Mathématiques 7 e année Le cercle et l aire Durée approximative : 20 heures [C] Communication [CE] Calcul mental et estimation [L] Liens [R] Raisonnement [RP] Résolution de problèmes [T] Technologie [V] Visualisation 129
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- Le cercle et l aire Aperçu Introduction Les élèves étudieront plusieurs idées importantes se rapportant aux cercles et à leurs aires. Le développement de formules du calcul de l aire dans ce module s effectuera à partir de for mules de calcul de l aire de formes géométriques, qui ont été présentées au cours des années antérieures. Des activités d exploration seront utiles pour renforcer la compréhension de ces nouvelles formules. Voici ce qui est important dans ce module : Le nombre π et le fait qu il représente le rapport de la circonférence de n importe quel cercle sur le diamètre de ce même cercle. La conservation de l aire; un objet peut être di visé en un nombre infini d objets plus petits qui peuvent être réarrangés. L aire combinée de ces objets plus petits reste égale à l aire de l objet original. Des objets peuvent être créés au moyen d un vaste éventail de techniques. L aire (qui est bidimensionnelle) se calcule en multipliant deux quantités unidimensionnelles ensemble. Un graphique circulaire est une méthode d organisation et de représentation des données. On l utilise pour comparer les parties d un tout avec ce tout. Deux graphiques circulaires l un à côté de l autre peuvent servir à comparer des parties de deux touts distincts, par exemple le pourcentage de voitures bleues en Nouvelle-Écosse et le pourcentage de voitures bleues à Terre-Neuve et au Labrador. Contexte Les élèves étudieront plusieurs définitions géométriques ainsi que le mode de construction de divers objets géométriques. Ils utiliseront une gamme d outils et de techniques pour réaliser ces constructions. Ce module met l accent sur l exploration et la création pratique. Les élèves établiront les formules de calcul de l aire du triangle, du parallélogramme et du cercle. On ne leur donnera pas directement ces formules. Des activités d exploration seront utilisées afin que les élèves puissent apprendre et comprendre la conservation de l aire. Ces activités permettront aux élèves de généraliser des formules donnant la surface du triangle, du parallélogramme et du cercle. Les élèves collecteront des données, les organiseront puis les utiliseront pour créer des graphiques circulaires. Ils utiliseront des graphiques circulaires pour résoudre des problèmes. Pourquoi ces concepts sont-ils importants? L acquisition d une bonne compréhension du cercle et de l aire permettront aux élèves : De se rendre compte que l on trouve des cercles partout, que ceux-ci soient créés par l homme ou existent naturellement. D être prêt à travailler avec des cylindres et des sphères dans les années suivantes. De comprendre le concept de dimension, la longueur et la largeur étant unidimensionnelles, la surface étant bidimensionnelle et le volume étant tridimensionnel. Les élèves seront mieux capables de comprendre les concepts d aire d une surface et de volume ainsi que ce qui les différencie. De comprendre les informations qu ils voient dans les médias et les divertissements. «Ne dérangez pas mes cercles!» [Traduction] Archimède (environ 287-212 av. J.-C.) 131
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE1. Démontrer une compréhension du cercle en: - décrivant les relations entre le rayon, le diamètre et la circonférence de cercles; - établissant la relation entre la circonférence et pi; - déterminant la somme des angles au centre d un cercle; - construisant des cercles d un rayon ou d un diamètre donné; - résolvant des problèmes qui comportent des rayons, des diamètres et (ou) des circonférences de cercles. [C, L, R, V] Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves ont étudié les concepts du cercle, de l aire et du périmètre au cours des années précédentes. On suppose que les élèves peuvent : reconnaître des cercles, des triangles et des parallélogrammes; calculer l aire d un rectangle; mesurer un périmètre en unités linéaires et mesurer une aire en unités carrées. Un cercle est constitué de tous les points dans un plan situé à une même distance d un point donné appelé centre. Le rayon est la distance du centre d un cercle à n importe lequel de ses points. Le diamètre est un segment de droite passant par le centre du cercle et dont les extrémités se terminent sur le cercle. Le diamètre est deux fois plus long que le rayon. La circonférence d un cercle est la longueur du contour ou le périmètre d un cercle. Pi, π, est défini comme étant le rapport de la circonférence sur le diamètre. π = Circonférence Diamètre Remarque : ce rapport devrait être découvert à la suite d une investigation. Pi,π, est un nombre décimal non périodique, infini, qui ne peut pas être exprimé sous forme d une fraction (c est-à-dire un nombre irrationnel). Pi, π = 3,1415926535897932384626433832795... La valeur de π est souvent arrondie à 3,14, bien que la plupart des calculatrices aient un bouton π. Toutefois, pour les estimations, les élèves peuvent utiliser 3 comme valeur approximative de π. 132
