Introduction à la simulation de Monte Carlo

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1 Introduction à la simulation de Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1

2 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues à l aide du générateur de nombre aléatoire de votre logiciel préféré. I L estimateur de de la quantité θ E [g (X )] est bθ n 1 n n g (X i ). i=1 e I Remarquons que bθ n est une fonction de l échantillon X 1, X,..., X n. C est une variable aléatoire. I Exemple : Si X est un prix au temps T et que nous voulons tarifer une option d achat, alors g (X ) = e rt max (X K; 0).

3 Propriétés asymptotiques I Supposons que σ Var [g (X )] <. Comme l estimateur bθ n est formé d une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, alors : e 3

4 Propriétés asymptotiques Estimateur convergent I bθ n est un estimateur sans biais et convergent pour θ. En e et : Sans biais h i E b θ n = E Convergent h i Var b θ n " 1 n = Var # n g (X i ) = 1 i=1 n " 1 n! 0 lorsque n!. n i=1 E [g (X i )] = 1 n # n g (X i ) = 1 n i=1 n i=1 n θ = θ. i=1 Var [g (X i )] = {z } =σ σ n e 4

5 Propriétés asymptotiques loi forte des grands nombres I La loi forte des grands nombres nous permet d a rmer que bθ n converge presque sûrement vers la quantité à estimer θ lorsque la taille n de l échantillon tend vers l in ni, c est-à-dire que Pr h lim n! bθ n i θ = 0 = 1. e 5

6 Propriétés asymptotiques Loi faible des grands nombres I Le théorème limite central implique que bθ n σp n θ n! ) N (0, 1) (converge en loi vers une distribution normale centrée et réduite lorsque la taille n de l échantillon tend vers l in ni). e Rappelons que σ Var [g (X )]. 6

7 Intervalle de con ance Écart-type connu Le dernier point nous permet de construire des intervalles de con ance autour de notre estimateur. En e et, si z α est le d ordre 1 α de la distribution normale centrée et réduite, c est-à-dire que Pr [Z z α ] = 1 α, alors l pour θ (de niveau de con ance 1 α) est bθ n z α σ pn ; bθ n + z α σ pn e lorsque la taille n de l échantillon est su samment grande. 7

8 Intervalle de con ance Marge d erreur Nous pouvons évaluer la précision de notre estimation puisque nous savons que 1 α = Pr 4 z α = Pr bθ n θ z α p n b θ n θ σ σ pn qui est équivalent à σ Pr bθ n θ > z α pn ' α. 3 z α 5 e Ainsi, la marge d erreur est Marge d erreur = z α σ pn. 8

9 e Estimation de la variance I Évidemment, en pratique, si on ne connaît pas θ E [g (X )], il y a très peu de chance que l on connaisse σ Var [g (X )]. Nous devons donc estimer σ. I L estimateur de sans biais de σ est bσ n = = n 1 n 1 g (X i ) bθ n i=1 n 1 n 1 (g (X i )) n b θ n. i=1 n 1 e 9

10 e I Intervalle de con ance I Si bσ (n) q bσ n, alors l pour θ (de niveau de con ance 1 α) est " # bσ bθ (n) bσ n z α p ; bθ (n) n + z α n p n e lorsque la taille n de l échantillon est su samment grande. I Encore une fois, cet intervalle est construit autour de la loi asymptotique de notre estimateur et il faudra être prudent lorsque notre échantillon sera de petite taille. 10

11 e II Intervalle de con ance I Notons que les tailles des échantillons sont habituellement très grandes lors des simulation de. Nous n avons donc pas besoin d introduire la loi de Student puisque cette dernière converge vers la distribution normale centrée et réduite lorsque n! e 11

12 e La marge d erreur La marge d erreur correspond à la demie de la longueur de l, c est-à-dire marge d erreur = z α σ pn h i = z α rvar b θ n. e 1

13 e I Un exemple I Soit S, le prix d un titre risqué au temps T. Nous voulons estimer la valeur au temps 0 d une option d achat dont le prix d exercice est K et la maturité est T, c est-à-dire que nous cherchons à estimer h i θ = E Q e rt max (S K; 0) e où Q représente une mesure neutre au risque. I La fonction g : <! < est donc g (x) = e rt max (x K; 0). 13

14 e II Un exemple I Nous supposerons aussi que nous sommes dans le cadre du modèle de Black et Scholes, c est-à-dire que S = L s 0 exp r ν T + ν p T Z où s 0 est le prix au temps t = 0 du titre risqué, r représente le taux sans risque, ν est la volatilité instantanée du rendement du titre risqué, Z est une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et L = dénote une égalité en loi. e 14

