RÉGIME SINUSOÏDAL - QUADRIPÔLES - corrigé des exercices A. Exercices de base I. Impédance itérative. Pour que le courant débité par le générateur soit le même que sʼil était branché sur R, il faut et il Rr suffit que la résistance équivalente de lʼensemble soit R : r + R et donc : R r R + r + + 4r % r '. P Dans ces conditions : U R I et U 0 R I 0 ; par suite : U % R r ' r % % ( '. P 0 U 0 R ' R + r. Le raisonnement précédent peut sʼappliquer par récurrence, et il suffit de considérer un seul élément LC du type indiqué. Le calcul est analogue en remplaçant r par Z et r par Z r + jlω ; on obtient ainsi : Z ± ' 4LC + 4jrC ). % ( En constatant alors que le cas indiqué correspond à 4LCω, on obtient après simplification : ± + j Z. On constate alors quʼil y a deux solutions complexes, mais une seule a un argument ( ) rc dans [- ; ], cʼest-à-dire une partie réelle positive (réalisable à partir de résistances, dʼinductances et de capacités) : Z + ( + j ) rc r C - j + rc C Si on réalise cette impédance par un circuit r 0 C 0 en série, dʼimpédance : Z r 0 +, cela cor- jc 0 respond à : r 0 r C 35,4 Ω et C 0 Cr 0 r + r 0.,7 µf. II. Adaptation d'impédances. L'impédance complexe Z de l'assemblage en parallèle de Rʼ et C est telle que : Z + jcω R R c'est-à-dire : Z. L'impédance totale de l'assemblage de R, L et Z en série est alors : Zʼ + j R C R + jlω + Z. Le courant débité par le générateur est par suite : I E et la tension aux bornes de Z (tension Z commune à Rʼ et C) est : U Z I E Z Z E R R + R. LC ( R C). ( ) + j. L + R Compte tenu de U RʼIʼ, la puissance (moyenne) dissipée dans Rʼ est alors : P RʼIʼ U R U R E R ( R + R. ( LC )) +. L + R R C ( ). La différentielle de P, pour R et Rʼ fixées, peut s'écrire sous la forme : dp P L valeur maximum est obtenue quand la différentielle est nulle, c'est-à-dire quand conditions correspondent à : L - RʼC.( - LCω ) 0 et R C - L.( - LCω ) 0. P L 0 et P C P dl + dc ; la C 0. Ces
En régime sinusoïdal (ω 0) et pour Rʼ R (l'égalité est acceptable) on obtient alors : R R C R ( R R)R et L. R L remarque : en régime continu (ω 0) il semble que la solution soit : Rʼ R, mais elle ne C décrit pas correctement le problème (en courant continu, L et C sont sans effet ; la condition Rʼ R est correcte, mais obtenue ici par hasard puisqu'elle ne peut découler logiquement que de la différentielle dp exprimée en fonction de dr et/ou drʼ).. L'impédance complexe Z de l'assemblage en parallèle de C et de l'ensemble RʼL est telle que : Z R + jl + jcω c'est-à-dire : Z R + jl. L'impédance totale de l'assemblage de R et Z en LC R C série est alors : Zʼ R + Z. ( ) + j Le courant débité par le générateur est par suite : I E et la tension aux bornes de Z (tension Z commune à C et à l'ensemble RʼL) est : U Z I E Z Z E R + jl R + R. ( LC ) + j( L + R R C). U Le courant circulant dans Rʼ (et L) est alors : Iʼ et la tension aux bornes du résistor est : R + jl R Uʼ RʼIʼ E. La puissance (moyenne) dissipée dans Rʼ est par suite : R + R. LC ( R C) P RʼIʼ ( ) + j L + R U R U R E R ( R + R. ( LC )) + L + R R C ( ). Le calcul analogue à celui de la question () conduit aux conditions : L - R C.( - LCω ) 0 et RʼC - L.