CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 DE JANVIER 2010 ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice n 1 : A = 5 21 + 3 7 1 3 = 5 21 + 9 21 7 21 = 7 21 = 1 3 ; B = 2 3 + 2 7 C = - 5 12 3 2 = - 5 12 14 9 = 2 3 + 2 x 2 x 7 7 x 9 = 2 3 + 4 9 = 6 9 + 4 9 = 10 9 2 3 = - 5 x 2 2 x 6 x 3 = - 5 18. ; Exercice n 2 : 4(3x 2) + 2(5 x) = 8 soit donc : 12 x 8 + 10 2x = 8 Puis : 12 x 2x = 8 + 8 10. Enfin : 10 x = 10. D où x = - 10 10 = 1. La solution de l équation est 1. Exercice n 3 : Soit W = (7x 1)(3x + 4) + (7x 1)² i) W = 21x² + 28x 3x 4 + 49x² - 14x + 1 = 70x² + 11x 3. ii) W = (7x 1)[(3x + 4) + (7x 1)] = (7x 1)(3x + 4 + 7x 1) = (7x 1)(10x + 3). iii) Un produit est nul si l un au moins de ses facteurs est nul. Ainsi (10x + 3) (7x 1) = 0 si 10x + 3 = 0 ou si 7x 1 = 0 Donc si 10x = 3 ou si 7x = 1. Soit donc si x = - 3 10 ou si x = 1 7 Les solutions de l équations sont - 3 10 et 1 7. Exercice n 4 : i) 2106 = 3 650 + 156. ii) 650 2106 650 = 4 156 + 26. 156 = 6 26 + 0. Donc le PGCD de 2106 et de 650 est 26. = 650 : 26 2106 : 26 = 25 81. Exercice n 5 : i) Avec 3 : 3 + 5 = 8 ; 8² = 64 ; 64 35 = 29. Donc avec 3 on obtient 29. ii) Avec 2: 2 + 5 = 3 ; 3² = 9 ; 9 35 = 26. Donc avec 2 on obtient 26.
ACTIVITES GEOMETRIQUES : (12 points) Exercice I : 5 points : 1) BC 2 = 7,5 2 AB 2 + AC 2 = 4,5 2 + 6 2 = 56,25 = 56,25 Donc BC 2 = AB 2 + AC 2 D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 2) Construction : 3) Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en C. Les droites (ED) et (BA) sont parallèles. D après le théorème de Thalès : CE CD DE CB CA AB CE 4 DE CB 6 4,5 DE 4 4,5 6 donc DE = 3 cm
Exercice II : 7 points : 1) Le triangle ABC est rectangle en A. D après le théorème de Pythagore : AB 2 + AC 2 = BC 2 9 2 + 6 2 = BC 2 81 + 36 = BC 2 BC 2 = 117 BC = 117 BC = 10,8 cm 2) Les droites (CD) et (BE) sont sécantes en A. Les droites (DE) et (BC) sont parallèles. D après le théorème de Thalès : AE AD ED AB AC BC AE 2 ED 9 6 10,82 AE = 2 9 6 donc AE = 3 cm 3) Le triangle EAD est rectangle en A. D après le théorème de Pythagore : AE 2 + AD 2 = ED 2 3 2 + 2 2 = ED 2 9 + 4 = ED 2 ED 2 = 13 ED = 13 ED = 3,6 4) Les points A, F, C et A, E, G sont alignés dans le même ordre. AF 4 2 AG 6 2 et AC 6 3 AB 9 3 AF AG Donc AC AB D après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (BC) sont parallèles.
PROBLEME : (12 points) PARTIE A Un collège ayant quatre classes de 3 ième souhaite participer à un concours régional de mathématiques, les professeurs souhaitent faire une sélection des candidats, ils organisent pour cela une évaluation. Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par la classe de M. Ibads : E f f e c t i f s Notes 1) Compléter le tableau suivant : Notes obtenues 5 6 7 8 11 12 13 14 16 17 Effectifs 2 5 4 2 2 1 1 3 1 3 Effectifs cumulés croissants 2 7 11 13 15 16 17 20 21 24 2) Combien d élèves y a-t-il dans cette classe? Il y a 24 élèves dans cette classe. 3) Déterminer l étendue. 17 5 = 12 4) Calculer la moyenne des notes obtenues dans la classe de M. Ibads. (2x5 + 5x6 + 4x7 + 2x8 + 2x11 +1x12 + 1x13 + 3x14 + 1x16 + 3x17) 24 = 10 5) Déterminer la note médiane de cette série de notes. Il y a 24 élèves, la note médiane se trouve entre la 12 ième et 13 ième note, la ligne des effectifs cumulés croissants nous indique que la note médiane est 8. PARTIE B La classe de Mme Uzardau comprends 21 élèves, les notes obtenues sont les suivantes : 2 4 6 7 7 8 8 8 10 12 13 13 13 13 14 15 15 15 15 16-17 1) Déterminer l étendue. 17 2 = 15 2) Calculer la moyenne des notes obtenues dans la classe de Mme Uzardau (2 + 4 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 10 + 12 + 13 + 13 + 13 + 13 + 14 + 15 + 15 + 15 + 15 + 16 + 17) 24 = 11 3) Déterminer la note médiane de cette série de notes.
Il y a 21 notes, la note médiane est la 11 ième note ; c est 13. 4) Le délégué de cette classe a eu 12. Participera-t-il au concours selon les critères de M. Ibads? Bien que sa note soit supérieure à la moyenne de la classe, avec sa note 12, il se trouve dans la partie inférieure de la médiane donc il ne participera pas au concours. PARTIE C M. Sebuse et Mme Nemel ont rassemblé les résultats de leur classe respective dans les tableaux suivants : Classe de M. Sebuse : Notes obtenues 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Nombre d élèves 2 2 0 5 1 6 8 2 0 3 1 C est une classe de 30 élèves, la moyenne de la classe est 10 et sa médiane est 12. Classe de Mme Nemel : Notes obtenues 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Nombre d élèves 0 0 1 4 6 8 6 4 1 0 0 C est aussi une classe de 30 élèves, la moyenne de la classe est également de 10 et sa médiane est 12. Les professeurs attribuent un niveau très satisfaisant à tout élève ayant obtenu une note supérieure à 15. 1) Quel pourcentage d élèves de la classe de M. Sebuse a un niveau très satisfaisant? 4 X 100 13,33. 13 % des élèves de la classe de M. Sebuse a un niveau très satisfaisant. 30 2) Quel pourcentage d élèves de la classe de Mme Nemel a un niveau très satisfaisant? 1 X 100 3,33. 3 % des élèves de la classe de Mme Nemel a un niveau très satisfaisant. 30 3) Faire un diagramme en bâtons pour les classes de M. Sebuse et Mme Nemel. En abscisses, 1cm correspond à 2 points et en ordonnées, 1 cm correspond à un effectif d élèves.
Classe de M. Sebuse Classe de Mme Nemel 4) Parmi ces deux classes, seule une pourra participer au concours. Les moyennes et les médianes de ces deux classes étant identiques, les professeurs ont décidé que c est la classe de Mme Nemel qui participera au concours. En vous appuyant sur toutes les données de l énoncé et les tableaux des notes. Expliquer leur choix. Les graphiques montrent que dans la classe de M. Sebuse, les résultats sont plus dispersés, la classe de Mme Nemel est plus homogène.