Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire

Save this PDF as:
Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire"

Transcription

1 Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement Séquence 6 MA

2 Pré-requis A Fonctions de référence Fonction «carré» f : À savoir Dans le plan muni d un repère, la fonction «carré» est définie par f( )= où est un nombre réel. La fonction «carré» est : ] ;] [ ; + [ y 4 y = f. f est paire : f( ) = f( ) Variation + f( ) Séquence 6 MA

3 Fonction «inverse» f : À savoir R* = ] ; [ ] ; + [. La fonction «inverse» est : ] ;[. ] ; + [. f R* f est impaire : f( ) = f( ) Variation + f( ) y y = asymptotes Fonction «racine carrée» f : La fonction f + Variation + f( ) 4 Séquence 6 MA

4 y y = 4 5 Fonction «cube» f : + y 8 y = + f( ) 8 Séquence 6 MA 5

5 B Nombre dérivé À savoir On donne une fonction f et un nombre a. f lim ( a + h ) f ( a ) eiste on l appelle nombre dérivé de h h f en a et on la note f'( a). On dit alors que f est dérivable en a. f est dérivable en a, le nombre dérivé f '( a) est le coefficient au point Aafa ). ( ) ( )) est donc : directeur de la tangente à f f au point Aa fa y f( a) = f ( a)( a). C Maimum et minimum d une fonction Définitions Soit f I. f atteint un maimum en a I tout I, f( ) f( a). f( a) a. f atteint un minimum en a I tout I, f( ) f( a). f( a) a. f( a)etremum M P 5 4 Q m m Séquence 6 MA

6 Eemple f 68 f m et m. fm. P et Q f 68 Séquence 6 MA 7

7 Définition A Dérivées des fonctions usuelles Activités Nombre dérivé d une fonction f en un point d abscisse a (a quelconque) Cas de la fonction «carré» f af( )= et a = 8, a f :. 6 5 Cf Séquence 6 MA

8 a 4 5 f'( a) f ( a)a? Cas d une fonction constante f R parf( ) =. C f C f a f'( a) =... Cas d une fonction affine a) f R parf( ) = 7 +. C f C f a f ( a) =... f( )f'( ) Si R par ( )= m + p (m et p sont a, on a ( ) =... B Cours f en = a. f'( a). Définition Définition fif Ifonction dérivée de f f If en : f': I R f'( ) Séquence 6 MA 9

9 Rappel Lorsqu on parle d un intervalle I cela signifie qu on est dans l un des sept cas suivants : I = a ; b, I = a ; b, I = a ; b, I = a ; b, I = [ a; + [, I = ] ; b], I = ] + ; [. Remarque C est en 797 qu apparait pour la première fois l écriture f'. Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange l utilise pour désigner le nombre dérivé qu aujourd hui on note f'( ). Dérivées des fonctions usuelles f'( a) f'( ) f( ) tions f connaître. A savoir Fonction f Dérivée f Intervalle I () f( )= c (c f'( ) = () f( )= m + p f'( ) = m () (4) f( )= f'( ) = f( )= f'( ) = I = R (5) f( )= n, n N { } f'( ) = n n (6) f( )= f'( ) = I = + (7) f( )= f'( ) = I = I = + Séquence 6 MA

10 Remarques On dit souvent «la dérivée de la fonction f» à la place de «la fonction dérivée de la fonction f». La fonction «racine carrée» f : est définie sur + alors que sa dérivée f': n est définie que sur + Autrement dit, la fonction «racine carrée» est définie en zéro (et = ) mais sa dérivée n est définie pour =. Graphiquement, ceci se traduit par une tangente verticale au point d abscisse = ; c est-à-dire par une tangente dont on ne peut pas calculer le coefficient directeur. Dire que n N { } signifie que n est un entier naturel différent de zéro. Ainsi la formule de la dérivée de la fonction «puissance n-ième» f : n (donnée ligne (5)) généralise les formules des dérivées des fonctions «carré» et «cube» (données lignes () et (4)). Conclusion (avec m= et p= c ). f( )= m + p f ( ) = m. f '( f ) ( + ) = ( ). f( + ) ( ) m ( + ) m + m = = = = m, f ( + ) ( ) = m f m ( + ) ( ) = m. f'( ) = m. C Eercices d apprentissage Eercice f : On posef( )= Séquence 6 MA

