Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536. Éric Brunelle

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536. Éric Brunelle"

Transcription

1 Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle

2

3 Table des matières Introduction 1 Chapitre 1. Quelques rappels 3 1. Les ensembles 3 2. Arithmétique sur les nombres réels 9 3. Les polynômes 15 Chapitre 2. Équations et inéquations Les équations Les fractions algébriques Intervalles et inéquations 34 Chapitre 3. Étude graphique de fonctions 39 Introduction Éléments de l étude des fonctions Opérations sur les fonctions Rôle des paramètres a, b, h et k 52 Chapitre 4. La droite La fonction constante La fonction linéaire Relations entre deux droites Modélisation Les distances 69 Chapitre 5. La parabole La parabole de base La fonction transformée Recherche de la règle Résolution d équations ayant une fonction du second degré Modélisation Résolution d inéquations ayant une parabole Exercices sur la section 6 88 Chapitre 6. Fonctions particulières Fonction rationnelle 89 3

4 4 TABLE DES MATIÈRES 2. Fonction racine carrée Fonctions définies par parties Fonction valeur absolue 103 Chapitre 7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques Les exponentielles Les logarithmes 122 Chapitre 8. Les fonctions trigonométriques Le cercle trigonométrique La fonction sinus La fonction cosinus La fonction tangente Les fonctions sécante, cosécante et cotangente Identités trigonométriques 155

5 Introduction 1

6

7 CHAPITRE 1 Quelques rappels 1. Les ensembles 1.1. Introduction. Les ensembles sont des éléments importants des mathématiques. La compréhension de ceux-ci est essentielle pour faire l étude des différentes notions de ce cours. Regardons tout d abord ce qu est un ensemble. Définition 1.1. Un ensemble est une collection d objets appelés éléments ayant ou non une relation entre eux. NOTATION Habituellement, on identifie les ensembles par une lettre majuscule et les éléments d un ensemble par une minuscule. Par exemple, un élément a est dans l ensemble A. Cette phrase peut être écrit en mathématique comme suit : a A, où le symbole signifie élément de. Exemple 1.1. Les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. Ici, 1 A, maison B, mais 1 / C, c est-à-dire que l élément 1 n appartient pas à l ensemble C. On remarque que pour rassembler les éléments d un ensemble, on les met entre accolades {}. Cependant si le nombre d éléments d un ensemble est trop grand, cette notation est très peu utile. La façon de faire est présentée dans le prochain exemple. Exemple 1.2. Soit l ensemble G, l ensemble des garçons d une classe et F l ensemble des filles de cette classe. On les écrit comme suit : G = {x x est un garçon de la classe} et F = {x x est une fille de la classe}. NOTATION La barre verticale,, signifie tel que. Ainsi, l ensemble G se lit comme suit : "G est l ensemble des x tel que x est un garçon de la classe." 3

8 4 1. QUELQUES RAPPELS Définition 1.2. On dit que deux ensembles sont égaux si tous les éléments du premier sont dans le deuxième et vice-versa. Définition 1.3. Soit un ensemble E. On dit qu un ensemble S est un sous-ensemble de E si tous les éléments de S sont dans l ensemble E. NOTATION À ce moment, on écrit S E. Exemple 1.3. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. On a que C A, mais B A car maison / A Diagramme de Venn. Le diagramme de Venn est une manière visuelle de représenter les ensembles. Afin d illustrer cette méthode, revenons à l exemple précédent. Exemple 1.4. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. Le diagramme de Venn de ces ensembles est Sur cette B maison C A Fig. 1. Diagramme de Venn. figure, on voit bien que l ensemble C est inclu dans l ensemble A. Ce diagramme sera très utile pour étudier les opérations sur les ensembles que l on abordera dans la prochaine section. Définition 1.4. L ensemble vide, noté ou {}, est l ensemble qui ne contient aucun élément. Il est à noter que l ensemble vide est un sous-ensemble de tous les ensembles. NOTATION A, ensembles A. Le symbole est un quantificateur universel et signifie "pour tout".

9 1. LES ENSEMBLES Opérations sur les ensembles. Tout comme pour les nombres, il existe des opérations entre les ensembles. Le résultat de ces opérations est un ensemble. Définition 1.5. Soit A et B, deux ensembles. L union ou réunion de A et B est l ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent dans A et/ou B. On note cette opération A B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et/ou x B}. Exemple 1.5. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors C = A B = {1, 2, 3, 4, 5}. L union de deux ensembles se visualise avec le diagramme de Venn. La partie ombragée de la figure 2 montre la réunion des ensembles A et B. Une autre opération importante est l intersection de deux ensembles A B Fig. 2. Diagramme de Venn pour l union de A et B. Définition 1.6. Soit A et B, deux ensembles. L intersection de A et B est l ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent à la fois dans A et dans B. On note cette opération A B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et x B}. Exemple 1.6. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors C = A B = {3}. La partie ombragée de la figure 3 montre l intersection entre l ensemble A et l ensemble B. La dernière opération de cette section est la différence entre deux ensembles. Définition 1.7. Soit A et B, deux ensembles. La différence, notée A B ou A \B, est l ensemble des éléments qui sont dans A, mais qui ne sont pas d en B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et x / B}.

10 6 1. QUELQUES RAPPELS A B Fig. 3. Diagramme de Venn pour l intersection de A et B. Exemple 1.7. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors A B = {1, 2} et B A = {4, 5}. Il est à noter que A B B A. On dit alors que cette opération n est pas commutative. Par contre, l intersection et la réunion le sont, c est-à-dire 4. A B = B A et A B = B A. L ensemble résultant de la différence A B est illustré à la figure A Fig. 4. Diagramme de Venn pour A B. B 1.4. L ensemble universel ou référenciel. L étude des ensembles est souvent reliée à certaines situations de la vie. À ce moment, les valeurs possibles pour les éléments d un ensemble sont soumises à des contraintes qui forment ce que l on nomme l ensemble universel ou référentiel. On note cet ensemble U. Pour bien comprendre ceci, regardons un exemple. Exemple 1.8. Un jeu de dés à six faces consiste à lancer simultanément deux dés. On gagne si on obtient deux chiffres identiques. Trouvez l ensemble référentiel et l ensemble des possibilités gagnantes. Ici, l ensemble U est constitué de tous les couples (x, y) où x et y sont des nombres de 1 à 6 obtenus respectivement par le premier et deuxième dé. Ainsi, on peut écrire U = {(x, y) x {1, 2, 3, 4, 5, 6} et y {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.

11 1. LES ENSEMBLES 7 Pour ce qui est de l ensemble des possibilités gagnantes G, on a G = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6)}. Il est à noter que G U. Définition 1.8. Soit un ensemble A dans un ensemble universel U. On appelle complément de A, l ensemble de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A. On note cet ensemble A ou A c. En mathématique, cet ensemble est décrit par A := {x x U et x / A}. Exemple 1.9. Soit U = {1, 2, 3, 4,..., 9, 10} et A = {2, 4, 6, 8}. Alors, A = {1, 3, 5, 7, 9, 10}. A est représenté à la figure 5. U A A Fig. 5. Diagramme de Venn pour A Les ensembles de nombres réels. Dans cette section, regardons cinq ensembles très importants en mathématiques et dans la vie quotidienne. Ces ensembles ont tous la particularité d être infinis, c est-à-dire qu ils contiennent un nombre infini d éléments. Ceci n était pas le cas des ensembles qu on a vu jusqu ici. Le premier ensemble est celui des nombres dits naturels. Définition 1.9. L ensemble des nombres naturels, notéæ, est l ensemble suivant : Æ:= {0, 1, 2, 3, 4,...}. NOTATION Lorsque l on A := B, le := signifie que l ensemble B est la définition de l ensemble A. Ainsi,Æest par définition l ensemble {0, 1, 2, 3, 4,...}. Il ne faut pas confondre := avec = qui signifie seulement égalité entre les deux ensembles.