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Ressources/Notes 133
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE1. Démontrer une compréhension du cercle en: - décrivant les relations entre le rayon, le diamètre et la circonférence de cercles; - établissant la relation entre la circonférence et pi; - déterminant la somme des angles au centre d un cercle; - construisant des cercles d un rayon ou d un diamètre donné; - résolvant des problèmes qui comportent des rayons, des diamètres et (ou) des circonférences de cercles. [C, L, R, V] (suite) Indicateur de rendement 7FE1.1 Illustrer et expliquer que le diamètre d un cercle donné est égal au double de son rayon. Stratégies d enseignement et d apprentissage Remarque : La circonférence, le rayon et le diamètre sont mesurés en unités linéaires telles que le mm, le cm, le m, le km. etc. Les angles sont mesurés en degrés, une révolution complète est égale à 360 o. OA,OB, OC sont des rayons. AC est le diamètre. AC est égal à deux fois la longueur de OA, OB ou OC. Le diamètre est toujours égal à deux fois le rayon. Ou d = 2r. Il est important d étudier la relation entre le diamètre et le rayon d dans les deux sens soit d = 2r et = r. 2 134
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Journal 1. Faites une liste des sports dans lesquels des cercles jouent un rôle important. Estimez le rayon de chacun des cercles que vous décrivez. 2. Répondez aux questions suivantes en vos propres mots. A. Avez-vous besoin de matériel de manipulation pour mesurer chacune des trois grandeurs (rayon, circonférence, diamètre)? B. Si vous connaissez le rayon, que pouvez-vous faire pour obtenir le diamètre? C. Si vous connaissez le diamètre, que pouvez-vous faire pour obtenir le rayon? Ressources/Notes *Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.1 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, p. 4 6 FR : 4.10, 4.15, 4.24 FRO 19 CD-ROM FR ME: p. 130 132 Cahier d activités et d exercices FR : p. 80 81 * Légende GE : Guide d enseignement (ProGuide) ME : Manuel de l élève FR : Feuille reproductible FRO : Feuille reproductible- Outil 135
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève doit pouvoir : 7FE1. Démontrer une compréhension du cercle en: - décrivant les relations entre le rayon, le diamètre et la circonférence de cercles; - établissant la relation entre la circonférence et pi; - déterminant la somme des angles au centre d un cercle; - construisant des cercles d un rayon ou d un diamètre donné; - résolvant des problèmes qui comportent des rayons, des diamètres et (ou) des circonférences de cercles. [C, L, R, V] (suite) Indicateur de rendement 7FE1.2 Tracer un cercle dont le rayon ou le diamètre est donné, avec ou sans l aide d un compas. Bien qu il existe de nombreuses manières de tracer un cercle parfait, certaines d entre elles fonctionnent mieux que d autres dans certaines situations. Voici quelques techniques : Méthode 1 (sans compas, en se servant du diamètre) Trouvez un objet parfaitement rond ayant la taille souhaitée. Le bord extérieur devrait être lisse et sans bosses. Placez cet objet sur une feuille de papier et maintenez-le fermement avec une main pendant que vous tracez avec l autre. Méthode 2 (sans compas, en se servant du rayon) Attachez un morceau de ficelle à la partie inférieure d un crayon. Maintenez avec vos doigts la ficelle à une distance du crayon égale au rayon. Pressez sur la ficelle contre le papier à l endroit où le centre du cercle doit se trouver. Tracez autour du centre tout en maintenant la ficelle tendue et le crayon vertical. 136
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Crayon et papier Exercez-vous à tracer des cercles avec un compas. Tracez un cercle ayant un rayon de 10 cm, un autre ayant un rayon de 5 cm et un autre ayant un rayon de 3 cm. Technologie/Ressources Web (en anglais) 1. Étudiez aussi la Circle Song au site : http://www.teachertube.com/view_video.php?viewkey=2fca331 343d8eade9ec2 L adresse du site est : www.teachertube.com 2. Étudiez aussi la conversation sur les cercles au site : http://www.teachertube.com/view_video.php?viewkey=6ef15c2 72415206e1028 L adresse du site est : www.teachertube.com 3. Étudiez aussi les exemples d agroglyphe (crop circle) au site : http://youtube.com/watch?v=9bmrn9ridro L adresse du site est : www.youtube.com Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.1 (suite) 137
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE1. Démontrer une compréhension du cercle en: - décrivant les relations entre le rayon, le diamètre et la circonférence de cercles; - établissant la relation entre la circonférence et pi; - déterminant la somme des angles au centre d un cercle; - construisant des cercles d un rayon ou d un diamètre donné; - résolvant des problèmes qui comportent des rayons, des diamètres et (ou) des circonférences de cercles. [C, L, R, V] (suite) Indicateur de rendement 7FE1.2 Tracer un cercle dont le rayon ou le diamètre est donné, avec ou sans l aide d un compas. (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Méthode 3 (avec un compas, en utilisant le rayon) Fixez un crayon taillé dans la pince d un compas de façon que la pointe du compas et la pointe du crayon soient au même niveau lorsque le compas est fermé. Ajustez l angle des branches de façon à ce que l ouverture donne le rayon souhaité. Veillez à ce que l articulation soit bien serrée afin que le rayon ne change pas lorsque vous tracez le cercle. Appuyez sur le compas afin que la pointe reste à l endroit où vous voulez avoir le centre du cercle. Abaissez doucement la pointe du crayon sur le papier. Maintenez le compas droit à sa partie supérieure. Tournez le compas pour que le crayon trace un cercle. 138
