EION 003 EPREUVE PECIFIQUE FIIERE MP PHYIQUE 1 Durée : 4 heures es calculatrices sont autorisées NB : e candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction i un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en epliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre HERMODYNAMIQUE a première partie de ce problème rappelle certaines notions de la théorie des transferts thermiques par conduction, convection et rayonnement Dans la deuième partie, un local situé dans une maison doit être rénové et l on dispose en hiver d un chauffage de puissance maimale P 0 On veut évaluer les températures du local et de la paroi séparant ce local de l etérieur selon que la paroi est constituée : a) d une fenêtre entourée d un mur de béton, b) d une baie vitrée en simple vitrage, c) d une baie vitrée en double vitrage Hypothèses : es échanges thermiques entre le local et les autres pièces de la maison sont négligés Pour la paroi séparant le local de l etérieur, on prendra en compte les transferts thermiques par conduction, convection et rayonnement I Etude préliminaire 1 Conduction thermique On considère un corps homogène (figure 1) de section droite, de longueur, de masse volumique ρ, de conductivité thermique λ, de capacité thermique massique c, avec λ, ρ, c constants a température du matériau ne dépend que de et de t et sera notée (, t) es! parois parallèles à l ae sont isolées thermiquement et on note J (,t ) = J(, t ) e le vecteur densité de courant thermique ournez la page VP
e =0 +d = e : vecteur unitaire Figure 1 a) Que représente ( t) J,? Quelle est son unité? Enoncer alors la loi de Fourier b) Effectuer un bilan énergétique pour un volume élémentaire de matériau compris entre les abscisses et + d entre les instants t et t + dt en supposant qu il n eiste pas d apport énergétique autre que par conduction et qu il n y a pas production d énergie interne Donner, t alors l équation au dérivées partielles vérifiée par ( ) On se place désormais (pour la suite des questions) en régime stationnaire c) Donner les lois de variation ( ) et ( ) maintenues à températures constantes, ( 0) = 0 et ( ) J en supposant que les etrémités du matériau sont = Résistance thermique due à la conduction P th représentant le flu thermique à travers la section droite du matériau, on définit R th, résistance thermique de conduction du matériau de longueur et de surface par la relation R P 0 = th th a) Eprimer R th en fonction de, et λ En faisant l analogie avec l électrocinétique, justifier le terme de résistance thermique et préciser l unité de R th Quelle doit être la condition sur R th pour que le flu transmis soit faible? b) On associe deu corps A 1 et A (figure ) de résistances thermiques R th 1 et = et = 1 R th de même, le second de section, l un de conductivité thermique λ 1 est compris entre 0 conductivité thermique λ est compris entre = 1 et = 1 + On note 0, 1, les températures pour = 0, = 1, = 1 + Etablir l epression de résistance thermique R th de l ensemble en fonction de R th 1 et R th =0 = 1 = 1 + 0 1 A 1 Figure A
3 c) Même question lorsque les deu corps A 1, de section 1 et de longueur 1 et A de section et de longueur sont associés en «parallèle» (figure 3) On note 0, la température sur les faces d entrée pour = 0 et 1 la température sur les faces de sorties pour = 1 pour A 1, et = pour A 1 1 0 1 =0 A 1 0 1 A Figure 3 3 ransfert convectif On considère une surface à la température, en contact avec de l air à la température a et échangeant par convection avec celui-ci une puissance thermique P c (sortant algébriquement de la surface ) s écrivant : Pc = hc ( a) où h c est le coefficient de convection On remarquera que l énergie thermique correspondante s écoule du milieu où la température est la plus élevée vers le milieu où la température est la plus faible Montrer que cet échange convectif est décrit par une résistance thermique de convection R c dont on donnera l epression 4 ransfert par rayonnement a puissance P R rayonnée par l unité de surface d un corps noir et répartie sur toutes les fréquences ν est donnée par 3 πhν P R = P( ν) dν avec P ( ν) = où 0 hν c ep 1 k 34 1 h = 6,610 Js (constante de Planck) et 1,3810 3 k = JK (constante de Boltzmann) 8 1 c = 310 ms (vitesse de la lumière dans le vide) ournez la page VP