11 , f ( + ) ( ). f m ( + ) ( ) =. f'( ) =. Eercice Eercice Eercice 4 f : On posef( )=, f ( + ) ( ) f m ( + ) ( ) =. f'( ) =. f : On posef( )=, f ( + ) ( ) f m ( + ) ( ) =. f'( ) =. f : On posef( )=, f ( + ) ( ) f m ( + ) ( ) =. f '( ) =. Séquence 6 MA

12 Dérivation et opérations algébriques A Activités En somme, c est simple! et v R par ( )= 7 + et v( ) =. Les fonctions et v R. '( ) etv '( ). f R, et v : = + v. f en a fonction f a =. f '( ) Un produit dérivé pas si docile! et v R par ( )= 4 et v ( ) = 5,. et v R. '( ) et v '( ). f + tions et v : = v. f '( ) B Cours,,, «) Séquence 6 MA

13 Dérivée d une somme Propriété Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. La fonction k u est dérivable sur I et ( k u) = k u. La fonction u+ v est dérivable sur I et ( u+ v) = u + v. Eemple ff( ) = + 7. f( ) = + ( 7 )= ( ) + v ( ) où( )= etv( ) = 7. '( ) = etv'( ) =. ( + )'( ) = '( ) + v'( ) = + f'( ) = +. Remarque On peut résumer la propriété en disant que «la dérivée de la somme est la somme des dérivées». De même pour la multiplication par un réel. L activité soulevait le problème : nous allons voir que la dérivation (c est-à-dire le calcul de la dérivée) ne se comporte pas aussi agréablement que l addition vis-à-vis de la multiplication et de la division entre fonctions. Dérivée d un produit Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. La fonctionu v est dérivable sur I et ( u v ) = u v + u v. Eemple ff( ) = ( + ). f( ) = ( ) v ( ) où( )= etv( ) = +. '( ) = ( ) ( ) = ( ) v( ) + ( ) v ( ) = ( + ) + et v ( ) =. 9 soitf'( ) = +. = = f'( ). 4 Séquence 6 MA

14 ne pas commettre à' '. Dérivée d un quotient Propriété Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I telles que v ne s annule pas sur I. La fonction u ' v est dérivable sur I et u u v u v v = ' '. v Eemple + ff( ) =. 4 + Posons( )= + etv( ) = 4+. I = + v I). 4 ( ) f( ) =. v ( ) ( ) = 6 + et v ( ) = 4. '( ) v ( ) v ( ) '( ) ( 6+ 4 )( + ) ( + ) 4 ( ) = = v v ( ) ( 4 + ) ( ) Soit f'( ) = ( 4 + ) Donc f'( ) =. ( 4 + ) Remarque Un cas particulier important est celui de =. Il s agit alors de calculer la dérivée de l inverse de v. Dans ce cas = et la formule de la propriété précédente devient ' v v v v = ' ' =. v v Ce résultat mérite d être signalé en tant que tel. Propriété Soit u une fonction dérivable et ne s annulant pas sur un intervalle I. La fonction ' u est dérivable sur I et u u = '. u Séquence 6 MA 5

15 Eemple C ff( ) =. Posons( )= f( ) = ( ). ( ) = '( ) f'( ) = = =. ( ( )) ( ) f'( ) =. Eercices d apprentissage Eercice Eercice Eercice f ( )f f( )= f( )= f( ) =, f( )= 7 + f( ) = f( )= + 7 f ( )f f( )= f( )= 5 f ( ) = 4 + ( + ) f et R 6 + Eercice 4 ff( ) f( ) = ( )( 4 ) f( ) = ( )( + ) f( )= Eercice 5 Eercice 6 f ( )f 5 + f( )= f( )= f( )= f ( )ff( )= + f( ) = Séquence 6 MA