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.1 (suite) 139
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE1. Démontrer une compréhension du cercle en: - décrivant les relations entre le rayon, le diamètre et la circonférence de cercles; - établissant la relation entre la circonférence et pi; - déterminant la somme des angles au centre d un cercle; - construisant des cercles d un rayon ou d un diamètre donné; - résolvant des problèmes qui comportent des rayons, des diamètres et (ou) des circonférences de cercles. [C, L, R, V] (suite) Indicateurs de rendement 7FE1.3 Illustrer et expliquer que la circonférence d un cercle donné est approximativement le triple de son diamètre. 7FE1.4 Expliquer que pour tout cercle, pi est le rapport de la circonférence au Stratégies d enseignement et d apprentissage Les indicateurs de rendement suivants sont traités ensemble. Circonférence : La circonférence d un cercle est la longueur du contour ou le périmètre du cercle. Pour une circonférence de C unités, et un diamètre Rappel de d unités ou un rayon de r unités, C = π d ou C = 2π r. Le concept de pi ayant une valeur très proche de 3 peut être très bien exploré avec l activité ci-dessous. Cette activité figure à la page 133 du manuel mais il manque une colonne pour le calcul du rapport de la circonférence sur le diamètre; la table ci-dessous comporte cette colonne. En dehors de cette adaptation, l activité du manuel devrait être effectuée de la façon indiquée. Objet Circonférence Rayon Diamètre Boîte de conserve Assiette Frisbee Fournissez ces objets ou d autres objets ronds aux élèves et demandez-leur d effectuer les mesures nécessaires pour remplir la table. Ils peuvent utiliser leurs connaissances des indicateurs de rendement précédents et calculer certaines des grandeurs en effectuant une mesure avec du matériel de manipulation. C d diamètre ( d C ), dont la valeur est approximativement égale à 3,14. 7FE1.5 Résoudre un problème contextualisé donné comportant des cercles. En fin de compte, nous voulons que les élèves réalisent que le rapport est une valeur constante proche de 3. Le rapport 3,141592... est π. On encourage d utiliser une calculatrice pour déterminer la valeur du rapport dans cette activité et dans tout autre exercice ultérieur. 140
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Activité de groupe Les élèves peuvent jouer au jeu appelé La manie des cercles (feuille reproductible 4.6). Organisateur graphique (pliable) L enseignant peut choisir d utiliser un organisateur pliable à 3 onglets pour aider les élèves à organiser leurs notes. (Se reporter à l annexe 4-A (version française à venir) pour des instructions sur la manière de créer cet organisateur pliable) www.ed.gov.nl.ca/edu/. Ressources/Notes Journal/Entrevue Posez aux élèves les questions suivantes : A. Quelle est la meilleure estimation de la circonférence d un cercle ayant un diamètre de 12 cm? Justifiez votre choix. (i) 6 cm (ii) 18 cm (iii) 36 cm B. Quelle est la meilleure estimation de la circonférence d un cercle ayant un rayon de 10 cm? Justifiez votre choix. (i) 30 cm (ii) 60 cm (iii) 90 cm Papier et crayon 1. Jackie construit une table de salle à manger ronde autour de laquelle 12 personnes pourront s asseoir. Elle veut que chaque personne dispose autour de la table d un espace de 60 cm le long de sa circonférence. Déterminez le diamètre de la table de salle à manger. Une entreprise fabrique des assiettes ayant un diamètre de 30 cm. Elle désire avoir un bord en or autour de chaque assiette. Déterminez la longueur une bordure dorée pour un service de 8 assiettes. Si la bordure coûte 4 $ par cm, quel serait le coût pour toutes les assiettes (exemple avec un niveau de difficulté plus élevé)? Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.1 (suite) Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.2 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, p. 7 11 FR : 4.16, 4.25 FRO 20 CD-ROM FR ME: p. 133 137 Cahier d activités et d exercices FR : pp. 82 83 141
