å s iµ Ø ÙÜ ÙØÖ ÓÖÐÓ t Øt i ØÙÒ Ö Ô ÙÔ ÖÑ ØØ ÒØ ÚÓ Ö Ð³ Ø Ø ØÙ Ð Ð i ØÙÒ Ö Ô ÙÔ ÖÑ ØØ ÒØ ÚÓ Ö Ð Ø Ø Ð ØÙÖ ºx i, y i Øz i ÙÖÙ Ò Øp Ø ÙÖÐ iºs 1ÓÙÔ Ö ¹a Ø ØÓ ÙÖÐ i ÙÖÙ Ò Ó Ô Öx i = y i Øz ¹b Ø ØÓ ÙÖÐ i ÙÖÙ Ò Ó Ô Öx i y i Øz ¹Ð Ñ Ò Øг Ø Øi Ó Ô Ös i ¹Ð Ø Ø Ð ØÙÖ ØÐ ÔÓ Ø ÓÒi Ó Ô Öp 1ºÇÒ Ò ØÐ ÓÒØÖ ÒØ Ð Ò Ö Ù Ú ÒØ i ËÓ Øq i, l q j, l, δùò ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ú i, 1 Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ú Ö ÖÕÙ l, l {a, b} Øδ { 1, 1}ºËÓ Øk 1, n Ø ÐÐ ÕÙ k 1 δ= δ = ¹ÈÇËÁÌÁÇÆ(k)ˆ=(p ØÙ Ð Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ø Òг Ø Øi Ð Ø Ø Ð ØÙÖ ØÐ ÔÐ k k = 1) 1 Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ú Ö ÖÕ٠г Ø Ø l 1,n {k} p l > ¹ Ì Ì(i)ˆ=(s Ú Ð ÙÖ ÕÙ ÙÖÙ Ò Ø Ò Ò i = 1) 1) Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ú Ö ÖÕÙ Ð l 1,m {i} s l > ¹ Ç ˆ= l 1,n (x l 2 y l 2 z l 2) Ô ÖÑ ØØ ÒØ = ¹Ä ÌÍÊ (a, Ú Ö ÖÕÙ Ð k ÙÖÙ ÒÓ Ð Ú Ð ÙÖbº Ú Ö ÖÕÙ Ð k ÙÖÙ ÒÓ Ð Ú Ð ÙÖa k)ˆ=(x k = 1 y k = 1) (x k = 2 y k = ¹Ä ÌÍÊ (b, k)ˆ=(x k ÓÒ Ò ØÐ Ò Ñ Ð ³ ÓÖÐÓ Ù Ú ÒØ 1) Ô ÖÑ ØØ ÒØ = 1 y k = 2) (x k = n }Ô ÖÑ Ø ³ Ö Ö a ÙÖÐ 2 y k = Ò Ò Ù Ú ÒØÐ Ú Ð ÙÖ l Øl ¹ ÊÁÌÍÊ (k,, bð ÔÐ ³ÙÒa ÙÖÐ k ÙÖÙ Ò k a)ˆ={x k, y k } {z l {k}}ô ÖÑ Ø ³ Ö Ö ÙÒ : l 1, ¹ ÊÁÌÍÊ (k, ÙÖÙ Òº a, b)ˆ={x k, y k } {z l : l 1, n ¹ ÊÁÌÍÊ (k, b, b)ˆ={z l : l 1, n }Ô ÖÑ Ø Ð ÖÙÒb ÙÖÐ k ½¼ = z i > 1 i i 1 1 Ø j i, s j > 1 1 Ø j i, p j > 1 j 1, 1 Øk n m

13 ÇÒÔ ÙØÑ ÒØ Ò ÒØ Ò ÖÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÒÓØÖ ÙØÓÑ Ø Ô Ö ǫ,φ, ÊÁÌÍÊ (k,l,l u ÓÒ Ó Ò ÕÙ ÐÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒÔÐÙ ØÓÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò 1 φˆ=èçëáìáçæ(k) i ÓÒØ ÐÙÐ ÙÒÑÓ ÙÐÓ¾ÔÖ ÓÒ ÒØÖÓ Ù ØÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ì Ì(i) Ç Ä ÌÍÊ (l, k) t = 1 t > 1 ¹ÈÙ ÕÙ Ð x Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖØÓÙØi ) {s j,t} u 1 1, n ǫ,t=0 x i =2,x i 0 u 1 u 2 ¹ Ñ Ñ ÔÓÙÖy iôóùöøóùøi ¹ ÔÖ Ð³ Ö ØÙÖ ³ÙÒbÐ ÔÐ ³ÙÒa ÒÔÐ i Ð ÙÜ ÓÖÐÓ ÓÒØ Ö Ñ Þ ÖÓ ºÈÓÙÖÖ Ø Ð ÖÐ ÓÒÒ Ú Ð ÙÖ Ò Ð ÙÖÙ Ò Ð ÙØ ÓÒ ÒÖ Ñ ØØÖ ÙÒ ¼ ÔÖ ÙÒ ÙÒ Ø Ø ÑÔ º ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÐÙÐ Ð Ñ Ò ÌÙÖ Ò ºÇÒ ÓÒ Ó Ò ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ 1 ØÖ ÕÙ ÔÓÙÖÔ ÖÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÖÖ ÔÓÒ ÒØÙÒ Ø Ô 1 Ø ØÒ Ö ÔÓÙÖ Ö ÔÖÓ Ö ÖÐ ÐÙÐ ÔÙ ÕÙ Ð ÙÐÓÖ ÕÙ z i > z i ÔÓÙÖØÓÙØi Ò Ò ÐÒÓÙ ÙØÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÔ ÖÑ ØØ ÒØ ³ Ò Ø Ð ÖÐ ÐÙÐ ØÙÒ ÙØÖ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ú Ö ÖÕ٠г Ø Ø Ò Ð Ø ØØ Òغij Ò Ø Ð Ø ÓÒ ØÐÓÖ ÕÙ Ò³ Ø Ñ Ö Ñ ¼µºü ÑÓÑ ÒØ ØÓÙØ Ð = 1 Ö Ñ ÖÕÙ ÞÕÙ t ÓÖÐÓ Ú Ð ÒؽºÇÒÖ Ñ Ø ÓÒ¼ØÓÙØ Ð ÓÖÐÓ y iø ÐÐ ÕÙ i 1, n 1, n 1, n u 1 ǫ,t=0 y i =2,y i 0 u 2 u 1 ǫ,t=1 z i >1,{y i,z i } u 2 1ºÄ t Ò ÙÐØ ØÐ Ö ÙØ ÓÒ Ø Ò ÒØ ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº Øw i = b Ò ÕÙ t s 1 p 1 ØØÓÙ Ð z j ÓÙ Ð ÙÐ ÓÒ Ø ÓÒt 2ºÄ ÔÖ ÙÚ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ø = ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ú ÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ ÓÒÔ ÙØÖ ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ ¹ u ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¾º º Ð Ø Ñ Ò Ö ØÆÄÇ ËÈ ¹ÓÑÔРغ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ ÒÒÓÑ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº Ò Ò ÓÒÑ ÒØ ÓÒÒ ØØ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ºÈÙ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö ÓÒ Ô Ò ÙÐ Ñ ÒØ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÒÓÒ Ö ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÒ Ð Ö ÕÙ ÓÒØ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÙÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ ØÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ ÔÔ Ö ÒØ Ò Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÓÒ ½½ ǫ,t ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ð ³ Ö Øu >1 s q =0, o 1

14 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ¾º º ÈÓÙÖØÓÙØk Æ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Öг Ð Ø ³ÙÒ Ø Ø Ò ÙÒ ÙØÓ¹ Ñ Ø k ÓÖÐÓ ØÔ Ù ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ½¾

15 Ô ØÖ Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ñ ÒØÓÒÒÙ ºÌÓÙ ÓÙÖ Ö Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ÓÒ Ø ÓÖÐÓ Ò³ ØÔ ØÙ º Ø Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò³ ØÔ ÔÖ ¹ Ò Ð Ô ØÖ ÔÖ ÒØ Ð Ð³ Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÙÐØ ÕÙ ÐÕÙ Ó ØÐ ÒÓÑ Ö ³ Ø Ø ºÈ ÖÐ Ù Ø ÓÒ ØÙ Ö ÙÐ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ð Ø ÓÒÓÑ ØØÖ ÓÒ Ñ ÒØ ÓÒÒ ÖÐ Ð ØØÖ Ó ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ ÖØ ÒØÈËÈ ºÅ ÐÒ³Ý Ô ÔÖ ÙÚ ÈËÈ ¹ ÔÖÓ Ð Ñ º ÇÒÒÓØ ÕÙ ÔÓÙÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ð Ø ÓÒÔ ÙØ ÙÔÔÖ Ñ ÖÐ ÒÚ Ö ÒØ ÙÜØÖ Ò Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ö ÐÐ Ò³ÓÒØÔ ³ ÑÔÓÖØ Ò ÔÓÙÖ ÒÐ Ö ÓÙØ ÒØ ÙÜØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖØ ÒØ Ø Ø ºÇÒÓÒ Ö Ö ÓÒÑ Ò¹ Ø Ò ÒØÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ ÙØÓÑ Ø Ò ÒÚ Ö ÒØ º º½Ä Æȹ ÙÐØ ÙÔÖÓ Ð Ñ ³ ÓÖ Ø ÑÓÒØÖ Ô Ö ½¼ ÓÙ Ð ÓÖÑ Æȹ ÙÐØ Ù Ú ÒØ Ô ÖÙÒ Ö ÙØ ÓÒ ÙÔÖÓ Ð Ñ Ù ¹¹ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º½ ij Ð Ø ³ÙÒ Ø Ø Ò ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÓÖÐÓ ØÙÒÔÖÓ Ð Ñ Æȹ Ð Ñ Ñ ÐÓÖ Õ٠г ÙØÓÑ Ø Ø ÝÐ ÕÙ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º¾ ÇÒÔÖÓÔÓ ÙÒ Ú Ö ÒØ ÓÖ Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ä³ Ð Ø ³ÙÒ Ø Ø Ò ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÓÖÐÓ ØÙÒÔÖÓ Ð Ñ Æȹ Ð Ñ Ñ ÐÓÖ Õ٠г ÙØÓÑ Ø Ò³ ÕÙ ÙÜ Ø Ø º ½

16 ÈÖ ÙÚ ÇÒÖ Ù ØÔ ÖØ Ö ÁÆÌ ÊÃÆ ÈË Ã ÕÙ ØÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ñ Ø Ù Ú ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ n ÒØ Ö v ÇÒ ÖÑ Õ٠г Ð Ø Ð³ Ø Ø ÖÓ Ø Ò ØØ ÙØÓÑ Ø Ø ÕÙ Ú ¹ K ÔÖÓ Ð Ñ ØÆȹÓÑÔРغÇÒÔÖÓÔÓ Ð³ ÙØÓ¹ 1,...,v n ØÙÒÓ Ø ÒØ ÖK Ü Ø ¹Ø¹ Ða Ø Ð ÕÙ i 1,n a iv i = º º½ Ê ÙØ ÓÒ ³ÁÆÌ ÊÃÆ ÈË Ã 1,...,a n Æ x = 0 y = K x = v 1 x = v Ð ÒØ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒÔÓÙÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÁÆÌ ÊÃÆ ÈË Ãº Ò n... x 0 x 0 Õ٠г Ü ÙØ ÓÒÔ ÙÒÒÓÑ Ö ÒØ Ö Ó Ô Ö ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙÐ ÒØ Ø Ð ÙØÔÓÙÖ ØØ Ò Ö Ð³ Ø Ø ÖÓ Ø Õ٠г ÓÖÐÓ x Ó Ø Ð Þ ÖÓ ÓÒ Ð³ Ø Ø ÖÓ Ø Ø ØØ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÁÆÌ ÊÃÆ ÈË Ã ÒÙÒ ÙÖг Ø Ø Ò Ø ÐºÄ Ú Ð ÙÖ yð Ò ³ÙÒ Ø ÐÐ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒºÊ ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ ÓÒÓÒ ØÖÙ Ø Ð Ñ ÒØÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø nº ÓÒ ÙÔÓ ³ÙÒ ÖØ Ò ÓÑ Ò ÓÒ ÒØ Ö Ú Ð ÙÖ Ô ÖÑ v ØØ Ò ÒØг Ø Ø ÖÓ Ø ÓÒÔÓ ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ ÒØ Ö Ô ÖÑ ØØ ÒØ i Ó º 1,...,v iùò ³ ØØ Ò Ö Ð³Ó Ø Ã ÒÔ ÒØÔ Ö ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒØ Ø ÒØx=v º¾ Ø ÒÓÑ Ö a ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ð Ø ºÌÓÙØ Ð ÓÖÐÓ ÖÓÒØÓÒ Ö ÚÓ Ö Ú ¹ ÔÓÖ ÕÙ ÖÓÒØÙØ Ð Ò Ö ÙØ ÓÒ ÔÓÙÖÔÖÓÙÚ ÖÐ ÙÐØ Ò ØØ Ø ÓÒ ÓÒÔÖ ÒØ ÔÐÙ ÙÖ Ø Ô ÖØ ³ ÙØÓÑ Ø Ø Ñ¹ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒnºÁÒ Ø Ð Ñ ÒØ xôó ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÒØ Ö Ð ÙØÖ ÓÖÐÓ Ú Ð ÒØ0 Ø Ó Ú ÒØÚ ÐÓ Ö0Ð Ò Ù ÐÙк nôóùöùòn ÓÒÒ Ð Ø ÐÐ Ø Ø ÒØØÓÙ ÓÙÖ Ð ÙÖ ÓÖÒ Ô Ö2 º¾º½ ÇÒ ÔÐ Ò Ð ÓÒØ ÜØ Ù Ú ÒغÇÒ ÙÜ ÓÖÐÓ ÓÒ x Øyº Ø ÓÒÒ ÙÖ 1 ºÄ³ ÓÖÐÓ y Ø Ä³ ÓÖÐÓ xó ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÒØ Ö ÓÖÒ x 0, ½ 2 n