16 4 Applications A de la dérivation Activités Des tangentes horizontales f C f C f =..., =..., =... f'( ) =..., f '( ) =..., f'( ) =... 4 f f 4f 45f Séquence 6 MA 7

17 Variations et signe de la dérivée f «Sif'( ) » «Sif'( ) » B Cours Dérivée et sens de variations Théorèmes Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si f est constante sur I alors pour tout réel I, f'( ) =. Si f est croissante sur I alors pour tout réel I, f'( ). Si f est décroissante sur I alors pour tout réel I, f'( ). Eemple f + par f( ) =. ff est croissante +. 8 Séquence 6 MA

18 4 + f'( ) f'( ). f'( ) =. = + f +, + > +. f +, f'( ). f ' 5 C f 4 f f est croissante. f ' est positive. 4 f ' f '( ) =. f a f traverse. 4 5 Séquence 6 MA 9

19 Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si pour tout réel I, f( )= alors f est constante sur I. Si pour tout réel I, f( ) alors f est croissante sur I. Si pour tout réel I, f( ) alors f est décroissante sur I. Logique réciproque fi I, f( ).». Sialors On note ceci A B Sialors On note ceci B A A B et oùb A on écrit A B Attention donc Sialors Eemple f : f':. R, f'( ). f est croissante. R. f R parf( ) = +. f R, f'( ) = + = +., + > f'( ) >. f R. 8 + par ( ) = , '( ) = '( ): '( ) = ( ) Séquence 6 MA

20 '( ) = ( ). +,. '( ). Tableau de variations Eemple R par f( ) = +. f R R, f'( ) = + Comme + = =, f ' =. + en f'( ) < f. f'( ) > + f +. f + f ' + f 4 f ( ) = ( ) + ( ) = 4 Remarque Cet eemple a mis en évidence la propriété suivante : L abscisse a du sommet de la parabole est solution de l équation f'( ) =. Cette propriété est vraie plus généralement pour tous les polynômes du nd degré. Séquence 6 MA

21 Etremum d une fonction Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I. Si f a un etremum en un point d abscisse a alorsf'( a) =. Remarque Autrement dit, un etremum est à prendre parmi les points où la dérivée s annule. Cependant, la dérivée peut s annuler en a I sans que la fonction f n atteigne d etremum en a. L eemple suivant en est une illustration. Mais d abord, dans l eemple suivant, voyons une application du théorème. Eemple f + parf( ) = ( ). + (attention, pas en = ). +, f'( ) = ( ) + = ( ) =. Comme f'( ) = = =, si f f f +, f( ) f( ) f( ) f( ). f( ) f( ) = ( ) ( ) = + = ( ). +, ( ) f( ) f( ). Séquence 6 MA

22 La fonction f =, ( ). f R parf( ) = ( ) +. f f'( ) = ( ), f '( ) =. f =, > ( ) > ( ) + > + f( ) > f( ). <, ( ) < ( ) + < + f( ) < f( ). C f C f «traverse» cette tan nées ) point d infleion.,5 Cf,5,5,,5,5,5,5,5 Une fonction peut atteindre un etremum en plusieurs points comme l illustre la courbe de fonction définie sur l intervalle 68ci-dessous : Remarque Une fonction peut aussi ne pas avoir d etremum sur un intervalle. C est le cas par eemple de la fonction «inverse» sur l intervalle + (définie parf( )= ), dont les valeurs sont aussi grandes que voulues puisque f (, ) =, f (, ) = 6,... (elle n a donc pas de maimum) et dont les valeurs sont aussi proche de zéro que voulues mais positives puisque f( ) =,, f( ) =,,... (elle n a donc pas de 6 minimum puisque la valeur zéro n est jamais atteinte). Séquence 6 MA

23 Optimisation Eemple X X premier temps. V( ). V( ) = ( ) V( ) = La fonction V etv'( ) = V'( ) V'( )= 4+ 9 = = ( 8) 4 4 = 6= 4 4 Séquence 6 MA

