Le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique: Appliquant le principe de Fermat pour chercher le couple de points conjugués (A, A ) A Le Chemin optique ente A et A est L AA' = (AIA') = nai n'ia' A H n n >n Pour réaliser le stigmatisme rigoureux, il faudra poser: L AA' = constante Cas particuliers: - Si A et A sont sur la surface du dioptre on a L AA =0 - De même si A est au centre du dioptre on a : A=A =C et L AA = 0 Hormis ces cas, montrons que deux points seulement appelés points de Young-Weierstrass, vérifient la condition de stigmatisme rigoureux. Soit : R = SC, p = SA, p' = SA' et x = SH 77 L expression du chemin optique L est égale (en fonction de R, p, p et x) à: Puisque L AA = n p 2 + 2x(R p) 1/2 n' p' 2 + 2x(R p') 1/2 AI 2 = AH 2 + HI 2 = (AS + SH ) 2 + (IC 2 CH 2 ) = (AS + SH ) 2 +[IC 2 (CS + SH ) 2 ] = ( p + x) 2 + R 2 ( R + x) 2 = p 2 + x 2 2 px + R 2 R 2 x 2 + 2Rx De même, = p 2 + 2x(R p) A'I 2 = A'H 2 + HI 2 = p' 2 + 2x(R p') Pour les points de Young-Weierstrass, ce chemin optique est «rigoureusement» indépendant de la position du point I : c est-à-dire de x. Autrement dit L AA (x) est indépendante de x d où : dl AA dx = 2n(R p) 2 p 2 + 2x(R p) 2n'(R p') 1/2 2 p' 2 + 2x(R p') = 0 1/2 78
Donc Alors n( R p 1) R n'( 1+ 2x p ( R 1/2 p 1) = p 1) 1+ 2x p' ( R p' 1) n( R p 1) = n'( R p' 1) 1 p ( R p 1) = 1 p' ( R p' 1) np = n' p' n( R p 1) = n'( R p' 1) Les deux relations caractérisant les points de Young- Weierstrass (W et W ) pour un dioptre sphérique sont: p = SW = ( n' n +1)R p' = SW ' = ( n n' +1)R En conclusion, un dioptre sphérique n est donc rigoureusement stigmatique que pour les points de W et W, pour les points de sa surface et pour son centre C. En prenant l origine au centre C, on obtient une relation plus élégante : CW = ( n' n )R CW ' = ( n n' )R 1/2 et CW.CW ' = R 2 79 En considérant des points proches de W et W, cas de stigmatisme approché, on pose: En insérant, le point C dans ces relations, on aura: SC + CA = ( n' n +1)SC SC + CA' = ( n n' +1)SC p = SA = ( n' n +1)R p' = SA' = ( n n' +1)R C est la formule de conjugaison d un dioptre sphérique avec l origine au centre. n' CA = n SC n CA' = n' SC n' CA n CA' = n' n CS Conclusion: Pour les exemples de systèmes centrés traités dans ce paragraphe (sauf le miroir plan), les conditions qui réalisent l approximation de 1 er Ordre de stigmatisme, étudié par Gauss en 1841, sont capable de construire une image nette à partir d un pointobjet. Tout défaut qui altère une image conduit à une mauvaise qualité d image. Ce phénomène est appelé aberration d'un système optique. 80
Types d aberrations optiques: Il existe deux types d écarts aux conditions idéales de Gauss: Les aberrations chromatiques à cause du fait que l indice optique est une fonction de la longueur d onde. 81 Types d aberrations optiques: Les aberrations monochromatiques qui se subdivise aussi en deux catégories; celles qui détériorent l image (l aberration sphérique ou géométrique, la coma et l astigmatisme) et celles qui déforment l image (la distorsion et la courbure de champ). On réduit ces aberrationsen diaphragmant le faisceau incident (mais on réduit alors la luminosité de l'image) ou en réalisant des associations judicieuses de plusieurs systèmes optiques de façon à compenser leurs défauts. 82