12 8 1. QUELQUES RAPPELS Il est à noter que dans certains livres 0 n est pas dans l ensembleæ. Le deuxième ensemble est celui des nombres entiers. Définition L ensemble des nombres entiers est l ensemble := {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. On peut facilement remarquer que l ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble des nombres entiers,æ. Le prochain ensemble est l ensemble de toutes les fractions. C est l ensemble des nombres rationnels. Définition L ensemble des nombres rationnels,éest l ensemble de tous les nombres de la forme p où p est un nombre entier et q q, un nombre naturel sauf 0. En mathématique, on écrit É:= p q p, q Æ/{0}µ. Malgré ces trois ensembles, on ne peut pas décrire la vie réelle. Par exemple, le nombre π, qui est nécessaire dans l étude des cercles, n est dans aucun des ensembles. Pourtant, il s agit bel et bien d un nombre de la vie puisqu il est le rapport entre la circonférence et le diamètre d un cercle. Il faut donc ajouter un ensemble qui est l ensemble des nombres irrationnels, c est-à-dire les nombres qui ne s écrivent pas comme une fraction. On note cet ensembleé. Définition L ensemble des nombres réels,êest l ensemble Ê de tous les nombres de la vie. En réalité,êest l union deéet deé, Ê:=É É. La relation entre ces ensembles est donnée grâce au diagramme de Venn à la figure 6. On remarque queæ É Ê Æ É Fig. 6. Diagramme de Venn des ensembles de nombres réels.

13 2. ARITHMÉTIQUE SUR LES NOMBRES RÉELS 9 Exemple Regardons dans quels ensembles sont les nombres suivants : 1.3 : ce nombre est un nombre rationnel, car 1.3 = 13/10. Ainsi, 1.3 É. 2 : ce nombre est irrationnel. Dans un cours plus avancé, on peut le montrer. Il est très rare qu une racine soit rationnelle est un nombre avec un développement décimal infini, mais il est tout de même rationnel, car 1. 2 = 11/ Exercices sur la section 1. (1) Soit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 7} et C = {2, 4, 5}. a) Trouvez A B, A C, (C B) A et (A B)/C. b) Supposons que ces ensembles sont dans l ensemble univers U, l ensemble des dix premiers nombres naturels non nuls. Trouvez A, B et C A. c) Dessinez le diagramme de Venn de cette situation. (2) Écrire tous les éléments des ensembles suivants : a) {x x Æet x < 4} b) {x x est une couleur de l arc en ciel} c) {x x est une journée de la semaine contenant un a}. (3) Dites si les nombres sont rationnels ou irrationnels. a) 1 b) π c) 5 d) 4 e) (4) Écrire avec l aide des opérations sur les ensembles (,, /,..) les ensembles suivants : a) {x x A et x / B} b) {x x A ou x / B} c) {x x A ou x B et x C} (5) Écrire en extension, c est-à-dire sous la forme {x x...}, les ensembles suivants : a) (A B) (B A) b) (A C) (A B) c) A A d) A A e) A B. (6) ***Montrez que A (B C) = (A B) (A C). 2. Arithmétique sur les nombres réels La base de l arithmétique sur les nombres réels est connue depuis le primaire. Il s agit d une opération faite entre deux ou plusieurs nombres réels. Il y a quatre opérations de base :

14 10 1. QUELQUES RAPPELS l addition ou somme de deux nombres réels : x + y, la soustraction ou différence : x y, la multiplication ou produit : x y et la division ou le quotient : x y. Ici, il faut bien prendre en note que pour la division, y 0. NOTATION La multiplication entre x et y est écrite à l aide du symbole. Ce symbole peut être confondu avec la lettre x qui est souvent utilisée. C est pourquoi, on notera le produit entre x et y comme x y ou simplement xy lorsqu il n y a pas d ambiguïtés. ßÞ Ð n fois 2.1. Les exposants entiers. Définition Soit un nombre a Ê\{0} et n Æ\{0}. On note alors que a n = a a... a. Ici, n est l exposant de a ou puissance de a. On définit a 0 = 1. Par contre, 0 0 n est pas défini. Cela signifie que 0 0 est indéterminé. Proposition 1.1. Soit un nombre a Ê\{0} et n Æ. On a que si n est pair, alors a n > 0, a Ê\{0}, si n est impair, alors a n a le même signe que a. Exemple Trouvons les valeurs de ( 5) 2 et ( 5) 3. ( 5) 2 = 5 5 = 25 et ( 5) 3 = = 125. Il faut bien noter que 5 2 signifie que c est 5 qui est au carré et non 5, d où l importance des parenthèses. Proposition 1.2 (Lois des exposants). Soit n, m Æ. Alors, on a les égalités suivantes : (1) a m a n = a m+n, (2) a n = 1 si a 0, an (3) am a n = am a n = a m n, (4) (a m ) n = a nm, (5) (ab) m = a m b m, a (6) a = b n n, avec b 0. bn

15 2. ARITHMÉTIQUE ßÞ Ð SUR LES NOMBRES RÉELS 11 a a... a m fois (n+m) fois Démonstration. Regardons la preuve de quelques-uns de ces résultats. Pour la première loi : a m a n = a a... a = a a... a ßÞ Ð n fois = a n+m (par la définition de l exposant) Pour la troisième loi : a m = a m 1 a n a n = a m a n (par la deuxième loi) = a m n (par la loi 1) Le principe pour démontrer les autres lois est le même. Nous reviendrons plus loin à ces lois lors de l étude des exposants qui ne sont pas nécessairement naturels Les priorités d opérations. Lorsque nous avons une grande expression, il faut savoir comment la simplifier. C est pourquoi, il existe ce que l on appelle la priorité d opération. Voici les étapes : Étape 1: On résoud l intérieur des parenthèses en suivant la priorité d opérations. Étape 2: On simplifie les exposants. Étape 3: On effectue les multiplications et divisions. Étape 4: On fait les additions et les soustractions. Exemple (5 + 2) 2 36 (3 2 3) = (7) 2 36 (9 3) les parenthèses = (7) 2 36 (6) = le exposants = les et = 193 les + et 2.3. Les fractions. Rappellons qu une fraction est un nombre réel de la forme a b, où a et b Æ\{0}. Définition On dit que deux fractions a b et c sont équivalentes si ad = d bc. Exemple Regardons quelques exemples :

