MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I (ACT2025) Robert Bédard CHAPITRE I Intérêt et escompte L intérêt et sa mesure L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à un prêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps. C'est aussi ce que le prêteur demande à l'emprunteur à titre de compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prêté pendant la durée du prêt. Les deux parties doivent se mettre d'accord sur ce montant. 1
Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur L'inflation 2
Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur L'inflation Autres conditions afférentes: disposition permettant à l'emprunteur de régler son prêt plus tôt, Exemple 1: Alexandre emprunte 20000$ à la banque pour l achat d une automobile. Il rembourse ce prêt en faisant 48 paiements mensuels de 450$ à la fin de chaque mois. L intérêt payé par Alex à la banque sera 48 X 450$ - 20000$ = 1600$. (Montant remboursé) - (montant emprunté) Exemple 2: Bobby emprunte 5000$ à Cléo. Il rembourse ce prêt en faisant deux paiements: 2000$ après deux ans et 5000$ après six ans. L intérêt payé par Bobby à Cléo sera (2000$ + 5000$) - 5000$ = 2000$. (Montant remboursé) - (montant emprunté) 3
Une transaction financière banale est l'investissement d'une somme d'argent à intérêt. Il suffit de penser à un dépôt dans un compte d épargne à la banque. Dans une telle situation, le montant initial est appelé le principal ou le capital, le montant total reçu après une période de temps est appelé la valeur accumulée et la différence entre les deux: l'intérêt. CONVENTION: Nous désignerons par t: le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celleci sera pour l instant d'une année à moins d'avis contraire. CONVENTION: Nous désignerons par t: le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour l instant d'une année à moins d'avis contraire. Nous utiliserons le dollar comme unité monétaire dans ce cours. Mais nous aurions tout aussi bien pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucune incidence pour les concepts présentés. 4
Il existe plusieurs mesures de l intérêt! Par exemple, Taux effectif d intérêt Par exemple, Taux effectif d intérêt Taux nominal d intérêt 5
Par exemple, Taux effectif d intérêt Taux nominal d intérêt Taux effectif d escompte Par exemple, Taux effectif d intérêt Taux nominal d intérêt Taux effectif d escompte Taux nominal d escompte Par exemple, Taux effectif d intérêt Taux nominal d intérêt Taux effectif d escompte Taux nominal d escompte Taux instantané d intérêt ou force de l intérêt 6
L intérêt peut aussi croître de plusieurs façons. Exemples de formes de capitalisation communes de l intérêt: Intérêt simple Exemples de formes de capitalisation communes de l intérêt: Intérêt simple Intérêt composé 7
Exemples de formes de capitalisation communes de l intérêt: Intérêt simple Intérêt composé Escompte simple Exemples de formes de capitalisation communes de l intérêt: Intérêt simple Intérêt composé Escompte simple Escompte composé Pour définir tous ces concepts, il nous faut premièrement parler de la fonction de capitalisation. 8
Considérons l'investissement de 1$ de principal et désignons alors par a(t) : le montant total accumulé au temps t. Alors a(t) est la fonction de capitalisation. Exemple 3: (Intérêt simple) a(t) = (1 + it) Exemple 4: (Intérêt composé) a(t) = (1 + i) t 9
Exemple 5: Exemple 6: Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation: a(0) = 1 10
Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation: a(0) = 1 a(t) est une fonction croissante Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation: a(0) = 1 a(t) est une fonction croissante a(t) est une fonction continue si l'intérêt croit continûment Considérons l'investissement de k dollars de principal au lieu de 1 dollar et désignons alors par A(t): le montant total accumulé au temps t. Alors A(t) est la fonction d accumulation. 11