V. Autres systèmes centrés dans l'approximation de Gauss Equivalent à Axe Principal S? F. L. H à n.ab.α= n 1.A 1 B 1.α 1 = n 2.A 2 B 2.α 2 = =n. A B. α Une succession de dioptres est équivalente à un seul dioptre. À un grandissement transversal γ donné ne correspond qu'un seul couple (A,A') de points conjugués sur l'axe et inversement. En particulier, il existe donc un couple de points (H,H') tels ( S ) que H H ' avec γ = 1 H est le point principal objet du système et H' le point principal image. 83 Plans principaux et anti-principaux Les deux plans principaux de ce système étant les deux plans de front conjugués pour lesquels le grandissement transversal de tout ses points est égal à 1. RJ et FI semblent converger en K. I R et J F semblent émerger de K. K est l image de K et comme HK=H K ; γ=1. (P)= l ensemble des points K : plan principal objet. (P )= l ensemble des points K : plan principal image. 84
Nouvelle représentation de ce système optique : Distance HH est appelée interstice, f=hf et f =H F F FLH : HK=H K ; n. HK. α= n. H K. α Soit n. α= n. α Petits anglesà HK=FF 1 ~FH.α =-f.α de même H K =f.α à f f ' = α ' α = n n' La vergence du système est : C = n f = n' f ' (C>0 ; convergeant, C<0 ; divergeant) Les plans anti-principaux sont les plans conjugués dont le grandissement transversal γ est égal à -1. Ils sont symétriques des plans principaux par rapport aux foyers F et F. 85 Points nodaux et anti-nodaux : Les points nodaux N et N sont deux points conjugués sur l axe tels que à tout rayon incident passant par N correspond un émergent passant par N et parallèle à l incident. Les points anti-nodaux ν et ν sont les symétriques des points nodaux N et N par rapport aux foyers F et F. NI//N I et NI//K F, FF 1 N et H K F sont égaux à FN=H F =f L image de l objet N étant N. De même F N =HF=f Alors HN= HF+FN=f+f. Donc HN = f + f ' = H ' N ' Les éléments cardinaux d un système centré sont : Les foyers F, F Les plans principaux (P, P ) et anti-principaux (Π, Π ) Les points nodaux (N, N ) et anti-nodaux (ν, ν ). Un système est entièrement déterminé si on connaît un couple de points et une distance focale. 86
Formules de conjugaison : En posant HA=p, H A =p, HF=f, H F =f, x=fa et x =F A, on retrouve des formules de conjugaison générale valable pour un système dioptrique et similaire à celles d un dioptre sphérique : f p + f ' p' =1 n' p' n p = n' f ' = n f = C ; ; et γ = A'B' AB = n n'. p' p = f x = x' f ' Cas particulier ; milieux extrêmes identiques ; n=n =1 Ces formules deviennent : Points nodaux et principaux sont confondus ; H N donc f = f ' ; et x.x' = f. f ' 1 p' 1 p = 1 f ' = 1 f = C x.x' = f 2 = f ' 2 J I K K I J α F H H F α Système optique 87 Association de systèmes centrés: S=S 1 +S 2 L association de deux systèmes centrés, de même axe est également un système centré. Eléments cardinaux? FI 1 //F 1 J 1 à F objet de F 2 à travers le système 1à S 1 S 2 F 1 F.F 1 ' F 2 = f 1.f 1 ' S et F I 2 //J 2 F 2 à F image de F 1 à travers le système 2à 88 F 2 F 1 '.F 2 ' F ' = f 2. f 2 '
Posons les distances focales : f=hf et f =H F et l intervalle optique Δ = F ' 1 F 2 On trouve les positions de F et F par : et F ' 2 F ' = f ' 2. f F 2 1 F = f ' 1. f 1 Δ Δ D après les triangles H K F, H 2 J 2 F 2 et H 1 F 1 K 1, F 1 F 2 G 2 on aura : f = f. f 1 2 et ce qui vérifie : Δ f ' = f ' ' 1. f 2 f Δ f ' = n n' Formule de Gullstrand (de l opticien): Cette formule permet de déterminer la vergence du système équivalent connaissant celles des systèmes composants : C=C 1 +C 2 -e.c 1 C 2 /n 0 avec l interstice e=h 1 H 2 89 VI. Lentilles dans l'approximation de Gauss Une lentille est un milieu transparent (n>1) limité principalement par deux dioptres sphériques ou un dioptre plan et un dioptre sphérique. Types de lentilles 90