16 12 1. QUELQUES RAPPELS est équivalente à est équivalente à, car = Par contre 2 7 est équivalente à 3, car Addition et soustraction de fractions. important important important important important Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu elles aient le même dénominateur. À ce moment, on additionne les numérateurs et le dénominateur reste le même. En mathématique, a b + c b = a + c b a b c b = a c. b Par contre, si les deux fractions n ont pas le même dénominateur, il faut effectuer une opération supplémentaire. On doit mettre les deux fractions sur le même dénominateur. La façon la plus simple est la suivante : a b + c d = ad bd + cb bd a b c d = ad bd cb bd Par la suite, on simplifie le résultat. = ad + cb bd ad cb =. bd Exemple = = 5 6 Ici, 5 est irréductible, c est-à-dire qu on ne peu plus simplifier cette 6 fraction Multiplication et division de fractions. La multiplication de deux fractions est définie comme suit : a b c d = ac bd. En d autres mots, la multiplication de deux fractions cnsiste à multiplier es numérateurs ensembles et les dénominateurs ensembles. Par

17 2. ARITHMÉTIQUE SUR LES NOMBRES RÉELS 13 contre, la division demande c un peu plus de travail. a b c = a b c loi des exposants d 1 d = a b c 1 1 lois des exposants d 1 = a b d lois des exposants = ad multiplication de fractions. bc Ce revient à dire que la division de deux fractions est le produit du numérateur par l inverse du dénominateur. 1 Exemple = = 6 3 = Les racines ou exposants fractionnaires. Nous avons vu plus tôt les lois des exposants dans le cas où ces derniers sont des nombres naturels. Regardons maintenant le cas où les exposants sont des nombres fractionnaires. Définition Soit n un nombre naturel impair et a un nombre réel. On écrit alors que a 1 n = n a. n a est la n e racine de a. Une forme équivalente à cette formulation est : b = n a b n = a Il est très important de noter qu ici n est impair. Le cas où n est pair est vu dans quelques instants. Exemple Trouvons la valeur de b si b = Une forme équivalente est de chercher b tel que b 3 = 125. On sait que 5 3 = 125. Donc, = 5. Définition Si n est pair, alors la racine n e de a est définie seulement si a 0. Cette contrainte provient du faire que b n 0 pour tout nombre n pair. Ainsi, si a = b n, alors b = n a existe seulement si a 0. De plus, si a = b n avec a > 0 et n pair, alors il existe deux valeurs de b qui satisfont cette égalité : b = n a ou b = n a.

18 14 1. QUELQUES RAPPELS Exemple Si x 2 = 4. On a que x = 2 satisfait l équation et que x = 2 la satisfait aussi. Puisque la racine d un nombre est en réalité un exposant, elle est sousmise aux mêmes lois que les exposants. Proposition 1.3. Voici les règles pour manipiler les racines : (1) a 1 n = 1 a 1 n = 1 n a, (2) a m n = ( n a) m = n a m, (3) n ab = n a n b et (4) nöa b = n a n b. important important important important important n a + b n a + n b 2.5. Exercices sur la section 2. (1) Simplifier les expressions suivantes : a) ( ) b) 3 c) d) d) e) y y 2y 1 3 f) (( 3)2 ) 4 (x 2 ) 3 (9 2 ) 4 (x 4 ) 2 g) 3 64x 6 y x 3 y 15 (2) Évaluer avec une calculatrice les nombres suivants : y 9 4 a) 2 b) c) (3) Trouver deux fractions équivalentes à chacune des fractions suivantes : a) 7 6 b) 3 16 c) 15 32

19 3. LES POLYNÔMES Les polynômes Définition Une variable est une quantité qui peut prendre n importe quelle valeur dans un ensemble donné. Une constante est une quantité fixe. Un monôme est une expression formée d un produit d une constante et de variables ayant des exposants naturels. Exemple Voici quelques exemples : (1) 3x 2 est un monôme ayant pour constante 3 et la variable x. (2) 14x 4 y 3 z est un monôme ayant comme variables x, y et z. (3) 4x 3 y 7 z 3 n est pas un monôme, car l exposant de z n est pas un nombre naturel. (4) 3 est un monôme dit monôme constant. Définition Un polynôme est une somme ou différence de monômes. Si le polynôme est la somme de deux monômes, on l appelle binôme. Si le polynôme est la somme de trois monômes, on l appelle trinôme. Exemple Voici quelques exemples : (1) 3x 2 + y est un binôme. On dit que 3 est le coefficient de x 2 et 1 le coefficient de y. (2) 3xy 9 z+8ab+4 est un trinôme. On appelle 4 le terme constant. (3) 2x + 4y 6z est un polynôme. (4) 2x 4xy 10 n est pas un polynôme, car 4xy 10 n est pas un monôme. Définition Le degré d un monôme est la somme des exposants de ses variables. Le degré d un monôme constant est 0. Le degré d un polynôme est le plus grand degré de ses monômes. Exemple (1) 3x 2 + y est de degré 2. (2) 3xy 9 z + 8ab + 4 est de degré = 11. (3) 2x + 4y 6z est de degré 1. (4) 8 est de degré 0.

20 16 1. QUELQUES RAPPELS 3.1. Somme et différence de polynômes. Pour additionner deux polynômes, P 1 et P 2, il faut additionner les coefficients des termes identiques, c est-à-dire ceux qui ont les mêmes variables et mêmes exposants. Exemple Soit P 1 = 3x + 4xy et P 2 = 6xy 2 4x. Alors, P 1 + P 2 = 3x + 4xy + 6xy 2 4x = (3x 4x) + 4xy + 6xy 2 = x + 4xy + 6xy 2 Exemple Soit P 1 = 3x 2 y 4xy 2 + 6xy 7x + 15 et P 2 = x 3 5xy 2 + xy + 3y + 4x 2. Alors, P 1 + P 2 = x 3 + 3x 2 y 9xy 2 + 7xy 3x + 3y Pour ce qui est de la soustraction de deux polynômes, P 1 P 2, revient à multiplier tous les coefficients de P 2 par 1 et à additionner ce résultat à P 1. Exemple Soit P 1 = 3x + 4yz 2 et P 2 = 3yz 2 + x. Alors P 1 P 2 = (3x + 4yz 2 ) (3yz 2 + x) = (3x + 4yz 2 ) + ( 3yz 2 x) = 2x + yz La multiplication de polynômes Multiplication monôme-monôme. Avant de passer à la multiplication de polynômes, regardons la multiplication de deux monômes à l aide d un exemple. Exemple Soit P 1 = 3x 2 y et P 2 = 5x 8 y 3 z. Alors, P 1 P 2 = (3x 2 y) (5x 8 y 3 z) = (3 5)(x 2 x 8 )(y y 3 )z = 15x 10 y 4 z Multiplication monôme-polynôme. La multiplication d un monôme et d un polynôme consiste à multiplier chaque terme du polynôme par le monôme et faire la somme du résultat. Exemple x (x + 3y 3xy) = x y + x 3y x 3xy = xy + 3xy 3x 2 y = 4xy 3x 2 y. Le principe de distribuer la multiplication du monôme sur chaque terme du polynôme se nomme la distributivité.