( - LCω ) 0. En régime sinusoïdal (ω 0) et pour Rʼ R (l'égalité est acceptable) on obtient alors : R R ( R R ) R C R e t L. R L remarque : en régime continu, il semble ici encore que la solution soit : Rʼ R, mais ici C encore elle ne décrit pas correctement le problème (il faut écrire dès le départ les équations avec ω 0). L'intérêt d'utiliser des éléments réactifs est quʼils peuvent adapter la phase de Z alors que les résistances ne peuvent adapter que le module Z. Lʼavantage de n'utiliser que des éléments réactifs est qu'ils ne consomment pas d'énergie par eux mêmes (ils la stockent et la restituent alternativement) ; par contre, ils conduisent tout de même à des pertes d'énergie par effet Joule dans R. III. Fonction de transfert. Puisque i s 0, c'est le même courant qui circule dans R, r et C : i e sortie, aux bornes de r et C, est alors : u s (r + H u s r + R + r +. ) i e R + r +. La tension de et la fonction de transfert (gain en tension) est donc
. Pour exprimer H en fonction de ω 0 3 rc, x et α 0 qui peut aussi se mettre sous la forme : H + x + j ( )x.. + x ' ' ) % % ( ) ( r r + R + jx on peut écrire : H + j x ce 3. Ainsi : H(ω) H + x + x % ( ' et φ arg(h) arctan ( )x ' % + x ). ( Le diagramme de Bode pour H(ω) est le suivant (en prenant par exemple α 0,3) : remarque : ce diagramme de Bode présente un point d'inflexion : H(ω) pour x ; par ailleurs, la fréquence de coupure à -3 db correspond à : x c (inférieure à ω 0 pour α 0,3) et n'existe que si α < (H α quand ω ). Le diagramme de Bode pour φ(ω) est le suivant (en prenant par exemple α 0,3) : 0,0-0, -0,!() -0,3-0,4-0,5 x m 0,548-0,6 0,0 0,0,00 0,00 00,00 x
4 La fonction arctan étant strictement monotone, dans l'intervalle de valeurs considéré, l'extremum de φ(ω) (qui est un minimum) correspond à l'extremum de x + x. On obtient alors x m, d'où on déduit : φ m arctan ' ) % ( IV. Combinaison de fonctions de transfert. Puisque i s 0, c'est le même courant qui circule dans R, r et C : i e sortie, aux bornes de r et C, est alors : u s (r + H u s r + R + r +. ) i e R + r +. La tension de et la fonction de transfert (gain en tension) est donc. On peut écrire H + jrc + j( r + R)C H H avec H + j et H + j. 3.a. Pour simplifier on peut poser x i et H i + jx ; les deux cas sont alors analogues. Ainsi : H i (ω) H i () + x. Pour x 0 le montage est suiveur : H i et H idb 0 ; pour x le montage est dérivateur : H i x et H idb 0 log(x). Les deux asymptotes se coupent pour x. 3.b. Par ailleurs : φ i (ω) arg(h i (ω)) arctan(x). Pour x 0 le montage est suiveur : φ i 0 ; pour x le montage est dérivateur : φ i. Pour x, le développement limité : φ i arctan( + ε) arctan() + ε 4 + ε correspondrait, en échelle linéaire, à une droite coupant les asymptotes pour ε ± donc x ±. Toutefois, puisqu'on représente les fréquences en échelle logarithmique, il faut considérer ici une droite coupant les asymptotes pour log(x) ± log(e).
5 4.a. On peut écrire : H(ω) H H donc : H db 0 log(h ) - 0 log(h ) H db - H db. Pour ω < ω on obtient H db H db 0 donc H db 0 (dans l'approximation asymptotique). Pour ω < ω < ω on obtient H db 0 et H db 0 log(x ) avec x x ; ceci donne donc : H db 0 log(α) - 0 log(x ). Pour ω < ω on obtient H db 0 log(x ) et H db 0 log(x ) donc : H db 0 log(α). Le diagramme de Bode simplifié pour H(ω) est donc le suivant : remarque : ce diagramme de Bode présente un point d'inflexion : H(ω) pour x ; par contre, l'approximation au niveau de ce point d'inflexion est assez médiocre si α est trop proche de, car la zone correspondante n'est pas dans les portions bien représentées par les asymptotes. 4.b. De façon analogue φ arg(h) arg(h ) - arg(h ) φ - φ. Pour log(x ) < - log(e) c'est-à-dire log(x ) < log(α) - log(e) on obtient φ φ 0 donc φ 0 (dans l'approximation asymptotique).
