CHAPITRE 3 NOMBRES ENTIERS 2 3 semaines : 10 séances 23 octobre au 20 novembre Multiplication Division euclidienne Divisibilité Durées David Prieto Colmenarejo 1
I. Multiplications d entiers Définition 1 : Le produit est le résultat de multiplier deux facteurs. Exemple : Donner le produit de 123 par 45 123 x 45 = 1 2 3 x 4 5 6 1 5 + 4 9 2. 5 5 3 5 123 x 45 = 5 535 (le produit de 123 par 45 est 5 535) Propriété 1 : la multiplication est commutative ; l'ordre des facteurs ne change pas le produit. Exemple : 45 x 123 = 123 x 45 = 5 530 Remarque : ceci est intéressant si nous voulons connaitre le produit de 7 par 654, car la propriété nous permet de poser 654 x 7 au lieu de 7 x 654 : 7 x 6 5 4 2 8 3 5. + 4 2.. 4 5 7 8 6 5 4 x 7 4 5 7 8 Exercices : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19 et 20 page 19 (6, 9, 14 et 15 à l oral) Fin séance 2 David Prieto Colmenarejo 2
II. La division euclidienne Définition 2 : Pour tous nombres entiers D et d on peut trouver deux entiers q et r qui vérifient D = d x q + r avec r < d On appelle D le dividende, d le diviseur, q le quotient et r le reste. Exemple : D = 987 et d = 54 9 8 7 5 4-5 4 1 8 4 4 7-4 3 2 0 1 5 987 = 54 x 18 + 15 avec 15 < 54 Exercices : 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33 et 34 page 20 (21, 24 et 26 à l oral) 35 et 36 page 21 Problème : 27 page 20 Fin séance 5 David Prieto Colmenarejo 3
III. Divisibilité A. Vocabulaire Si dans une division euclidienne (D = d x q + r avec r < d) le reste est nul (r = 0), alors : D est multiple de d et de q D est divisible par d et par q D = d x q d et q sont des diviseurs de D (ou d et q divisent D) Exemple : 432 = 8 x 54 + 0 (r = 0), donc 432 est multiple de 8 et de 54, 432 est divisible par 8 et par 54 et 8 et 54 sont des diviseurs de 432 (8 et 54 divisent 432) B. Critères de divisibilité 1. Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8). 2. Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. 3. Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. 4. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. 5. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 6. Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemple 1 : 3524 est divisible par 2 (son chiffre des unités, 4, est pair) et par 4 (24 = 6 x4 donc multiple de 4). 3524 n'est pas divisible par 5 (son chiffre des unités n'est ni 0 ni 5), n'est pas divisible par 3 (3 + 5 + 2 + 4 = 14 qui n'est pas multiple de 3) et n'est pas divisible par 9 (3 + 5 + 2 + 4 = 14 qui n'est pas multiple de 9) Exemple 2 : 765 est divisible par 5 (son chiffre des unités est 5), par 3 (7 + 6 + 5 = 18 qui est multiple de 3), et par 9 (7 + 6 + 5 = 18 qui est multiple de 9) ; mais n'est pas divisible par 2 (son chiffre des unités n'est pas pair), ni par 4 (65 n'est pas multiple de 4). Exercices 53, 54, 55 et 56 page 22 (53 et 54 à l oral) Fin séance 6 David Prieto Colmenarejo 4
IV. Opérations sur les durées 1. Règles de conversion Pour convertir des heures en minutes ou de minutes en secondes, il faut multiplier par 60. (Pour convertir des heures en secondes, il faut multiplier par 3 600 (60 x 60)). Pour convertir des secondes en minutes ou des minutes en heures, il faut diviser par 60 et laisser le reste en secondes ou en minutes respectivement. (Pour convertir les secondes en heures, il faut diviser par 3 600 et laisser le reste en secondes). 2. Opérations Pour additionner ou soustraire des durées, on effectue séparément, secondes, minutes et heures, et ensuite on convertit tous les résultats supérieurs à 60, les secondes en minutes, et les minutes en heures (on peut aussi le faire pour convertir les heures en jours, mais cette fois-ci en divisant par 24) 3. Exemples : 3 h 05 min 13 s + 56 min 48 s = 3 h 61 min 61 s = 4 h 02 min 01 s 1 h 55 min 29 s - 46 min 27 s = 1 h 09 min 02 s Exercices : 58c, 59c, 61, 62bd, 63, 64, 67 et 68 page 23 Fin séance 8 Exercices : 69, 71, 73 et 74 page 24 79 et 80 page 25 Fin séance 9 David Prieto Colmenarejo 5