21 3. LES POLYNÔMES Multiplication polynôme-polynôme. La multiplication de deux polynômes, P 1 P 2, est très similaires. Elle consiste à multiplier P 2 par chacun des monômes de P 1 et à additionner ces produits. Ceci revient à effectuer une double distributivité. Exemple Soit P 1 = x + y et P 2 = 3xz + 4y 3 4. Alors, P 1 P 2 = (x + y) (3xz + 4y 3 4) = x(3xz + 4y 3 4) + y(3xz + 4y 3 4) (1 ère disbritubivitée) = (x 3xz + x 4y 3 4x) + (y 3xz + y 4y 3 4y) (2 e distributivité) = 3x 2 z + 4xy 3 4x + 3xyz + 4y 4 4y 3.3. Le quotient de polynômes Quotient monôme-monôme. Le quotient de deux monômes est très simple si l on se souvient de l égalité suivante : a n a m = an a m = a n m. Ainsi, pour trouver le quotient, il suffit de diviser les coefficients ensemble et de soustraire les exposants des mêmes variables du dénominateur de ceux du numérateur. Exemple x 8 y 2 z 3 w = 12 8x 5 yz 5 8 x8 x y2 z 3 5 y z 5w étape intermédiaire = 3 2 x8 5 y 2 1 z 3 5 w par la loi des exposants = 3 2 x3 yz 2 w. important important important important important Le quotient de deux monômes, ou plus généralement de deux polynômes, n est pas toujours un monôme ou un polynôme, comme le montre l exemple précédent. On peut effectuer la division directement en faisant les étapes dans notre tête. Exemple x 8 y 2 z 3 2x 5 yz 3 = 6x 3 y. Dans ce cas, on obtient un monôme.

22 18 1. QUELQUES RAPPELS Quotient polynôme par un monôme. On sait que la fraction a + c b = a b + c b. La même règle s applique si le numérateur est un polynôme et le dénominateur un monôme. On peut diviser chaque terme du polynôme par le monôme. Exemple x 4 3x 3 + 2x 2 2x 2 = 6x4 2x 2 3x3 2x 2 + 2x2 2x 2 = 3x x Quotient polynôme-polynôme. La méthode pour diviser un polynôme par un polynôme est un peu plus complexe. On va expliciter la façon de faire à l aide d un exemple. Celle-ci est la même que celle utilisée pour la division des grands nombres réels. Exemple On veut diviser 2x 2 + 8x 8 par x + 3. Étape 1: Écrire les termes des polynômes en ordre décroissant de degré. Ici, c est déjà le cas. Étape 2: Écrire la division à l aide du crochet,. 2x 2 + 8x 8 x + 3 Étape 3: On regarde combien de fois le premier terme du polynôme de droite entre dans le premier terme du polynôme de gauche. Ici, x entre 2x fois dans 2x 2. On écrit ce résultat sous le crochet. Par la suite, on multiplie x + 3 par 2x et on écrit se produit sous 2x 2 + 8x 8. 2x 2 + 8x 8 x + 3 2x 2 + 6x 2x Étape 4: On effectue la soustraction entre le polynôme de gauche et celui en dessous de lui. 2x 2 + 8x 8 x + 3 (2x 2 + 6x) 2x 2x 8

23 3. LES POLYNÔMES 19 Étape 5: On répète les deux dernières étapes jusqu à ce que le degré du polynôme gauche soit plus petit que le degré du polynôme diviseur. 2x 2 + 8x 8 x + 3 (2x 2 + 6x) 2x + 2 2x 8 (2x + 6) 14 Étape 6: Puisque 14 est de degré 0 et x + 3 de degré 1, on ne peut plus diviser. Alors, la réponse est 2x 2 + 8x 8 x + 3 = 2x x + 3. On appelle 14 le reste de la division Les priorités d opérations. Les priorités des opérations sont les mêmes que pour les expressions contenant seulement des nombres réels. Exemple Simplifions 3(x+2) 2 (2x 5)(3x+1)+(x 3 x) x. 3(x + 2) 2 (2x 5)(3x + 1) + (x 3 x) x = 3(x + 2)(x + 2) (2x 5)(3x + 1) + (x 3 x) x On fait les exposants. = 3(x 2 + 2x + 2x + 4) (6x 2 + 2x 15x 5) + (x 2 1) On multiplie les () ensembles. = 3x x x x x 2 1 On simplifie les parenthèses. = 2x x + 16 On effectue les + et Mise en évidence simple. La mise en évidence simple est l opération inverse de la distributivité. Pour ce faire, on trouve le monôme qui est en commun à chacun des termes du polynôme. Par la suite, on place ce monôme en avant de la parenthèse qui contient le quotient de chaque terme du polynôme par le monôme. Exemple Faire la mise en évidence simple de 3x 2 y+6xy 2 z 9x 4 y 3 z 2. On remarque que chaque coefficient est un multiple de 3 et que chaque terme possède au moins un x et un y. Ainsi, on mettra 3xy en évidence. 3x 2 y + 6xy 2 z 9x 4 y 3 z 2 = 3xy(x + 2yz 3x 3 y 2 z 2 ) Exemple On peut faire une mise en évidence simple pour ax + ay. Ainsi, ax + ay = a(x + y).

24 20 1. QUELQUES RAPPELS 3.6. Mise en évidence double. La mise en évidence double est un peu l inverse de la multiplication de deux polynômes. Exemple Soit l expression ax + bx + ay + by. On remarque qu il n y a rien en commun dans chacun des termes. Par contre, il y a x qui est dans les deux premiers et y dans le deuxième. Mettons ces termes en évidence. ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) À ce moment, il y a a+b en commun dans les deux termes. Effectuons une autre mise en évidence. ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) Nous venons donc de faire une double mise en évidence. Exemple Effectuons une double mise en évidence de l expression 2x 2 + 4x 5ax 10a. 2x 2 + 4x 5ax 10a = 2x(x + 2) 5a(x + 2) = (x + 2)(2x 5a) Les expressions spéciales Trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le résultat du développement de (x + y) 2. Ainsi, le membre de droite de (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 est un trinôme carré parfait. Le but est donc de repérer les expressions qui proviennent d un carré parfait. Pour y arriver, on vérifie si deux des termes sont des carrés et si c est le cas, on regarde si le dernier terme vaut le double du produit des racines des deux autres termes. À ce moment, le trinôme est un carré parfait et on peut l écrire comme le carré de la somme des racines des deux carrés Exemple Soit l expression 4x xy + 25y 2. On a que 4x 2 est le carré de 2x et 25y 2 est celui de 5y. On vérifie maintenant que le double du produit entre 2x et 5y vaut le troisième terme qui est 20xy. 2(2x)(5y) = 20xy Ainsi, 4x xy + 25y 2 = (2x + 5y) 2. Il est à noter que si le terme du centre est négatif, x 2 2xy + y 2, alors on place un signe négatif entre x et y, x 2 2xy + y 2 = (x y) 2.