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE2. Développer et appliquer une formule pour déterminer l aire de : - triangles; - parallélogrammes; - cercles. [L, R, RP, V] Indicateurs de rendement 7FE2.1 Illustrer et expliquer comment on peut déterminer l aire d un parallélogramme à partir de l aire d un rectangle. 7FE2.2 Généraliser une règle pour créer une formule permettant de déterminer l aire de parallélogrammes. 7FE2.3 Résoudre un problème donné comportant l aire de triangles, de parallélogrammes et/ou de cercles. Stratégies d enseignement et d apprentissage L aire peut être définie comme étant la mesure de l espace à l intérieur d une région ou le nombre d «unités» carrées nécessaires pour couvrir cette région. Il est essentiel que les élèves comprennent la notion de conservation de l aire. Elle signifie qu un objet conserve sa taille lorsque son orientation est modifiée, ou encore lorsqu il est divisé en plus petites parties et que ces parties sont réarrangées. Les indicateurs de rendement suivants sont traités ensemble. Aire d un parallélogramme Les élèves devraient se rendre compte que l aire d un parallélogramme est identique à l aire du rectangle associé (rectangle ayant la même base et la même hauteur). Les élèves devraient être capables de déterminer la base ou la hauteur à partir de l aire et de l autre dimension. Ils devraient se rendre compte que plusieurs parallélogrammes peuvent avoir la même aire. Le diagramme ci-dessus correspond à une activité exposée à la page 139 du manuel de l élève. Cette activité établit la formule de l aire d un parallélogramme en se conformant à la règle de conservation de l aire. Remarque : Les élèves devraient savoir que pour un rectangle, Aire = ( base)( hauteur). Les élèves peuvent exprimer cette notion sous la forme longueur x largeur. Cette activité permet de déterminer que l aire du parallélogramme Aire = base hauteur. associé est aussi donnée par la formule ( )( ) 142
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Papier et crayon 1. Demandez à l élève de tracer sur du papier quadrillé un parallélogramme ayant une aire de 24 cm 2. Demandez-lui ensuite de créer trois autres parallélogrammes dont la base a une longueur différente, mais qui ont la même aire. Technologie/Ressources Web (en anglais) Étudiez aussi l aire d un parallélogramme au site : A. http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?id=108 B. http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?id=47 L adresse du site Web est : www.illuminations.nctm.org Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.3 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, p. 13 16 FR : 4.17, 4.26 FRO 23 CD-ROM FR ME: p. 139 142 Cahier d activités et d exercices FR : pp. 84 86 143
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE2. Développer et appliquer une formule pour déterminer l aire de : - triangles; - parallélogrammes; - cercles. [L, R, RP, V] (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Les indicateurs de rendement suivants sont traités ensemble. Les élèves devraient s apercevoir que l aire d un triangle est égale à la moitié de l aire du parallélogramme associé. Ils devraient aussi être capables d associer cette idée à la relation entre les formules de calcul de l aire d un parallélogramme et d un rectangle. Les élèves peuvent utiliser cette relation pour trouver l aire d un triangle. Ils devraient comprendre que, tant que la base et la hauteur sont les mêmes, les aires de triangles visuellement différents sont aussi les mêmes. bh A = 2 Indicateurs de rendement 7FE2.4 Illustrer et expliquer comment on peut déterminer l aire d un triangle à partir de l aire d un rectangle ou d un parallélogramme. 7FE2.5 Généraliser une règle pour créer une formule permettant de déterminer l aire de triangles. 7FE2.3 Résoudre un problème donné comportant l aire de triangles, de parallélogrammes et/ou de cercles. Remarque : À la page 143 du manuel, il y a une activité Explore qui approfondit le concept que l aire d un triangle est la moitié de l aire du parallélogramme associé. Une activité semblable de développement du même concept utilisant des rectangles est présentée ci-dessous. Explore : Détermination de l aire d un triangle. 1. Sur du papier quadrillé, tracez un rectangle ayant une base de 8 unités et une hauteur de 5 unités. 2. Découpez ce rectangle avec des ciseaux. 3. Comptez le nombre de carrés dans le rectangle et demandez aux élèves de noter que le nombre de carrés est l aire du rectangle. Ceci renforce l idée d unités carrées pour la mesure des aires. 4. Tracez une diagonale d un coin du rectangle au coin opposé. Dites aux élèves que cette droite s appelle une diagonale. Découpez la feuille le long de la diagonale pour diviser le rectangle en deux. Quelles sont les formes qui ont été créées? 5. Placez ces deux formes l une sur l autre. Comment se comparentelles? 6. Comment l aire d un triangle se compare-t-elle à l aire du rectangle original? 7. Demandez aux élèves de suggérer une formule de l aire d un triangle en leur rappelant que l aire d un rectangle est A = bh. 8. Demandez aux élèves d inscrire leurs formules et de discuter en groupe de leurs similarités et/ou différences. ou r 144
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Papier et crayon 1. Daniel vient d acheter un voilier d occasion dont il faut remplacer deux voiles. De combien de toiles Daniel aura-t-il besoin s il remplace la voile A? 2. De combien de toiles à voile Daniel aura-t-il besoin s il remplace la voile B? Ressources/Notes Rendement Activité intitulée Area Diagram, qui a pour but d étudier les aires des rectangles et des triangles. (Se reporter à l annexe 4-B.) (version française à venir) Technologie/Ressources Web (en anglais) 1. Activité Triangle Explorer de calcul de l aire à : http://www.shodor.org/interactivate/activities/triangleexplorer L adresse du site Web est : www.shodor.org 2. Le site pour l étude des triangles dont la base et la hauteur sont constantes mais dont les formes sont différentes : http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?id=106 L adresse du site Web est : www.illuminations.nctm.org Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.4 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, p. 17 21 FR : 4.18, 4.27 FRO : 23, 25 CD-ROM FR ME: p. 143 147 Cahier d activités et d exercices FR : pp. 87 89 145
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE2. Développer et appliquer une formule pour déterminer l aire de : - triangles; - parallélogrammes; - cercles. [L, R, RP, V] (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves ont souvent tendance à mémoriser des formules que nous utilisons en géométrie ou dans d autres secteurs des mathématiques sans vraiment les comprendre. La présente activité se penche sur l estimation de l aire d un cercle sans l utilisation d une formule. Le développement d une formule suivra. Cette activité est exposée à la page 151 du manuel. Toutefois, elle devrait se dérouler bien avant le développement de la formule de l aire du cercle. Ainsi qu on peut le voir dans le texte, il s agit d un objectif d évaluation qui précède le développement de la formule. Indicateur de rendement 7FE2.6 Illustrer et expliquer comment on peut estimer l aire d un cercle sans avoir recours à une formule. Activité 1. Chaque élève devrait avoir un morceau de papier quadrillé. 2. En se servant d un compas, chaque élève dessine un cercle sur le papier quadrillé. 3. Chaque élève compte le nombre de carrés à l intérieur du cercle et estime l aire. 4. Chaque élève trace un carré à l extérieur du cercle et calcule l aire du carré. 5. Chaque élève trace un carré à l intérieur du cercle et calcule l aire du carré. 6. Estimez l aire du cercle en fonction du carré intérieur et du carré extérieur. (Piste : faites la moyenne des aires des deux carrés.) 7. Discutez des avantages et des inconvénients de cette méthode de mesure de l aire du cercle. 146
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation et d apprentissage Activité de groupe (version française à venir) Téléchargez la feuille de travail Estimating Areas of Circles. (Se reporter à l annexe 4 C.) www.ed.gov.nl.ca/edu/ On développe la formule donnant l aire du cercle en découpant un cercle en de nombreuses sections «triangulaires» égales et en agençant ces sections pour qu elles aient approximativement la forme d un parallélogramme. La formule sera d autant plus exacte que le nombre de sections sera grand car l espace à l intérieur du parallélogramme se «remplira». Ressources/Notes Mathématiquement, ceci est appelé la méthode d exhaustion. Cette méthode peut aussi être utilisée pour estimer l aire d un cercle. Demandez aux élèves d estimer l aire d un cercle en utilisant un octogone comme repère. Remarquez que l octogone remplit mieux le cercle que le carré. Il est nécessaire d avoir un sac d haricots pour la partie suivante. Demandez aux élèves de remplir le cercle avec le plus grand nombre possible d haricots. Comme les haricots ont une forme courbée, ils devraient mieux remplir l espace à l intérieur du cercle que l octogone. Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.5 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, p. 22 26 FR : 4.19, 4.28 FRO 22 CD-ROM FR ME: p. 148 152 Cahier d activités et d exercices FR : pp. 90 92 Placez les haricots utilisés par les élèves sur les carrés. Ces carrés sont les quatre carrés du diagramme. On peut les appeler carrés-r, car leurs côtés sont égaux au rayon du cercle. Comptez maintenant le nombre de petits carrés couverts par les haricots pour obtenir une estimation de l aire du cercle. Les élèves devraient avoir couvert plus de 3 des plus grands carrés. En utilisant cette méthode, ils obtiennent une estimation d environ 3 carrés-r. Ceci est semblable à la formule connue de l aire du cercle et donne une estimation raisonnable. 147
Domaine : La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE2 Développer et appliquer une formule pour déterminer l aire de : - triangles; - parallélogrammes; - cercles. [L, R, RP, V] (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves devraient établir la formule de l aire du cercle en étudiant le rapport entre un cercle coupé en petits morceaux égaux et un parallélogramme. Le travail exploratoire effectué par les élèves pour estimer les aires des cercles constitue aussi un fondement au développement de la formule de l aire du cercle. Indicateur de rendement 7FE2.7 Appliquer une formule pour déterminer l aire d un cercle donné. L activité Explore de la page 148 du manuel de l élève est le modèle figurant dans de nombreux manuels de cours et dans de nombreux sites Web. L activité Explore permet d obtenir la 2 formule A = π r. 7FE2.3 Résoudre un problème donné comportant l aire de triangles, de parallélogrammes et/ou de cercles. ATTENTION : Les élèves N ONT PAS encore étudié les puissances ou les exposants. Lorsque nous établissons la 2 formule A = π r, on doit la présenter sous la forme 2 A = π r r. Le manuel de l élève donne A = π r, et les enseignants devraient donc prendre des précautions lorsqu ils utilisent cette notation. Les élèves devraient avoir vu cette notation lorsqu ils ont étudié les unités d aire. Il ne s agit pas d un résultat spécifique. 148
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Papier et crayon 1. M. McGowan a fait une tarte aux pommes dont le diamètre est 25 cm. Il a coupé cette tarte en 6 portions égales. Trouvez l aire approximative de chaque portion. 2. Le rayon du bord extérieur de la pièce de deux dollars est 14 mm et son rayon intérieur est 8 mm. Quelle est l aire du bord extérieur (exemple avec un niveau de difficulté plus élevé)? Ressources/Notes Journal La maman de Jackie a décoré la chambre à coucher de Jackie et a placé un tapis rond sur le plancher à côté du lit. Jackie vient d étudier les cercles dans sa classe de mathématiques et s est demandé quelle était l aire du tapis. L étiquette du tapis dit qu il a 60 cm de diamètre. Elle a effectué les calculs suivants : Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.5 (suite) Les calculs de Jackie sontils raisonnables? Expliquez pourquoi ils le sont ou non. Organisateur graphique (pliable) Pour l organisateur graphique appelé organisateur pliable à trois volets, se reporter à l annexe 4 D (www.ed.gov.nl.ca/edu/). Les élèves peuvent conserver leurs notes concernant les trois formes traitées dans ce module soit les parallélogrammes, les triangles et les cercles. Des sujets tels que l estimation, les définitions et les formules de calcul de l aire pourraient être inclus afin de pouvoir être consultés plus facilement et rapidement. 149
Domaine: La statistique et la probabilité (l analyse de données) Résultat d apprentissage général : Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes. Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7SP3. Construire, étiqueter et interpréter des diagrammes circulaires pour résoudre des problèmes. [C, L, R, RP, T, V] Indicateurs de rendement Stratégies d enseignement et d apprentissage Les graphiques circulaires sont semblables aux graphiques à barres car ils fournissent des informations classées en catégories. Les graphiques circulaires sont différents des graphiques à barres car ils présentent les catégories comme étant des parties ou des pourcentages d un tout. Rappelez que les graphiques à barres indiquent le nombre d éléments se trouvant dans la catégorie et non pas la partie du tout représentée par la catégorie. Dans un graphique circulaire, les catégories sont représentées par des secteurs et dans un graphique à barres, elles sont représentées par des barres. 7SP3.1 Trouver et comparer des diagrammes circulaires dans divers médias imprimés et électroniques tels que les quotidiens, les magazines et Internet. 7SP3.2 Identifier les caractéristiques communes de diagrammes circulaires telles que : - les titres, les étiquettes ou les légendes; - la somme des angles au centre d un cercle est égale à 360 o ; - les données sont présentées sous la forme de pourcentages d un tout et la somme de ces pourcentages est égale à 100 %. Vous pouvez comparer deux touts au moyen de deux graphiques circulaires. Par exemple, un graphique circulaire peut représenter le pourcentage de chaque groupe d âges de personnes à l intérieur d une ville et l autre peut fournir les mêmes renseignements pour la province. Comme les graphiques circulaires indiquent des rapports plutôt que des quantités, un petit ensemble de données peut être comparé à un grand ensemble de données. Cela est impossible avec les graphiques à barres. (Van de Walle et Lovin, 2006, p. 324). Le titre, la légende et les étiquettes (illustrés clairement à la page 157 du manuel de l élève) sont essentiels à l interprétation des graphiques circulaires. On utilisera autant que possible des données réelles pour interpréter ou tracer des graphiques circulaires. Lorsque l on crée des graphiques circulaires, les données devraient en règle générale être exprimées en pourcentages. La somme des pourcentages de toutes les parties est toujours 100 %. De même, la somme des angles au centre est toujours 360 o. Remarque : Dans ce programme d études, l élève doit expliquer au moyen d une illustration que la somme des angles au centre d un cercle est égale à 360 o. Cette question est présentée brièvement à la leçon 4.7 du manuel de l élève. 150
Domaine: La statistique et la probabilité (l analyse de données) Résultat d apprentissage général : Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes. Stratégies d évaluation Ressources/Notes Portfolio À la page 160 du manuel, il y a une section Réfléchis, qui devrait constituer une activité appropriée pour les besoins de la recherche et de la comparaison de graphiques circulaires dans divers médias imprimés et électroniques tels que les journaux, les magazines et Internet. Papier et crayon Pour l activité intitulée Parties d un graphique circulaire, se reporter à l annexe 4 E (version française à venir). Parties d un graphique circulaire Titre Légende Van de Walle and Lovin, 2006, p. 324 Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.6 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, p. 30 34 FR : 4.20, 4.29 CD-ROM FR ME: p. 156 160 Cahier d activités et d exercices FR : pp. 93 95 Mike est en 7 e année et il étudie les graphiques circulaires. Il doit travailler assidûment pour continuer d avoir des bonnes notes. Il a décidé de répartir son temps d études et les noter dans la table ci-dessous. En vous servant des données de la table, étiquetez correctement le graphique circulaire. Faites correspondre les pourcentages avec les secteurs correspondants et choisissez un titre approprié pour nommer le graphique. Inscrivez la légende et ombragez le graphique circulaire de la façon appropriée. Mathématiques 30 % Études sociales 15 % Langue et arts 25 % Sciences 20 % Français 10 % Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.7 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, p. 35 38 FR : 4.12, 4.21, 4.30 CD-ROM FR ME: p. 161 164 Cahier d activités et d exercices FR : pp. 96 99 151
Domaine: La statistique et la probabilité (l analyse de données) Résultat d apprentissage général : Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes. Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7SP3. Construire, étiqueter et interpréter des diagrammes circulaires pour résoudre des problèmes. [C, L, R, RP, T, V] (suite) Indicateurs de rendement 7SP3.3 Exprimer les pourcentages présentés dans un diagramme circulaire sous forme de quantités afin de résoudre un problème donné. Stratégies d enseignement et d apprentissage Dans le module 3, les élèves ont appris comment trouver le pourcentage d un nombre. Ils utiliseront cette compétence pour résoudre des problèmes mettant en jeu des graphiques circulaires. Les élèves devraient être capables d interpréter un graphique circulaire. Ils peuvent ensuite utiliser un pourcentage pour déterminer quelle portion du groupe total correspond à ce pourcentage. Exemple : Réacteurs nucléaires en exploitation en 2007 7SP3.4 Interpréter un diagramme circulaire donné afin de répondre à des questions. S il y a en tout 435 réacteurs nucléaires en exploitation, combien y en a-t-il aux États-Unis? (Piste : Calculez 24 % de 435.) 24 % équivaut à 0,24 Par conséquent, (0,24)(435) 104. Il y a donc environ 104 réacteurs nucléaires aux États-Unis. 152
Domaine: La statistique et la probabilité (l analyse de données) Résultat d apprentissage général : Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes. Stratégies d évaluation Papier et crayon Pour l activité intitulée Analyse des graphiques circulaires, se reporter à l annexe 4 F (version française à venir). Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.6 Leçon 4.7 (suite) Jan veut montrer que les ventes de lait au chocolat sont plus élevées à la fin de la semaine, afin de commander plus de lait au chocolat pour cette période. Il crée le graphique circulaire ci-dessus. Analysez le graphique et répondez aux questions suivantes. 1. Quel pourcentage du lait est vendu le mercredi? 2. Identifiez un groupe de jours représentant environ la moitié du total des ventes (il y a plusieurs réponses possibles). Activité technique: p. 165 166 3. A. Si un vendredi est un jour férié, expliquez comme cela pourrait avoir une incidence sur la commande du lait au chocolat de la semaine. B. Dans une semaine régulière, 500 cartons de lait au chocolat sont vendus. Combien devrait-on en commander si le vendredi est un jour férié? 4. Si les ventes hebdomadaires de lait au chocolat s élèvent à 200 $, à combien s élèvent-elles le lundi? 5. Pourquoi les ventes de lait au chocolat augmentent régulièrement à mesure que la semaine avance? 153
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7FE1. Démontrer une compréhension du cercle en: - décrivant les relations entre le rayon, le diamètre et la circonférence de cercles; - établissant la relation entre la circonférence et pi; - déterminant la somme des angles au centre d un cercle; - construisant des cercles d un rayon ou d un diamètre donné; - résolvant des problèmes qui comportent des rayons, des diamètres et (ou) des circonférences de cercles. [C, L, R, V] (suite) Indicateur de rendement 7FE1.6 Expliquer, à l aide d une illustration, que la somme des angles au centre de tout cercle est égale à 360 o. Stratégies d enseignement et d apprentissage Pourquoi un cercle a-t-il 360 o? Des peuplades anciennes qui vivaient en Mésopotamie (maintenant le Sud de l Iraq) ont inventé l écriture, ont observé les cieux et ont inventé un cercle de 360 pour décrire leurs découvertes. Environ 3000 ans av. J.-C., les Sumériens ont inventé l écriture. Ils avaient aussi un calendrier datant de 2400 av. J.-C., qui divisait l année en 12 mois de 30 jours chacun, ce qui donnait 360 jours. Ils ont observé la trajectoire circulaire annuelle du soleil dans le ciel et ont déterminé qu il fallait environ 360 jours pour le parcours d une année. Ils ont donc divisé la trajectoire circulaire en 360 degrés pour suivre chaque jour le trajet complet du soleil. C est ainsi qu ils en sont arrivés à un cercle de 360 degrés. Le diagramme n est pas à l échelle On notera que l illustration est géocentrique et non pas héliocentrique et qu elle est donc inexacte. Toutefois, c est de cette façon que la majorité des anciens astronomes comprenaient le système solaire, ils pensaient que le soleil tournait autour de la Terre. Mais l année a 365 jours et non pas 360. Il semble donc qu il manque cinq degrés. Pourquoi? Les normes des mesures scientifiques de l ancien temps n étaient pas aussi précises qu elles le sont aujourd hui. Trois cent soixante était aussi facilement divisible en tiers, en quarts, en cinquièmes, en sixièmes, etc. Cela facilitait les calculs effectués par les mathématiciens. 154
Domaine: La forme et l espace (la mesure) Stratégies d évaluation Papier et crayon 1. Servez-vous d un rapporteur et d une règle pour créer et classifier les angles suivants : A. 30 o B. 107 o C. 180 o D. 220 o 2. Dessinez un cercle en utilisant la méthode de votre choix et trouvez son centre. Divisez ce cercle en 5 secteurs dont les angles sont : 35 o, 80 o, 60 o, 135 o, 50 o. 3. Plusieurs cercles sont divisés en 3 secteurs. Les angles au centre de deux des secteurs sont donnés ci-dessous. Dans chaque cas, déterminez la mesure du troisième angle au centre. A. 55 o, 117 o B. 91 o, 74 o C. 1 o, 163 o Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.7 : Le cercle et l aire GE: ProGuide, pp. 35 38 FR 4.12, 4.21, 4.30 CD-ROM - FR ME: pp. 161 164 Cahier d activités et d exercices FR : pp. 96 99 155
Domaine: La statistique et la probabilité (l analyse de données) Résultat d apprentissage général : Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes. Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 7SP3. Construire, étiqueter et interpréter des diagrammes circulaires pour résoudre des problèmes. [C, L, R, RP, T, V] (suite) Indicateur de rendement 7SP3.5 Créer et étiqueter un diagramme circulaire pour présenter un ensemble de données avec ou sans l aide de la technologie. Stratégies d enseignement et d apprentissage Remarque : Il est très important que la présentation et l interprétation des données soient traitées séparément. Lorsque les élèves prennent le temps de créer des présentations de données, ces présentations devraient aussi être utilisées pour l interprétation. Le manuel de l élève introduit cette idée au moyen d un cercle de pourcentage. Un cercle de pourcentage est un cercle divisé en dixièmes, dans lequel chaque dixième est subdivisé en centièmes. L aptitude à trouver le pourcentage d un nombre et l aptitude à utiliser un rapporteur sont des compétences très utiles pour la création traditionnelle de graphiques circulaires représentant des données brutes. La création d un graphique circulaire avec un crayon et du papier peut prendre beaucoup de temps et devrait toujours se faire avec au moins une calculatrice servant à effectuer les calculs laborieux des pourcentages et les conversions en degrés. Une fois que les élèves ont dessiné des graphiques circulaires à la main, on utilise la technologie pour en créer des nouveaux. Les options technologiques sont, entre autres, Microsoft Excel, divers sites Web et les calculatrices graphiques. Une table de distribution des fréquences est utile pour organiser les données lorsque l on crée des graphiques circulaires. Catégorie (types de tarte) Fréquence Fraction du total Fraction en pourcentage % exprimé en angle o (% 360 ) Pomme 12 12/50 24% 86 o Citron 10 Cerise 15 Noix de coco 13 156
Domaine: La statistique et la probabilité (l analyse de données) Résultat d apprentissage général : Recueillir, présenter et analyser des données afin de résoudre des problèmes. Stratégies d évaluation Activité de groupe 1. Toujours avec l idée de faire appel à des données réelles ou pertinentes pour les élèves, voici une liste d enquêtes possibles pouvant être effectuées dans une salle de classe pour créer un graphique circulaire. Combien d enfants y a-t-il dans votre famille? Quelle sorte d animaux domestiques avez-vous? Durant quel mois êtes-vous né? Quelle est la couleur de vos yeux? Est-ce que le véhicule de votre famille est une voiture, un camion, une camionnette ou un véhicule utilitaire? Quelle est votre équipe de hockey favorite? 2. Formez un «graphique circulaire humain». Demandez aux élèves de choisir parmi quatre équipes de hockey celle qu ils préfèrent et de se regrouper pour que ceux qui préfèrent la même équipe soient ensemble. Demandez aux élèves de former un cercle. Fixez ensemble les extrémités de quatre longues ficelles en leur milieu et tendez-les de façon à représenter des divisions (Van de Walle et Lovin, 2006, p.324). 3. Demandez aux élèves de dessiner des graphiques à barres, de les découper les barres et de les coller bout à bout avec du ruban adhésif. Attachez les deux extrémités avec du ruban adhésif de façon à former un cercle. Estimez où le centre du cercle se trouve, dessinez des traits jusqu aux points où les différentes barres se terminent et tracez un cercle autour. Il est maintenant possible d estimer les pourcentages. (Van de Walle et Lovin, 2006, p.324). Technologie/Ressources Web (disponibles en anglais et en français) 1. Un site Web utile pour trouver des statistiques est le site Web de Statistique Canada : www.statcan.ca 2. Pour créer des diagrammes à secteurs, visitez le site de la Bibliothèque virtuelle en mathématiques : http://nlvm.usu.edu/fr/nav/frames_asid_183_g_2_t_1.html L adresse du site Web est : http://www.nlvm.usu.edu/fr/nav/vlibrary.html Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 7 Leçon 4.7 (suite) 157
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