17 ÓÖÐÓ ÖÚ Ö ³ ÓÖÐÓ ÐÙкÇÒ ÓÙ Ø Ö Ð ÖÕÙ ÐÕÙ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÒ ÓÖÐÓ ÓÒØÐ Ú Ð ÙÖÒ³ ÔÖ ÓÖ Ô ³ ÑÔÓÖØ Ò ÓÒÔ ÙØ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÓÑÑ ÓÒÒÓÙ Ñ Ð ØÐ Ö Ò Ö Ð ¼º ÒÔÖ Ø ÕÙ ØØ Ä³ ÙØÓÑ Ø ÙÖÐ Ù Ö ÔÖ ÒØ Ð ØÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ Ø ÓÒÒ ÖÙÒ ÑÔÐ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÓÒØ Ò ÒØ ÙÜ Ø Ø p ØqØ ÐÕÙ ÔÓÙÖØÓÙØ Ú Ð ÙÖ x Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(q, x ØØ Ò Ð ÔÙ (p, x, 0) Ø ÔÐÙ ÐÐ Ú Ö y º º¾ Ø ÓÒÒ ÙÖ = 0 Øx 0 0 ]º 0, y 0 ) = x + k[2 n x < 2 n y = k y 0 p q p x + k[2 n ] q x = 2 n Ô ÖÐ Ó Ø Ò ÕÙ ÖÓ Ø º 0ºÇÒÐ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ú ÒØ x 0 ÓÒ Ø ÒØ kð³ ÓÖÐÓ x ÓÙ ÓÒ Ø ÓÒÕÙ y º¾º¾ ËÓÙ ØÖ Ø ÙÖ = ÙÒ ØÔ ÖÑ ØØ ÒØ ÓÙ ØÖ Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ºÆÓÙ ÐÐÓÒ Ô Ò ÒØ ÚÓ Ö Ó Ò ³ÙÒ ÙØÖ ØÔÓÙÖ Ö Ð ÓÙ ØÖ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÓÖØ ÕÙ Ð Ø k ÕÙ ÒÓÙ Ò Ø Ù ÇÒÒÓØ ÕÙ ÓÙ ØÖ Ö kö Ú ÒØ ÓÙØ Ö2n ÓÒØ ÓÒÒ ÔÖ Ñ ÒØ ÒØ ÑÔ 2 nôóùö ÓÙ ØÖ Ö kðóö ÕÙ x k, 2 n 1 º º º ËÓÙ ØÖ Ø ÙÖ x = 2 n x = k y = 2 n x 0 x 0 y 0 p q p Dec n k q Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ØÈËÈ ¹ ÙÖº Ô ÖÐ Ù Ø ÕÙ ÔÓÙÖÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ÙØ Ð ÒØÙÒ Ä Ø Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ø ÙØ Ð ÒØØÖÓ ÓÖÐÓ ºÇÒÑÓÒØÖ Ö ½

18 º¾º ÅÙÐØ ÔÐ ÙÖ 0 ÓÙ Ð ÓÒ Ø ÓÒ )Ð Ä Ø Ù Ú ÒØÔ ÖÑ Ø Ô Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(p, x 0, y 0, z 0 ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(q, x 1, y 1, z 1 ) Ú y = z 0 = y 1 = x 1 Øz = 2x º º ÅÙÐØ ÔÐ ÙÖ x 0 0, 2 n 1 º 0 1 x 2 n 1 x 1 p Dec n 2 n 1... Dec 1 1 q x < 2 n 1 x < 1 2xº Ø ÓÙ Ð Ð Ú Ð ÙÖ 1} ÐÓÖ Ð Ø ÑÔ Ô Ò Ë x= i 0,n 1 x i2 i Ú ÔÓÙÖØÓÙØix i {0, Ð Ú Ð ÙÖ z Ò x ØÖ Ñ ØÞ ÖÓy Øzº Ø ØÓ Ò Ð³ ÓÖÐÓ z ØÒÓÒ Ò xºçòôö ÒØ ÓÒÙÒ ØÕÙ ÓÔ i2 i+1 = xðóö ÕÙ x ØÙÒ ÒØ Ö Ò Ö ÙÖ2nº Ô Ò ÒØ Ð ÓÙ Ð Ð Ú Ð ÙÖ x º º Ò ÙÖ z = 2 n y = 2 n x, z = 0 y, z = 0 p q Ø Ø Ü Ø Ñ ÒØ i 0,n 1 x Ø Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ ÇÒÒÓØ Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÙÖ ÕÙ ØÐ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ ÙÜÔÖ ÒØ ¹ º º Ë Ñ ÙÑÙÐØ ÔÐ ÙÖ p 2 q ½

19 º¾º ÇÒÓÒ ØÖÙ ØÑ ÒØ Ò ÒØÙÒ ØÕÙ Ú Ô ÖÑ ØØÖ Ø Ò Ù Ö Ð i Ø Ì Ø ³ÙÒ Ø Ð³ Ö ØÙÖ Ò Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ ÓÖÐÓ x ØÞ ÖÓÓÙ1ºÄÓÖ ÕÙ Ø ÓÑÑ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ xò Ó Ø Ñ Ò Ô Ö ÕÙ Ö Ð ºÁÒ Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ y Øz ÓÒØÒÙÐÐ ºÇÒ Ñ Ò Ö Þ ÖÓг Ø Øq гÙØ Ð Ø ÓÒ Øº Ö ÙÐ Ð ØÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ö Ð1 ³ Øг Ø Øq º º Ì Ø ³ÙÒ Ø y = 2 i+1 y 0 x = 2 n x 0 z = 2 n y, z 0 q p 2 i x < 2 i+1 0 x < 2 i p Test n i q q x = 2 n x 0 q z = 2 n y, z 0 nº Ö ÙÜÖ Ø ÒÙ x = 2 n x 0 Ð Ú Ð ÙÖ Ùi غÇÒÖ ØÖÓÙÚ Ð Ú Ð ÙÖ Ò Ø Ð x ÒÙØ Ð ÒØг ÓÖÐÓ zº ÓÒ ÔÙ Ò Ö ØÓÙ Ð Ø Ú Ð ÙÖ1 ÒÔÓ Ø ÓÒ ÙÔ Ö ÙÖ i i+1ºçòô ÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØØ Ø Ö Ä ÔÖ Ò Ô Ø ³ ÓÙØ Ö2 i+1x Ù ÕÙ³ Ô Ö2 ³ ع¹ Ö ÐÙÐ ÖÐ Ú Ð ÙÖ xñó ÙÐÓ2 º ÇÒÑÓÒØÖ Ñ ÒØ Ò ÒØÕ٠г ÓÙØ ÖÒ Ö Ø Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ø Ø Ö ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÓÖÐÓ Ú Ø Ø Ð Ú Ð ÙÖ Ùi Ø ³ÙÒ ÓÖÐÓ ÙÑÓ Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º½ ÓÖÐÓ Ö Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ÈËÈ ¹ÓÑÔРغ ij Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ú Ø Ø Ø ½

20 г ÓÖÐÓ x ØÙÒÔÖÓ Ð Ñ ÈËÈ ¹ÓÑÔРغ ÈÖ ÙÚ üòóùú ÙÓÒÖ Ù ØÔ ÖØ Ö Ä ÌźËÓ ØMÙÒ Ñ Ò ÌÙÖ Ò ÒÔÐ n 1 ÙÜÕÙ Ð ÓÒÖ ÓÙØ Ð³ Ø ØinitºxÓ Ð Ú Ð ÙÖ b} Ø ÐÐ nºçòóò ØÖÙ ØÙÒ p Ø Ø Ø Ó ØwÙÒÑÓØ ÙÖг ÐÔ Ø{a, n y ÖØ ³ ÓÖÐÓ ÐÙкÈÓÙÖØÓÙØ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ x Øy ÓÒØÐ Ø Ø ÓÒØÐ ÓÙÔÐ (s, i) Ú s Ø Ø M Øi 0, ÙÖÙ ÒÓÑÑ ÙÒ ÒØ Ö ÓÖÒ Ô Ö2 ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙØ Ð Ù ¹ ÓÙ 1 ÓÒ ÓÙØ Ð Ø ØÖ Ò Ø ÓÒs 1, l s 2, l, δ Ú s, s 2 Ø Ø M l, ÔÓÙÖØÓÙØk 0, n 1 Ø ÐÕÙ k = k + δ 0, n Ö Ù º º ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ø l l 1 l {a, b} Øδ { 1, 1} a a b a (s 1, k) Test n k x + 2 k [2 n ] (s 2, k ) (s 1, k) (s 2, k ) Test n k b b b a (s 1, k) Test n k (s 2, k ) (s 1, k) Test n k x 2 k [2 n ] (s 2, k ) Øг ÒØ ÖÖ ÔÖ ÒØ Ò Ò Ö Ô Öwµ ËÓ Øs 0г Ø Ø Ò Ø Ð MºÇÒ ÓÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒÓÒ ÓÒ w º º ÁÒ Ø Ð Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ¹ Ù ÔÓ ÙÒ Ø Ø Ò Ð Ð º 1 º ÐÓÖ Ð Ñ Ò MØ ÖÑ Ò ÙÖг ÒØÖ w Ø ÙÐ Ñ ÒØ f Ò Ð Ø Ä Ø Ø Ò ÙÜ Ø ÙØÓÑ Ø ÓÒØÐ Ø Ø (s f, k)ôóùöøóùøs k 0, n ½ init y = w, y 0 (s 0, 1)

21 º ÇÒÚ ÒØ ÑÓÒØÖ ÖÕ٠г ÓÙØ Ø Ø ÙÜ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ö Ò Ð ÙØÖ ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ÈËÈ ¹ÓÑÔРغÇÒÑÓÒØÖ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙÜÖ Ùй Ø Ø Ñ Ð Ö Ó Ð³ ÓÙØ ³ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Þ ÑÔÐ Ô ÖÑ Ø ÑÓÒØÖ ÖÐ ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ ØÙ º º º½ ÇÒ ÓÙ Ø ÓÙØ ÖÙÒÒÓÙÚ ÙØÝÔ Ö Ð Ö ÑÓ ÙÐÓ ÔÓÙÖ Ö ÑÓ ÙÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ºÇÒÔ ÖÑ Ø ÓÒÑ ÒØ Ò ÒØÕÙ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ØØÓÙ ÓÙÖ Ú Ð ÓÙ ØØ ÝÔÓØ º cóù ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ð ØÓÒÒÙÕ٠гÓÒÔ ÙØ ÙÔÔÖ Ñ ÖÐ ÑÓ ÙÐÓ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÆºÄ Ö Ó ÒØ ÓÑ Ò ÓÒ ÓÓÐ ÒÒ ÓÒØÖ ÒØ Ð ÓÖÑ x x Ø ÑÔÓÖ Ô ÖÙÒ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒÕÙ Ù Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ º = c[2 k ] Ú xùò ÓÖÐÓ ÕÙ ÐÓÒÕÙ c Æ ÈËÈ ¹ÓÑÔРغ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º½ ij Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ú ÑÓ ÙÐÓ Ø ÈÖ ÙÚ ³ ØÈËÈ Ô ÖÐ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ºÇÒÑÓÒØÖ Ð ÙÐØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒØÐ Ø ÙØ Ø Ùi غ º º½¼ Ì Ø Ú ÑÓ ÙÐÓ 2 i x < 2 i+1 z = 0[2 i+1 ] x = 2 n x 0 z = 2 n z 0 {=, <, >,, } Øk q p 0 x < 2 i z = 0[2 i+1 ] x = 2 n x 0 x = 2 n x 0 ½ z = 2 n z 0 q

22 º º¾ Ô Ö2 ØÈËÈ ¹ÓÑÔРغ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º¾ ij Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒÔ Ö2 ÈÖ ÙÚ Ä ÒÓÖ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒÔ Ö2Ô ÖÑ Ø ÒÓÖ Ð Ú Ð Ø Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒ ÓÒÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒÈËÈ ºÇÒÑÓÒØÖ ÕÙ ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ Ø Ð³ Ö ØÙÖ Ò Ö xú Ö Ð Ù ³ ØÈËÈ ¹ ÙÖ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒØÐ Ø Ø Ùi غÇÒ ÙÖ Ó Ò Ù Ø n ØÕÙ ØÙ Ù Ú ÒØÔÓÙÖ Ò Ù Ø Ó ÖÐ Ø Ø Ùi Ø ÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ö Rot º º½½ ÊÓØ Ø ÓÒ Ø x 2 n 1 p Dec n 2 n q x < 2 n 1 Ä Ø ØÓÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ Ø Ù ÕÙ³ ÚÓ ÖÐ ØØ Ø Ö Ô ÖØ ÓÑÑ Ø ÔÓ ÓÖØ Ð Ø Ø ÖÔÙ Ò ÖÐ ÖÓØ Ø ÓÒÔÓÙÖÖ Ú Ò ÖÐ Ú Ð ÙÖ º º½¾ Ì Ø Ú ÑÙÐØ ÔÐ ÙÖ x 2 n 1 a i 1 Rot n... a 1 q a n 1 a n 2 a i p Rot n... x < 2 n 1 Rot n... q a i 1 a 1 ¾¼