15 e III Un exemple I Évidemment, cet exemple est purement pédagogique puisque, dans ce contexte, nous connaissons la valeur de θ : h i θ = E Q e rt max (S K; 0) = s 0 N (d) Ke rt N = s 0 Z d exp z d ν p T dz Z d νt 1/ p Ke rt π z exp p π e dz où d = ln s 0 ln K + ν p T r + ν T. 15

16 e IV Un exemple I Dans ce contexte, nous connaissons même l écart-type puisque h i σ Var e rt max (S K; 0). En e et, comme il est démontré en annexe, σ = s0 exp ν T N d + ν p T s 0 K exp ( rt ) N (d) +K exp ( rt ) N d θ. ν p T e 16

17 e V Un exemple I Dans le cas où s 0 = 100, r = 0.05, ν = 0.0 et T = 1, nous avons K θ σ K = 0.9 s K = 1.0 s K = 1.1 s e 17

18 I Évaluation d une option dans le contexte NGARCH I Nous allons reprendre la tari cation des trois options en utilisant comme modèle de marché un processus NGARCH simulé sur une base quotidienne. e 18

19 II Évaluation d une option dans le contexte NGARCH I Le prix S t de l actif sous-jacent à la t ième journée, sous la mesure neutre au risque Q, est, 8t f0, 1,,...g, ln S t+1 S t = ρ 1 h t+1 + p h t+1 ɛ t+1 h t+1 = β 0 + β 1 h t + β h t (ɛ t eλ) où fɛ t : t Ng est une suite de variables aléatoires gaussiennes (d nulle et de variance unitaire) indépendantes sous la mesure Q. I Le processus h représente la variance conditionnelle h idu rendement quotidien du titre: h t+1 = Var Q t ln S t+1 S t. e 19

20 III Évaluation d une option dans le contexte NGARCH I Les paramètres sont choisis de sorte que ce modèle de marché ait un comportement similaire à celui de Black et Scholes utilisé dans l exemple. I S 0 = 100. I Le taux d intérêt sans risque ρ est quoditien. Ainsi ρ 365 = r, d où ρ = 0.05/365 = I Nous prendrons des valeurs typiquement observées pour les paramètres β: β 0 = , β 1 = 0.8 et β = 0.1. I La variance stationnaire est h = β 0 f1 β 1 β [1 + eλ ]g 1. Pour que la variance stationnaire (quotidienne) soit équivalente à celle utilisée dans le cadre de Black et Scholes, nous posons h = β 0 f1 β 1 β [1 + eλ ]g 1 = ν /365 ce qui implique que eλ = I Finalement, nous posons h 1 = h = e 0

21 Devoir à rendre I Les questions 1. Déteminer le prix des options d achat d une maturité de 6 mois dont les prix d exercice sont respectivement 0.8 S 0, 0.9 S 0, S 0, 1.1 S 0 et 1. S 0 à l aide d une simulation de pour des tailles d échantillon égales à 5 000, , 5 000, et Construire les intervalles de con ance autour de ces prix. 3. Noter les temps de calcul nécessaires pour chaque taille d échantillon. 4. Produisez un graphe présentant la marge d erreur en abscisse et le temps de calcul en ordonnée. e 1

22 Quantile. Pour tout α (0, 1), le d ordre α de la distribution F X est la quantité x α = inf fx < : F X (x) αg, c est-à-dire que x α est la plus petite valeur pour laquelle la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs plus petites ou égales à x α est plus grande ou égale à α. Pourquoi ne pas avoir dé ni le d ordre α comme étant la quantité x α satisfaisant l équation e F X (x α ) = α?

23 Quantile Fonction de répartion et e α x α 3

24 Quantile α Fonction de répartion et e x α 4

25 Quantile θ α Fonction de répartion et e x α 5

26 Mise en contexte Lorsque le portefeuille est constitué d instruments nombreux et complexes, il n est généralement pas possible de connaître analytiquement la distribution de la valeur du portefeuille à un instant futur donné. On peut alors procéder par simulation. Dans d autres cas, l estimation d un se fait par échantillonnage. e 6

27 L échantillon et la notation I Dans ce qui suit, X 1, X,..., X n représente un échantillon constitué de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées à la variable aléatoire X de fonction de répartition F X. De plus, X (1), X (),..., X (n) désigne le même échantillon ordonné, c est-à-dire que e X (1) X ()... X (n). 7