24 > est 4( )( ) 8 où = ( ) 8 = 4 = ( ) + = 4 V'( ) = 4( )( ), V'( ) = ( )( ). ( )( ) R,5, ( )( ) + + V,5,5 V ' + V V ( ) = =, V ( 5, ) = 4 5, 5, + 9 5, = et V (, 5) = 4 5, 5, + 9 5, =. m, f f ' f'( ) Séquence 6 MA 5

25 C Eercices d apprentissage Eercice Soit f 4 parf( ) = + +. f ' f. f'( ). f 4 f a.? 4? f( )= Eercice Soit f 4 4 parf( ) = + 4. f ' f. f'( ). f 44 Eercice Soit f + parf( ) =. + f ' f. f'( ). f + Eercice 4 f et f( )= et + ( ) =.. a. A, ce point). PP est P A, Eercice 5 6 Séquence 6 MA

26 «Si f'( ) I M C f I C f f est croissante». f C f f'( )». Eercice 6 «Si f ( a) = a)». «Si f ( a) = a». Eercice 7 f + f f( ) f( )? f( ) > f( )? Eercice 8 C, C, C f, et C C C Séquence 6 MA 7

27 La fonction f fonction. f, et 8 Séquence 6 MA

28 5 Synthèse de la séquence Dérivées des fonctions usuelles Fonction f Dérivée f Intervalle I f( )= c (c f'( ) = I = R f( )= m + p f'( ) = m f( )= f'( ) = f( )= f'( ) = f( )= n, n N { } f'( ) = n n f( )= f'( ) = f( )= f'( ) = I = + I = I = + Dérivation et opérations sur les fonctions Soient et vi ' etv '. Fonction Dérivée + ( + )' = ' + ' où k R. ( )' = ' ( )' = ' + ' ( )' = ' ( )' = ' n où n N { } n n ( )' = ' Séquence 6 MA 9

29 (I) ' = ' v (vi) ' v = ' ' v Applications de la dérivation fi. Théorèmes et Théorème «fi I, f'( ) =». «fi I, f'( )». «fi I, f'( )». fi. Si faf'( a) =. Séquence 6 MA

30 5 Eercices d approfondissement Eercice I I Démontrons d abord le premier point du théorème à savoir : Si fi I, f'( ). f f I, f'( ). a I. f'( a). a) >, f( a+ ) ( a). >, fa ( + ) ( a ). a) <, f( a+ ) ( a). <, fa ( + ) ( a ). f'( a). I, f'( ). II Démontrons ensuite le second point du théorème, à savoir : Si f I, f'( ). f f Eercice II ff( ) = ( + ) +. 4 a)f. f '( ). Séquence 6 MA

31 c) a f'( a). f est croissante. f '. f'( ) a)f'( ) = +. a+ vraie + +. Eercice III er poste. f et ) et C f S R C g La fonction f parf( ) = + 5. La fonction 5 par ( ) = ( ). 7 ( SR ) a)c f S Séquence 6 MA

32 C R a)f et. Fonction[f,a,b] ( SR ). c) Eercice IV Eercice V, est V = π où. Déterminer 4t + ft ()= où tf() t est t + 8 f'( t) a) t Année 98 +t 8 9 f a)f '( 8) f '( 9 ). Eercice VI Séquence 6 MA

33 er G( ) = 5, 5, où. G. Déterminer G ( ) G ( ) G. 4 Séquence 6 MA

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire

Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )

LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» ) SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Sites web éducatifs et ressources en mathématiques

Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Exercices en ligne pour le primaire Calcul mental élémentaire : http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-sous.html Problèmes de soustraction/addition

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.

Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.

Plus en détail

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de

Plus en détail

Logistique, Transports

Logistique, Transports Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

Quelques tests de primalité

Quelques tests de primalité Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Section «Maturité fédérale» EXAMENS D'ADMISSION Session de février 2014 RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES. Formation visée

Section «Maturité fédérale» EXAMENS D'ADMISSION Session de février 2014 RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES. Formation visée EXAMENS D'ADMISSION Admission RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES MATIÈRES Préparation en 3 ou 4 semestres Formation visée Préparation complète en 1 an 2 ème partiel (semestriel) Niveau Durée de l examen

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail