Vecteurs. E. Adam J. Chayriguès G. Mora C. Nabet. Lycée Louise Michel (Gisors)

Transcription

1 Lycée Louise Michel (Gisors)

2 Identifier et tracer les représentants d un vecteur Lire les coordonnées d un vecteur et représenter un vecteur connaissant ses coordonnées Calculer et utiliser les coordonnées d un vecteur Construire un point défini par une relation vectorielle Simplifier une relation vectorielle Etablir la colinéarité de deux vecteurs Utiliser la colinéarité de deux vecteurs (alignement, parallélisme).

3 Translation Définition A et B sont deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB. Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB), pour sens celui de A vers B et pour longueur la longueur AB. A F 1 M AB B F 2 N

4 Translation Définition A et B sont deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB. Le vecteur AB a pour direction celle de la droite (AB), pour sens celui de A vers B et pour longueur la longueur AB. A F 1 M AB B F 2 Par la translation de vecteur AB, le point M a pour image le point N. N

5 Image d un point 1er cas : C / (AB) L image de C par la translation de vecteur AB est le point D de façon que ABDC soit un parallélogramme. B A D C Le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme.

6 Image d un point 1er cas : C / (AB) L image de C par la translation de vecteur AB est le point D de façon que ABDC soit un parallélogramme. 2ème cas : C (AB) L image de C par la translation de vecteur AB est le point D de façon que D (AB) tel que AB = CD et tel que le sens de C vers D soit le même que celui de A vers B. B A D C Le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme. D C B A

7 particuliers Le vecteur AA est appelé vecteur nul. On le note 0. Ainsi, AA = 0.

8 particuliers Le vecteur AA est appelé vecteur nul. On le note 0. Ainsi, AA = 0. Le vecteur BA est le vecteur opposé au vecteur AB. On note BA = AB. A AB BA B

9 égaux Définition Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils caractérisent la même translation. Autrement dit, AB = CD signifie que la translation qui transforme A en B, associe au point C le point D.

10 égaux Définition Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils caractérisent la même translation. Autrement dit, AB = CD signifie que la translation qui transforme A en B, associe au point C le point D. Conséquence AB = CD si et seulement si la quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). A C B D

11 égaux Définition Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils caractérisent la même translation. Autrement dit, AB = CD signifie que la translation qui transforme A en B, associe au point C le point D. Conséquence AB = CD si et seulement si la quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). A C B D Remarque AB = CD si et seulement si les vecteurs AB et CD ont le même sens, la même direction et la même longueur.

12 égaux De même que nous désignons parfois une droite (AB) par une seule lettre (par exemple D, ou d), nous désignerons parfois un vecteur par une seule lettre ( u, v ou w...). Si AB = CD = EF = GH, alors on dit que les vecteurs AB, CD, EF, GH sont des représentants d un même vecteur que l on peut noter u. Un vecteur admet une infinité de représentants. B u A F u E G C u u H D

13 Définition Dans un plan muni d un repère (O ; I ; J), les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que OM = u Å x Si M a pour coordonnées (x ; y), on notera : u yã u J M 1 O I Å 4 Sur cette figure, on a : u 2ã

14 égaux Propriété Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. Å Å ã x x Autrement dit, si u et v yã y alors u = v si et seulement si x = x y = y

15 Coordonnées du vecteur AB Propriété On considère un repère (O ; I ; J) et deux points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Le vecteur Å ã xb x AB a pour coordonnées : A y B y A y B 4 B y 3 B y A y A 2 A J x B x A 1 O I x A 2 3 x B 4 1 Cas particulier : Le vecteur nul 0 a pour coordonnées Å 0 0ã.

16 Relation de Chasles Relation de Chasles Pour tous points A, B et C du plan : AB + BC = AC B C A AB + BC

17 Coordonnées Propriété Dans Å un repère Å ã (O ; I ; J), on considère deux vecteurs x x u et v yã y. Le vecteur somme u + v a pour coordonnées

18 Coordonnées Propriété Dans Å un repère Å ã (O ; I ; J), on considère deux vecteurs x x u et v yã y. Å ã x + x Le vecteur somme u + v a pour coordonnées y + y.

19 Coordonnées Définition Soit u un vecteur de coordonnées Å x yã. Pour tout réel k, le vecteur k u a pour coordonnées u 2 2 O 2 u ,5 u Les vecteurs u et 1,5 u ont le même sens car 1,5 > 0 et les vecteurs u et 2 u ont des sens contraires car 2 < 0.

20 Coordonnées Définition Soit u un vecteur de coordonnées Å x yã. Pour tout réel k, le vecteur k u a pour coordonnées Å ã kx. ky u 2 2 O 2 u ,5 u Les vecteurs u et 1,5 u ont le même sens car 1,5 > 0 et les vecteurs u et 2 u ont des sens contraires car 2 < 0.

21 Colinéarité de vecteurs Définition Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v = k u. Autrement dit, u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

22 Colinéarité de vecteurs Définition Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v = k u. Autrement dit, u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Critère de colinéarité Å x Dans un repère (O ; I ; J), les vecteurs u et v yã sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Å x y ã

23 Colinéarité de vecteurs Définition Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v = k u. Autrement dit, u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Critère de colinéarité Å x Dans un repère (O ; I ; J), les vecteurs u et v yã sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0. Å x y ã Propriété : caractérisation du milieu d un segment Soient A et B deux points distincts et I un point du plan, alors I milieu de [AB] AI = 1 AB. 2