4 a) Montrer que P R est donnée par la loi de tephan : 3 π4 h et c On donne : d = 0 ep( ) 1 15 4 P R = σ Eprimer σ en fonction de k, b) On rappelle que la loi de Wien liant la longueur d onde λ m du maimum d émission thermique du corps noir, à sa température s écrit : λm = 898 µ m K On admet que l ensemble des couches de l atmosphère rayonne comme un corps noir à la température e = 63K Calculer les valeurs respectives des longueurs d onde λ m a et λ m s du rayonnement thermique de l atmosphère terrestre et du rayonnement thermique solaire (température de la surface du soleil de l ordre de 5700 K ) A quels domaines du spectre électromagnétique, ces longueurs d onde appartiennent-elles? c) On considère une surface délimitant un corps à la température en contact avec un environnement à la température e e corps et l environnement se conduisant comme des corps noirs, donner l epression de la puissance P échangée par rayonnement à travers entre le corps et l environnement (sortant algébriquement du corps vers l environnement) d) On suppose que est très proche de e et on pose = e + avec << e Montrer que P peut se mettre sous la forme approchée : P = G ( e ) et donner l epression de G en fonction de e, σ et Quelle est la résistance thermique de rayonnement R R correspondante? Montrer qu on peut confondre e et dans l epression de R R lorsque la forme approchée de P est du premier ordre en ( e ) e) Donner l epression de la résistance thermique R si l on considère à la fois un transfert par convection et par rayonnement entre un corps à la température délimité par une surface et un environnement à la température e II ransfert à travers le mur séparant le local de l etérieur On considère dans cette partie que les lois d association des résistances thermiques vues précédemment sont vérifiées, que la puissance transmise associée soit rayonnée, de nature conductive ou convective 1 On souhaite évaluer les pertes en puissance entre un local à la température int et le milieu etérieur à la température et On suppose que la paroi (figure 4) séparant le local à la température int de l air etérieur à la température et, est constituée d une vitre (conductivité λ, surface, épaisseur e) et d un mur de béton (conductivité λ b, surface b, épaisseur e b ), orthogonau à l ae a paroi, le milieu etérieur et le milieu intérieur au local se conduisent comme des corps noirs es transferts thermiques se font en régime stationnaire et le rayonnement solaire direct n est pas pris en compte On considèrera pour la surface de la paroi en contact avec l etérieur, un transfert thermique par convection avec l air etérieur, à la température a =, et par rayonnement avec l ensemble et
5 des couches de l atmosphère, à la température rayonnement à la résistance thermique en fonction de et Pour la surface en contact avec l intérieur, on considère un transfert convectif et un transfert e = et ; on eprimera la contribution du radiatif avec l intérieur du local ; on eprimera la contribution du rayonnement à la résistance thermique en fonction de int On note h i et h e les coefficients de convection pour la surface interne et eterne de la paroi On donne : 1 1 K λ = 1, Wm, 1 K h = 15Wm, i = m, e = 3mm, 1 K 1 1 K λ b = 0,9 Wm, h = 35Wm, et = 73K, int = 93K, e béton = 3m, e = 0,3m, b 8 b 4 σ = 5,6710 Wm K et e b b / int e Vitre e b b / ocal béton Figure 4 a) Eprimer la résistance thermique totale R t1 de la partie vitrée en fonction de R th la résistance thermique due à la conduction, R et et R int les résistances thermiques dues à la convection et au rayonnement respectivement sur la surface en contact avec l etérieur et l intérieur En déduire la puissance thermique P t1 sortant du local à travers la partie vitrée b) A l aide des résultats obtenus au questions I4e) et Ia), calculer numériquement R t1 et P t1 c) Eprimer et calculer numériquement la résistance thermique totale R t de la partie en béton de la paroi ainsi que la puissance thermique P t à travers celui-ci Comparer les valeurs numériques de P t1 et P t Conclusion? d) Que vaut la puissance totale P t si la paroi est constituée simplement d une baie vitrée de surface = 5m? ournez la page VP