25 3. LES POLYNÔMES Trinôme de la forme x 2 + bx + c. Ici, on aimerait écrire x 2 +bx+c, où b, c Ê, comme un produit (x+u)(x+v) toujours avec u, v Ê. Mais comment trouver u et v? On sait que x 2 + bx + c = (x + u)(x + v) = x 2 + (u + v)x + uv. On a donc deux conditions sur u et sur v. Il faut que u + v = b et uv = c. Ainsi, si l on trouve u et v qui satisfont ces conditions, on peut facilement factoriser le trinôme. Exemple Soit le trinôme x x On cherche u et v tels que u + v = 40 et uv = 300. Si u = 10 et v = 30, on respecte les conditions. Alors, on a que x x = (x + 10)(x + 30) Trinôme de la forme ax 2 + bx + c. Encore une fois, on veut factoriser, c est-à-dire de mettre sous la forme d un produit, le trinôme ax 2 + bx + c, où a, b, c sont des constantes réelles. La différence avec le cas précédent est la présence du coefficient a. Pour y parvenir, on veut séparer le terme central, bx, en une somme de deux termes pour pouvoir faire une mise en évidence double. Mais comment séparer ce terme? Voici comment. Faire une mise en évidence double revient à écrire ax 2 + bx + c sous la forme (ux + v)(kx + l). En développant ce terme, on obtient ax 2 + bx + c = ukx 2 + (ul + vk)x + vl. En posant λ = ul et γ = vk, on obtient que λ + γ = b et λγ = ac. Ainsi, en trouvant deux nombre dont la somme est b et dont le produit est ac, on peut séparer le terme central en somme de λx + γx) et faire une mise en évidence double. Exemple Factorisons 6x 2 +7x 3. On cherche deux nombres λ et γ tels que λ + γ = b = 7 et λγ = ac = 18. Si λ = 9 et γ = 2, on respecte les conditions. Ainsi, 6x 2 + 7x 3 = 6x 2 + 9x 2x 3 (séparation du terme central) = 3x(2x + 3) 1(2x + 3) (première mise en évidence) = (3x 1)(2x + 3) (deuxième mise en évidence) Différence de carré. Si une expression est une différence de carrés, c est-à-dire de la forme x 2 a 2, on peut factoriser facilement. Cette factorisation est x 2 a 2 = (x + a)(x a).

26 22 1. QUELQUES RAPPELS Exemple Soit l expression 25x 2 144y 2. Ici, 25x 2 est le carré de 5x et 144y 2 est celui de 12y. Puisqu il y a un signe négatif entre les deux, on obtient que 25x 2 144y 2 = (5x + 12y)(5x 12y). important important important important important La somme de deux carrés n a pas de factorisation, c està-dire que l on ne peut pas factoriser les expressions de la forme x 2 + a Exercices sur la section 3. (1) Dites si les expressions suivantes sont de polynômes. Si oui, trouvez son degré et son terme constant s il existe. a) xyz 2 + 4x x 10, b) 2x 1 + 4, c) x 2 + bx + c où b, c Ê. (2) Soit P 1 = x et P 2 = x 4 + 3x 3 + 7x 2 + 9x Trouvez a)p 1 + P 2, b)p 2 P 1, c)p 1 P 2, d)p 2 P 1. (3) Effectuez les multiplications suivantes : a) (x + y)(xy 2 + 2x 4x 4 y) b) (x 2 + 3x + 5)(x + 1) c) (3x 1)(x + 5) d) (x 1)(x + 1) e) (x + y) 2 f) (x + y) 3 (4) Effectuez les divisions suivantes : a) (x 2 + 2x + 4) (x + 3) b) (x 3 + a 3 ) (x + a) c) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) (x + 1) d) (x 3 + 4x + 2) (x + 1) e) 27x6 yz 2 + 3xz 6x 4 z 15 3x 2 z (5) Factorisez au maximum les expressions suivantes : a) ax 2 + ay 2 b) 7x + 14y x 2y c) x 2 5x + 6 d) 9x 2 81y 2 e) 9x 4 81y 4 f) x 2 x + 6 g) 3x x + 12 h) 8x 4 y 6 + 4xy 4 12x 3 y 5 i) 14x 2x 2 20

27 CHAPITRE 2 Équations et inéquations Dans ce chapitre, nous ferons l étude de la manipulation des équations et des inéquations. On abordera également la résolution de cellesci ainsi que la notion de domaine d une équation et d une inéquation. Nous nous restreindrons au cas d une seule variable. Finalement, on verra comment résoudre certaines situations. 1. Les équations 1.1. Introduction aux équations. Définition 2.1. Voici quelques définitions : Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une ou plusieurs variables. Le domaine d une équation est l ensembe des valeurs qu on peut attribuer à sa ou ses variables. La ou les solutions d une équations sont la ou les valeurs des variables qui rendent l égalité vraie. L ensemble solution d une équation, noté ES, est l ensemble constitué de toutes les solutions de cette équation. Exemple 2.1. Regardons quelques exemples que nous expliquerons par la suites. (1) x + 5 = 7. Le domaine estêet la solution est x = 2. (2) x 1 = 4. Le domaine est x 1 et la solution est x = 17. (3) x + 7 x 4 = 0. Le domaine estê\{4} et la solution est x = 7. Comment avons-nous trouvé le domaine et la solution des équations de l exemple? Nous reviendrons au domaine plus loin. Pour l instant concentrons-nous sur la manipulation des équations Propriétés des équations. Pour résoudre une équation, il faut isoler la variable d un côté et avoir une constante de l autre. Pour ce faire, on peut faire les quatre opérations que voici : On débute avec une équation A = B et soit C une expression. Alors, 23

28 24 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS (1) A+C = B +C, la somme de l expression C des deux côtés ne change pas l égalité, (2) A C = B C, la soustraction de l expression C des deux côtés ne change pas l égalité, (3) AC = BC, le produit par l expression C des deux côtés ne change pas l égalité, (4) A n = B n, la même puissance des deux côtés ne change pas l égalité et (5) A C = B, la division par l expression C des deux côtés ne change C pas l égalité à la condition que C ne soit jamais nul. Ces propriétés nous permettent de résoudre les équations de ce chapitre. Exemple 2.2. Trouvons l ensemble solution des équations de l exemple précédent. (1) x + 5 = 7 x = 7 5 = 2 en soustrayant 5 des deux côtés (2) Ainsi, ES = {2}. x 1 = 4 x 1 2 = 4 2 on élève au carré les deux côtés. x 1 = 16 x = 17 en additionnant 1 de chaque côté. (3) L ensemble solution est donc ES = {17}. x + 7 x 4 = 0 x + 7 = 0 en multipliant les deux côtés par x 4. x = 7 en soustrayant 7 de chaque côté. D où, ES = { 7}. Le prochain exemple montre que l on peut arriver à des résultats ridicules si on ne fait pas attention par quoi l on divise.

