Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique

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1 Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique J. Bodin 12, T. Clopeau 2, A. Mikelić 2 1 Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs, 2 Institut Camille Jordan (UCBL) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

2 Plan 1 Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique 2 Approximation de Galerkin Théorème d existence 3 Principe du maximum le problème dégénéré 4 Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence 5 6 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

3 Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

4 Modèle de Richards classique Équation de Richards : Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique tθ div (k (θ) P) = 0, où θ = φ S : la fraction volumique du liquide, P : pression du liquide. Pression capillaire (statique) : Conductivité hydraulique : P c (θ) = P A P. k (θ) = K k r l (θ) µ. Classiquement : P c et k r l fonctions univoques de θ. k Pc S S Pression capillaire dynamique [1] : P A P = P c (θ) τ tθ. (1) τ : coefficient de relaxation. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

5 Prise en compte du caractère dynamique de la pression capillaire Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique Introduction de la pression capillaire dynamique (1) dans l équation de conservation de la masse : tθ τ div (k (θ) ( tθ)) + div `k (θ) P c (θ) θ = 0 (2) un ouvert bornée de R n, à frontière localement lipschitzienne. Cadre d étude simplifier : milieu isolé, τ constant, gravité négligée, flux massique nul sur le bord du domaine, θ (x, t = 0) = θ 0 (x), x. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

6 Objectifs Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique Objectifs le problème continu. Estimation a priori entropique θ H 1 `0, T ; H 1 () Principe du maximum. Construction et analyse d un schéma. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

7 Littérature Littérature Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique L étude des EDPs d ordre 3 ne sont pas très présentes dans la littérature. L. Pego, A. Novick-Cohen : τ et k constants [2]. C. Cuesta, J. Hulshoff, C. van Duijn : ondes progressives (linéaire) [3] [4]. Peu de références sur les EDPs non-linéaires dégénérées d ordre 3 [5]. même l étude du problème régularisé présente un intérêt. S. M. HASSANIADEH and W. G. GRAY, Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media, Water Ressources Research, vol. 29, pp , October L. PEGO and A. NOVICK-COHEN, Stable patterns in a viscous diffusion equation, American Mathematical Society, vol. 324, no. 1, C. CUESTA, C. VAN DUIJN, and J. HULSHOF, Infiltration in porous media with dynamic capillary pressure: Travelling waves, J. Appl. Math., vol. 11, pp , C. CUESTA and J. HULSHOF, A model problem for groundwater flow with dynamic capillary pressure: stability of travelling waves, Nonlinear Anal., vol. 52, pp , A. MIKELIC and H. BRUINING, Analysis of model equations for stress-enhanced diffusion in coal layer. part i : Existence of a weak solution ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

8 Approximation de Galerkin Théorème d existence le problème régularisé ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

9 Introduction du problème régularisé Approximation de Galerkin Théorème d existence Régularisation : k ε (θ) = k `ε + θ + P c,ε (θ) = P c,ε `ε + θ + où θ + (x, t) = sup (θ (x, t), 0) Considérations pour le problème non dégénéré : 1. 0 < m k k ε (θ) M k <, (3) 2. 0 < m p P c,ε (θ) M p <. (4) (pb.reg) = formulation variationnelle associée au régularisé, θ ε sa solution. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

10 Approximation de Galerkin Approximation de Galerkin Théorème d existence Méthode de Galerkin : {α j } j N une base de H 1 (), V N = Vect {α 1,, α N } l espace de discrétisation. θ εn (x, t) := où les coefficients c i (t) vérifient : NX c i (t) α i (x), i=1 tθ εn α j dx + τ k εn ( tθ εn) α j dx k εnp c,εn θ εn α j dx = 0 j = 1,, N (5) Problème de Cauchy : 8 dc (t) >< A (c) = B (c) c p.p. sur ]0, T [ dt >: c i (0) = θ 0 (x) α i (x) dx. (6) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

11 Existence du problème de Cauchy Approximation de Galerkin Théorème d existence Pour i, j = 1,, N : c (t) = (c 1,, c N ) T A j i (c) = R α i α j dx + R τ kεn α i α j dx B j i (c) = R kεnp c,εn α i α j dx Proposition Il existe un T N > 0 tel que le problème (6) admet une unique solution appartenant à C 1 [0, T N ]. Preuve : A (c) est une matrice symétrique définie positive. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

