Sujet E3A 2012 Physique (Seulement) ption MP Première partie : Caméra de contrôle des plaques d immatriculation A / Propagation de la lumière A1. Question de cours : position de Bessel La position de Bessel est la position minimisant la distance objet-image pour une lentille convergente. Nous savons que pour cette position 4. Quid de la réalisation de l image réelle d un objet réel? la question est cryptique, à moins que le concepteur s attende au terme «projection», ce qui laisserait M. de La Palice sans voix. A2. n posera. La relation de Snell-Descartes s écrit, soit :. Pour une lentille divergente, l image est virtuelle 0 0. La lentille divergente ne peut donc servir à projeter sur les capteurs l image d un objet réel. A3. Grandissement Les triangles bjet et Image sont proportionnels donc. A4. Approximation numérique : La distance L est très supérieure à la focale, nous pouvons donc considérer que. Plus simplement, l objet peut être considéré comme étant à l infini pour le système optique. A5. Application numérique En effectuant l approximation précédente on trouve. n obtient : Modèle 1 2 3 4 5 Grandissement x 10 3-1.75-1.72-1.78-1.71-1.78 Les grandissements sont voisins. La moyenne vaut 1.75 10. A6. Dimensions du capteur - AN Nous connaissons la diagonale du capteur que nous noterons D, et nous savons par ailleurs que le capteur est composé de n x m cellules de coté a, nous avons donc :. Soit 6.68 μ. Nous en déduisons une largeur de 3.89 et une longueur de 5.02. A7. Champ de vue - AN n utilise le facteur sur les dimensions du capteur. Le champ de vue a pour dimensions 2.87 2.22. Réponse variable puisque tout dépend de la définition de la «rue». Vu le champ de vue il faut une caméra par voie de véhicule. Pour une rue comportant une voie ce sera suffisant mais insuffisant pour une rue plus large. C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 1/8
A8. Taille dans l espace image A.8.1 Taille de la plaque n utilise de nouveau le facteur mais sur les dimensions d une plaque de 110 520. n obtient une image de dimensions 192 μ 909 μ.n divise par la dimension d une cellule pour avoir le nombre de pixels et on majore à l unité supérieure puisqu un pixel partiellement activé doit être compris, on trouve une image de 29 137 à +1 près par excès en fonction du centrage. A.8.2 Taille d un caractère dans l espace image. Même chose sur la dimension d un caractère de 50 79, qui donne une image de dimensions 87 μ 138 μ, soit 14 21 à +1 près par excès en fonction du centrage. A9. Dimensionnement de la caméra Les compromis sont nombreux, coût, encombrement, robustesse, durabilité etc.. Nous supposerons qu ici, l encombrement limite la distance C et donc le grandissement, et que le coût limite la résolution de la plaquette CCD. Ces deux contraintes sont antagonistes pour le nombre de pixels activés. A10. Film Si la caméra ne filmait que dans le visible, les problèmes de l éclairage nocturne et de l aveuglement des capteurs ou d un conducteur par un flash se poseraient. En filmant en infra-rouge, rien n interdit d utiliser des flash dans ce domaine puisque la vision humaine n y est pas sensible. A11. Diffraction L ouverture angulaire d un faisceau parallèle arrivant sous incidence normale vaut 1.2. La tâche d Airy obtenu pour un point source aura donc une dimension de 1.2 1.7 μ. Elle est de dimension inférieur à la taille caractéristique d un pixel, la diffraction n est donc pas ici le phénomène limitant. B / Profondeur de champ B1. Figure géométrique B 1 I D J P 0 F f' F' C 0 + L=P 0 Plusieurs possibilités pour assurer le tracé. Ici on trace le rayon J parallèle à P 0 I. Le rayon J, passant par le centre optique, n est pas dévié et coupe le plan focal image au foyer secondaire image J. r P 0 I étant parallèle à J, son rayon image passe par le même foyer secondaire J. Nous prolongeons pour obtenir sur l axe optique le point C 0 image de P 0. C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 2/8
B2. Visualisation de la profondeur de champ B 2 I D f' P 0 P 1 F F' d 1 Tache image C 0 C 1 + L=P 0 La technique de construction est la même que pour la figure B 1. B3. Diamètre de la tache image n posera, nous avons. La dimension de la tache image s obtient en utilisant le théorème de Thalès Soit en remplaçant, le facteur évoqué dans l énoncé s identifie à D. B4. Figure B 4 I D f' C 2 d 2 Tache image P 0 P 1 F F' C 0 C 1 + L=P 0 La démonstration précédente s adapte aisément avec Δ pour obtenir B5. Approximation numérique n exploite l approximation suggérée : et B6. Limites de la profondeur de champ (. n obtient, en exploitant les limites des conditions précédentes : Δ et Δ C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 3/8