29 1. LES ÉQUATIONS 25 Exemple 2.3. a = b hypothèse de départ a 2 = ab en multipliant les deux côtés par a. a 2 b 2 = ab b 2 en soustrayant b 2 de chaque côté. (a + b)(a b) = b(a b) différence de carrés à gauche et mise en évidence à droite a + b = b en divisant les deux côtés par a b. Maintenant, si l on pose a = 1, on a aussi b = 1 par l hypothèse de départ. En reportant ces valeurs de a et b dans la dernière équation, on obtient 2 = 1. Ceci est vraiment une absurdité. Elle provient du fait que l on a divisé par 0 au moment de la division par a b, car a = b. Il faut donc être très vigilant avec la division Le domaine d une équation. Jusqu ici, nous avons trouver l ensemble solution de diverses équations sans tenir compte du domaine de définition de ces équations. Le domaine sera spécifié lors de l étude des différentes fonctions. La seule chose que nous dirons pour l instant sur le domaine est que l ensemble solution ES doit être un sousensemble du domaine. Ainsi, si certaines valeurs de la variable rendent l équation vraie, il se peut qu elles soient rejettées si elles ne sont pas dans le domaine Les équations linéaires d une seule variable. Définition 2.2. Une équation linéaire d une seule variable est une équation entre deux polynômes de degré 1. Exemple 2.4. Voici deux exemples : (1) 3x + 4 = 2x 4 est une équation linéaire. (2) 3x 2 = 4 n est pas linéaire, car il y a la présence d une racine. Proposition 2.1. Le domaine d une équation linéaire estê. Cette proposition signifie donc qu il n y a jamais de problèmes de domaine avec les équations linéaires sauf dans le cas où l équation décrit une situation. Nous y reviendrons plus tard. Pour résoudre une équation linéaire, il faut manipuler l équation pour la mettre sous la forme x = c où c est une constante. Exemple x + 4 =2x 4 3x 2x = 4 4 x = 8

30 26 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS Donc, ES = { 8}. Il arrive parfois qu une équation ne possède aucune solution comme le montre l exemple suivant : Exemple x + 1 =3x 5 3x 3x = = 6 Ceci ne se peut pas et donc il n y a pas de valeurs de x qui rendent l équation vraie. On écrit alors ES = Mises en situation ou modélisation. La modélisation mathématique consiste à mettre en équations des phénomènes de la vie courrante. Regardons deux situations qui peuvent être décrites par des équations linéaires. Exemple 2.7. Un vendeur téléphonique reçoit un salaire de base de 20$ par jour plus 4$ par vente effectuée. Combien de ventes doit-il faire par jour s il veut obtenir un salaire quotidient de 100$? La première étape est d identifier la variable de cette situation. Ici, posons que la variable x est le nombre de vente par jour. La deuxième étape est de déterminer le domaine de cette variable. Ici, on est dans une situation où x est le nombre de vente. Donc, x doit être un nombre naturel. On écrit dom =Æ. La troisième étape consiste à écrire l équation à résoudre. Ici, on cherche x tel que x = 100. Le membre de gauche correspond au salaire quotidien du vendeur selon le nombre de vente et le membre de droite est le salaire désiré. La quatrième étape est de résoudre l équation x = 100 4x = 80 x = 20. La cinquième et dernière étape est de vérifier si la solution est dans le domaine. Ici, 20 Æ. Donc, la réponse est 20 ventes par jour. Exemple 2.8. Un père a 24 ans de plus que son fils. Dans 13 ans, il aura le double de l âge de son fils. Quel est l âge du père et du fils présentement?

31 1. LES ÉQUATIONS 27 Étape 1: Posons x : l âge du fils présentement. Étape 2: Le domaine est dom =Æ, car un âge est toujours un nombre naturel. Étape 3: L âge du père est de x Dans 13 ans il aura le double de l âge de son fils. En mathématique, on a x + 37 =2(x + 13). Le membre de gauche correspond à l âge du père dans 13 ans et le membre de droite est le double de l âge du fils dans 13 ans. Étape 4: La résolution de l équation : x + 37 =2(x + 13) x + 37 =2x =x Étape 5: On a que 11 est effectivement un nombre naturel. Ainsi, la réponse est que l âge du fils est de 11 ans et celui du père est de 35 ans La règle du produit nul. Proposition 2.2. Soit A et B deux expressions. Si AB = 0, alors soit A = 0 ou B = 0. Cette proposition se généralise pour le produit de plusieurs facteurs. À ce moment, l un ou l autre de ces facteurs est nul. Exemple 2.9. Ainsi, ES = { π, 6}. (x 6)(x + π) = 0 x 6 = 0 OU x + π = 0 x = 6 OU x = π Cependant, il est très rare d avoir une équation déjà sous cette forme. Il faut travailler un peu.

32 28 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS Exemple Trouvez l ensemble solution de a 3 + 3a 2 = 4a a 3 + 3a 2 = 4a + 12 a 3 + 3a 2 4a 12 = 0 a 2 (a + 3) 4(a + 3) = 0 (a + 3)(a 2 4) = 0 (a + 3)(a + 2)(a 2) = 0 On a trois possibilités. a + 3 = 0 a + 2 = 0 a 2 = 0 a = 3 a = 2 a = 2 Donc, ES = { 3, 2, 2} 1.5. Exercices sur la section 1. (1) Résoudre les équations linéaires suivantes : a) 3x 4 = 2x + 6 b) 9x 6 = 0 c) x 7 = 9 + 5x d) πx 4 = πx + 6 e) 10x = 3x f) x = 4x 6 (2) Trouver l ensemble solution des équations suivantes : a) (3x 6)(4x + 8) = 0 b) x 2 81 = 0 c) x 2 x 6 = 0 d) (x + 1)(x 1)(x 2 4) = 0 e) 6x 4 = x f) x 4 16 = 0 (3) Deux restaurants possèdent un bar à salade où l on paie au poid. Au premier restaurant, il en coûte 3$ de base et 0.50$ par kilogramme de salade. Au deuxième, le prix de base est de 2$ et c est 0.75$ le kilogramme. a) Combien coûte 1kg de salade dans les deux restorants? b) Combien a-t-on de salade dans les deux restaurants s il en coûte 5$? c) Quel quantité de salade revient au même prix dans les deux restaurants? (4) Gaston achète des actions à la bourse. Le coût initial est de 30$. La valeur de cette action augmente de 0.05$ par jour. Après combien de jour l action vaudra 40.10$? (5) Roger roule 100km/h vers Québec à partir de Montréal. Il doit faire 332km. Dans combien de temps arrivera-t-il à destination s il a déjà parcouru 112km? (6) Deux F18 de l armé sont en plein vol. Il reste le tier de caburant pour le premier F18 et 120L pour le second. Un avion ravitailleur vient remplir leur réservoir. Il prend 5 minutes pour remplir le premier et 6 minutes pour le second. Si le débit de transfert d essence est le même pour les deux F18,

33 2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES 29 a) écriver une équation qui permet de trouver ce débit (identifier bien la variable), b) trouver le débit du transfert d essence (en L/min), c) quelle quantitée d essence peut contenir le réservoir d un F18? (7) À quelle heure précise, entre 3h et 4h, les aiguilles d une horloge sont-elles superposées? 2.1. Introduction. 2. Les fractions algébriques Définition 2.3. Une fraction algébrique est une expression de la forme P Q où P et Q sont des polynômes avec Q 0. Exemple Voici deux exemples : x + 4 (1) est une fraction algébrique. 2x x + 4 (2) n est pas une fraction algébrique, car le numérateur 2x n est pas un polynôme. Proposition 2.3. Le domaine d une fraction algébrique est l ensemble de toutes les valeurs deêsauf les valeurs qui rendent le dénominateur nul. Exemple x + 8 x 3 + 3x 2 4x 12 On sait par l exemple 2.10 que le dénominateur s annule pour x = 3, x = 2 et x = 2. Ainsi, le domaine estê\{ 3, 2, 2}. Jusqu ici, pour trouver le domaine d une équation, on a deux étapes à faire. Étape 1: Vérifier le contexte de l équation. Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur s annule. On ajoutera des étapes lorsqu on étudiera d autres notions. sont équiva- Définition 2.4. Deux fractions algébriques P Q et R S lentes si PS = RQ.