12 Existence globale en temps Approximation de Galerkin Théorème d existence Proposition Il existe des constantes C indépendantes de T N telles que pour tout t [0, T n] : tθ εn L2 (0, t; L 2 ()) C Preuve : α j tθ εn = P N i=1 c i (t) α i (x) dans (5). ( tθεn) L 2 (0, t; L 2 () n ) C Conclusion Pour tout T > 0, la solution du problème variationnel approché existe et appartient à C 1 ([0, T ] ; V N ). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

13 Estimations a priori et théorème d existence Approximation de Galerkin Théorème d existence Proposition Il existe des constantes C indépendantes de N telles que : θ εn L (0, T ; L 2 ()) C θ εn L2 (0, T ; L 2 () n ) C Preuve : α j θ εn = P N i=1 c i (t) α i (x). tθ εn L2 (0, T ; L 2 ()) C p k εn ( tθ εn) L2 (0, T ; L 2 () n ) C Théorème Il existe une solution faible θ ε du problème (pb.reg) avec : θ ε H 1 0, T ; H 1 (). De plus θ ε 0 p.p. sur ]0, T [. Remarque : estimations introduites dépendant de m k. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

14 Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

15 Entropie mathématique et principe du maximum Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré L entropie mathématique E vérifie : E (θ) = 1 k ε (θ). On appellera variable entropique, notée ϕ, la primitive de E : Théorème ϕ = E (θ) = θ Soit θ ε la solution du problème (pb.reg). On a alors : 0 dξ + CE. (7) k ε (ξ) ess inf x Majoration : θ 0 (x) θ ε (x, t) ess sup x u + (x, t) = max `θ ε (x, t) θ max 0, 0 θ 0 (x), p.p. sur ]0, T [ avec θ0 max = ess sup θ 0 (x) x Fonction test ϕ dans la formulation variationnelle de (pb.reg) : ϕ = u + 0 dϕ k `ε. + ϕ + θ0 max ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

16 Estimation d entropie Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré Proposition La solution θ ε du problème (pb.reg) vérifie : θ ε L (0, T ; L 2 ()) C où (8) C = 2 E (θ 0 ) dx + θ 0 (x) 2 dx. τ Preuve : fonction test variable entropique ϕ avec C E = 0. t E (θ ε) dx + τ «θ ε 2 dx 0 p.p. sur ]0, T [. 2 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

17 solution pour le problème dégénéré Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré Proposition Si l on suppose qu il existe une constante M telle que sup k (x) P c M, x [0,1] alors on obtient les estimations, indépendamment de m k : θ ε L (0, T ; L 2 ()) C q P c,ε L2 θ ε (0, T ; L 2 ()) C θ ε L2 (0, T ; L 2 ()) C tθ ε L2 (0, T ; L 2 ()) C p k ε ( tθ ε) L2 (0, T ; L 2 ()) C estimation pour ( tθ ε) dans L q ((]0, T [ ), q > 1? OUI, car T 1 kε q (θ C, ε) indépendamment de m k. 0 Conclusion : On peut maintenant passer à la limite ε 0, et la limite satisfait (2). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

18 Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

19 Formulation variationnelle entropique du problème (pb.reg) Nouvelle variable : ϕ = f (θ) = θ 0 dϕ k (ϕ) θ (ϕ) = ϕ 0 k f 1 (ψ) dψ. Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Formulation variationnelle entropique de (pb.reg) : Trouver ϕ H `0, 1 T ; H () 1 telle que : tθ (ϕ) v dx k (θ (ϕ)) P c (θ (ϕ)) θ (ϕ) v dx + τ k (θ (ϕ)) t θ (ϕ) v dx = 0, p.p. sur ]0, T [, v H 1 (), (9) avec la condition initiale (pb.entrop) = (9)-(10). ϕ (x, 0) = ϕ 0 (x) = θ0 (x) 0 dϕ k (ϕ) H 1 (). (10) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

20 Discrétisation du problème (pb.entrop) Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence {α i } i N une base de H 1 (). [0, T ] N + 1 intervalles égaux de longueur t = T /(N + 1). Définition récursive des éléments ϕ 0 h,, ϕ N h, de V h : ϕ 0 h = projeté orthogonal de ϕ 0 sur V h, dans H 1 (). ϕ n h, n 0 connu, ϕ n+1 h définit par la relation : n+1 θ `ϕh θ (ϕ n h ) v h dx t θ `ϕn+1 + τ k θ ϕ n+1 h θ (ϕ n h ) h v h dx t k θ θ θ v h dx = 0 v h V h. ϕ n+1 h P c ϕ n+1 h ϕ n+1 h (11) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