6 Pour des raisons de luminosité, on opte pour une paroi (figure 5) entièrement constituée d une vitre de surface = 5m et d épaisseur e = 3mm es échanges thermiques sont de même nature que dans la question 1, sauf pour l échange par rayonnement entre la surface etérieure de la paroi et le milieu etérieur En effet, un modèle plus réaliste envisage que l ensemble des couches de l atmosphère rayonne comme un corps noir à une température = inférieure à et Un chauffage fournit au local la puissance calorifique P 0 = 1500W et on note 1 et les températures des surfaces en = 0 (surface 1 ) et = e (surface ) e e ciel et =73K =0 P 0 urface 1 à la température 1 urface à la température ciel =63K Vitre Figure 5 ocal à la température int On désire calculer 1,, int en fonction de P 0, conduction, à la convection et au rayonnement et, ciel et des grandeurs relatives à la a) Que vaut, en régime stationnaire, le flu thermique à travers 1 et? En eprimant la contribution du rayonnement à la résistance thermique en fonction de 1, eprimer l écart int 1 b) Eprimer l écart 1 c) Ecrire l équation vérifiée par le flu thermique s écoulant vers l etérieur à travers En supposant que puisse s écrire sous la forme 7 et + avec << et, montrer que l écart de température et peut se mettre sous la forme : P0 f ( et, ) et = ciel et donner l epression de f ( 3 et, ciel ) h + 4σ e et d) AN : ciel = 63K Calculer alors, 1 et int Evaluer les importances respectives de la conduction, de la convection et du rayonnement e) Par grand vent, le coefficient de convection eterne peut atteindre la valeur 1 K h = 60Wm Que valent alors,, 1 et int? Conclusion e
7 3 Afin de réaliser des économies d énergie, la paroi est finalement réalisée en double vitrage composé de deu vitres d épaisseur e = 3mm, de surface = 5m, séparées par une épaisseur e = 5mm d air de conductivité thermique envisagées sont indiquées sur la figure 6 1 1 K λ = 0,05Wm es différentes températures e=3mm e=3mm ciel = 63K ( 1b ) urface intérieure ( 1a ) Etérieur et = 73K urface etérieure ( b ) ( a ) P 0 ocal ( int ) ème vitre air 1 ère vitre e =5mm Figure 6 a) Montrer que l on peut confondre 1 a et 1 b en s appuyant sur les résultats de la question IId)e), ainsi que a et b On note alors 1 a = 1 b = 1 et a = b = b) es échanges thermiques sont de même nature que précédemment, mais l on considère maintenant que chacune des vitres est assimilable à un corps noir rayonnant dans demiespaces (à la température 1 pour la première vitre et à la température pour la seconde) Pour l air emprisonné entre les vitres, on néglige le phénomène de convection et de rayonnement pour ne considérer qu un transfert purement conductif Montrer que la relation entre int et 1 est identique au cas du simple vitrage et eprimer l écart int 1 c) Ecrire l équation vérifiée par le flu thermique s écoulant de la vitre 1 vers la vitre En déduire 1 en fonction de et P 0 Quelle est la modification par rapport au cas du simple vitrage? d) Montrer que la relation entre et et est identique au cas du simple vitrage et eprimer l écart et e) Calculer, 1 et int Montrer alors qu une valeur de P 0 divisée par donnerait une valeur plus raisonnable de int (voisine de celle obtenue en IId) ournez la page VP
8 MECANIQUE Conséquence de l effet de marée sur la distance erre-une Ce problème est formé de trois parties a première partie étudie l effet de marée eercé par la une sur la erre a seconde partie étudie l orbite de la une autour de la erre dans le cadre du système à deu corps a dernière partie met en évidence, à partir de la conservation du moment cinétique total du système erre une, le ralentissement de la rotation de la erre sur elle-même provoqué par l effet de marée et l augmentation de la distance erre une qui en résulte Notations et données numériques : Constante gravitationnelle G = 6,6710 30 Masse du oleil : m = 1, 9910 kg 11 11 N m Distance erre oleil : D = 1, 5010 m Masse de la une : m = 7,3410 kg 8 Distance moyenne erre une : D = 3,8410 m Rayon de la une : Masse de la erre : Rayon de la erre : 6 R = 1, 7510 m 4 m = 5,9810 kg 6 R = 6,3710 m kg Définition des différents référentiels et repères associés utilisés dans le problème : On rappelle que le référentiel de Copernic, noté R dont l origine est le centre de masse O du système solaire et les trois aes, y, z pointent vers trois étoiles lointaines de la sphère céleste, réalise une ecellente approimation d un référentiel galiléen e repère associé est ( O,e,e y,ez) On note, le centre de masse de la erre et référentiel géocentrique) de repère associé ( e,e, e ) pôles On note, le centre de masse de la une et référentiel sélénocentrique) de repère associé ( e,e, e ) R le référentiel barycentrique de la erre (ou, avec e z : vecteur unitaire de l ae des y z R le référentiel barycentrique de la une (ou, y z e oleil, la une et la erre sont supposés être sphériques à répartition de masse à symétrie sphérique I Etude de l effet de marée 1 Quel est le mouvement du référentiel géocentrique R dans le référentiel de Copernic si l on suppose m # m? Dans ces conditions, R est-il galiléen?