34 30 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS Par contre, deux fractions équivalentes ne le sont pas nécessairement pour toutes les valeurs de la variable. Il faut donc trouver le domaine d équivalence de deux fractions. Définition 2.5. Le domaine d équivalence, dome, de deux fractions algébriques, P Q et R, est l intersection du domaine de chacune S des fractions. En mathématique, dome = dom P Q domr S. 1 Exemple Soit x + 2 et x 1. Ces deux fractions (x + 2)(x 1) sont équivalentes, car 1(x + 2)(x 1) = (x + 2)(x 1). Trouvons le 1 domaine d équivalence. Le domaine de x + 2 estê\{ 2} et le domaine x 1 de (x + 2)(x 1) estê\{ 2, 1}. Ainsi, l ntersection des deux nous donne dome =Ê\{ 2, 1} Simplification de fractions algébriques. Montrons la façon de procéder afin de simplifier une fraction algébrique avec un exemple. Exemple On veut simplifier la fraction algébrique 6x 3 10x 2 4x 18x x x 2. Étape 1: Factorisation du dénominateur. 6x 3 10x 2 4x 18x x x = 2x(3x2 5x 2) 2 6x 2 (3x x + 4) 2x(x 2)(3x + 1) = 6x 2 (x + 4)(3x + 1). Étape 2: Trouver le domaine. Ici, on veut que le dénominateur soit différent de 0. Donc, dom =Ê\{ 4, 1 3, 0}. Étape 3: Déterminer les facteurs du numérateur et du dénominateur qui sont en commun. Ici, les facteurs en commun sont 2, x, 3x + 1. Étape 4: Simplifier les facteurs en commun. 2x(x 2)(3x + 1) 6x 2 (x + 4)(3x + 1) = x 2 3x(x + 4).

35 2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES 31 important important important important important Il est à noter que le domaine de cette fraction reste le domaine de départ, car pour les autres valeurs de la variable, la fraction n est pas définie Addition de fraction. L addition de fractions algébriques se fait de la même façon que la somme de fractions de nombre. On additionne les numérateurs lorsque nous avons le même dénominateur. Si le dénominateur est différent, il faut trouver le dénominateur commun. Exemple On veut simplifier x + 4 2x 2 + 5x x 2 + x 14. Étape 1: On factorise les dénominateurs afin de trouver le domaine x + 4 (2x + 1)(x + 2) + 3 (4x 7)(x + 2). Ainsi, le domaine estê\{ 2, 1 2, 7 4 }. Étape 2: On cherche le dénominateur commun. Il manque 4x 7 à la première fraction et 2x + 1 à la deuxième. On multiplie donc chaque fraction par ce qui manque comme suit : x + 4 (2x + 1)(x + 2) 4x 7 4x (4x 7)(x + 2) 2x + 1 2x + 1. Étape 3: On peut maintenant additionner les fractions et simplifier. (x + 4)(4x 7) + 3(2x + 1) (2x + 1)(x + 2)(4x 7) = 4x x 25 (2x + 1)(x + 2)(4x 7) Multiplication et division de fractions algébriques. La multiplication et la division se fait exactement comme pour les fractions de nombres. Soit P, Q, R et S des polynômes. Alors, P Q R S = PR QS P Q R S = PS QR

36 32 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 2.5. Les fractions algébriques complexes. Une fraction algébrique complexe est une expression qui contient plusieurs étages. Il n existe pas de recette pour les simplifier. Il faut seulement respecter l ordre des opérations et les étages. Exemple Exemple a + 1 b 1 a 1 b = b + a ab b a ab = a + b ab = a + b b a ab b a 1 m + 1 p 1 m 2 1 p 2 = p + m mp p 2 m 2 m 2 p 2 = p + m mp m 2 p 2 p 2 m 2 (p + m)mp = p 2 m 2 (p + m)mp = (p m)(p + m) = mp p + m Équations contenant des fractions algébriques. La résolution des équations contenant des fractions algébirques nécessite les mêmes étapes que pour résoudre une équation linéaire. Exemple Trouvons l ensemble solution de x x x + 6 = 1. Étape 1: On trouve le domaine de l équation. Ici, on ne veut pas de division par 0. Donc, dom =Ê\{ 6, 2}.

37 2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES 33 Étape 2: On résoud en manipulant l équation. x x x + 6 = 1 x(x + 6) + 4(x + 2) = 1 addition de fractions (x + 2)(x + 6) x(x + 6) + 4(x + 2) = (x + 2)(x + 6) multiplication par (x + 2)(x + 6) x x + 8 = x 2 + 8x + 12 développement 2x 4 = 0 x = 2 Étape 3: On vérifie si les solutions sont dans le domaine. Ici, c est le cas, c est-à-dire que 2 dom. Ainsi ES = {2} Exercices sur la section 2. (1) Trouver le domaine des fractions algébriques suivantes : a) x + 3 (x 2 1 b) x + 4 x 2 x 6 c) x + 4 x 4 16 (2) Simplifier les expressions suivantes en n oubliant pas de spécifier le domaine de validité : a) x + 3 x x2 x + 1 c) 4x2 24x + 36 x 3 x 2 6x e) (x2 18x + 80)(x 2 6x 7) (x 2 5x 50)(x 2 15x + 56) g) x3 6x + 36x x + 7 x 2 49 x 2 x 42 b) x + 1 x 3 x2 9 x 2 1 d) x2 x x 2 + 2x f) 2 x 2 2x + 1 x 2 x + x + 3 x 3 x 2 (3) Simplifier les fractions complexes suivantes : a) c) 1 x x 1 3x 2 1 3x x 2 b) x d) 1 + x 1 x x 1 + x + 2x2 1 x

38 34 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS (4) Résoudre les équations suivantes : 1 a) x x 2 9 = 3 b) x2 x 6 = x c) 1 a 1 x = 1 x 1 2 x où a et b des constantes d) b 3x = 4 3. Intervalles et inéquations 3.1. Les intervalles. Les nombres réels peuvent être mis sur une droite, dite la droite réelle. Cette dernière est représentée à la figure Fig. 1. La droite réelle. Définition 2.6. Un intervalle est un sous ensemble de la droite réelle, c est-à-dire une partie de la droite. NOTATION La façon d écrire un intervalle allant du nombre a au nombre b dépend si ces nombres sont compris ou non dans l intervalle. Trois cas sont possibles : Cas 1: Si a et b sont inclus dans l intervalle, on écrit cet intervalle [a, b]. On représente graphiquement cet intervalle comme illustré à la figure 2. On note que les points aux extrémités sont pleins ce qui signifie qu ils sont inclus. C est un intervalle fermé. Cas 2: Si a et b sont exclus de l intervalle, on écrit cet intervalle ]a, b[. La figure 3 montre comment le dessiner. Ici, les extrémités sont des cercles vides, ce qui signifie qu ils ne sont pas dans l intervalle. On dit alors que ces un intervalle ouvert. Cas 3: Si a est inclus et b exclus ou l inverse, on note les respectivement [a, b[ et ]a, b]. Les figures 4 et 5 montrent ces intervalles. Si a ou b valent ±, le crochet est ouvert par définition. Par exemple, [a, [ où le crochet de droite est ouvert. Pour s en rappeler, on peut se dire que l infini ne fait pas partie des nombres réels.