21 solution pour le schéma entropique Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Proposition Soit n N. Supposons ϕ n h, n 0 connu. Le schéma numérique défini par la relation (11) admet une solution ϕ n+1 h V h. Preuve : (Φ (ξ h ), v h ) = + `θ (ξh ) θ `ϕ n h vh dx τ k (θ (ξ h )) ` θ (ξ h ) θ `ϕ n h vh dx t k (θ (ξ h )) P c (θ (ξ h )) θ (ξ h ) v h dx v h V h. (12) Point fixe de Brouwer. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

22 Premières estimations a priori Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Objectif : Solution du schéma numérique (11) converge vers la solution du problème variationnel (pb.entrop) quand t 0 et h. Méthode : h, puis t 0. Proposition Il existe des constantes C indépendantes de h telles que l on ait les estimations : max `ϕn h 2 dx C, (13) XN+1 t n=1 1 n N+1 max 1 n N+1 θ `ϕ n h 2 dx C, (14) P c `θ `ϕn h θ `ϕn h 2 dx C, (15) Preuve : v h = ϕ n h dans (11). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

23 Théorème de convergence en espace Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Théorème Quand h, la suite {ϕ n h, n = 0,, N + 1} h de V N+2 h converge fortement dans L 2 () N+2 vers {ϕ n, n = 0,, N + 1} solution du problème discret : + θ `ϕ n+1 θ (ϕ n ) v dx t τ k θ ϕ n+1 θ `ϕ n+1 θ (ϕ n ) v dx (16) t k θ ϕ n+1 P c θ ϕ n+1 θ ϕ n+1 v dx = 0 v H 1 () Avec la condition initiale ϕ 0 (x) = ϕ 0 (x). D autre part la convergence de la suite {ϕ n h, n = 0,, N + 1} h de V N+2 h vers {ϕ n, n = 0,, N + 1} est faible dans H 1 () N+2 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

24 Secondes estimations a priori Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Proposition Pour 0 n N, il existe des constantes C indépendantes de t telles que l on ait les estimations : t t NX n=0 NX n=0 θ `ϕ n+1! θ (ϕ n 2 ) dx C (17) t θ `ϕ n+1 θ (ϕ n ) t 2dx C (18) Prolongement sur [0, T ] : θ t (ϕ) (t) = θ `ϕ n+1 si t ]n t, (n + 1) t], n = 0,, N. eθ t (ϕ) (t) une application continue de [0, T ] dans H 1 (), linéaire sur [n t, (n + 1) t], et égale à θ `ϕ n+1 au point (n + 1) t. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

25 Théorème de convergence de la solution du schéma numérique vers la solution de (pb.entrop) Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Lemme Il existe une constante C indépendante de t telle que les deux fonctions définies ci-dessus vérifient θ t (ϕ) e θ t (ϕ) 2 L 2 (0,T ;L 2 ()) ( t)2 3 C Convergence Théorème Quand t 0, les suites θ t (ϕ) et e θ t (ϕ) convergent fortement dans L 2 `0, T ; L 2 () vers θ (ϕ) solution du problème variationnel non dégénéré (pb.entrop), et de manière faible dans H 1 `0, T ; H 1 (). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

26 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

27 frac vol Φ = 0.4 K = m 2 (BC) P d = Pa (BC) λ = 2 Sr = µ = kg.m 1.s 1 condition initiale frac vol tau=0 tau=1e8 tau=1e9 t = 1e5 (s) m m frac vol t = 1e6 (s) frac vol t = 3e6 (s) tau=0 tau=0 tau=1e tau=1e tau=1e9 tau=1e m m ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

28 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

29 Conclusion Introduction du de pression capillaire dynamique dans l équation de Richards : existence d une le problème dégénéré (k (0) = 0), une régularité de la solution supérieure à la régularité qu on obtient pour Richards, principe du maximum, schéma stable et convergent, indépendamment de la dégénérescence de k. Perspectives Flux massique non nul.. Écoulements multiphasiques avec pression du gaz non constante. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29