23 ÔÖÓÙÚ Ù ÕÙ Ð ÙÐ Ø ÖÓØ Ø ÓÒ Ù ØÔÖÓÙÚ ÖÕ٠г Ð Ø ØÙÒÔÖÓ Ð Ñ ÈËÈ ¹ÓÑÔРغ Ò³ ØÔ ÙÖÔÖ Ò ÒØ ÖÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ 1 Ø ÓÒØÐ Ñ Ñ Øº Ô Ö2 ÙÖn Ø ØÐ ÖÓØ Ø ÓÒ ÙÖn Ð ÔÙ ÕÙ³ÓÒÔ ÙØÐ Ö Ú ØÖÓ ÓÖÐÓ µ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÑÓÒØÖ Ö ÈÓÙÖÓÒÐÙÖ Ô ØÖ Ñ Ñ ÓÒ ÒÓÖ ØÓÙ ÓÙÖ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÙÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ÔÓÙÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ÓÒÖ Ñ ÖÕÙ ÕÙ ÓÙØ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ + ³ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ Ø Ú ÙÜ ÓÖÐÓ ÕÙ ÔÖ ÙÚ Ò Ö Ø¹ Ð ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ ØÙ ºÈÓÙÖØ ÒØ ÒÓÙ Ò³ ÚÓÒ Ô ÔÐÙ ØÖÓÙÚ Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ÓÆȹÓÑÔÐ Ø٠г Ð Ø º ¾½

24 Ô ØÖ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Þ ÖÓ ³ ÓÖÐÓ Ô ÖÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒØÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÒÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ñ ØØ ÒØ ÙÙÒ ÓÖÐÓ Þ ÖÓ Ò Ù Ñ ÒØ ÖÐ ÒÓÑ Ö Ò Ô ØÖ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÑÓÒØÖ ÖÕÙ³ Ð ØÔÓ Ð ÙÔÔÖ Ñ ÖÐ ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô ÖÖ ÔÔÓÖØØÓÙ Ð ÙØÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ñ ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø Ù ÔÙ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ø ÜÔÐÓ Ä Ö ÓÒ Ð Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ð Ñ Ò ØÖ ÑÔÐ Ô Ö Ö ÒÓÒ¹ ÓÒÔ ÖÑ ØÐ Ö ÓÒ Ð ³ ع¹ Ö Ð Ö Ð ÓÖÑ x ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØºÄ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙ Ð Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ø Ô Ö Ö ¹ ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ ºÄ³ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Þ ÖÓ ÔÖ ÖÚ Ö ÓÒ Ð Ö Ø Ö Ö Ñ Ð Ü Ø ÙÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒÔÐÙ ØÙ Ù ÕÙ ÑÙÐØ ¹ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ³ Ð Ø Ñ Ô Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ò ÒÕÙ³ÓÒ ) Ú nð Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø Ø X Ð ÓÒØ ÒÙ Ö ³ÓÑ ØØÖ Ð Ö Ö Ò ÙÜÐ ØØÖ Ö ÓÒÒÙ Ô ÖÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÐ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ø Ô ÖO(n X 2 ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ º º½ ÓÒ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÕÙ ÕÙ Ö C(X) Ó ØØ ÐÐ Õ٠г Ò Ñ Ð ÑÓ Ð Ó ØÙÒÔÓ¹ LC(X)ÙÒ Ò Ñ Ð Ö Ð Ò Ö ºÇÒ Ñ Ò ÒÔÐÙ ËÓ ØC(X) +ºÇÒ ØÕÙ³ Ð ØØÓÙ ÓÙÖ ÔÓ Ð ÔÖ Ò Ö ØØ Ö ØÖ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐµºËÓ Øcyl(P)Ð ÝÐ Ò Ö Ò Ò Ö Ô ÖP ÐÓÒÐ Ö Ø ÓÒ½ Ó ½ ÔÓÙÖг Ò Ñ Ð Ö ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Ò Ù Ñ ÒØ Ö Ò ¹ Ø Ú Ñ ÒØÐ Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø ÓÒÔ ÙØØÖ Ò ÓÖÑ Öг ÙØÓÑ Ø ÒØ ÑÔ ÐÝ Ö P ÊX m nùò Ñ ØÖ Ø ÐÐ ÕÙ ÕÙ Ð Ò Ò ÓÑÔÓÖØ ÕÙ³ÙÒ ØÐ Ú Ø ÙÖ ÓÒØØÓÙØ Ð ÓÑÔÓ ÒØ ÓÒØ Ð 1º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø P Ø Ò Ô ÖÐ Ý Ø Ñ ³ Ò ÕÙ Ø ÓÒAx b Ú ÙÒÚ Ø ÙÖ Ò {<, ØA { 1, 0, 1} ¾¾ y cº }

25 Ó ÒØÒÓÒ¹ÒÙÐ Ó ÒØ Ø ÒØ1ÓÙ 1 cyl(p) = {x ÊX + t ÊغպA(x ÇÒ Ò ØÐ Ñ ØÖ A tº ÐÓÖ m (n+1) Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖØÓÙØ ØÐ { 1, 0, 1} i 1, m ÔÓÙÖØÓÙØj n A i,j = A i,j ØA i,n+1 = k 1,n A i,k A ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ A Ú A ½µºËÓ Øx Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙØi + x i (t) = x i Øx n+1(t) = Ø ÓÒ ÔÖ ÒغÈÓÙÖ Ð ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ù Ú ÒØ Ø ÒØÕÙ³ Ð Ü Ø ÇÒ Ö Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙÔÔÖ Ñ ÖÐ ÓÙÖ Ò t Ò Ð Ý Ø Ñ ³ Ò ÕÙ ¹ cyl(p) = {x ÊX + t ÊغպA 2µÓÙÐ Ö Ò ÒÓÒµ 2 ÙÜ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÒØ ÔÔ Ö ØÖ t ÓÒ a 1 x+a 1 t 1 b 1 Øa y +a 2 t 2 b ÒÖ Ô Ø ÒØгÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒÓ Ø ÒØÙÒ Ý Ø Ñ Ø ÐÕÙ³ÙÒ ÙÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ð³ÓÒÖ ÑÔÐ º Ò Ð ÒÓÙÚ Ù Ý Ø Ñ Ó Ø ÒÙ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØг Ò Òº ÙÜ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ºË ÙÒ ÙÐ ÙÜ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø ØÖ Ø ³ Ø ÐÐ ¹ÐÕÙ ÓÒÖ ÑÔÐ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖÐ ÓÑÑ a 1 a 0 ÓÒ º ÐÓÖ ÓÒÔ ÙØ ÙÔÔÖ Ñ Ö ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ØÐ ÕÙ Ò¹ b ØØÓÙ ÓÙÖ ÚÖ ÐÓÖ ÕÙ Ö Ö Ò t A x (t) b Ø Ø ÓÒ Ü Ø ÒØ ÐÐ ÔÙ ÕÙ t Ê ºØºa 1 x+a 1 t a 1 dùò Ñ ØÖ ÓÒØÖ ÒØ ÓÒ Ð ³ ع¹ Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ó ¹ 1} Ø ÐÐ ÕÙ ÕÙ Ð Ò Ó ÔÓÖØ Ü Ø Ñ ÒØÙÒÓ ÒØ Ú A d ³ Ö ØÔ Ö ÒØ Ò {0, Ð ÔÖÓ Ù Ø ÒÓÑ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÙÜÕÙ ÐÐ x Øy ÓÒØÓÑÔ Ö ÙÒ Ò Ò Ö ÒØP ØybºÄ ÒÓÑ Ö ³ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓ Ð Ø ÓÒ ÓÖÒ Ô Ö b Ú a ØbØ Ð ÕÙ x ØÓÑÔ Ö a Ò Ð Ö Ú Ð ÙÖ1 ØÙÒ Ú Ð ÙÖ0ºÌÓÙØ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ý Ø Ñ A d x b ÓÒ ØÖÙØ ÓÒx Ø ÙÖÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÒØÔÖ ÔÓÙÖг Ò Ñ Ð Ö ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø y a ÓÒØÖ ÒØ ÓÒ Ð ÙÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ÕÙ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ ÒØг Ò Ñ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ ÓÖÐÓ ÒÙÒÒÓÑ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÔÓÙÖÐ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ ¹ Ø ÑÔÓÖ ºÈÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ ³ ÓÖÐÓ x Øy Ð Ü Ø ÙÒÒÓÑ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú Ö ÒØÐ Ñ Ñ ÓÒØÖ ÒØ ÓÒ Ð Ú Ð Ò Ò Ô Öv v Øv d Ð ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ ÙÜÕÙ ÐÐ ÙÒ ÓÖÐÓ ØÓÑÔ Ö Ò Ð³ Ò Ñ Ð Ö º ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ ³ ÓÖÐÓ Ð ÒÓÙ ÓÒÒ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð³ Ô ) Ú cð ÒÓÑ Ö ÙÖx ØyºË ÓÒÔÖ Ò Ñ ÒØ Ò ÒØг ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ ÓÖÐÓ ÒÝÐ Ò Ö Ø ÐÐ O((2c Ú x ØyÓÑÔ Ö Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØa Øb Ò Ð Ö Ð³ ÙØÓÑ Ø º bôó Ð 2 + 1) X 2 Ò Ø ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ ³ ÓÖÐÓ ÐÝ ÙÔÐÙ c 2Ú Ð ÙÖ a 2ÔÓÙÖ Ú Ð ÙÖ ÈÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ ³ ÓÖÐÓ Ð Ö Ð Ø ÓÒ x,yóòø ÒØ ÓÒ ÙÔÐÙ 2c 2 Ð ³ ÕÙ Ú Ð Ò x y ÓÖÒ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÒÐ ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÕÙ Ð 2ÓÒ ÙØ Ú µºä ÔÖÓ Ù Ø ØØ ÓÖÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ = a bóùa 1 b 1 < x y < a 2 b a ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ Ø ÓÖÒ ÒÔ ÖØ ÙÐ Ö ÓÒØÖ Ú ÐÐ ÙÖÐ ÙØÓÑ Ø dº ØØ 1 b 1 Øa b ³ ÓÖÐÓ ÓÒÒ ÙÒ ÓÖÒ ÙÒÓÑ Ö Ð ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÓÙÖ ÙÜ ÓÖÐÓ º ¾ 1, cyl(p) 2 x,y v + t ½) b} (t) Ên+1 = {x Ê+ A d x b d } 1, n x (t) b} 2 + 1

26 Ò Ø ÓÒ º½º½ ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÞÓÒ ½ ³ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÒ Ð ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÓÙÖÐ Ö ¹ d ÐÓÖ ÕÙ C(X) Øг Ò Ñ Ð ÓÖÑÙÐ ÐÓ ÕÙ ÙÖÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ }ºÄ ÞÓÒ ³ÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ³ ÓÖÐÓ v ØÒÓØ Z(v)ºÇÒ 0 Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ x cø ÐÐ ÕÙ x ØÓÑÔ Ö c Ò ÙÒ Ö AÓÙc Ò Ø ÓÒ º½º¾ Aг Ò Ñ Ð ÞÓÒ Aº Ø {=, <,, >, ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÞÓÒ Z ÙÖг ÓÖÐÓ xð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Z Ú Ð³ ÝÔ ÖÔÐ Ò ÒÓØ Z Ü ÑÔÐ 0º ³ ÕÙ Ø ÓÒx = = y x 4, x 0 3 y > 3 ÍÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ØÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÞÓÒ Ø ÙØÓ¹ x 2, y 0 x Ñ Ø ºÁÐÝ ½ ÞÓÒ ÓÒØ Ü Ñ ¹ ÖÓ Ø Ó Ð ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ö Ó¹ º 3 Ø Ò Ð x y = 4 3 x y = 4 0 x y = 2 0 x 0 x Ä ÑÑ º½º x y = 2 ËÓ ÒØZÙÒ ÞÓÒ ØPÙÒÔÓÐÝ Ö Ò Ô Ö ÓÒØÖ ÒØ ÔÔ Ö ÒØ Ò ÈÖ ÙÚ Ð Ö AºË Z P o ÐÓÖ Z ÞÓÒ ØZ Ø ÐÓÖ ÙÒ ÞÓÒ º } cyl(p) Øг Ò Ñ Ð ÞÓÒ ÓÒØÐ d ÓÒ ØÙÒ ÙÒ ÓÒ ÈÓÙÖcyl(P) ½ Ò³ ØÔ Ð ÒÓØ ÓÒ ØÙ ÐÐ ÞÓÒ ÕÙ ØÙØ Ð º = {x Ê+ A d x b d Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ú Ö ÒØÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ý Ø Ñ A d x b ¾