39 3. INTERVALLES ET INÉQUATIONS 35 a b Fig. 2. Un intervalle fermé à gauche et à droite. a b Fig. 3. Un intervalle ouvert à gauche et à droite. a b Fig. 4. Un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite. a b Fig. 5. Un intervalle ouvert à gauche et fermé à droite Les inéquations. Définition 2.7. Une inéquation est une inégalité, indentifiée par un des symboles,, < ou >, entre deux expressions. Exemple Voici quelques exemples d inéquations : (1) x > 3, (2) 3x 3 < 2x 2, (3) x + 8 x 4 1. Résoudre une inéquation consiste à déterminer les valeurs de la variable pour lesquelles l inégalité reste vérifiée. Pour ce faire, on isole la variable d un côté de l inégalité, tout comme pour une équation. Par contre, la manipulation se fait avec un peu plus de difficulté. Soit une inégalité de départ entre deux expressions A et B. Prenons par exemple A < B. Ce sont les mêmes propriétés qui s appliquent pour les autres inégalités. Soit C une autre expression. Alors, (1) A ± C < B ± C, c est-à-dire que l addition ou la soustraction d une expression des deux côtés ne change pas l inégalité.

40 36 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS (2) AC < BC si C est positif et AC > BC si C est négatif. Ainsi, si on multiplie les deux côtés par une expression qui est négative, on change l inégalité de côté. Si C est positif, rien ne change. (3) A/C < B/C si C est positive et on change le signe de l inéquation si C est négatif. Exemple Voici quelques exemples pour illustrer ces propriétés. (1) On veut résoudre 3x 1 < 4. 3x 1 < 4 3x < 5 addition de 1 de chaque côté. x < 3 division par 5 qui ne change pas l inégalité. 5 Ainsi, l ensemble solution est noté ES =], 3[. Ici, 3 n est 5 5 pas inclus dans l intervalle, x est strictement plus petit que 3. 5 On représente cet ensemble solution comme suit : Fig. 6. Représentation graphique de x < Trouvons l ensemble solution de 3x 4 5x x 4 5x + 6 2x 10 x 5 Ainsi, ES =], 5]. addition de 4 et de 5x de chaque côté. division par 2 qui change l inégalité de côté. important important important important important Il est à noter que si A < B alors A 2 B 2. Par exemple, si 2 < 1, on a alors 4 1. Par contre, parfois l inégalité persiste comme dans le cas 1 < 2 alors 1 < 4. Il faut donc faire attention et étudier ceci cas par cas Étape pour la résolution d inéquations. Tout comme pour la résolution des équations, la première étape à effectuer lors de la résolution d inéquations est de trouver le domaine. Rappelons que pour le trouver, on vérifie les points suivants : Étape 1: Vérifier le contexte de l équation.

41 3. INTERVALLES ET INÉQUATIONS 37 Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles les dénominateurs s annulent. Par la suite, on isole la variable à l aide des propriétés. Finalement, l ensemble solution est l intersection du domaine et de l intervalle trouvé pour la variable. Exemple Trouvons l ensemble solution de l inéquation (x 2)(2x + 5) < 3x x + 5 Tout d abord, il faut déterminer le domaine. On ne doit pas diviser par zéro, donc x 5. D où dom =Ê\{ 5}. 2 2 (x 2)(2x + 5) < 3x + 8 2x + 5 x 2 < 3x < 2x 5 < x en simplifiant le terme de gauche Ainsi, ES =] 5, [\{ 5 }. Ici, on enlève le point qui n est pas dans le 2 domaine. On peut représenter cet ensemble solution sur la droite réelle comme suit : Fig. 7. Représentation graphique de l ensemble solution ES =] 5, [\{ 5 2 }.

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Les nombres entiers. Durée suggérée: 3 semaines

Les nombres entiers. Durée suggérée: 3 semaines Les nombres entiers Durée suggérée: 3 semaines Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves multiplieront et diviseront des nombres entiers concrètement,

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Glossaire des nombres

Glossaire des nombres Glossaire des nombres Numérisation et sens du nombre (4-6) Imprimeur de la Reine pour l'ontario, 008 Nombre : Objet mathématique qui représente une valeur numérique. Le chiffre est le symbole utilisé pour

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3 8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Proposition de programmes de calculs en mise en train

Proposition de programmes de calculs en mise en train Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des

Plus en détail

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,

Plus en détail

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

Section «Maturité fédérale» EXAMENS D'ADMISSION Session de février 2014 RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES. Formation visée

Section «Maturité fédérale» EXAMENS D'ADMISSION Session de février 2014 RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES. Formation visée EXAMENS D'ADMISSION Admission RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES MATIÈRES Préparation en 3 ou 4 semestres Formation visée Préparation complète en 1 an 2 ème partiel (semestriel) Niveau Durée de l examen

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

V- Manipulations de nombres en binaire

V- Manipulations de nombres en binaire 1 V- Manipulations de nombres en binaire L ordinateur est constitué de milliards de transistors qui travaillent comme des interrupteurs électriques, soit ouverts soit fermés. Soit la ligne est activée,

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

Conversion d un entier. Méthode par soustraction

Conversion d un entier. Méthode par soustraction Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL

LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL 75 LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL CHAPITRE 4 OBJECTIFS PRÉSENTER LES NOTIONS D ÉTIQUETTE, DE CONS- TANTE ET DE IABLE DANS LE CONTEXTE DU LAN- GAGE PASCAL.

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro. Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Algorithme. Table des matières

Algorithme. Table des matières 1 Algorithme Table des matières 1 Codage 2 1.1 Système binaire.............................. 2 1.2 La numérotation de position en base décimale............ 2 1.3 La numérotation de position en base binaire..............

Plus en détail

Sites web éducatifs et ressources en mathématiques

Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Exercices en ligne pour le primaire Calcul mental élémentaire : http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-sous.html Problèmes de soustraction/addition

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

Chapitre 14. La diagonale du carré

Chapitre 14. La diagonale du carré Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

FONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE. Mathématiques financières

FONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE. Mathématiques financières FONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE Mathématiques financières A1. Résoudre des problèmes comportant des intérêts composés dans la prise de décisions financières. [C, L, RP, T, V] Résultat d apprentissage

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN

Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. Groupe des Sciences physiques et chimiques de l IGEN Table des matières. Introduction....3 Mesures et incertitudes en sciences physiques

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Exercices sur les équations du premier degré

Exercices sur les équations du premier degré 1 Exercices sur les équations du premier degré Application des règles 1 et Résoudre dans R les équations suivantes en essayant d appliquer une méthode systématique : 1 x + = x + 9 x + = x x 1 = x + x +

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Fibonacci et les paquerettes

Fibonacci et les paquerettes Fibonacci et les paquerettes JOLY Romain & RIVOAL Tanguy Introduction Quand on entend dire que l on peut trouver le nombre d or et la suite de Fibonacci dans les fleurs et les pommes de pin, on est au

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail