Analyse Chapitre 1 : Le second degré I- Etude de fonctions polynômes du second degré 1) Définition On appelle fonction polynôme du second degré ou polynôme de degré ou trinôme du second degré, toute fonction définie sur R par f(x) = ax² bx c où a, b, c sont trois nombres réels fixés avec a 0. Les nombres a, b, c s appellent les coefficients du polynôme. Exemple : f(x) = -3x² x 10 a = -3 ; b = 1 ; c = 10 g(x) = -x² - 9 a = -1 ; b = 0 ; c = -9 h(x) = x 3-4x 5 Cette équation n est pas un polynôme du second degré Remarque : La forme ax² bx c s appelle la forme développée est unique, c est-à-dire qu on ne peut trouver qu un seul triplet de a, b, c qui caractérise f. Conséquences : méthode des coefficients à déterminer. Exemple 1 : On donne f(x) = 3x² - 7x 4. Déterminer deux réels u et v tels que pour tout x e R, on obtient f(x) = (x - 1) (ux v). On développe (x - 1) (ux v) = ux² vx ux v = ux² x(v - u) v On identifie les coefficients, on obtient un système : u = 3 u = 3 v u = -7 équation vérifiée - v = 4 v = -4 Conclusion : On peut écrire, pour tout x dans R f(x) = (x 1) (3x 4) Exemple : On donne g(x) = x 3-3x² - 5x 6. Trouver trois réels a, b, c tels que, pour tout réel x, g(x) = (x - 1) (ax² bx c). On développe (x - 1) (ax² bx c) = ax 3 bx² cx - ax² - bx - c = ax 3 bx² - ax² cx - bx -c = ax 3 x² (b - a) x (c - b) - c On identifie les coefficients a = a = b - a = -3 b = -1 c - b = -5 équation vérifiée - c = 6 c = -6 On conclut que g(x) = (x - 1) (x² - x - 6) pour tout réel x
) Forme canonique Propriété : Soit f une fonction polynôme du second degré f(x) = ax² bx c avec a 0 ; alors f(x) peut toujours s écrire sous la forme f(x) = a (x - ) où = b et = f( ). Démonstration : On a f(x) = ax² bx c (a 0) (RAPPEL : (a b)² = a² b b²) = a (x b x) c a = a (x x b ) c = a (x x b ( b ) ( b ) ) c = a ((x b ) b² 4a² ) c = a (x b ) a b 4a c = a (x b ) b 4a c = a (x b ) 4ac b² 4a Définition : L écriture f(x) = a (x - ) s appelle la forme canonique de f. Exemple : Ecrire sous forme canonique : a) f(x) = x² - 1x 3 1 ère méthode : On utilise les formules = b et = f( ). ème méthode : On utilise la démonstration : f(x) = x 1x 3 f(x) = (x 6x) 3 f(x) = (x x 3 3 3²) 3 f(x) = ((x 3) 9) 3 f(x) = (x 3) 18 3 f(x) = (x 3) 15 On a obtenu la forme canonique de f, où = 3 et = -15. b) g(x) = -3x² 4x 1 g(x) = 3x 4x 1 g(x) = 3 (x 8x) 1 g(x) = 3 (x x 4 4 4 ) 1 g(x) = 3 ((x 4) 16) 1 g(x) = 3 (x 4) 48 1 g(x) = 3 (x 4) 7 On a obtenu la forme canonique de g, où = 4 et = 7.
h(x) = 4x 1x 3 h(x) = 4 (x 3x) 3 c) h(x) = 4x² - 1x 3 h(x) = 4 (x 3x (3 ) ( 3 ) ) 3 h(x) = 4 ((x 3 ) ( 3 ) ) 3 h(x) = 4 (x 3 ) 9 3 h(x) = 4 (x 3 ) 6 On a obtenu la forme canonique de h, où = 3 et = -6. d) i(x) = 3x² - 5x i(x) = 3x 5x i(x) = 3 (x 3 5x 3 ) i(x) = 3 (x 3 5x 6 (5 6 ) ( 5 6 ) ) i(x) = 3 ((x 5 6 ) ( 5 6 ) ) i(x) = 3 (x 5 6 ) 3 5 36 i(x) = 3 (x 5 6 ) 5 4 1 1 i(x) = 3 (x 5 6 ) 1 1 On a obtenu la forme canonique de i, où = 5 6 et = 1 1. e) j(x) = 7x² - 5x 1 j(x) = 7x 5x 1 i(x) = 7 (x 7 5x 7 ) 1 i(x) = 7 (x 7 5x 14 ( 5 14 ) ( 5 14 ) ) 1 i(x) = 7 ((x 5 14 ) ( 5 14 ) ) 1 i(x) = 7 (x 5 14 ) 7 5 196 1 i(x) = 7 (x 5 14 ) 5 8 8 8 i(x) = 7 (x 5 14 ) 3 8 On a obtenu la forme canonique de j, où = 5 14 et = 3 8.
3) Sens de variation et courbe représentative Propriété 1 : On donne f(x) ) ax² bx c, avec a 0 Si a>0, alors f est décroissante sur ]- ; α] et croissante sur [α ; ] Si a<0, alors f est croissante sur ]- ; α] et décroissante sur [α ; ] Propriété : Soit f(x) = ax² bx c, avec a 0. Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de f est la parabole d équation y = ax² bx c. Cette parabole a les caractéristiques suivantes : Elle admet le sommet S de coordonnées (α ; β) où = b. Elle admet un axe de symétrie, la droite d équation x = α. Cette parabole est tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0 Remarque : Savoir déterminer le signe des coefficients en connaissant la courbe Cf. Exemple : A a<0 car la parabole est tournée vers le bas b>0 : α = b ici a<0 et α>0, donc b>0 c<0, car A a pour coordonnées (0 ; c). A est l intersection de Cf avec l axe des ordonnées, donc son ordonnée est négative.
II- Résolution des équations du second degré 1) Quelques définitions Une équation du second degré est une équation d inconnue x réel de la forme f(x) = ax bx c (a 0) ou qui peut se ramener à cette forme après transformation algébrique (développement, simplification ) On note f(x) = ax bx c (a 0) une fonction polynôme du second degré. On appelle racine de f toute solution de l équation f(x) = 0 Exemple : f(x) = x 3x 5. 0 et 1 sont-ils des racines de f? On calcule f(0) = 5 0 donc 0 n est pas une racine de f. f(1) = 0 donc 1 est une racine de f. Pour f(x) = ax bx c (a 0), on appelle discriminant de f le réel noté Δ défini par = b 4ac Exemples : f(x) = x 3x 5 Calculer le discriminant de f. = b 4ac = 9 4 ( 5) = 9 49 g(x) = 3x 6x 3 Calculer le discriminant de g = b 4ac = 36 4 3 3 = 0 ) Théorème de résolution des équations du second degré On note f(x) = ax bx c (a 0). On cherche les solutions de l équation ax bx c = 0 ; c est-à-dire les racines de f. On note S l ensemble des solutions. Théorème fondamental : Si Δ>0 : f admet deux racines distinctes x 1 et x : x 1 = b et x = b donc S = {x 1 ; x } Si Δ=0 : f admet une seule racine (appelée racine double) : x 0 = b Si Δ<0 : alors f n a pas de racine dans R Démonstration : On utilise la relation de la forme canonique f(x) = a (x b ) 4ac b² 4a = a [(x b ) ² ] 4a² Si Δ<0, alors f(x) = a [(x b ) ² ] 4a² où (x b ) ² 0 et > 0 4a² Ainsi, f ne peut jamais s annuler sur R : Elle est soit toujours positive si a > 0 ou toujours négative si a > 0. Si Δ = 0, alors f(x) = a (x b ) et f(x) = 0 a (x b ) = 0 Si Δ > 0, alors on peut écrire Δ = ( Δ) f(x) = a [(x b ) ( Δ) () ] x b = 0 x = b = x 0
f(x) = a [(x b ) ( Δ ) ] f(x) = a [(x b Δ ) (x b f(x) = a (x b Δ b Δ ) (x Δ ) ) f(x) = a(x x )(x x 1 ) On résout ensuite l équation f(x) = 0 a(x x 1 )(x x ) = 0 (x x 1 ) = 0 ou (x x ) = 0 x = x 1 ou x = x Donc S = {x 1 ; x } Exemple : Résoudre les équations en utilisant, si nécessaire, le discriminant. a) 3x x 5 On calcule le discriminant : Δ = b 4ac = 4 4 3 ( 5) = 4 60 = 64 Δ > 0 donc l équation admet deux racines distinctes : x 1 = b Δ S = {1 ; 5 } 3 = 8 6 b) 4x 1x = 0 4x 1x = 0 x (4x 1) = 0 x = 0 ou 4x = 1 x = 3 S = {0 ; 3} c) 3x = 5x 3 = 10 = 5 et x 6 3 = b Δ = 8 = 1 6 3x = 5x 3 3x 5x 3 = 0 On calcule le discriminant : Δ = b 4ac = 5 4 3 3 = 5 36 = 11 Δ < 0 donc S = ø d) 5x 8x 14 5 = 0 = b 4ac = 64 4 14 = 64 56 = 8 x 1 = b 5 ou x = b x 1 = 8 8 ou x 10 = 8 8 10 x 1 = 4 5 S = { 4 5 ou x = (4 ) 5 ; (4 ) } 5
