Potentiel électrostatique Exercice 1 : Du potentiel au champ électrique, du champ électrique au potentiel A) On considère quatre charges identiques qui occupent les sommets d un carré dans le plan ( ) aux points de coordonnées (±, 0,0) et (0, ±, 0). 1) Obtenir l expression du champ électrique en un point de l axe Oz en utilisant la loi de Coulomb vue au chapitre précédent. Le champ électrostatique sera exprimé en fonction de la côte verticale du point,, et 2) Retrouver l expression du champ électrique après avoir calculé la potentiel électrique ( ) puis en utilisant la relation = B) Expérimentalement, on obtient des renseignements sur le champ électrique créé par une distribution en utilisant un voltmètre et donc en connaissant le champ «potentiel électrostatique». Vous avez à disposition une cuve remplie de sulfate de cuivre qui permet, lorsque l on impose une tension à ses bornes, la création d un champ électrostatique. A l aide d un voltmètre, on peut mesurer le potentiel en tout point de la cuve. On donne ci-dessous l exemple d un programme permettant de tracer les isobares et lignes de champ des forces de pression volumiques dans un plan verticale ( ) d un récipient rempli d eau. Le théorème de superposition appliquée au potentiel donne : ( ) = = Le champ électrostatique en M est suivant l axe Oz et comme. =, alors = et le champ vaut : ( ) = ( + ) Le théorème de superposition appliquée au champ donne (en utilisant les symétries du système) : ( ) = = ( + ) ( + ) Adapter ce programme fourni (sur votre poste de travail) afin d obtenir la représentation de quelques équipotentielles (entre 0 et 6 V) et lignes de champ électrique. Analyser le graphe obtenu. On obtient des équipotentielles et des lignes de champ électrique perpendiculaires entre elles. Le champ électrique est bien dirigé vers les potentiels décroissants. On observe également un champ uniforme au centre.
Exercice 2 : Retour sur le réacteur plasma L énergie électrique fournie aux électrons du gaz contenu dans le réacteur permet d arracher ces derniers à l attraction du noyau. L objectif de cet exercice est de connaitre le potentiel à appliquer pour réaliser cette ionisation : Pour z > 0 : = négative Pour z < 0 : = positive : ( ) / 1 soit une pente ( ) / + 1 soit une pente +q 2) Obtenir, à l aide du potentiel ( ), l expression du champ électrostatique ( ) dans le réacteur Sachant que. = donne = alors Pour z>0 : = ( ) / 1 L électrode 1 porte une charge +q et l électrode 2 est neutre (isolante) et à la masse. Ces deux électrodes ont la même géométrie (disque de rayon ) et sont distantes de. On supposera que la charge totale de l électrode 1 est répartie uniformément avec une densité surfacique σ. 1) Exprimer le potentiel électrostatique ( ) créé par l électrode 1 en tout point M de son axe principal Oz situé dans le réacteur. On donne = et on cherchera à exprimer ( ) en fonction de la côte du point, et. On peut donc utiliser l expression directe du potentiel d une distribution surfacique : Pour z<0 : = + 1 ( ) / 3) On suppose ce qui permet de négliger les effets de bords. Dessiner, dans ce cette hypothèse, ( ) dans le réacteur. ) Déduire du tracé précédent le graphe de ( ) en posant (0) = et sachant que ( ) = 0. Sur l axe = ( ), donc le potentiel ne dépend que de z et le potentiel est une fonction paire de part et d autre de l électrode. ( ) = d où ( ) = = = V(M) = + pour z>0 Pour z<0 on a : V(-z) = V(z) V(M) = + + Pour les fortes valeurs de z, on retrouve un potentiel nul. Pour z = 0, le potentiel est. La dérvivée est donnée par : 5) Donner l expression de ( ) en fonction de, et si 0. ( ) = + = + 2 6) Le gaz considéré est un gaz d Argon dont l énergie de 1 e ionisation est de l ordre de 16 ev. Quel potentiel permet l ionisation d un atome situé au milieu du réacteur : (1 = 1,6. 10 et = 10 ) = = 16 donc il faut 32V