B7. Limites numériques de la profondeur de champ n effectue l application numérique :Δ 2.45 et Δ 5.41. B8. Profondeur de champ Δ Δ n remplace pour obtenir 7.87 B9. Simplification numérique Nous avons selon l énoncé (faux en fait) donc 6.76 Le résultat obtenu ne concorde pas pour la lentille N 3, ce qui est normal car l approximation suggérée est grossière. B10. Choix d une lentille de petit diamètre Inconvénient du petit diamètre : faible capture de lumière, temps de pose plus long, phénomène de diffraction plus important. Avantage du petit diamètre : coût et encombrement réduit, profondeur de champ plus importante. Ici c est la dernière qualité (profondeur de champ) qui est primordiale dans le cahier des charges. Note : La profondeur de champ est hors-programme, et elle fait partie de ces notions voisines du programme que nous sommes tentés de faire et que certains font. A ce titre, poser un problème s y référant est une dérive inflationniste dangereuse, et devrait être évité C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 4/8
Deuxième partie : Détection de véhicules par boucle inductive C / Inductance de la boucle C1. Flux propre n a simplement Φ. C2. Vecteur densité de courant n suppose la densité de courant uniforme on a donc. Soit. C3. Direction du champ d induction magnétique Le champ est normal à tout plan de symétrie laissant invariante la distribution des courants. Le plan Π,, est un tel plan donc. Vu l invariance par rotation et translation verticale (fil infini), nous avons :,,. La conjugaison des deux analyses nous permet d écrire. C4. Symétries importantes => calcul du champ par le théorème d Ampère. La circulation de sur un contour circulaire horizontale de rayon r vaut 2. Si, le théorème d Ampère s écrit μ et nous avons μ. Si, le théorème d Ampère s écrit μ et nous avons μ. C5. Courbe. n a μ B(r) B max Décroissance en 1/r Croissance en r e r C6. Flux du champ magnétique Calcul intégral : Φ. 1 2ln. C7. Flux à travers une spire n somme les 4 flux de type C6 correspondant à 1 spire, soit : Φ 1 2ln 12ln Nous en déduisons : L 1 2ln 12ln. C8. Application numérique : n remplace par les valeurs fournies et on détermine e en exploitant la section s et en supposant le fil cylindrique. Nous obtenons L 9.6 μ. C9. Fausse linéarité : L inductance propre d un ensemble de spires croit en, où est le nombre de spires, car le flux est additif mais le courant enlacé aussi (théorème d Ampère). Nous aurons donc :. C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 5/8
C10. Application numérique : L inductance globale est comprise entre 9 25, soit 86 μ 240 μ. Note : La détermination d une inductance propre est très explicitement hors-programme en PC, elle fait encore partie de ces notions voisines du programme que nous sommes tentés de faire et que beaucoup font (coupable!). Le caractère non linéaire de L par rapport à n sera évident pour un étudiant ayant été initié, et sera plus délicat pour un autre qui découvre ces sujets. Nous sommes encore en présence d une dérive inflationniste D / Détection d un véhicule Note : Le problème utilise la théorie des images magnétiques «induites». Malheureusement dans sa description le châssis du véhicule est immobile et le champ créé par la spire n a pas de dépendance temporelle explicite, bien malin sera l étudiant qui verra dans ce contexte le phénomène d induction usuel.. D1. Loi de Lenz Les effets s opposent aux causes qui les engendrent (Loi de Lenz). En induction (ARQS), les causes sont les variations du flux magnétique de «commande» perçues par le circuit, or nous n avons pas de telles variations décrites dans l énoncé, il est donc difficile de vérifier la loi de Lenz. En pratique en basses fréquences, tout conducteur peut être considéré comme un conducteur parfait et joue alors le rôle de miroir électromagnétique. Le champ d induction magnétique est nul dans un tel conducteur, par continuité on s assure d un nul sur la surface. Pour que cette propriété soit vérifiée sur l axe de