e) 3x = 18 3x = 18 3x 18 = 0 3(x 6) = 0 x 6 = 0 x = 6 x = 6 ou x = 6 S = { 6 ; 6} Remarque : Utiliser le discriminant pour résoudre une équation du second degré n est pas toujours nécessaire (les cas où b = 0 et c = 0) Remarque : Graphiquement, les racines d un polynôme de degré correspondent aux abscisses des points d intersection de la parabole d équation y = ax bx c avec l axe des abscisses. Il y a donc trois cas de figure : - Deux points d intersection : Δ>0 (courbe bleue) - Un seul point d intersection : Δ=0 (courbe rouge) - Aucun point d intersection : Δ<0 (courbe jaune) 3) Quelques applications a) Factorisation des polynômes du second degré Propriété : On note f(x) = ax bx c (a 0) Si Δ>0, f(x) se factorise sous la forme f(x) = a(x x 1 )(x x ) où x 1 et x sont les deux racines Si Δ=0, f(x) se factorise sous la forme f(x) = a(x x 0 )² Si Δ<0, on ne peut pas factoriser f(x) Remarque : Ces factorisations se retrouvent dans la démonstration du théorème fondamental Remarque : Si on peut factoriser f(x), alors il existe une infinité de factorisations possibles : la propriété en donne une. Exemple : Si f(x) = (x 1)(x 3), alors f(x) = (x )(x 3) f(x) = 4 ( x 1 ) (x 3) b) Equations avec changement de variable Equations bicarrées On pose le changement de variable X = x² e on se ramène à une équation du second degré en X. Ne pas oublier le retour à la variable x. Exemple : Résoudre x x 6 = 0 Il faut que x 0 On pose X = x et X = x X X 6 = 0 : Δ = b 4ac = 1 48 = 49 X 1 = b Δ = 1 7 = 3 et X 4 = b Δ = 17 = 4 Retour en x, avec x = X, on obtient x = et x = 3 x = 4 S = {4}
III- Signe d un trinôme de second degré ; inéquations 1) Règle des signes Théorème : Soit f(x) = ax bx c avec (a 0) un polynôme du second degré et Δ son discriminant. Si Δ<0, f(x) est toujours du signe de a Si Δ=0, f(x) est toujours du signe de a, sauf en x 0 où f(x) est nul Exemple : Si a>0 x x 0 f(x) Si Δ>0, la fonction f(x) est du signe de a à l extérieur des racines et du signe de a à l intérieur des racines Exemple : Si a<0, avec x 1 < x x x 1 x f(x) Exemples : Dresser les tableaux de signes de : a) f(x) = x 5x 7 f est une fonction polynôme de degré Δ = -31 < 0 donc f(x) est toujours du signe de a Pour tout, f(x) > 0 b) g(x) = x 6x 9 g est une fonction polynôme de degré Δ = 7 > 0 donc f(x) admet deux racines distinctes : x 1 = 3 3 et x = 3 3 x 3 3 3 3 f(x) ) Résolution d inéquations Résoudre les inéquations suivantes : a) 1 3 x 4x 7 (x ) 1 3 x 4x 7 (x ) 0 1 3 x 4x 7 x 4 0 1 3 x 6x 11 0 x 18x 33 0 = b 4ac = 34 13 = 19
> 0 donc l équation admet deux solutions distinctes x 1 = b = 18 8 3 = 9 4 3 et x = 9 4 3 x 9 4 3 9 4 3 f(x) b) 3x x x S = [9 4 3 ; 9 4 3] 3x 3 x x x(3x x 1) 0 x = 0 ou 3x x 1 = 0 = b 4ac = 4 1 = 16 > 0 L équation admet deux solutions distinctes x 1 = b = 4 = 1 et x 6 3 = b = 4 = 1 6 x 1 3 0 1 x 3x x 1 SIGNE DE A g(x) S = [ 1 ; 0] ; [1; ] 3 c) (x 6x 9)(x ) 0 x 6x 9 = 0 et x = 0 = b 4ac = 36 36 = 7 x 1 = b x 1 = 6 6 et x = b et x = 66 / x = 0 / x = x 1 = 3 3 et x = 3 3 / x = ou x = x 3 3 3 3 x 6x 9 x 4 c(x)
d) 3x 13 x x1 1 Calcul des Valeurs Interdites x x 1 = 0 = b 4ac = 1 4 = 3 <0 Il n y a pas de valeur interdite 3x 13 x x 1 = 0 x 4x 1 = 0 = b 4ac = 16 48 = 64 x 1 = b = 4 8 = 6 ou x = b = 48 = x 6 d(x) s = [ 6 ; ] 3) Position relative entre deux droites Etudier la position relative de entre deux courbes Cf et Cg, c est préciser les intervalles sur lesquels Cf et au-dessus ou en-dessous de Cg et préciser leurs éventuels points d intersection. Exemple : On pose f(x) = x² et g(x) = x 3 Méthode : On étudie le signe de la différence f(x) g(x). x ( x 3) = 0 x x 3 = 0 = b 4ac = 4 1 = 16 > 0 x 1 = b = 4 = 3 et x = b = 4 x 3 1 f(x) g(x) = 1 Cf est au-dessus de Cg sur ] ; 3] et ]1; [ Cf est en-dessous de Cg sur ] 3; 1[ Cf et Cg se coupent en deux points dont les abscisses sont -3 et 1 et aux ordonnées respectives f( 3) = 9 et f(1) = 1