6 Pour - log(e) < log(x ) < log(α) + log(e) les variations affines analogues de φ et φ donnent une différence constante : φ ln(0) log(α) -0,60 rad. Pour log(e) < log(x ) on obtient φ φ donc : φ 0. Dans les deux zones intermédiaires, le raccordement se fait de façon affine. Le diagramme de Bode simplifié pour φ(ω) est donc le suivant : 4.c. La courbe réelle présente des arrondis au niveau des raccordements du diagramme simplifié. L'extremum de φ(ω) (qui est un minimum) correspond par symétrie au milieu de l'intervalle minimum représenté ici : log(x m ) [log(α) + log()] donc x m. D'après ce qui précède, le minimum est : φ m ln(α) ln(x m ) ; compte tenu des approximations, ce n'est a priori qu'un ordre de grandeur. V. Circuit RLC et fonction de transfert. Puisque i s 0, c'est le même courant qui circule dans R, L et C : i e R + j L. La tension ' ) % C ( de sortie, aux bornes de R, est alors : u s Ri e et la fonction de transfert (gain en tension) est par conséquent : H u s R R + j L. ' ) % C (. En exprimant H en fonction de ω 0 H + jq x. % ( x' On en déduit : H(ω) H LC, x 0 et Q L 0 R RC 0 on obtient : +Q x % ( x' et φ arg(h) -arctan % Q x % ( x' (. '
Le diagramme de Bode pour H(ω) est le suivant pour Q 0 (résonance aiguë) : 7 Le diagramme est le suivant pour Q 0,5 (résonance large) : On peut écrire : G db 0 log H () % (, et en particulier : G H ( 0 ) db 0 log( x ' Q ) pour ω ω 0 ; G db 0 log( Q x ) pour ω ω 0. La bande passante à -3 db en puissance est limitée par ω tel que H(ω) H 0 ω ± 0 Q - ω 0 0. Les solutions positives sont : ω 0 Q + 4Q % et ω 0 Q la bande passante est donc : Δω ω - ω 0 Q. + 4Q + % ; ( ), c'est-à-dire
8 Le diagramme de Bode pour φ(ω) est le suivant (en prenant pour exemples Q 0 et Q 0,5) : VI. Fonctions de transfert. Lʼimpédance complexe équivalente à l'ensemble de C et R c peut sʼécrire : R Z + c + jr c C. R c D'après le principe du pont diviseur de tension : H u u s Z R + Z R c. R. ( + jr c C ) + R c. D'après le principe du pont diviseur de courant : H i i s G c Z i e Y R c + jr c C. 3. Le gain en puissance moyenne peut s'écrire : H P P s P e Par ailleurs : U si s cos s U e I e cos e ( ) ( ) H u H cos ( s) i ( ). R c cos e H u H u ( R + R c ) + RR c C u s R c i s ; cos(ϕ s ) cos(arg(r c )) ; ( ) ; H i H i ( ) ; + R c C ( ) + R c.( jr c C ) (R + Z ) i e ; ϕ e arg(r + Z ) arg R. + jr c C % + ( R c C ) R + R c cos(ϕ s ) cos(arg( R + R c + jr c C. ( R R c ))) Finalement : H P R c R + R c ( R + R c ) + ( R c C ).( R R c ) ( R + R c ) + ( RR c C ) + ( R c C ). ' ) ( ( R + R c ) + ( R c C ).( R R c ). ;
VII. Filtre et fonction de transfert. Lʼimpédance complexe équivalente peut sʼécrire : Z e jlω + jlω + + Z c + jl. La condition : Z i jlω + + Z i + jl 9 Z c + jl +. ( Z c + jl ). correspond à : Z i L C - L ω (valeur réelle). On constate que Z i 0 pour ω ω LC. De plus, on obtient ainsi : Z i > 0 pour ω < ω, ce qui correspond à une impédance Z i réelle (purement résistive) ; on obtient de même : Z i < 0 pour ω > ω, ce qui correspond à une impédance Z i imaginaire (purement réactive). remarque : on peut écrire ainsi : Z i L. 3. La loi des mailles donne : (jlω + Z c ) i s i e i s de transfert est : H(ω) u s Z c i s Z e i e Z c. LC jc Z c ( ) + jl. ( LC ). 4. Si on ajuste Z c Z i (ω) L Z e on obtient : H(ω) En particulier, pour ω < ω, on obtient : H(ω) LC ( ) + L C.( ) ; φ(ω) - arctan ' ) % 0 ) ( De même, pour ω > ω : H(ω) avec ω 0 dʼoù on tire : i e i s.[ + jcω.(jlω + Z c )]. La fonction LC. LC LC Ceci peut être résumé par les représentations graphiques suivantes : LC + jlc. et φ(ω) π (H(ω) réel mais négatif).