symétrie, la «spire miroir» doit annuler le champ de la spire enterrée sur le conducteur. La «spire miroir» est donc orientée en sens inverse de la spire initiale. Cet effet «miroir» est en fait la conséquence de l équation de Poisson de la «magnétostatique» et d une approximation conducteur parfait aux faibles fréquences, le problème avec la spire miroir est équivalent au problème initial car ils ont les mêmes conditions aux limites dans l espace situé sous la voiture. Toutefois, les solutions du champ d induction magnétique ne sont pertinentes que sous la voiture et en aucun cas dans la carcasse métallique (donc ni en, ni en A, ni en B). D2. Application numérique (version Bourrin!) D.2.1 Champ total n utilise le champ d induction magnétique créé par un fil infini comme formulation de base, et on somme quatre de ces champs pour chacun des points référencés. En relevant les positions des points on voit que est sur l axe de symétrie des spires, que 10 et que 20. Cas du point : 0 0 0 4 10 Cas du point A : soit 2.8 10 5.5 10 C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 6/8
Cas du point B : 6.0 10 6.6 10 Cette expression du champ total est sans intérêt, parce que l énoncé ne la demande pas, mais surtout parce que la solution de la spire miroir est inadaptée dans cette partie de l espace. D.2.1.2 Champ induit n se limite ici au champ induit, il nous suffit de sommer les lignes C 1 et C 2. Cas du point : 8 10 Cas du point A : 8.3 10 Cas du point B : 9.5 10 Le champ d induction magnétique induit varie modérément entre, A et B. D3. Tube de champ magnétique Propriété : le flux orienté à travers toute section d un tube de champ est constant. Démonstration (cf cours) : on utilise le caractère conservatif du flux, on étudie le flux issu de la surface fermée constituée de deux sections quelconques et de la surface latérale du tube de champ. Le flux de la surface latérale étant nul puisque ces génératrices sont des lignes de champ, on en déduit Φ Φ 0. D4. Estimation du flux induit n suppose que la carte des lignes de champ créée par la spire miroir en figure 5 est «vraie». En ce cas les lignes de champ qui passent par les limites de la spire enterrée passent au niveau de la spire miroir à une distance de 25 cm du centre, et au voisinage de B pour la limite droite. n approxime sur l intervalle la valeur du champ à celle de A. Le flux induit vaut alors Φ 5. Cette «astuce» du tube de champ justifie le calcul du champ induit en, A, B par cette méthode. Les valeurs déterminées en D2 n ont de sens que dans cette perspective. D5. Variation d inductance La variation d inductance vaut alors Δ 0.83 μ, soit 8.6% La variation d inductance globale est proportionnelle au carré du nombre de spires, mais comme l inductance globale est soumise à la même proportionnalité, nous avons. La fluctuation est de l ordre de 10%, c est aisément détectable avec l électronique moderne. C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 7/8
D6. Résistivité d un barreau Question de cours l. Application numérique : 0.3 Ω. D7. Circuit rlc Série Nous avons avec, soit 0. n identifie avec la forme canonique, donc et. D8. Facteur de qualité La résistance croit linéairement en fonction de n alors que l inductance croit linéairement en fonction de n 2, vu la forme de Q, il est évident que les croissances de r et L se compensent et que Q est indépendant de n. D9. Capacité C Nous avons 4, pour 10 90, nous obtenons 31 2.5 μ. Pour la fréquence de 45, nous avons 125. C est une gamme classique de l électronique, elle nous permet de privilégier l usage de capacités au tantale et d éviter des capacités électrochimique complétement inadaptées pour cette fonction. D10. Variation de l oscillateur Par une analyse différentielle on obtient. Lorsqu un véhicule passe sur la boucle, l inductance diminue, la fréquence augmente donc. La valeur calculée en D5 nous donnait une variation de l ordre de 8% pour L, elle induira donc une variation de l ordre de 4% pour la fréquence. n «passera» donc aisément les seuils de détection du fréquencemètre et l activation de seuil permettra d incrémenter le compteur de véhicule. Il est à noter qu un réglage à minima du seuil est à éviter, on risque alors de déclencher sur des phénomènes parasites et enregistrer des véhicules fantômes. E / Fin de la partie Physique C.Caire E3A 2012 Physique Corrigé 8/8