9 On considère une particule de masse m assimilée à un point matériel se trouvant au point P, au voisinage de la erre à l instant t On appelle F, la résultante des forces autres que les forces de gravitation et d inertie s eerçant sur la particule On note G ( P), G ( P ), G ( P ), les champs gravitationnels créés respectivement en P par le oleil, la une, et la erre es seuls astres contribuant au champ gravitationnel en P étant la une, la erre et le oleil, montrer que l on peut écrire le principe fondamental de la dynamique pour la particule dans le référentiel R sous la forme :! "! " " "! ma( P) = F + mg / ( P) + mg( P) + mg( P) ma( R ) / R où! ( )! ap et a / R ( ) / R désignent les accélérations des points P et, respectivement dans R et R "!! 3 On suppose F = 0 M étant un point de la erre, on montre qu en faisant un développement de G ( M ) et de G ( M ) au voisinage de, on peut écrire : ( M ) G + M grad et G + [ G ] où ( grad ) G ( M ) 7 ( ) ( M grad ) dont le résultat est calculé en [ G G 7 ( ) ( ) ] M est un opérateur appliqué à G ou a) En considérant la erre comme un système de points discrets A i, de masse m i, tels que! m = m a en appliquant le théorème du centre d inertie à la erre i, eprimer ( ) / R i! " b) Montrer alors que l on peut écrire : ma( P) = mg ( P) + mc ( P) + mc ( P) / R C ( P ) = G ( P) G ( ) représente le champ de marée dû à la une en P et C ( P ) = G ( P) G ( ) représente le champ de marée dû au oleil en P G, où 4 On suppose l astre considéré (oleil ou une), de centre A ( A = ou A = ) de masse m A situé à la distance D A de telle que A = DA e, dans le plan équatorial On considère les points P 1 et P de la surface terrestre de coordonnées ( R,0,0 ) et ( R,0,0) R dans le repère associé au référentiel R En considérant que << 1 évaluer le champ de D A marée C A ( P 1 ) et C A ( P ) Quelle est la direction de ces deu vecteurs? Faire un schéma G mar Evaluer numériquement le terme dans le cas où l astre A est le oleil, puis la une 3 DA Quel est l astre qui a l effet le plus important? ournez la page VP
10 II rajectoire de la une On néglige les effets dus au oleil ; le système erre-une est donc considéré isolé et on s intéresse au mouvements relatifs de la erre et de la une On considère le référentiel barycentrique R du système erre-une et on appelle C le centre de masse de l ensemble Ω et Ω désignent le vecteur vitesse angulaire de rotation propre respectivement de la une dans R et de la erre dans R J = mr désigne le moment d inertie de la une par rapport à son ae de rotation dans R 5 J = mr désigne le moment d inertie de la erre par rapport à son ae de rotation dans R 5 On désigne par (, ) On désigne respectivement par ( ), ( ) le moment cinétique du système erre-une dans le référentiel C C R les moments cinétiques au point C dans le référentiel R de la erre, de la une sont respectivement, les vecteurs moments cinétiques de rotation propre ( ) / R et ( ) / R de la erre au point dans le référentiel 1 a) Montrer que (, ) se conserve R et de la une au point dans le référentiel R b) a répartition de masse de la une et la erre étant à symétrie sphérique, montrer que ( ) et ( ) se conservent En déduire que Ω et Ω sont constants / R / R a) En considérant la erre comme un système de points discret, montrer que : " """" "! """" "! = C m V + où V représente le vecteur vitesse de dans le ( ) ( ) C / R / R référentiel R b) Donner la relation analogue pour ( ) c) En déduire que (, ) C / R peut se mettre sous la forme : "" "" (, ) = orb + ( ) + / ( ) où R / R orb désigne le moment cinétique orbital dans "" R du système erre-une Eprimer " """" "! orb en fonction de C, m, V/ R et de " """" C, m, V / R