27 Ü ÑÔÐ y 3 ÍÒÔÓÐÝ ÓÒ ÓÙÚ ÖØP Ò Ö ÓÙØ ÒÙ ØÐ ÞÓÒ ÕÙ³ Ð ÒØ Ö Ø ºÄ³ÙÒ ÓÒ x ÞÓÒ ÓÖÑ ÒØÐ ÝÐ Ò Ö Pº ÓÖÓÐÐ Ö º½º oº ÐÓÖ ÔÓÙÖØÓÙØ ËÓ ÒØZÙÒ ÞÓÒ ØPÙÒÔÓÐÝ Ö Ø Ð ÕÙ P Ò Ø ÓÒ º½º tº Z Ú ÐÙ Ø ÓÒv Z Ð Ü Ø t Ê Øv PØ ÐÕÙ v= v + +tôóùöøóùø ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÙØÙÖ ³ÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒvг Ò Ñ Ð vր Ú ÐÙ Ø ÓÒ v t Ä ÑÑ º½º Ê+}º Ê+ºÇÒ Ø Ò ØØ Ò Ø ÓÒ ÙÜ Ò Ñ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ð ÙØÙÖ V Øг Ò Ñ Ð V ր = {v + t : v V, t 2 ÙÜ ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÑÔ Ö Ð Ô Ö ÒÐÙ ÓÒº ËÓ ØZÙÒ ÞÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ AºËÓ ØH 1 ØH Ò Ô Ö ÓÒØÖ ÒØ Ö Aº ÐÓÖ Z ÈÖ ÙÚ H ր ØZ 1 ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ÙÜ Ò Ñ Ð ÓÒØÒÓÒ¹Ú ÒÓÒÐ Ö ÙÐØ Ø ØØÖ Ú Ðº 1 Ø o ËÓ ØHг Ò Ñ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ô ÖÐ ÕÙ Ø ÓÒ x=c ÔÓÙÖx Øc Ø Ð ÕÙ x c ÔÔ Ö Ò ÙÒ Ö AºÆÓØÓÒ ÕÙ H 1 : x = c H 2 : y = c 2 ÓÒØ ÙÜ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø ÒØ HÚ Ö ÒØH 1 H 2 Z ÐÓÖ ÔÓÙÖH ÙÒ ÕÙ ÔÓ ÒØ Ö Ò³ ØÔ Ö ÐÐ Ð Ú ÙÙÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò Hµ Ò ÔÓ ÒØ 2º : x y = c 1 c 2 Z +Ê ½ÓÙÔ ØÓÙ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò H ÒÙÒ րµ Ø ÓÒ H Ð ÑÑ º½º ÔÙ ÕÙ H = H Z H 1 = Z H ËÓ Øv k ÙÜ ÝÔ ÖÔÐ Ò ³ ÒØ Ö Ø ÒØ Ø ÒØ ÙÜÔÓÙÖ ØÓÖ Ö º ÔÐÙ Z Ð ÖÓ Ø k½ºçòô ÙØ ÓÒÓÖ ÓÒÒ ÖÐ ÝÔ ÖÔÐ Ò H ÐÓÒÐ Ú Ð ÙÖ : v v+λ 1½,...,v+λ 1 Ø λ 1,...,λ 2 ØÓÖ Ö Ò Ô Ò Ô v Ò Ø ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ Ð Ü Ø v Z H H 2 ÙÜ ÝÔ ÖÔÐ Ò H t 1, t 2, t 1, t ÊØ ÐÕÙ v 2 + t 1 H 1 v + t 2 H v + t 1 H 1 Øv + t 2 H 2 t 1 < t 2 Øt ¾ 2 < t 1ºv + t 1, v + t 2, v + t 1, v + t 2 ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØг Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ3 Ò Ô ÖÐ ÙÜÔÓ ÒØ v H ր 2 ÓÒØ

28 Øv ØÐ Ö Ø ÓÒ½ºÄ Ñ ÒØ (v 2 ÕÙ ÓÒØÖ ØÐ ÝÔÓØ º 2) Ñ ØØ ÒØ o +t 1, v +t 1) Ø(v +t 2, v +t ÓÒÙÒÔÓ ÒØ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ô ÖÓÒÒ Ü Ø ÔÔ ÖØ ÒØH 1 H 2 Z ÓÒH 1 Z = H 2 Z t 1 = t ËÓ Ø ÓÒÑ ÒØ Ò ÒØH 1, H 2 Ô Öг ÙÖ º 2ÔÓÙÖ H ÙÜ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò ³ ÒØ Ö Ø ÒØÔ Ò Z ³ ØÐ Ð Ð ÑÑ Ø Ú Òص Ø Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø H 1 < H гÓÖ Ö ÕÙ³ÓÒÚ ÒØ Ò Ö ÓÒÑÓÒØÖ ÕÙ Z H ր 2 Z H ր 1 ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Z ØÕÙ ÒÓØÖ ÓÖ Ö Ò Ô Ò Ô Ù Ó Ü vº H ր 2 Z H1ºÁÐ Ü Ø ÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒv ր 2º ÓÒØÖ ØÐ 1 ØÔ Ö È ÖÐ Ð ÑÑ º½º Ð Ü Ø v 1 H 1 Øt Ê+Ø Ð ÕÙ v = v 1 t Ò Ø ÓÒ Ð Ü Ø v Ü ÑÔÐ 2 H 2 Øt Ê+Ø Ð ÕÙ v = v 2 + t y 1 2 Z (H ր 2 \Hր 1 )º 3 x ÙØÙÖ ÓÖÑ ÒØ ÒÙÒ Ò º ÍÒ ÞÓÒ ØÐ ÙØÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØØ ÞÓÒ Ú Ð Ö ÒØ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ä ÑÑ º½º 2 ÙÜÔÓÐÝ Ö ¹ ÓÒØÓÑÔ Ö Ð Ô Ö ÒÐÙ ÓÒ Ø ÙÜ Ò Ñ Ð ÓÒØ Ò Ð ÓÑÑ ËÓ ØZÙÒ ÞÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ AºËÓ ØP 1 ØP Ò Ô Ö ÓÒØÖ ÒØ Ù Ö Aº ÐÓÖ Z P ր ØZ 1 P ր ÈÖ ÙÚ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Z Ú ÙÒ Ñ ¹ Ô ÓÙÚ ÖØÓÙ ÖÑ µº 2 ið³ ÝÔ ÖÔÐ ÒÑ Ü Ñ Ð i HÕÙ Ò ÒØ ÈÓÙÖi {1, 2} Ó ØH P iø ÐÐ ÕÙ P i H i +Ê+ ½ Ø Ó ØH i : x i = c H iº ÐÓÖ x i i c i ØÙÒ ÓÒØÖ ÒØ P Ú Ö ØØ ÓÒØÖ ÒØ ºÊ ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ Ó ØvÙÒ iº Ò i Ú i {=, >, }º ÐÓÖ P ր i Z Øг Ò Ñ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ ZÚ Ö ÒØÐ ÓÒØÖ ÒØ x i i c i x i > c Ø ØÓÙØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ P ր i i Øt ØÔÓ Ø ÔÙ ÕÙ ÒÓÒvÒ Ú Ö Ö Ø ) Ð Ñ ÒØ ZØ ÐÕÙ v x i i c i x i > c iº ³ ÔÖ Ð Ð ÑÑ º½º Z cyl(h i ÓÒ Ð Ü Ø t ØÔÐÙ Ö Ò ÓÑÔÓ ÒØÔ ÖÓÑÔÓ ÒØÕÙ v ÓÒvÚ Ö Ð iº ÔÐÙ ØÓÙ ÓÙÖ Ô ÖÐ Ð ÑÑ º½º Ð Ü Ø 1 ÒÓÒ ÊØ ÐÕÙ v t H Ô Ð ÓÒØÖ ÒØ x i i c i x i > c t ÊØ ÐÕÙ v +t P iºë³ Ð Ü Ø ÙÒØ Ðt Ò Ø ÓÙÒÙÐ ÐÓÖ v P ր v / P iµv +t ¾ i Hг Ò Ñ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò H

29 ÓÑÔÓ ÒØÔ ÖÓÑÔÓ ÒØÕÙ v ÓÒvÚ Ö ØÓÙØ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÒØ t ØÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÒØÖ ÒØ Ð ÓÖÑ z< cóùz 2º cõù v t Ú Ö Øv P i ÓÒv P i ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ò Ò Ð Ù Ø ÓÑÔ Ö ÖÐ ÓÒØÖ ÒØ x ÔÓÙÖÓÑÔ Ö ÖZ P ր 1 ØZ P ր + º¾ ³ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒг ÙØÖ i i c i ÇÒ ÔÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ó Øt 1 : q g 1,R 1 q0 Øt ÙÜØÖ Ò Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ AØ ÐÐ ÕÙ R 1 o ØR ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ (q, 2 ØØÓÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÒØ ÖÑ Ö Ò Ö Ñ ØØ ÒØÔ ³ ÓÖÐÓ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A ÙÕÙ ÐÓÒ Ö Ø Ö ØÓÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ v) Ø(q ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ A (q, v)(q, v ) ÓÒØÐ ÔÖ Ñ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ Øt Ò Ö Øt Þ ÖÓ ËÓ ØA )Ø ÐÐ ÕÙ³ Ð Ü Ø oºëóù g 2,R 2 2 : q 1 q 2 1 Ð Ö¹, v ÔÓÐÝ Ö ÓÒÚ Ü Ó gº gð ÕÙ Ö Ñ ØØ ÒØÞ ÖÓ ÙÑÓ Ò ÙÒ ÓÖÐÓ ºÈÓÙÖØÓÙØ Ö g ÓÒÒÓØ P 1º o ÙÜ ÒØÖ ÍÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A ÙÒ ÞÓÒ Z A Ø B Ø Ø q 0 Øq ËÓÖØ ÍÒÔÓÐÝ Ö PØ ÐÕÙ v Z P Ð Ü Ø v B cyl(v) ØÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ º Ü ÙØ ÓÒ (q 0, v )Ú Ö (q 1, v) Ò A ½ºÈÓÙÖØÓÙØ Ø Øq P(q) o ր Ö ¾ºP(q 0 ) Z ºÌ ÒØÕÙ³ Ð Ü Ø r g, (P(r) P g ) º P(s) (P(r) P g ) ր ºÊ ÒÚÓÝ ÖP(q 1 ) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º½ ij Ð ÓÖ Ø Ñ ½Ø ÖÑ Ò º ÈÖ ÙÚ ÇÒÖ Ñ ÖÕÙ ÕÙ Ð ÔÓÐÝ Ö ØØ ÙÜ ÓÑÑ Ø Ò ÓÒØÕÙ ÖÓ ØÖ Ô Ò ÒØ ZÔÓÙÖØÓÙØ ÓÑÑ Øpº г Ü ÙØ ÓÒ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÚ Ö ÒØP(p) Ð Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ÓÒÐ ÔÓÐÝ Ö Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒØØÓÙ Ò Ô Öг ÒØ Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ Ö Ø Ð ÞÓÒ Z Ô ÖÐ Ð ÑÑ º½º º ÓÑÑ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ø Ò Ø Ò Ö ÙÖ = P(p) ր ¾ o s A Ø ÐÕÙ P(s) Ð ÓÖ Ø Ñ ½ T(q 0, q 1, Z)