0 B. Exercice d'approfondissement VIII. Diode tunnel ; auto-oscillation et amplification. Dʼaprès le schéma indiqué, la tension aux bornes de la diode peut sʼécrire : U AB E - R I ; le point de fonctionnement sur le graphique correspond donc à lʼintersection de la courbe caractéristique avec la droite dʼéquation : I E U R. Le graphique montre ainsi que le point de fonctionnement est au voisinage du point indiqué sur la caractéristique : U 00 mv et I 0,5 ma ; compte tenu de la pente indiquée sur le graphique, on peut alors obtenir le résultat par un calcul algébrique, en assimilant la portion centrale de la caractéristique avec la droite dʼéquation : U AB U - ρ.(i - I ) où la résistance ρ 50 Ω est l'inverse de la pente (conductance) On obtient ainsi le point dʼintersection pour : U 0 U 00 mv et I 0 I 0,5 A.. Soumis à une f.e.m. E E 0 +e E 0 le circuit est parcouru par un courant I I 0 +i I 0 et la tension aux bornes de la diode est donc : U E - RI U 0 + (e - Ri) U 0. Or, au voisinage de ce point de fonctionnement, la caractéristique peut être assimilée à la droite dʼéquation : U U 0 - ρ.(i - I 0 ) où ρ 50 Ω ; la tension variable ajoutée de ce fait à U 0 est donc : U - U 0 -ρ i, ce qui est caractéristique dʼune résistance négative -ρ. remarque : il est clair ici que le signe négatif ne provient pas dʼun choix arbitraire du sens de mesure de la tension (elle est mesurée dans le même sens que celui qui donnerait une résistance positive pour un résistor) ; le signe négatif est associé à la pente négative de la caractéristique (sur la portion considérée). 3. Le montage peut ainsi être représenté (pour le régime variable) par le schéma suivant : On obtient dans ces conditions : u R i et e (R-ρ) i donc : A R R. Si la résistance R est donnée, la seule façon de modifier A est de changer ρ. Si la diode tunnel est donnée, on peut modifier ρ en utilisant un autre point de fonctionnement sur la caractéristique, cʼest-à-dire en imposant E 0 différent (et donc U 0 et Ι 0 différents) pour se placer en un point de la caractéristique dont la pente est différente.
4. On obtient dans ces conditions : u R i et e [R + jlω - φ φʼ - φ. ( ) ( ). ] i et par conséquent : jc A R R. jc R + jl R.( LC ) + j. L RC Lʼargument de A correspond au déphasage de u par rapport à e : A A e iφ u.ej e.e j correspond à 5. Le module A(ω) est infini si et seulement si le dénominateur est nul, cʼest-à-dire : R - ρ( - LCω ) 0 L et L - ρrc 0. Ceci donne : R c C et ω c 0 avec ω 0 (pulsation propre du circuit LC LC) et α - (inverse de la constante de temps caractéristique de lʼamortissement par le circuit ρc, C dʼailleurs identique, au signe près,dans ces conditions, à la constante de temps du circuit R c L). remarque : ceci suppose α < ω 0 (amortissement relativement faible). En fait, dans ces conditions, le circuit ρc ne réalise par un amortissement mais une amplification, et le gain obtenst infini car lʼamortissement causé par R c L est exactement compensé par lʼamplification causée par ρc. Par suite, le circuit total reçoit de lʼénergie (fournie par le générateur) qui nʼest pas dissipée, et lʼaccumulation de cette énergie fait tendre lʼamplitude du signal vers lʼinfini. Dans la mesure où les calculs précédents ne considèrent que le régime sinusoïdal asymptotique (après amortissement du régime transitoire), ce régime asymptotique correspond forcément à une amplitude infinie. remarque : si on changeait R pour lui donner la valeur R c il faudrait aussi changer E 0 si on voulait conserver le même point de fonctionnement (dʼoù découle ρ). 6. On peut écrire : A R.( + (C) ) ( R.( LC )) +. L RC Pour ω 0 on peut considérer ω α,83.0 0 s - ; on peut donc écrire : A ( ). C,33.09 s - ce qui impose ω ω 0 R ( R ) +. L RC ( ). En particulier, tant que ω nʼest pas trop grand, on obtient : A A(0) valeur est dʼailleurs la valeur maximum A max. R R LC 9 > ; cette remarque : il est normal de retrouver ici lʼexpression obtenue en négligeant L et C, puisquʼà faible fréquence lʼimpédance de L est négligeable, et que celle de C est quasi-infinie (imposant ainsi le passage du courant dans -ρ). Compte tenu du domaine de validité de lʼapproximation précédente (indiquée en pointillés sur le graphique ci-après), la bande passante peut être calculée avec lʼexpression simplifiée. La limite (supérieure) de la bande passante correspond à : (R - ρ) + ω.(l - ρrc) (R - ρ) cʼest-à-dire : Δω ω R L RC 46,.06 rad.s -.