Lentilles minces: Une lentille est une lentille mince lorsque son épaisseur au sommet S 1 S 2 est très petite par rapport aux deux rayons R 1, R 2 et leur différence. Exemples: S 1 S 2 = 1 mm, R 1 =1 m, R 2 = -1m, R 1 -R 2 = 2m. En effet, S 1 S 2 /R 1, S 1 S 2 /R 2 et S 1 S 2 /R 1 -R 2 sont de l ordre du millième. Lentille mince S 1 S 2 = 1mm, R 1 = R 2 = 1m, R 1 -R 2 = 0! Lentille épaisse 91 Bords des lentilles minces Lorsque le bord de la lentille est moins épais que S 1 S 2, on dit que la lentille est à bord mince. Lorsque le bord de la lentille est plus épais que S 1 S 2, on dit que la lentille est à bord épais. Les représentations graphiques des deux lentilles : S 1 et S 2 sont confondu dénoté par O et appelé le centre optique de la lentille Si nous réalisons l expérience d envoyer un faisceau de lumière cylindrique sur une lentille parallèlement à l axe optique, nous observons les deux cas suivants : 92
Position de l image: En utilisant que des rayons paraxiaux, la lentille est placée dans les conditions de Gauss qui garantissent le stigmatisme et l'aplanétisme approchés : un petit objet plan perpendiculaire à l'axe et proche de l'axe donne une image nette de bonne qualité, plane et perpendiculaire à l'axe. Considérons le cas d une lentille convergente par exemple. Un petit objet lumineux AB est situé en A, perpendiculairement à l axe optique. Le premier dioptre donne une image A 1 B 1 de AB. Pour le second dioptre, A 1 B 1 joue le rôle d un objet dont l image finale est A B. 93 Soit p = OA, p 1 = OA 1, p = OA. Les rayons de courbure des deux dioptres étant OC 1 = R 1 et OC 2 = R 2. Les formules du dioptre sphérique donnent respectivement pour chaque dioptre Additionnons les deux membres et changeons de signe C est la formule fondamentale des lentilles minces 94
Points particuliers de l axe optique: Les points (de l axe optique) caractéristiques d une lentille donnée. Le foyer image : C est le point F de l axe optique, image d un point situé à l infini (p = - ) ; son abscisse f = p (F ) s appelle la distance focale image. La formule fondamentale des lentilles nous donne Le foyer objet : C est le point F de l axe optique dont l image F est à l infini (p (F )à ). Son abscisse f = p(f), s appelle la distance focale objet. La formule fondamentale des lentilles nous donne alors 95 Donc Les distances focales image et objet sont opposées : Les deux foyers d une lentille mince sont symétriques par rapport à la lentille. f f F F F F O O Le centre optique : C est le point O où la lentille rencontre l axe optique et il possède la propriété que tout rayon qui passe par le centre optique n est pas dévié. 96
Foyers réels = Lentille convergente. Foyers virtuels = Lentille divergente. Construction de l image d un petit objet AB: Lentille convergente. L objet réel AB est compris entre - et le foyer F. L image A B est réelle et renversée par rapport à l objet 97 L objet réel AB est compris entre le foyer F et le centre O. L image A B est virtuelle et de même sens que l objet. Notons que cette situation est le mode de fonctionnement normal de la loupe grossissante. 98
Lentille divergente: Ici, on peut facilement se convaincre qu il n y a qu un seul cas de figure pour l objet réel AB situé entre - et le centre O L image A B est virtuelle et de même sens que l objet Pour un objet virtuel entre O et F, l image est réelle, droite et agrandie. 99 Formules des lentilles minces Positions: Nous poserons OA= p, OA = p, OF = f =-f =-OF. La formule fondamentale des lentilles minces donne alors Grandissement: Soit un objet rectiligne AB. En utilisant les triangles semblables OAB et OA B, nous avons la relation Le rapport γ est le grandissement de l image par rapport à l objet, il vaut 100 donc
En traçant p en fonction de p on définira les domaines suivants pour la nature de l objet et de son image: 101 Zones conjuguées pour une lentille mince: 102