11 3 On appelle M la particule fictive, telle que CM = de masse réduite vitesse V """" M/ R m m µ = de vecteur m + m a) Calculer les vecteurs C et C en fonction de m, m et En déduire les vecteurs """" "! vitesses V et V """" des points et dans le référentiel R, en fonction de V / R / R b) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans R pour et, et montrer que cela revient à considérer la particule fictive soumise à la force eercée par la erre sur la une M/R "" 4 a) Eprimer orb fictive est plan en fonction de V """" M/ R et µ Montrer alors que le mouvement de la particule b) En considérant que m >> m, à quels points peut-on assimiler les points C et M? Avec quel référentiel peut-on confondre R? 5 On suppose la condition précédente remplie On se place dans le plan de la trajectoire de et on introduit le repère des coordonnées polaires ( e ),,e θ tel que = r er 1 a) Etablir par la méthode de votre choi l équation différentielle suivie par u ( θ ) = r ( θ ) p Montrer que l équation de la trajectoire s écrit : r = où l on donnera les 1+ ecos( θ) significations de p et e b) e périgée est caractérisé par r p = 363000 km et l apogée par r a = 405000km Calculer p et e c) Montrer que la trajectoire de la une autour de la erre peut être assimilée à un cercle dont on donnera le rayon D Calculer la vitesse angulaire orbitale ω de la une autour de la erre, puis la vitesse v de la une sur son orbite par rapport au référentiel R r "" 6 a) Evaluer numériquement le moment cinétique orbital orb, ainsi que les moments cinétiques, et les comparer entre eu de rotation propre ( ) ( ) Données : / R / R 6 1 Ω =,66 10 rad s 5 1 Ω = 7, 9 10 rad s b) En supposant les vecteurs Ω et ω! colinéaires et dirigés suivant e z, montrer alors que l on m G D m + J Ω e peut écrire : ( ) ( ), z ournez la page VP
1 III Eloignement de la une En généralisant à un point quelconque de la erre, le calcul fait dans la partie I, on peut montrer que l effet de marée se traduit par l eistence de deu bourrelets diamétralement opposés, alignés avec la ligne des centres de l astre A et de la erre En fait, les bourrelets de marée sont entraînés par la rotation de la erre, plus rapide que le mouvement de la une sur son orbite et se trouvent donc décalés par rapport à la direction erre- une d un angle α (voir figure 7) a une eerce alors une action dont le moment sur les bourrelets tend à freiner la rotation de la erre e système erre-une étant toujours considéré isolé dans l espace, son moment cinétique total (, ) se conserve a diminution du moment cinétique de rotation propre de la erre est alors compensée par une augmentation du moment cinétique orbital de la une et donc par une augmentation progressive de la distance erre-une Cette troisième partie veut quantifier cet effet 1 a surface de la erre étant essentiellement recouverte par les océans, on modélise le phénomène des marées par deu bourrelets d eau symétriques de hauteur h formant un ellipsoïde tangent à la sphère terrestre (voir figure 7) Calculer la masse m b de l ensemble des deu bourrelets Données : Volume d un ellipsoïde de demi grand ae a et de demi petit ae b : 4 V = π ab 3 Masse volumique de l eau : ρ = 1000 kg m h = 0,50m 3 On admettra que le moment en des forces eercées par la une sur l ensemble (erre sphérique + bourrelets) M peut s écrire en première approimation M = M 1 + M où M 1 et m M sont les moments en des forces F b m 1 = C ( P1 ) et F = b C( P ) résultant de l action mb de la une sur les points P 1 et P de masse situés sur la droite de déformation maimale formant l angle α avec l ae e r Eprimer M en fonction de m et des vecteurs G ( P 1 ), G ( P ) et P 1 R 3 On admettra qu en faisant l hypothèse que 1 où A= m m ( R+ h) b 3 G b On obtient pour α = 3, D <<, M peut s écrire : A sin ( α) M = 3! 16 M = M = 4,510 I ez D Ω a) J gardant la même valeur définie dans la partie II, eprimer alors dt d et calculer sa valeur numérique b) On appelle la période de rotation propre terrestre Eprimer d dt en fonction de Ω et
13 dω et calculer sa valeur numérique en secondes par an avec 5 1 Ω = 7, 910 rad s dt 5 Comparer avec la valeur observée qui est de 1,6510 secondes par an c) En considérant l epression du moment cinétique total (, ) d( D ) du II-6-b, donner l epression de et calculer sa valeur numérique en cm par an Comparer avec la dt valeur observée qui est de 3,4 cm par an e θ e z P 1 P h R α h e r Figure 7 Fin de l énoncé ournez la page VP