30 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º¾ ÈÖ ÙÚ Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ØÓÖÖ Øº k Ô ÖÖ ÙÖÖ Ò ÙÖÐ ÐÓÒ Ù ÙÖk ρºë ρ Ø ÐÓÒ Ù ÙÖÒÙÐÐ ÐÓÖ )ÔÓÙÖØÓÙØ v)ùò ËÓ Øv B cyl(v) Øρ=(q 0, v ) = (p 0, v 0 )... (p k, v k ) = (q 1, Ü ÙØ ÓÒ (q 0, v )Ú Ö (q, v) Ò A ºÇÒÔÖÓÙÚ ÕÙ v i P(p i )ºË i 0, q 0 = q 1 v=v P(q 0 ) = ZºËÓ Øi 0, k 1 ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ v P(p i Ð (i Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ ÓÒÑÓÒØÖ Õ٠г Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓ Ð³ ÒÚ Ö ÒØ Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ )ºË ÒÓÒ ³ ØÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒ ÓÒ Ð Ü Ø ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ր + 1) ØÖ Ò Ø ÓÒ ρ ØÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð ÓÑÑ P(p ) = P(p i ) v i+1 P(p i+1 p i g i+1, op i+1 v i g i+1 ÓÒv P gi+1 Øv i P(p i ) ÓÒv ÐÓÖ Ð³ Ò Ø Ø ÓÒ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º Ò Ù Ø ÙÔÔÓ ÓÒ Õ٠г Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÙØ ØÓÙØ ÓÑÑ Øp ÔÓÙÖØÓÙØ Ú ÐÙ Ø ÓÒu P(p) Ð Ü Ø ÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒv B Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒu Ò P(p)ÙÒ Ò Ø ÒØ ÓÒÒ Ð³ Ü ÙØ ÓÒ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º ր ³ ØÚÖ ØÙÒ Ü ÙØ ÓÒρ (q 0, v)ú Ö (p, u)º Ò Ø ÓÑÑ Z = B gº ÐÓÖ ÐÓÖ Ø Ò Ø ÒØ Ð Ü Ø r Õ٠гÓÒÔ ÙØ Ø Ò Ö Ô ÖÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒÚ Ö p ÔÙ ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ g, p A Ø ÐÕÙ P(p) ) tº P(r) P ր u (P(r) P g ) ր ÓÒ Ð Ü Ø u P(r) P g Øt Ê+Ø Ð ÕÙ u=u + È Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò Ð Ü Ø ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÔÙ (q 0, v)ú Ö (r, Ñ ÒØ Ò ÒØÙÒ ÐÙÐÞÓÒ Ô ÖÞÓÒ ºËÓ ØZÙÒ ÞÓÒ º ³ ÔÖ Ð Ð ÑÑ º½º ÇÒÔ ÙØ ÓÒ ÐÙÐ Öг Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Þ ÖÓÖ ÓÒÒ Ð ¹ Ð t ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÐÓÖ ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ (q Z)Ô ÙØ ØÖ Ö ØÓÑÑ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Z Ø ³ÙÒ Ñ ¹ Ô ¹ 0, v)ú Ö (p, Ô ÙØ ØÖ Ò Ô ÖÙÒ Ö g Ú ÓÒØÖ ÒØ ÓÒ Ð ³ ØÐ ÙÑÓ Ò ÙÒ ÓÖÐÓ Þ ÖÓ ÓÒ x ÔÖ ÒÓÒ BÐ Z ÙÖxº ØØ 1Ö Ñ Ø T(q 0, q 1, Ò Ô ÖÐ ÓÒØÖ ÒØ post(q 0, q 1, Z) : y cºèù ÕÙ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒt 0]Ô ÖÐ Ö g Ò Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ö ÑÔÐ 0µºÇÒ ¹ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ð Ö Ò ÒØZ Ø Ð ÓÒØÖ ÒØ x = Ò Øpre(q 0, q 1 (v) Ø Ò Z) ¹, Z, R) = g[r ØÓÙØ Ð ÓÙÖ Ò ³ÙÒ Ú Ö Ð RÔ ÖÐ Ú Ð ÙÖÞ ÖÓºpre(q 0, q 1, Ò Øг Ò Ñ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÒØÐ ÔÖÓ Ø ÓÒÔ Öπ R : v π R B Ú π R (v)(z) = 2 Ò ÓÙØ ÒØÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ ÞÓÒ 1 ÔÙ ÙÒÒÓÑ Ö ÕÙ ÐÓÒÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò R Þ ÖÓ ÒÓÒºÇÒÔ ÙØ ÐÓÖ ÑÙÐ Öг Ü ¹ v(z) z / ÙØ ÓÒÔ ÒØ ³ ÓÖ Ô Öt Ø ØºÇÒÖ Ñ ÖÕÙ ÕÙ Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ð Ö Ñ Þ ÖÓ ÔÙ t ÙÒ ÙÜ ÓÖÐÓ Ò³ ÔÔ Ö ØÔ Ò Ð ÓÒØÖ ÒØ º )Ò³ ØÔ ÙÒ ÓÒØÖ ÒØ ÓÒ Ð ÔÙ ÕÙ³ ÙÑÓ Ò ÓÒØÖ ÒØ pre(q 0, q 1, Z, R º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ñ Þ ÖÓ Ý Ø Ñ Ø ÕÙ 1 ËÓ ØTг Ò Ñ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ñ ØØ ÒØ ÙÑÓ Ò ÙÒ ÓÖÐÓ Þ ÖÓ ¾ ØZг Ò Ñ Ð ÞÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø ºÇÒÚ Ò Öг Ò Ñ Ð Ø Ø Q R 1 i i i i o Z t 1 : q g 1 pre(q 0,q 1,Z,R 1 ),R 1 r Øt u)º P(p i+1 )º u Ó r ØÙÒÒÓÙÚ Ð 2 : r g 2 post(q 0,q 1,Z),R 2 q

31 ÔÖ Ø ÙØ Ð Ö Ú ÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ò Z Ò ÓÑÔØ ÖÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö ¹ 2Ð ØÖ Ò Ø ÓÒÕ٠гÓÒ ³ Ô¹ ÙÒÓÙÚ Ð ÙØÓÑ Ø A RÔ ÖT 2 ZºËÓ Ø ÓÒ(t, t 2, Z) Q RºÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ t ) Ö ÔÖ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒÕ٠гÓÒÚ ÒØ ÔÖ Ò Ö t Ñ Þ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒ ÒØÖ ÙÜ Ø Ø (t 2ºÇÒÖ ÓÙØ ÐÓÖ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ 1, t 2, Z 1 ) Ø(t 2, t i gð 3, Z 2 ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÖ Ò Ö Ð³ Ò ÒÒ ØÖ Ò Ø ÓÒt 2ºÇÒÒÓØ t i q ÓÒØÖ ÒØ Ò ÒØÐ Z 1 1 : q i g i,r i (t 1, t 2, Z 1 ) g 2 post(q 1,q 2,Z 1 ) pre(q 2,q 3,Z 1,R 2 ),R 2 (t2, t 3, Z 2 ) ÈÓÙÖг Ò Ø Ð Ø ÓÒ ÓÒ ÓÙØ Ù ÓÑÑ Ø Ò Ø Ðq 0 Ú ÒØÐ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº ÓÑÑ ØØ ØÖ Ò Ø ÓÒÒ³ ÙÙÒ Ø ÓÒ 0 AÐ ØÖ Ò Ø ÓÒt 0 : v=0,x 0Ð ÞÓÒ ÓÒØ Ò ÒØÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ q 0 q Ò Ò Ô Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ AºËÓ Ø ÐÓÖ Z n Ò Rº v 0 ÓÒ Ò Øг Ø Ø(t 0, t 0, Z 0 )ÓÑÑ Ð³ Ø Ø Ò Ø Ð ÙÒÓÙÚ Ð ÙØÓÑ Ø A Z ÒÙØ Ð ÒØг Ð ÓÖ Ø Ñ ½ г Ò Ñ Ð Ø Ø Ð Ø ÒØг Ò Ñ Ð R ÓÒ ÈÓÙÖÔÓÙÚÓ ÖÚ Ö Öг Ð Ø ³ Ø Ø ÓÒÖ ÓÙØ ÙÒÒÓÙÚ Ð Ø Øq A RÔÓÙÖ ÕÙ Ò Ò Ø Øq Ò AºÈÓÙÖ ÕÙ Ø Ø(t oð Ò Ð³ Ü ÙØ ÓÒ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ºÇÒ ÓÙØ 1 Ú ÙÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ð 1, t 2, Z) Q ÐÙРг Ò Ñ Ð Ø Ø Ð ÔÙ q Ø Ø qø Ð ÕÙ P(q) nº ÐÓÖ ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ(t ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º½ 1, t 2, Z),X Rº q nºáðò³ý Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖØ ÒØ q Î Ö Öг Ð Ø q Ò AÓÒ Ø ÓÒÚ Ö Ö ÐÐ q ij ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ñ Þ ÖÓ Ý Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØг ÙØÓÑ Ø Ø Ñ¹ ÔÓÐÝÒÑ º n Ò A ÔÓÖ k ÓÖÐÓ A ÓÒ ØÖÙ Ø ÒØ ÑÔ O(p(n, Z A )) Ú n = A ØpÙÒ ÈÖ ÙÚ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Òn ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º½º ÓÑÑ ÙÒ ÞÓÒ Øг ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÐРг Ð ÓÖ Ø Ñ ½º Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ³ Ü ÙØ ÒØ ÑÔ )ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÓÒ ØÖÙ ÒØ Ú ÙÒ ÁÐÝ O(n ³ ÙÔÐÙ ÙÜÓÒØÖ ÒØ ÓÒ Ð ÓÒ ÙØ Ú µô ÖÓÙÔÐ ³ ÓÖÐÓ ÓÒ 3 Z A 2 Ô ÙØÓÒ ØÖÙ Ö Ð³ Ò Ñ Ð ÞÓÒ ÒØ ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÐ ÒÓÑ Ö ÞÓÒ º ÓÖÓÐÐ Ö º º¾ ÈÓÙÖÐ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ ÓÒÔ ÙØÓÒ ØÖÙ Ö Ð³ ÙØÓÑ Ø Ê Ñ ÖÕÙ º º Ú Ö Ñ Þ ÖÓ Ý Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÒØ ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ØÑ Ñ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ ÓÖÐÓ Ø ÓÖÒ Ö Ò Ð ÒÓÑ Ö ÞÓÒ ØÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ¾

32 Ô ØÖ ØÙ ³ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ö ÓÒØ Ö ÓÒÚ Ü º ÔÐÙ ÒÚ ÖØÙ ÙÖ ÙÐØ Ø Ù ÔÓÙÖÙÒ ÓÙ ¹Ð ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÓÖÐÓ ºÇÒ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ ØÓÙ Ð Ò ØØ Ô ÖØ ÓÒÑÓÒØÖ Ð ÆȹÓÑÔÐ ØÙ ÙÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ô ØÖ ÔÖ ÒØ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ØÓÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ñ ØØ ÒØÞ ÖÓ Ù ÑÓ Ò ÙÒ ÓÖÐÓ º º½ÇÒ ³ ÒØ Ö ÒÔÖ Ñ ÖÐ Ù ÙÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÙØÓ¹ Ð Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÙÒ ÓÖÐÓ Ñ Ø ÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ ÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐÐ x ØÕÙ ØÖ Ñ Þ ÖÓ ÔÖ ÕÙ 0) Ø ÙØÓÑ Ø ØÙÒ Ú Ð ÙÖt Ê+ Ò ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÆȹÓÑÔРغ 0)Ô ÖÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÓÒØÐ ÓÑÑ Ð Ø Ü Ø Ñ ÒØt ÇÒÑÓÒØÖ 0) Ø ØØ Ò Ð ÔÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(q 0, ÕÙ ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô ÙعÓÒ Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(q, (q 0, ÔÔ Ö ÒØ Ò Ð Ö AºÈÙ ÕÙ Ð Ö A ÓÒØ ÙÔÔÓ ËÓ ØAÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÒ ÓÖÐÓ ØCг Ò Ñ Ð Ú Ð ÙÖ Ø ÑÔÓÖ µ ÙÖг ÐÔ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ê+ ÓÒØÐ ÓÖÒ ÓÒØ Ð ¹ intð³ ÙØÓÑ Ø ÒÓÒ¹ } Ù¹ ÓÒÚ Ü ÐÐ ÓÒØ Ð ÓÖÑ a 1 x 2 b Ú, 2 {<, ØÖ Ñ ÒØ Øx I ÔÓÙÖÙÒ ÖØ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ IºËÓ ØA Ò AÔ ÖÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ô ÖIºüØÓÙØ Ü ÙØ ÓÒρ Ð ÓÖÑ 0) A ÓÒ Ó ÙÒ Ñ ÒØ C { } Ó Ø ÒÙ ÒÖ ÑÔÐ ÒØ ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö x I (q 0, 0) (q 0, t 0 ) (q 1, 0)...(q n 1, t n 1 ) (q n, intø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙØ iºê ÔÖÓÕÙ ¹ Ü ÙØ ÓÒϕ(ρ) = qn A i 0, n 1 t i I i Ø ÓÒ i 0,n 1 t i n 1 ÔÓÙÖ i 0,n 1 I n 1 Ú Ñ ÒØ ÔÓÙÖØÓÙØ Ü ÙØ ÓÒ A intö ÓÒÒ ÒØÐ ÑÓØI 0,...,I ÁÐ Ù Ø ÓÒÔÓÙÖÖ ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ ÔÓÙÚÓ Ö Ö ³ Ð Ü Ø ÙÒ ØÓÙØt i Ø ÓÒ Ð Ü Ø ÙÒ Ü ÙØ ÓÒρ A Ð ÓÖÑ i 0,n 1 I i Ð Ü Ø ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒt t t i 0, n 1, t i I ¼ q 0 I 0 q1...q n 1 I n 1 1 = (q 0, 0) (q 0, t 0 ) (q 1, O)...(q n 1, t n 1 ) (q n, 0)º