28 Fonction de répartition empirique I I. La fonction de répartition empirique construite à partir de l échantillon X 1, X,..., X n de taille n est 8x <, F (n) X (x) = 1 n n 1 fxi x g i=1 où la fonction caractéristique 1 fxi x g vaut 1 si X i x et 0 sinon. I Pour un nombre réel x xé, F (n) X (x) est la proportion des observations de l échantillon qui sont inférieures ou égales à x. e 8

29 Fonction de répartition empirique II I Portion d une fonction de répartition empirique 5n 1 4n 1 3n 1 n 1 n 1 e X () X (1) X (4) X (3) 9

30 L estimation ponctuelle d un I. Pour tout α (0, 1), l estimateur bx (n) α du d ordre α de la distribution F X est la quantité bx (n) α = inf n o x < : F (n) X (x) α où F (n) X est la fonction de répartition empirique. I pragmatique. Notons que si k 1 k f1,,..., ng, alors bx (n) α puisque k 1 < nα k n < α k n, = X (k). Par conséquent, e bx (n) α = X (dnαe) = X (k). où dxe est le plus petit entier supérieur ou égal à x (et bxc est le plus grand entier inférieur ou égal à x). 30

31 Exemple Exemple. α = 0.5. Nous voulons évaluer le d ordre n nα dnαe e 31

32 Exemple Exemple. Nous voulons évaluer le d ordre α = 0.1% = n nα dnαe e 3

33 La notation I Soit x α, le d ordre α de la distribution F X. Dé nissons les variables aléatoires 1 si Xi x ξ i = α, i f1,,..., ng 0 sinon et ξ = n i=1 ξ i. I ξ représente le nombre d observations inférieures où égales à x α. e 33

34 I Puisque ξ est une somme de variables aléatoires indépendantes et distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre θ = P (ξ i = 1) = F X (x α ), alors ξ est de loi binomiale(n, θ). I Notons que si x α n est pas un point de discontinuité de la fonction F X, alors θ = α. Sinon θ > α. e Fonction de répartion et θ α x α 34

35 Construction de l I Rappelons que X (1) X ()... X (n) dénote notre échantillon ordonné. I Si a f1,,..., ng, alors ξ a si et seulement s il y a au moins a observations inférieures ou égales à x α, c est-à-dire si X (a) x α. I Si b f1,,..., ng, alors ξ < b si et seulement s il y moins de b observations inférieures ou égales à x α, c est-à-dire X (b) > x α. e 35

36 Utilisation de l approximation normale I Remarquons aussi que, puisque ξ = n i=1 ξ i est de loi binomiale(n, θ), alors lorsque la taille n de la simulation est très grande, il est possible d approcher la distribution de ξ par une distribution normale(nθ, nθ (1 θ)). I Plus θ est près de 0 ou de 1, plus la taille de la simulation devra être grande pour que l approximation soit de bonne qualité. Or, dans le cas de l estimation d une valeur à risque, le θ sera petit. e 36

37 Utilisation de l approximation normale I Rappel : ξ a, X (a) x α et ξ < b, X (b) > x α. p I Posons, β = z β nθ (1 θ). I Si Z N(0, 1), alors h i 1 β = P z β Z < z β " # = P ξ nθ z β p < z β nθ (1 θ) = P nθ β ξ < nθ + β P nθ β ξ < nθ + β h i = P X (bnθ βc) x α < X (dnθ+ βe). e 37

38 L I En résumé, h X (b ), X (b ) est un de niveau 1 où q b = nθ nθ (1 θ) et b = z β nθ + z β q nθ (1 θ) β pour x α e I Notons que θ = F X (x α ) n est pas toujours connu, rendant di cile le calcul de b et b. Cependant, dans le cas où F X est une fonction continue, nous avons θ = F X (x α ) = α. 38

39 Exemple I Exemple. Supposons que la taille de l échantillon est et que θ = 1%. Nous voulons un intervalle de con ance de niveau de con ance 95%. Comme alors b = = 938 z.5% = q (1 10 ) e et b = q (1 10 ) =