Circulation et rotationnel Exercice 3 : Problème de physique Soit un champ de vecteur indépendant du temps tel que : - Ses lignes de champ sont des droites parallèles - A divergence nulle - A rotationnel nul Montrer que est uniforme. Si = (,, ) alors avec = 0 = (, ) et = 0 = = ce qui impose = Exercice : Opérateur rotationnel L étude d une tornade a permis d obtenir les résultats suivants : Ensuite le caractère orthoradial est celui qui va rendre compte d un fluide tournant autour d un axe vertical (ici en mouvement à la vitesse = 7 / ) : ( ) car est bien négligeable. On peut trouver l expression des champs des vitesses avec les modèles proposés : - alors 2 = et - alors 2 = et On a donc deux modèles : - : le champ des vitesses croît - : le champ des vitesses décroît Donc 1 Pour, la nullité du rotationnel implique l existence d un potentiel scalaire = soit = + Exercice 5 : Modélisation d un écoulement autour d un obstacle Un cylindre immobile de rayon de base et d axe est placé dans un fluide dont l écoulement loin de cet obstacle se fait à vitesse uniforme. Pour étudier l effet du cylindre sur l écoulement supposé incompressible (de masse volumique ρ) et stationnaire, on utilise une méthode de superposition. Donnée : 1) Justifier que le champ des vitesses est du type ( ) en repérage cylindrique. 2) Il existe une valeur de = telle que pour on a ( constante non nulle jusqu à = ) et pour on a = 0. Estimer, en le justifiant, la valeur de. 3) Pour, il est possible d associer une fonction scalaire telle que =. Exprimer. ( ) = 1 1 1 Le champ des vitesses semble présenter une relative indépendance vis-à-vis du paramètre. Il est en revanche, clairement fonction de la distance radiale. La présence du cylindre est considérée comme assimilable à l association d une source en (, 0, ) (écoulement radial divergent permettant de «repousser» l écoulement) et d un puits en (+, 0, ) (écoulement radial convergent permettant de contourner l obstacle), de même débit volumique par unité de longueur. On note et les distances radiales respectivement depuis l axe de la source et de puits. L écoulement source est donc aussi associé à un champ des vitesses radial centré sur et donné par = et l écoulement puits à un champ des vitesses radial convergent sur et donné par =
1) Justifier que l on puisse associer une fonction scalaire ( ) au champ des vitesses de tel que = 2) Calculer ( ) à une constante près que l on choisira nulle par la suite. 3) Donner l expression du potentiel (, ) associé à ce dipôle source-puits. ) On envisage la limite du doublet précédent lorsque 0 et mais de telle sorte que le produit 2 demeure égal à une valeur finie notée. Exprimer alors (, ) en un point en repérage cylindrique dans ce cadre. 5) Donner le potentiel (, ) associé à l écoulement de vitesse 6) En déduire le potentiel total ( = + ) et le champ des vitesses associé. 7) Monter qu un débit volumique nécessairement nul en = conditionne l expression du champ des vitesses. 8) Il est possible de tracer l allure de quelques lignes de champs de cet écoulement avec Python. Compléter le programme ci-dessous dont deux lignes ont été cachées. 10) Comment peut-on modifier le potentiel précédent pour tenir compte de la rotation du cylindre à la vitesse angulaire autour de son axe? Qu implique cette topographie des lignes de champ d après le théorème de Bernoulli? = = 2 = + + 2 1 + = 1 + 2 1 + 1 + 2 2 L écoulement à l infini est : = et donc : 9) Le cylindre tourne autour maintenant de son axe. On observe les lignes de champ cidessous. Localiser les zones «de plus grande vitesse» et «de moins grande vitesse» d écoulement. Justifier. = Donc le potentiel total est : + On en déduit le champ des vitesses : = 2 + 2 Et si l on souhaite avoir un débit nul sur l obstacle imperméable alors la vitesse radiale est nulle si = et donc.
= 1 + Avec = car la vitesse du fluide aux anciens points d arrêt doit s identifier à la vitesse du cylindre. Cette dissymétrie du champ des vitesses s accompagne d une dissymétrie du champ des pressions. ( ) Une force pressante s exerce sur le cylindre : c est l effet Magnus. C est cet effet qui explique la déviation des ballons lors des coups francs. Loin de l obstacle, on retrouve. Sur l obstacle, seule la vitesse est orthoradiale existe et l on note deux points d arrêt (en = 0 et =π). Sur l obstacle la situation est symétrique ainsi : L effet de la rotation conduit, avec la viscosité, à faire tourner le fluide autour de l obstacle. Le champ des vitesses augmente sous le cylindre car les lignes de champ se resserrent Si on modélise cet effet par un vortex alors : = + + On en déduit le champ des vitesses : = 1 + +