33 Ð ØØÖ ÓÒØ ÒØÐ Ú Ð ÙÖt ÓÒ Ö ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ÒØÕ٠г ÙØÓÑ Ø Ö ÓÒÒ Øtµº ÈÙ Õ٠гÓÒ ÓÙ Ø Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÆÈ ÓÒÔÓÙÖÖ Ø 0 Ø Ø Ø Ò Ðq Ø ÓÒØÐ ÓÑÑ ÑÓØÖ ÓÒÒÙÔ ÖA int Ú Ø Ø Ò Ø Ðq int Ö Ð ÓÑÑ Ð ØØÖ ØÚ Ö ÖÕÙ t Ø Ù Ú Òغ Ð ÓÑÑ Ð ØØÖ ÓÒØ ÒØtÔ ÙØ ØÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÓÑÑ Ò Ð³ Ü ÑÔÐ ÒÙÒ Ð Ñ ÒØ ØØ ÓÑÑ ºÅ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ÙÔÐÙ ÓÙÖØ Ñ Ò ÓÒØ Ú Ò ÖÙÒ Ñ Ò A Ü ÑÔÐ 1 x 2, x 0 [1,2] A A int p q p q Ò Ø Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖÔ Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(p,0)Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(q,0) Ú x = 3, x 0 [3,3] ØÖ Ò Ø ÓÒÕÙ ÓÙÐ Ú ÙÒ Ð 2ÔÙ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒp q Ú ÙÒ Ð 3º Ð 3 г Ü ÙØ ÓÒÐ ÔÐÙ ÓÙÖØ ÒÒÓÑ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒÔÖ Ò n Ó Ð ÙÒ Ð 2n + Ø ÐÐ ÙÔÖÓ Ð Ñ º ØÖ Ò Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ø ØÙ ÙÒÒÓÑ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ô ÖÖ ÔÔÓÖØÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑÓØ([1,2]) n [3,3] Ò Ð³ ÙØÓÑ Ø A intº Ð ÙØ ÓÒ ÙÑÓ Ò n + 1 Ò Ñ Ð ÕÙ Ö Ú ÒØÑÙÐØ ÔÐ ÖÐ ÓÖÒ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ º Ò ÓÒÒ³ Ø Ó Ø Ú ÓÒÔ ÙØ ÓÒ ÖÓÙÔ ÖÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒØ ÕÙ ØÐ ÓÑÑ Ö Ô Ò ÒØ Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑÑ Ø ÓÒ ÙÖÐ ÒØ ÖÚ ÐÐ ØÓÑÑÙØ Ø Ú Ô Ó Ò Ö Ø Ò ÖгÓÖ Ö Ò Ð ÕÙ ÐÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒØ Ö Ò Ô ÖÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Ñ ÙÐ Ñ ÒØÐ ÒÓÑ Ö Ó ÕÙ ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ö Ò¹ ºÄ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÆÈ Ú ÒØ ÓÒ ÓÒ Ú Ò Ð ÒÓÑ Ö Ô Ò ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö ÕÙ Ú Ð ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÔÙ Ö Ö ÓÑÑ ÒØÓÒ ØÔÓÙÖÚ Ö ÖÕÙ Ð Ó Ü ÙÒÓÑ Ö Ô Ò ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÒÚ Ö ÕÙ t ÔÔ ÖØ ÒØг ÒØ ÖÚ ÐÐ Ó Ø ÒÙº Ð ÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÓÑÑ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ ÓÑÑ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÕÙ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÙÒ Ü ÙØ ÓÒÔÓ Ð º Ð ÙØ Ù ÑÓÒØÖ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒτºÇÒÖ ÔÔ ÐÐ ÕÙ³ÙÒ Ö Ô ÙÐ Ö Ò ØÙÒ Ö Ô ÓÒÒ Ü ÓÒØ ÓÒÓ Ð ÒØ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ºÇÒÒÓØ I(τ)г ÒØ ÖÚ ÐÐ ÕÙ Ø ÕÙ ØØ Ð ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ô Ö ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÓÙ Ð Ö ÓÒØÔ Ö º Ä ÑÑ º½º½ ËÓ ÒØAÙÒ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÒ ÓÖÐÓ Ö Ñ Þ ÖÓ ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ 0)Ö ÓÒÒ ÒØ 0)Ú Ö p Øq ÙÜ Ø Ø Øt Ê+º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ (p, (q, 0)Ö ÓÒÒ ÒØt Ð Ü Ø ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ (p, ½ 0)Ú Ö (q,

34 intùò ÙØÓÑ Ø ³ ÒØ ÖÚ ÐÐ p Øq ÙÜ Ø Ø Ø ÙØÓÑ Ø ËÓÖØ ÚÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ò pú Ö q ÓÒØÐ ÓÑÑ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ê+º ÒØÖ A Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒØ ÒØtº Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò Ø µ t ½ºk ¾ºÈÓÙÖØÓÙØ ØÖ Ò Ø ÓÒτ Ó Öw(τ) int ÓÒØÐ Ö Ø ÓÒØÐ ºËÓ ØGÐ Ö Ô ÙÖÐ ÓÑÑ Ø A ºË GÒ³ ØÔ ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò Ø ÓÒ A º ÐÓÖ Ö ÒÚÓÝ Ö ÙÜ int Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ð Ð ÙÖÔÓ w ºE(G) (q, p) º ÐÙÐ ÖI= τøö Ò Ø ÓÒ A ºÊ ÒÚÓÝ ÖÐ Ú Ð ÙÖ Ú Ö Ø t Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ delai(p, q, ÈÖ ÙÚ 2)ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒ º tùø Ð ÒØÑÓ Ò Q A ( t + qºèù ÕÙ n ØÑ Ò Ñ Ð ÍÒ Ö Ø ÓÒ ØØÖ Ú Ð ºËÓ Øρ=(q 0 ÙÒ Ü ÙØ ÓÒÑ Ò Ñ ÒØn Ú q 0 = p Øq = ÐÒ³Ý Ô ÙÜØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ù Ú Ò ρºëùôôó ÓÒ ÕÙ n> Q A 0)Ð ÓÙ ¹ Ü ÙØ ÓÒ r Ù Ø Ú ÒØÙÒ ( t + 2) = mº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ø ØrÕÙ ÔÔ Ö Ø ÙÑÓ Ò t 1 ºËÓ Ø t + 2Ô ÖÑ Ð Ø Ø ØÖ Ú Ö Ô Öρ q = ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒºÇÒÒÓØ ρ j = (q ij, 0)... (q ij+1, Ü ÙØ ÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØÔÐÙ ÓÙÖØ Ö ÓÒÒ ÒØt ÕÙ ÓÒØÖ ØÐ Ñ Ò Ñ Ð Ø ρ ÒØÖ Ð i j ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ØÐ i j+1 ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔÓÙÖj jô ÙØ ØÖ Ö Ø Ö ρ ÓÒÒ ÒØÙÒ jºë 1, t + I(ρ j )Ð ÓÑÑ ÒØ ÖÚ ÐÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒ ÑÔÖÙÒØ Ô Öρ I(ρ j ) = [0, 0] ÐÓÖ Ð ÓÙ ¹ Ü ÙØ ÓÒρ Ð Ñ Ò Ñ Ð Ø nòóùú Ùº nºëó ØI = +1 ÕÙ ÓÒØÖ Ø ÔÙ ÕÙ j 1,t I(ρ j) Ó ÒØa=inf I Øb = supiº ÐÓÖ b t Ð ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÙÒ I(ρ j ) Ø ÙÑÓ Ò 1º ÓÒt I+ Ò Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ÓÒÔÖ Ò Ò ÒØÖ ÙÒÖ ÐÕÙ ÐÓÒÕÙ Ñ ÕÙ Ø ÑÔÐ ÕÙ t I ÓÒÓÒÔ ÙØ ÒÐ Ú Ö ρð ÓÙ ¹ Ü ÙØ ÓÒρ ³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒØ ÓÖÒ ÒØ Ö ºÇÒÔ ÙØ ÓÒ ÙÔÔÓ ÖÕÙ t ØÓ Ò ÒØ Ö ÒØ Ø ÚÓ ÖÕÙ Ð ØÐ Ú Ð ÙÖ Ô ÖØ ÒØ Ö Ø Ô ÖØ Ö Ø ÓÒÒ Ö ØÒÙÐÐ ÓÙÒÓÒ ÔÙ ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÓÒÒÙ Ô Ö ÙØÓÑ Ø Ô log 2 ¾ Q Aint ( t + 2) int w(τ)i(τ) I n t) 0, k, 0) (q 0, t 0 ) (q 1, t 0 )...(q n, 0) + 2 = =... = q it i1 I(ρ t t + 1º t +1)

35 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º¾ ÈÖ ÙÚ Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾Ø ÖÑ Ò ÒØ ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø ØÓÖÖ Øº Ú ÒØ Ù ØÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ÙØ Ð ÓÒØ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØÕÙ Ø ÖÑ ¹ Ä Ø ÖÑ Ò ÓÒ ØØÖ Ú Ð ÐÒ³Ý Ô ÓÙÐ ØÐ Ö Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÖÕÙ³ÙÒ Ö Ô Ø ÙÐ Ö Ò Ø ÒØ ÑÔ Ð Ò Ö º Ö ÙÐ ÑÑ º½º½ ÓÒ ØÕÙ Ð ÓÒØÖ ÒØ ÙÖÐ Ó Ü ÙÔÓ ØÖ Ò¹ ÙÜ ÜØÖ Ñ Ø Ø Ü Ø Ñ ÒØÙÒ Ö Ô ÙÐ Ö Ò ØÖ ÔÖÓÕÙ Ñ Òغ ÔÐÙ Ä ÓÖÖ Ø ÓÒÚ ÒØ Ù ØÕÙ³ÙÒ Ñ Ò ÙÕÙ ÐÓÒ ÓÙØ ÙÒ Ö Ø ÒØÖ Ð Ø ÓÒ ØÐ Ø Ñ º º¾ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ØÓÙØ Ð Ü ÙØ ÓÒ ³ ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÓÒØØ ÐÐ ÓÑÔÖ ÓÒ ³ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ ÕÙ³ ÐÒ³Ý Ñ ÙÜØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ù Ú ºËÓ ØAÙÒ ÙØÓÑ Ø Ú Ð ÙÖ ÙÜÕÙ ÐÐ x ØÓÑÔ Ö Ò Ð Ö AºÇÒ Ò Ø Ñ Ð Ö Ñ ÒØ nºëó ØρÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Æг Ò Ñ Ð Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ x ØyºËÓ ØC Ö ³ Ð ³ Ø Ò ÙÓ ³ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ AºÈÙ ÕÙ ØØ Ü ÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ü ÙØ ÓÒ Ò Ô ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø ÐÐ ÓÖØ ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÆÈÔÙ AÕÙ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ð³ ÓÖÐÓ yþ ÖÓºÇÒ ÓÙ Ø Ö ØÔÓÙÚÓ ÖÓ ÖÙÒ x C yºæóøóò n= A ÐÓÖ ³ Ú Ò C < n Ø C y < Ò Ö Ñ Ø Ñ Ð³ ÓÖÐÓ yþ ÖÓ ÓÒÚ ÓÙÔ Ö ØØ Ü ÙØ ÓÒ ÒÔÐÙ ÙÖ Ö ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙØ Ð Ú Ö ÒØÐ Ñ Ñ ÓÒØÖ ÒØ Ö ÑÓÖ ÙÜ Ø ÐÐ ÓÖØ ÕÙ Ò ÕÙ ÑÓÖ Ù Ð Ú Ð ÙÖ y Ò Ð Aº ÕÙ Ò Ö Ñ ØÔ yþ ÖÓ Ø ÓÒÖ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØxÞ ÖÓµºËÓ ØYÐ ))ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ }ºËÓ Ø ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ Ó Ø0=b 0 < b 1 <... < b m = Ð Ú Ð ÙÖ C {0, ρ = (q 0, (0, y 0 )) (q 0, (x 0, y 0 + x 0 )) (q 1, (0, y 1 ))...(q l, (0, y l Y ÓÒÒÓØ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ð ÓÖÑ ]b Ò Ø ÓÒ º¾º½ I ÓÒÖ ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ yò ØÕÙ ÖÓ ØÖ µº i ρ ÓÒ ÔÔ ÐÐ ÓÑÔÖ ÓÒ ρ ØÓÒÒÓØ comp(ρ) г Ü ÙØ ÓÒρ Ò Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ IÐ ÔÐÙ Ö Ò ÓÙ ¹ Ü ÙØ ÓÒ ρ Ð ÓÖÑ (q Ú y i, y j Y Ö ÑÔÐ ÕÙ ÓÙ Ü ÙØ ÓÒρ I : (q i, (0, y i ))... (q j, (0, y j )) I Ô ÖÙÒ ÙÒ ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ (q i x y, b i+1 [ÓÙ[b i, b i ] Ú i 0, m 1 ËÓ ØI, (0, y i ))... (q j, (0, y j )) i, (0, y i )) (q j, (0, y j ))º

36 Ü ÑÔÐ x = 1, x 0 p y = 2 n, x 0 q )) ÕÙ ØÒ ØØ Ñ ÒØÔÐÙ ÓÒ º ÈÓÙÖ ØØ Ò Ö Ð³ Ø Øqг Ü ÙØ ÓÒÐ ÔÐÙ ÓÙÖØ Ø(p, (0,0)) (p,(0,1))... (p,(0,2 n 1 )) (p,(1,2 n )) (q,(0,2 n ))º ØØ Ü ÙØ ÓÒ ÓÑÔÖ Ò(p, (0,0)) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º¾ (p,(0,2 n 1 )) (p,(1,2 n )) (q,(0,2 ÈÓÙÖØÓÙØ Ü ÙØ ÓÒρÒ Ö Ñ ØØ ÒØÔ Ð³ ÓÖÐÓ yþ ÖÓ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ n comp(ρ) ØÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÐ Ø ÐÐ Aº ÈÖ ÙÚ Y ØÓÑÑ Ð ÒÓÑ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖÒ Ô Ö IÔÓÙÖ ÕÙ ÁÐÝ ÙÔÐÙ ÙÜÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ (q, (0, y 0 )), y 0 ÒØ ÖÚ ÐÐ I ÐÓÒ Ù ÙÖ Ð³ Ü ÙØ ÓÒÓÑÔÖ Ù º n Ð Ð ÒÓÑ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Õ٠г ÓÖÐÓ xú ÙØÞ ÖÓ ÐÝ ÙÔÐÙ 4 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔÓÙÖÐ ÕÙ ÐÐ Ð Ú Ð ÙÖ y Ø Ò Iº ÓÑÑ Y < Ô ÖÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÆȺ 1 ÓÒØ ËÓ Øt : (p, (0, y 0 )) (q, (0, y 1 ))ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ Ó y ÈÖ ÙÚ 0 Øy Ö Ø ÓÒÒ Ð ºÇÒÔ ÙØÚ Ö ÖÕÙ t Ø ÒÐ ÓÑÔÖ ÓÒ ³ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ A ØÖ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ñ ØØ ÒØÔ yþ ÖÓ Ø ÒÖ ÑÔÐ ÒØ Ò Ð Ö IÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ Ò ÒÐ Ú ÒØÐ Iº Ò Ù Ø ÈÓÙÖ Ð ÓÒÚ Ö ³ ÓÖ ÕÙ³ Ð Ü Ø I YØ ÐÕÙ y 0, y 1 ÓÒÑÓ A Òг ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ A ÓÖÖ ÔÓÒ AÐÓÖ ÕÙ³ÓÒØÖ Ú ÐÐ Ú ÙÒ Ú Ð ÙÖ ³ ÓÖÐÓ y Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ oµº Ø ÙØÓÑ Ø AÐ ÓÒØÖ ÒØ y JÔ Ö I 0 ÕÙ Ø ÒÆÈ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾º J Ø ÒÓÒ I J = IºÁÐ Ù Ø ÐÓÖ Ú Ö ÖÕÙ Ò A IÓÒÔ ÙØ ØØ Ò Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ(q, 0) ÓÖÓÐÐ Ö º¾º ÔÙ (p, 0) Ú ÙÒ Ð y 1 y ËÓ ØσÙÒ Ü ÙØ ÓÒ A Ú ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÑÔÖ ÙÖxÓÙyºÇÒÔ ÙØ ÈÖ ÙÚ comp(ρ)º Ú Ö Ö ÒÆÈ ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ü ÙØ ÓÒρ AØ ÐÐ ÕÙ σ= ÁÐ Ù Ø Ú Ö Ö ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ º

37 º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º½ Ì ÐÐ ³ÙÒ Ü ÙØ ÓÒÓÑÔÖ )ÙÒ Ü ÙØ ÓÒÓÑÔÖ A Ô٠г Ø Ø ËÓ Ø(q k Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØÚ Ö 0, x 0, y 0 ),...,(q k, x k, y k ) ØÙÒ Ü ÙØ ÓÒÓÑÔÖ ØÔÓÙÖØÓÙØ Ò Ø Ð Ú AÙÒ ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÓÖÐÓ º ÐÓÖ Ð Ü Ø x 0 Ø Ð ÕÙ (q 0, x 0, y 0 ),...,(q k, x k, y k i 0, ÈÖ ÙÚ Ë Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ³ ÐÒ³Ý Ô ÙÜØÖ Ò Ø ÓÒ Ð µx Ù Ú ØÕÙ ØÓÙØ ØÖ Ò Ø ÓÒÖ Ñ ØÙÒ ÓÖÐÓ Þ ÖÓºÈ ÖÖ ÙÖÖ Ò ÙÖkº i ÚÖ ºËÓ Øk 1ÙÒÒ ØÙÖ ÐºËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ØÚÖ ÙÖ Ò 0 ØÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒØØÖ Ú Ð Ñ ÒØ Ë k=0 ÐÓÖ x г Ø Ø Ò Ø ÐºÈ Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò ÓÒÔ ÙØÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ü ÙØ ÓÒ 0 = x 0 = y 0 = y 0 )ÙÒ Ü ÙØ ÓÒÓÑÔÖ A ÔÙ = k 1ºËÓ Ø(q, x 0, y 0 ),...,(q k, x k, y k )Ø ÐÐ ÕÙ (i) Ø(ii) Ó ÒØÚ Ö º Ò ÓÑÔÖ (q 0, x 0, y 0 ),...,(q k, x k, y k г Ü ÙØ ÓÒ Ò Ø Ð Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ(q k 1ºÈ Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ ÕÙ )) Ø, (x, y )) (q k, (x k, y k ÓÙ ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø x (ii) Ø Ú ÒØÔÓÙÖÐ Ö Ò kº k y k 1ºÇÒÔÓ x = 0 y k = y [(q k 1, (x k 1, y k 1 ))] = [(q k 1, (x k 1, y k 1 ))] ÓÒ(q ÐÝ ÒÕÔÓ Ð Ø º (q k, x k, y k 0º Ò ) ØÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒÔÓÙÖA Ø[(q ÓÙ ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø x k 1 = kº(i) Ø µë [(q Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò ºÁÐ Ü Ø ÓÒ ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð k, (x k, y k ))] ØÙÒ Ò Ð ØÓÒ Ó Øx = x k Ò y = y ÚÖ ºx k Øy k ÓÒØ Ò ØÙÖ Ð ÓÒ(ii) ØÚÖ Ù º ÐÓÖ y k 1 Æ ÓÒy k 1 )º (q k 1, x k 1, y k 1 ) (q k, x k, y k +aºä µë [(q k, (x k, y k ))] ØÙÒ Ö ÓÒ Ð ÓÖÑ {(q ÔÓÙÖÔÖÓÙÚ Ö(i) Æ Ø Ð Ü Ø ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ y < b+1}ôóùöa Øb ÙÜÒ ØÙÖ Ð ÔÓ ÓÒ x = a Øy = y k 1 ÓÒ Ø ÓÒ(ii) ØÚ Ö ÔÙ ÕÙ b Ð (q k 1, (x k 1, y k 1 )) (q k, (x k y k ))ºÇÒÑÓÒØÖ ÕÙ y yk i 1ƺ µ[(q i, (x i, y i ))] = [(q i, (x i, y i ))], y i 2 0 k k 1 k k,...,x k, y 0,...,y k = 0 y k =, x k 1, y k 1 ), (x k, y k ))] = [(q k, (x k, y k ))]º k = y k 1 Ö[(q k 1, (x k 1, y k 1 ))] = [(q k 1, (x k 1, y k 1 ))] k k k k, (x, y) x = a, b < = y k = yk 1 + a + {yk 1} = y k 1 + a + {y k 1 } y k = y k 1 + a + {y k 1 aº } ÇÒ Ò Ù ØÕÙ y k Øy kóòøð Ñ Ñ Ô ÖØ ÒØ Ö y k 1 bº + µë [(q k, (x k, y k ) ] ØÙÒ Ö ÓÒ Ð ÓÖÑ {(q k, (x, y) a < x < a+1, y = b}ôóùöa Øb ÙÜÒ ØÙÖ Ð ÓÒÔÓ x k = b y k 1 Øy k =

38 ÓÑÑ Ò Ð (b) Ð Ù Ø ÑÓÒØÖ ÖÕÙ x k = x k x k = b y k 1 {y k 1 } = b y k 1 {y k 1 } x k = b y k 1 {y k 1 } ÓÑÑ {y k 1 } = 0 {y } = 0 ÓÒ Ò x µë [(q k, (x k, y k 1 kºä ÓÒ Ø ÓÒ (i) Ø(ii) ÓÒØ ÓÒ ))] ØÙÒ Ö ÓÒ Ð ÓÖÑ {(q a + 1, b < y < b + 1, {x} = {y}}ôóùöa Øb ÙÜÒ ØÙÖ Ð ÔÓ ÓÒ x a k Øy k kæ ÓÒ Ð Ü Ø ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ = b+1 2 Ø Ø ºÈ Ö ÝÔÓØ ³ Ò ÙØ ÓÒ x k 1 < x k Öa x k 1 2 (q k 1, (x k 1, y k 1 )) (q k, (x k {y}}ôóùöa Øb ÙÜÒ ØÙÖ Ð ÓÒÔÓ, y k )) Ð x µë [(q k, (x k, y k ))] ØÙÒ Ö ÓÒ Ð ÓÖÑ {(q k 1ºÄ ÓÒ Ø ÓÒ(ii) Ø ÓÒÚ Ö ¹ a + 1, b < y < b + 1, {x} < y k = b k Øx k = y k y ºÁÐ Ü Ø ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð (q k 1 ÔÙ ÕÙ y k > y k 1 2 kæº ÔÐÙ 0 Øx k 1 > k 1 k k k º = x k, (x, y) a < x < = y k 1 = x k 1 y k 1 = a b k x k 1º, (x, y) 1 k Ø a < x <, (x k 1, y k 1 )) (q k, (x k, y k )) < {x k } < {y k } = 1 2 k x k = y k y k 1 + {y k } {y k 1 } = y k y k 1 + {y k } {y k 1 } x k = y k y k 1 + {y k } {y k 1 } ÇÖ 0<{y k } {y k 1 } < 1 Ö0 {y k } 2 kæ Ø{y k 1 } ÓÒ Ò Ù Ø 1 k } = 1 2 ØÓÑÑ y k 1 = y k 1 x k 1 = y k x k = b a ÓÒ x k +{x k } = y k + {y k } y k 1 {y k 1 } = x k + {y k } {y k 1 }º {x k } = {y k } {y k 1 } ÓÒ x k = x k Ø Ò Ð Ñ ÒØ[(q k, (x k, y k ))] = [(q k, (x k, y k ))]ºÄ ÔÖ ÙÚ Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ {x k } > {y k ÓÙ ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ x k = x k 1 = 0ºËÓ Øl=y k y k 1º ÔÓÙÖy ÓÒØÐ Ñ Ñ µ Ø ÓÒ Ð Ü Ø ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ ))] ÔÙ ÕÙ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ú Ð ÙÖ l ÐÓÖ ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ l ØÙÒ ÒØ ÖÒ ØÙÖ Ð ÐÓÖ ÓÒÔÓ y k = y k 1 + [(q k, (x k, y k ))] = [(q k, (x k, y ØÕÙ l Ø ÔØ ÔÓÙÖг ÙØÓÑ Ø ³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ ØÖÙ ØÔ ÖØ Ö 1ÔÓÙÖÙÒ ÒØ ÖaºÈ ÖÐ ÓÖÖ Ø ÓÒ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ÓÒ k ))ºÇÒ ÙÔÔÓ ÓÒÑ ÒØ Ò ÒØ (q k 1, (x k 1, y k 1 ))Ú Ö (q 1[ Ø ÔØ º k, (x k, y k ÕÙ a<l<a + A ÐÓÖ ØÓÙØl Ñ Ñ Õ٠г Ü Ø Ò ³ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ ºÁÐÖ Ø ØÖ Ø ÖÐ k 1 Ù Ø ÙÜ ÒØ Ö ÓÒØ ÙܺËÓ Ø ]a, a + Ë y k 1 ØÙÒ ÒØ Ö ÐÓÖ y 1ÔÓÙÖÙÒ ÒØ ÖcºÇÒ Ø Ò Ù 3 ÓÙ ¹ l ØÐ ÓÒ Ø ÓÒ (i) Ø(ii) ÓÒØÚ Ö l = a + 2 ÓÒÔÓ y 1 k = y k 1 + c ÓÒØÐ Ñ Ñ Ø Ð Ü Ø ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ º < y k 1 ÓÒÐ Ö ÓÒ 2ºÇÒÔÓ < c + µë {y k 1 } + {l} > 1 ÐÓÖ c + l + 1 < y k < c + l + y k = y k 1 +l+1 2 k 1 2 k 1Æ ÐÓÖ y k = y k k Ø µë {y k 1 } + {l} = 1 ÐÓÖ c + l + 1 = y k ÓÒÔÓ ÓÒy k = y Ð Ü Ø ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ ÐÓÒ Ù ÙÖc + l + 1 y k 1 = l + 1 {y k 1 } ]l, l + 1[º

39 Ñ Ñ Ø Ð Ü Ø ÒÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒÓÑÔÖ º ÓÒÐ Ö ÓÒ ÓÒØÐ µë {y k 1 } + {l} < 1 ÐÓÖ c l < y k < c + l + 1ºÇÒÔÓ y y k 1 + l + 2 k 1 2 k 1Æ ÐÓÖ y = y º ÔÔÐ Ø ÓÒ k ÆȹÓÑÔÐ Ø ÙÖÐ Ð ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ö Ñ ØØ ÒØ Ñ Ð³ÙÒ ÙÜ Ì ÓÖ Ñ º º½ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ø ÈÖ ÙÚ ÓÖÐÓ Þ ÖÓº Ä Ö Ø Ö ÆÈÚ ÒØ Ù ØÕÙ³ÓÒÔ ÙØ Ú Ò ÖÙÒ Ü ÙØ ÓÒÓ Ð ÒØ ÐÐ Ö ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ö Ñ Ø Ñ yþ ÖÓº ÈÓÙÖÐ Æȹ ÙÐØ Ð Ù Ø Ö Ñ ÖÕÙ ÖÕÙ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð Ø ÓÒ º½ ØÓÖÖ Ø Ô ÖÐ ÓÖÓÐÐ Ö º¾º º ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô ÖÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º½ ÔÙ ÓÒÔ ÙØÚ Ö ÖÕÙ ØØ Ü ÙØ ÓÒ Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ñ Ò Ö ÔÐÙ Ò Ö Ð ØÔÓÙÖÐ Ñ Ñ Ö ÓÒ ÓÒÒ Ü ÙÒ ÙÐ ÙÜ ÓÖÐÓ ØÖ Ñ Þ ÖÓº Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ø ÆȹÓÑÔÐ Ø ÙÖÐ Ð ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ú Ö ÒØÕÙ Ò ØÓÙØ ÓÑÔÓ ÒØ Ù Ú ÒØ ØÐ ÙÜÖ ÙÐØ Ø ÔÖ ÒØ Ò ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ò µ Ú ØØ Ñ Ø Ó Ð Ö ÙÐØ ØÐ ÔÐÙ Ò Ö ÐÕ٠гÓÒÔÙ Ö Ö ØÐ Ì ÓÖ Ñ º º Ê[X]ÙÒÔÓÐÝÒÑ Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙØ ÙØÓ¹ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ñ Þ ÖÓ x Ù Ú ³ÙÒ Ö Ñ Þ ÖÓ y Ø Ò Ö ÙÖ ÔÙ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ð Ø Ð Ô ÖÙÒ Ü ÙØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ñ Ø A ØØ Ð ÔÓÙÖØÓÙØ Ø Øq Ø ÙØÓÑ Ø Ð³ Ø Øq Ø Ð ËÓ ØCÙÒ Ð ³ ÙØÓÑ Ø Øp p( A )º ÐÓÖ Ð³ Ð Ø ØÙÒÔÖÓ Ð Ñ ÆÈ ÙÖ ØØ Ð º ÓÑÔÖ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò A ÔÙ ÕÙ ÕÙ ÓÙ ¹ Ü ÙØ ÓÒÕÙ Ò ÈÖ ÙÚ ÒÓÑÔÖ ÒØØ ÒØÕÙ ÔÓ Ð ÙÒ Ø ÐÐ Ü ÙØ ÓÒ ÓÒÓ Ø ÒØÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Ö Ñ ØÕÙ³ÙÒ ÓÖÐÓ Þ ÖÓÔ ÙØ ØÖ ÓÑÔÖ Ú ÙÒ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð 1º ØÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ø ÐÐ ÓÙ ¹ Ü ÙØ ÓÒ Ø Ò Ö ÙÖ2p( A ) + + k k =

40 Ô ØÖ È Ø Ö ÒØ Ô Ø ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ Ø Ø Ò Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÙÜ ÓÖÐÓ Ò Ð Ð ÔÐÙ Ò Ö Ð ØÒÓÙ Ò Ô ØÖ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ò Ö Þ Ò ÓÖÑ ÐÐ Ð ¹ Ø ÒØ ÖÓÒ ³ ÜÔÐ ÕÙ ÖÔÓÙÖÕÙÓ Ò³ÓÒØÔ ÓÒÒ Ö ÙÐØ Øº º½ÆÓÙ ÓÑÑ ÒÓÒ Ô ÖÑÓÒØÖ ÖÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ º º Ò Ù ØÔ ÖÔÓÙÖ Ä Ñ Ø ÙØ ÓÖ Ñ º º Ù Ø ØÖÓÙÚ ÖÙÒ Ð Ò Ò ³ ÙØÓÑ Ø Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ ÙØÓÑ Ø Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø Ò Ð Ð ÔÐÙ Ò Ö ÐºÈÓÙÖ Ð Ð ØØ Ð ÙÒ Ø Ø Ø Ð ÔÙ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ñ ÕÙ ØÓÙØ Ñ ÒÔ ÖÑ ØØ ÒØг Ø Ø ØÔÓ ÙÒÒÓÑ Ö ³ ÐØ ÖÒ Ò Ð Ú Ð ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ ÙØ Ð Ú Ö ÒØ ÒØÖ ÙÜ ÙØÓÑ Ø ÙÖ º½µº ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÒ Ø ÐÐ Ð ³ ÙØÓÑ Ø ÙÒÔÓ ÒØ ÙÜ Ø Ø ÙÐ ÒØÖ Ö Ñ Þ ÖÓ ÙÖx Ø ÙÖyÕÙ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÒÐ Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø º º º½ ÙØÓÑ Ø ÞÓÙØ x = n, x 0 p x = n y = p q y = p, y 0

41 ËÓ ÒØn Øp ÙÜ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð tø ÐÕ٠г Ø Øq Ø pº Ò Ò Ô ÖØ Ò Ö Ð Ø ÙÔÔÓ ÓÒ n)ºæóø ÑÑ ÒØ n Øp ÓÒØ Ð ÔÙ (p, (0, 0))Ú Ö t=ôôñ(p, ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ t=n n < pº ÒØÖ ÙÜÖ Ñ Þ ÖÓ y ÐÝ ÙÑÓ Ò ÙÒ Ö Ñ Þ ÖÓ x Ò ÒØ Ð ÒÐ Ø ÐРг ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ ÓÒ ÓÒÙÒ Ð ³ ÙØÓÑ Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÒÐ Ø ÐÐ ÙÓ nºèóùön Æ Øp=n+1 ³ Ø ÜÔÓ¹ 2 ÐØ ÖÒ Ò ÒØÖ Ö Ñ Þ ÖÓ x Ø y ÕÙ ÙÖ ÕÙ Ü ÙØ ÓÒ ØØ Ò ÒØqº ÓÑÑ y ØÖ Ñ Þ ÖÓ ÙÑÓ Ò n Ó ÐÝ ÙÑÓ Ò 2n ÕÙ Ú Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ö º Ü ÑÔÐ 1 5 ÈÓÙÖn=7 Øp=5 ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ Ð ÔÐÙ ÓÙÖØ Ü ÙØ ÓÒ Ø¹ ÔÓ ÒØ ÐÐ ºÄ³ Ü ÙØ ÓÒÔ Ò ØÓÙØ Ð Ö ÓÒ ÒØ Ö Ù (7,0) Ø(0,5)ºÄ Ø Ò ÒØpºÄ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÒØÖ ØÓÒØ ÒÙ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ³ Ø ÓÒ Ò 0 7 x Ø Ò Òyº Ö Ñ Þ ÖÓ Ù Ú ÓÒØ Ø ÙÖÐ ÓÖÐÓ y, x, y, x, y, y, x, y, º¾ü Ù ÐØ ÖÒ Ò ÐÒ³ ØÔ ÔÓ Ð ÓÑÔÖ ÖÐ Ü ÙØ ÓÒ Ü ÙØ ÓÒ Ö ÙÐ Ö ÒØг Ø Øq Ñ Ò Ö ºÈÓÙÖØ ÒØ Ò ØÖ ÔÖ Ð Ø Ö Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ pú Ö q ÒÒ³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÐ Ö Ð Ô Ò Ù Ø Ð ÖÔÓÙÖn Øp ÓÒÒ q Ø Ð Ñ Ñ ÓÒ Ò Ð q)º ÔÐÙ Ð Ü ÙØ ÓÒ ÔÓ ÒØ Ö ÙÐ Ö Ø ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ô (p, 3Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ pú Ö qºä ÔÐÙ ÓÙÖØ Ü ÙØ ÓÒ 2 ÐÐ Ð Ö Ö Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÓØÓÒ t 1Ð ØÖ Ò Ø ÓÒÕÙ Ö Ñ ØxÞ ÖÓ t ÕÙ Ö Ñ ØyÞ ÖÓ Øt ÙØ Ð Ù Ú Ñ ÒØÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ t 2, t 1, t 2, t 1, t 2, t 2, t 1 p) ÓÒÔ ÙØ Ò Ö Ö 1 Õ٠гÓÒÔ ÙØ 2º, t 2, t Ö Ö Ö (t 2, t 1 ) 2 t 2 (t 2, t 1 ) 2ºÈÓÙÖn = 11 Øp = 7 Ð ÓÒÒ (t 2 t 1 t 2 t 2 t 1 ) 3 t Ñ Ò Ö ÔÐÙ Ò Ö Ð ÔÓÙÖÒ³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÓÙÔÐ (n,

42 ÙÒ Ù Ø ØÖ Ò Ø ÓÒÑ Ò ÒØq Ú ÙÒ ÜÔÖ ÓÒÙØ Ð ÒØ ÔÙ Ò ÓÖÐÓ ØÖÓÙÚ ÖÙÒÔ Ø ØÒÓÑ Ö ÝÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð³ ÙØÓÑ Ø Ò ÇÒÔÓÙÖÖ Ø Ô Ö Ö Ò Ö Ð Ö Ö ÙÐØ ØÒ³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÙØÓÑ Ø ÙÜ ÒÙÒ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÐ Ó n Øpº Ð ÓÖÐÓ ³ÙÒ ÖØ ÒÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ ÝÐ ÕÙ Ô ÖÑ ØØÖ Ø Ò Ó Ö Ò Ð³ Ü ÙØ ÓÒÕÙ³ÙÒ ÙÐ Ó Ð ÝÐ Ú Ð ÒÓÑ Ö Ó Ö ÓÙÖ Öг Ü ÙØ ÓÒ Ò Ð Ö ÒØ ÝÐ ³ ع¹ Ö ÐÙÐ Öг Ø ÙÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ü Ø Ô Ò ÒØ ÙØÓÑ Ø ÔÓÙÖÐ Õ٠Рг Ð Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÝÐ ØÙØ Ð Ù Ú Ñ Òغ˳ Ð ØØÓÙØ ØÔÓ Ð Ö ØØ Ò³ ØÔ Þ ÔÓÙÖÓ Ø Ò ÖÙÒ Ü ÙØ ÓÒ Ú Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º n 1ºÄ ÑÓØ Ì Ù ¹ÅÓÖ Ø nõù Ö ÓÒÒ Ø Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒÔ Ö Ñ ØÖ n Æ ÓÒÓÒ ØÖÙ ØÙÒ ÙØÓÑ Ø TM baºä ÔÖ Ü w ÐÓÒ Ù ÙÖ Ð ÔÖ Ü ÙÑÓØ Ì Ù ¹ÅÓÖ ÐÓÒ Ù ÙÖ2 ÙÒÑÓØw Ò Ò ÙÖг ÐÔ Ø{a, Ü ÑÔÐ b} Ò Ô Öfω ØÐ ÑÓÖÔ Ñ Ò Ô Öf(a) = ab Øf(b) = 2 n Øf n (b) (b)ó f : {a, b} {a, b} f(b) = ba f 2 (b) = baab f 3 (b) = baababba ijÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÙÑÓØ Ì Ù ¹ÅÓÖ ØÕÙ³ ÐÒ ÔÓ Ô f 4 (b) = baababbaabbabaab f 5 (b) nôó Ö ÙÒ ÙÒ ÕÙ Ö Ø ³ Ø ÕÙ ØØ a ØÙÒ ÙØÖ 3 ØÙÒ Ø ÙÖ w ÚÓ Ö = baababbaabbabaababbabaabbaababba Ù ÐÒ³ Ü Ø Ô ÑÓØv {a, b} Ø ÐÕÙ v ØØ Ü ÙØ ÓÒÒ ÔÓÙÖÖ Ô ØÖ Ð Ö Ñ Ò Ö Ù ØØ Ô ÖÔ Ö ÙÜ Ö Ø Ò ÙÒÓÖ Ö Ö Ô Ø ÒØÐ ÑÓØ Ì Ù ¹ÅÓÖ Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ø ³ Ø ÕÙ ØØ bºìóùø Ü ÙØ ÓÒ ØØ Ò ÒØÙÒ Ø Ø Ò Ð ÚÖ ÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ½½ µºtm ÔÖÓÔÖ Ø ÙÑÓØwº ØÖ Ú Ð Ú Ð ÒØ Ò Ö Ð Ñ ÒØ0 Ù Ò Ð Ø ØÔ ÖÑ ØØ ÒØ ³ ÑÔ Ö Ð Ø ÑÔ ³ ÓÙÐ ÖºÁÐÔÓ ÙÒÙÒ ÕÙ Ø Ø Ò ÐÒÓØ fºä Ø ÒÓÑÑ Ä³ ÙØÓÑ Ø Ð ÙÖ º¾ÔÓ ÙÜ ÓÖÐÓ x Øyºy ØÙÒ ÓÖÐÓ Ö y=0ºä³ ÓÖÐÓ xó ÙÒ Ù Ø nð ØØÖ aóùbô ÖÙÒ ÒØ Ö RienÒ³ÓÒØ ÙÙÒ Ø ÙÖÐ ÓÖÐÓ ÓÒÔ ÙØÐ Ö ÑÔÐ ÖÔ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ.ÔÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ nº Ò Ö Ó Ø ÒÙ ÒÖ ÑÔÐ ÒØaÔ Ö0 ØbÔ Ö1º ÓÒx Ø ÓÖÒ Ô Ö2 Ä ÑÓØ Ì Ù ¹ÅÓÖ w=w 1...w n.. ØÓÙØn Æ w n Ò ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ñ ÒØnºÊ Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ n+1 ØÔ Ö Ø ÙÐ Ñ ÒØ i Ð Ù Ø ÓÒÒ ØÖ Ø 2n 1 = w n w 2n ÓÒÔÓÙÖÓÒÒ ØÖ w w i ºÁÑ ÒÓÒ ÕÙ³ÓÒÚ Ù ÐÐ ÐÙÐ Öw n+1 ÒØÕ٠гÓÒÓÒÒ Øw 2 n 2 w + 1 ØÔ Ö w n+1 n+1ºë ÓÒÓÒÓÒÒ ØÐ Ú Ð ÙÖ 1 Ø ÑÔ Ö Ð ÙØÓÒÒ ØÖ n+1ôù ÕÙ w n ÓÒÓÒÓÒÒ Øw 2 г ÐÔ ØÒ ÓÑÔÓÖØ ÕÙ ÙÜÐ ØØÖ ºË n + ¼ w n 2 = w nºë n w n 2 +1ÔÓÙÖÓÒÒ ØÖ Ð Ú Ð ÙÖ w