40 I 1. Évaluer le d orde 1% de la valeur dans 10 jours d un portefeuille de 10 options d achat ( pour chaque prix d exercice K /S 0 f0, 8; 0, 9 ; 1 ; 1, 1 ; 1, g d échéance T = 90 jours dans le contexte NGARCH présenté précédemment.. Donner l estimation ponctuelle ansi que les intervalles de con ance de niveau 95% pour chaque taille d échantillon. 3. Attention! Pour les 10 premiers jours, le processus doit être simuler sous la mesure de probabilité "réelle", c est-à-dire que le prix S t de l actif sous-jacent à la t ième journée, sous la mesure P, est, 8t f0, 1,,...g, e ln S t+1 S t = ρ + λ p h t+1 1 h t+1 + p h t+1 ɛ P t+1 h t+1 = β 0 + β 1 h t + β h t (ɛ P t e λ λ ) 40

41 II où ɛ P t : t N est une suite de variables aléatoires gaussiennes (d nulle et de variance unitaire) indépendantes sous la mesure P. λ = 0, Vous devez faire varier le nombre de scénarios utilisés pour l évaluation de la distribution du portefeuille au jours t = 10 mais aussi le nombre de scénarios utilisés pour évaluer les options. 4.1 Simuler m valeurs pour le couple (S, h) au temps t = 10 en utilisant la dynamique sous P. 4. Pour un couple (S, h) donné, évaluer les options à l aide de n trajectoires. Il faut utiliser la dynamique sous Q avec une échéance de 80 jours. 5. Votre document devra 5.1 décrire votre procédure de simulation, 5. justi er les choix concernant votre implémentation, 5.3 présenter vos résultats et les commenter. e 41

42 Deuxième moment I Calculons le deuxième moment. Comme Var [X ] + (E [X ]) = E X, σ + θ Variance d une option d achat dans le contexte Black et Scholes = E Q e rt max (S K ; 0) h = E max Q Se rt Ke rt i ; 0 = E Q "max ν s 0 exp T + νt 1/ Z Ke rt ; 0!# où Z est une variable aléatoire normale centrée et réduite. Le reste du calcul ne fait qu intervenir des propriétés de la loi normale. Comme s 0 exp ν T + νt 1/ z > Ke rt si et seulement si z > ln (s 0) ln (K ) + ν p T r ν T = d + ν p T, 4

43 Deuxième moment II Variance d une option d achat dans le contexte Black et Scholes alors = E Q "max Z d +ν p T ν s 0 exp T + νp T Z ν s 0 exp T + νp T z Ke rt ; 0!# Ke rt f Z (z) dz où f Z (z) représente une fonction de densité d une variable aléatoire gaussienne centrée et réduite. 43

44 Résolution de l intégrale I La dernière expression est égale à Z = s0 d +ν p exp T Z s 0 K d +ν p exp T ν T + ν p T z f Z (z) dz r + ν T + ν p T z f Z (z) dz Variance d une option d achat dans le contexte Black et Scholes Z +K e rt d +ν p f Z (z) dz T Z = s0 1 z d +ν p p 4ν p! T z + ν T exp dz T π 0 Z 1 s 0 K d +ν p p z ν p T z + T π Z +K e rt 1 z d +ν p p exp dz T π r + ν T 1 A dz 44

45 Résolution de l intégrale II Complétons les carrés : Z = s0 ν exp T d +ν p T Z s 0 K exp ( rt ) d +ν p T Z +K exp ( rt ) d +ν p T = s 0 eν T Z d ν p T Z +K e rt d +ν p T = s0 T eν 1 N d +K e rt 1 N 1 p π exp 1 1 p exp π z ν p T dz 1 1 p exp z ν p T dz π 1 z p exp dz π w Z dw s 0 Ke rt d 1 z p exp dz π ν p T s 0 Ke rt (1 N ( d)) d + ν p T 1 p π exp Variance d une option d achat dans le contexte Black et Scholes w dw 45

46 Résolution de l intégrale III Variance d une option d achat dans le contexte Black et Scholes Mais la symétrie de f Z implique que la fonction de répartition d une variable aléatoire gaussienne centrée et réduite satisfait 1 N (x) = N ( x). Alors σ + θ = s0 eνt N d + ν p T s 0 Ke rt N (d) +K e rt N d ν p T. 46

47 Calcul de la variance I Comme θ = s 0 N (d) σ = σ + θ θ Ke rt N d ν p T, alors Variance d une option d achat dans le contexte Black et Scholes = s0 eνt N d + ν p T +K e rt N d νt 1/ s 0 Ke rt N (d) s0 [N (d)] + s 0 Ke rt N (d) N h K e rt N d ν p i T d ν p T h = s0 e νt N d + ν p T (N (d)) i s 0 Ke rt N (d) 1 N d ν p T +K e rt N d ν p T 1 N d ν p T. 47