CONVENTION: Nous supposerons dans ce cours à moins d avis contraire que A(t) = k a(t) avec k = A(0) Taux effectif d intérêt pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant d intérêt gagné pendant la première période sur le montant investi au début. En formule, nous obtenons où I 1 est l intérêt gagné pendant la première période Taux effectif d intérêt pour la n e période: Ce taux est le rapport du montant d intérêt gagné pendant la n e période sur le montant investi au début de la n e période. En formule, nous obtenons où I n est l intérêt gagné pendant la n e période 12
Si nous connaissons les taux effectifs d intérêt pour toutes les périodes, de la 1 e à la n e, et le capital initial A(0), alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la n e période, i.e. A(n) En effet, A(1) = A(0) (1 + i 1 ) En effet, A(1) = A(0) (1 + i 1 ) A(2) = A(1) (1 + i 2 ) = A(0) (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) 13
En effet, A(1) = A(0) (1 + i 1 ) A(2) = A(1) (1 + i 2 ) = A(0) (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) et ainsi de suite pour obtenir finalement A(n) = A(0) (1 + i 1 ) (1 + i 2 )... (1 + i n - 1 ) (1 + i n ) Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d intérêt est de 5.75% pour la 1 e année, 6% pour la 2 e année, 5.5% pour la 3 e année et 5% pour la 4 e année. Si le principal investi est 8000$, alors Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d intérêt est de 5.75% pour la 1 e année, 6% pour la 2 e année, 5.5% pour la 3 e année et 5% pour la 4 e année. Si le principal investi est 8000$, alors le montant accumulé après 4 ans est 8000(1 + 0.0575)(1 + 0.06)(1 + 0.055)(1 + 0.05) = 9933.86$ 14
Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d intérêt est de 5.75% pour la 1 e année, 6% pour la 2 e année, 5.5% pour la 3 e année et 5% pour la 4 e année. Si le principal investi est 8000$, alors le montant accumulé après 4 ans est 8000(1 + 0.0575)(1 + 0.06)(1 + 0.055)(1 + 0.05) = 9933.86$ le montant d intérêt gagné pendant la 3 e année est A(3) - A(2) = 8000(1.0575)(1.06)(1.055) - 8000(1.0575)(1.06) = 493.22$ Intérêt simple: (Description) Considérons l'investissement de 1$ pour lequel le montant d intérêt gagné à chacune des périodes est constant, disons égal à i. Intérêt simple: (Description) Considérons l investissement de 1$ pour lequel le montant d intérêt gagné à chacune des périodes est constant, disons égal à i. Noter que c est le montant d intérêt qui est constant et non le taux effectif d intérêt! 15
Calculons la fonction de capitalisation: a(1) = 1 + i a(2) = 1 + i + i = 1 + 2i et ainsi de suite pour obtenir a(n) = 1 + i n Donc la fonction de capitalisation est Si nous considérons plutôt la fonction d accumulation, nous aurons Dans ce qui précède, i désigne le taux d intérêt simple. Nous avons 16
Calculons le taux effectif d intérêt pour chaque période: Ainsi de suite, nous obtenons Remarque 1: L intérêt simple est surtout utilisé dans le court terme (semaine, mois) justement parce que le taux effectif d intérêt décroit avec les périodes et ceci n est pas intéressant comme investissement. Intérêt composé: (Description) Considérons l'investissement de 1$ pour lequel nous versons de l intérêt sur le principal, mais aussi sur l intérêt accumulé. Nous parlons d intérêt sur l intérêt. 17
Calculons la fonction de capitalisation. et ainsi de suite pour obtenir Donc la fonction de capitalisation est Si nous considérons plutôt la fonction d accumulation, nous aurons Calculons le taux effectif d intérêt pour chaque période: Ainsi de suite, nous obtenons 18
Remarque 2: L intérêt composé est surtout utilisé dans le long terme (années) justement parce que le taux effectif d intérêt est constant tout au long de ces différentes périodes. Remarque 2: L intérêt composé est surtout utilisé dans le long terme (années) justement parce que le taux effectif d intérêt est constant tout au long de ces différentes périodes. À moins d avis contraire, nous allons toujours supposer que nous avons de l intérêt composé! 19