Chapitre 1. Introuction au cours e troisième. Se représenter l espace. 1 Les notions que nous allons rencontrer ans ce chapitre onnent un aperçu u travail que l on va poursuivre en troisième année. Elles ne seront pas obligatoirement menées jusqu au bout, mais seront souvent une première approche avant un approfonissement ultérieur. C est l enseignement en spirale. Dans ce chapitre, nous rencontrerons la notion e projection, courbes e niveau, pente, tangente, représentation graphique e fonctions, interprétation e la pente ans ifférentes situations, proportions, échelles. 1. Au vu e la carte 1, aller e O en A ou e O en B semble réclamer le même effort. Observe la carte 2. En est-il e même? Explique pourquoi et écris alors les eux trajets. 2. Que représente une courbe e niveau? Quelles informations trouve-t-on sur une carte IGN pour écrire le relief? Pour t aier, observe l extrait e carte IGN suivant. 1 L essentiel e ce chapitre est inspiré e «Question en question 3» Hatier. Math 3ème Werner 2010/2011 1
Que signifie les mots : altitue, énivelé. Sur une carte IGN, on trouve l information «équiistance = 5m» Explique. Connais-tu autres moyens e trauire le relief sur une carte que l utilisation es courbes e niveau? 2. Observe ce panneau. Que signifie-t-il? Imagine plusieurs situations où on pourrait le rencontrer. Dessine le profil une route au ébut e laquelle on pourrait placer ce panneau. Quelle est la valeur la plus élevée que tu as éjà vu sur ce genre e panneau? Et s il existait un panneau avec la mention 100% écrite essus, que vourait-il ire? 3. Définition e la pente au sens mathématique. 4. Etape 11 - COURCHEVEL/BRIANÇON 13 Juillet 2005 2 2 Ces graphiques sont extraits u site http://fr.sports.yahoo.com/cy/tf/esc/11.html Math 3 ème Werner 2010/2011 2
. Départ : COURCHEVEL Jamais eux sans trois pour Courchevel, qui accueillera une nouvelle fois la Grane Boucle en juillet 2005. Huit ans après la légenaire arrivée e Richar Virenque à l altiport, suivie une victoire triomphale e Marco Pantani en 2000, la station savoyare montre une fois e plus l intérêt qu elle porte au cyclisme, axe fort e sa politique sportive été. Dans le calenrier es manifestations, les compétitions sportives occupent une place e choix à Courchevel, qui ispose infrastructures accueil exceptionnelles lui permettant organiser, été comme hiver, e grans événements. Bénéficiant es eux seules étapes e montagne retenues pour les Alpes à l occasion e ce 92ème Tour e France, Courchevel, qui conforte ainsi son image e station sportive et internationale, atten es milliers e spectateurs pour l une es épreuves les plus suivies au mone. Arrivée : BRIANÇON Au carrefour e cinq vallées préservées, Briançon se resse fièrement sur un piton rocheux à 1 326 m altitue. Connue pour ses fortifications exceptionnelles, c est par son charme altitue et son aspect méiéval que Briançon, ancienne capitale es Escartons, séuit tous ceux qui savent s y attarer. Jouissant un patrimoine extraorinaire, Briançon est entrée ans le cercle prestigieux es villes art et histoire. La ville fortifiée recèle es merveilles à écouvrir : la Grane et la Petite Gargouille, la maison es Templiers, la Collégiale, l Eglise es Coreliers, ses fresques murales, le fort u Château, les maisons aux murs colorés, les carans solaires Briançon est servie par une climatologie exceptionnelle, 300 jours e soleil par an, un air pur et sec et un ciel bleu. Math 3 ème Werner 2010/2011 3
Les questions : a) Observe le profil e l étape. Quels renseignements onne-t-il? Que représentent les abscisses et les oronnées? b) Choisis eux tronçons et calcule la pente e chacun eux c) Vérifie l inication : col e Galibier, 17,5km à 6,9%. ) Sur la carte e l étape, il n y a pas e courbes e niveau. Comment trauit-on le relief. Avantages et inconvénients? 5. Observe la carte suivante. Son échelle est e 1/10 000. Qu est ce que ça veut ire? Essaye e écrire le tracé allant e A à B. En t aiant es courbes e niveau, essine le profil e ce tracé. (papier millimétré). Comment repère-t-on rapiement sur la carte les pentes fortes et les faibles? Compare avec la maquette montrée en classe. A B. Math 3ème Werner 2010/2011 4
6. Les publications traitant u cyclisme font souvent es classements es côtes rencontrées. Ici, la côte u Sartay. Calcule la pente sur ifférents tronçons et sa pente moyenne. 3 7. Sur une route ont la pente est constante et égale à 8%, on passe e l altitue 250m à l altitue 285m. Quel est l avancement horizontal? Fais un croquis. 8. Sur une route ont la pente est constante et égale à 12%, l avancement horizontal est e 2,3km. Quel sera alors le énivelé? 9. Quelle est la pente un mur vertical? 10. Sur une carte au 1/25 000, on suit un chemin qui part e la courbe e niveau 125m et qui se termine à la courbe 160m. En mesurant ce trajet, on a trouvé 6cm sur la carte. Quelle est la pente moyenne sur ce trajet? Notion e tangente. 1. Plutôt que utiliser la notion e pente pour écrire la façon ont une route monte, on aurait pu mesurer l angle que fait celle ci avec l horizontale. Illustre cela pour une pente e 20% (essin à l échelle et mesure e l angle au rapporteur) 2. Répète cette situation pour ifférentes pentes et fais un tableau trauisant la relation entre la pente et l angle. Fais un graphique. Interpole en complétant ton graphique. 3. Que vaut la pente un chemin qui forme un angle e 36 avec l horizon? Evalue celle-ci grâce à ton graphique. 3 D autres profils peuvent-être trouvés à l aresse : http://www.salite.ch/struttura/ Math 3 ème Werner 2010/2011 5
4. Comment utiliser la calculatrice pour calculer une pente quan on connaît l angle formé par la route avec l horizontale? Comment retrouver l angle quan on connaît la pente? Définition e la tangente un angle ans un triangle rectangle. Dans cette situation, la tangente e l angle α est égale à la pente e l hypoténuse u triangle : tg énivelé avancement horizontal a α a De manière plus générale. tg côté opposé côté ajacent a a arctg a α A. Calcul u côté opposé à l angle : Utilisation. 12m 20 B. Calcul u côté ajacent à l angle : 5m 48 C. Calcul e l angle : (notion arctangente) 3m 5m α Math 3 ème Werner 2010/2011 6
Exercices supplémentaires. 1. Quelle est l amplitue e l angle que fait le toit avec l horizontale? 9m 12m 15m 2. Le téléphérique e l Aiguille u Mii, ans le massif u Mont Blanc, conuit, en un premier tronçon, e Chamonix (1030m) au Plan e l Aiguille (2310m). La istance horizontale parcourue étant représentée par 85 mm sur une carte au 1 :25000. Le secon tronçon, u Plan e l Aiguille au sommet e l Aiguille u Mii (3795m), correspon à une istance horizontale e 98 mm. Sur ce tronçon, il n y a qu un seul pylône, au point 3101 ( istance horizontale : 75 mm) Calcule la pente moyenne entre : a) Chamonix et Plan e l Aiguille b) Plan e l Aiguille et point 3101 c) point 3101 et Aiguille u Mii ) Plan e l Aiguille et Aiguille u Mii 3. Un élève voulant calculer la pente un funiculaire s est trompé et a calculé le rapport entre la istance horizontale et la énivellation. Il a obtenu 400%. Quelle est la pente réelle? 4. Même question s il a obtenu 125% 5. L ombre un poteau vertical planté sur un terrain horizontal mesure 12m. Quelle est la hauteur u poteau si à ce moment les rayons u soleil forment un angle e 25 avec l horizontale. (Fais un essin) 6. Au mois e septembre, à mii, le soleil n est pas au Zénith mais à 76 par rapport à l horizontale. Calcule l ombre un poteau e 4,2m e haut placé ans les mêmes conitions que ans l exercice précéent. 7. Quelle est la route la plus pentue? Celle qui fait 14% ou celle qui fait 14? 8. «A 37,5, ça va bien pour cette Aui 100 Quattro munie e pneus à clous qui, au main e Haral Demuth, a gravi ce tremplin e ski enneigé une inclinaison e 37,5, ce qui représente une pente e 85%! Cet exploit a été réalisé pour les besoins un spot publicitaire.» Montre que cette publicité est mensongère et rectifie la. 9. Voici une carte à l échelle 1 :50000. Calcule la pente moyenne pour aller e A à B et fais le profil. La énivellation entre eux courbes e niveau est e 5m. On consière que ce tracé monte continuellement e A vers B A 10.. Calcule l avancement horizontal que l on fait sur une route qui monte régulièrement sous un angle e 2,5 si on passe e l altitue 526m à l altitue e 678m. 11.Quelle est l amplitue e l angle que fait une route avec l horizontale si sa pente est e 18%? B Math 3 ème Werner 2010/2011 7
Utilisation e la tangente pour calculer es istances inaccessibles. 1. Un bateau se irige roit vers un phare A situé sur la côte. A 3,6 km e ce phare, il y a un euxième phare B. On mesure, u bateau, l amplitue e l angle sous lequel on voit ces eux phares. On trouve 32. A quelle istance e la côte se trouve le bateau? 3,6km 32 2. Calcule la longueur e l étang AB en te référant aux onnées u essin. A étang B 750m 40 3. Quelle est la hauteur e la tour? tour 17 420m Math 3 ème Werner 2010/2011 8
Construction e graphique et transfert e la méthoe u calcul e pente. 1. Observe le graphique suivant. Distances en km 35 30 25 20 15 10 5 O a) Que représente-t-il? Imagine une situation concrète qui l illustrerait. b) Transpose la méthoe pour calculer la pente une route sur le premier tronçon (les 10 premiers km) En faisant cela, calcule-t-on l inclinaison e la route? Est-ce que cela a u sens? Quelles unités sont en jeu? Que calcule-t-on alors? Peut-on trauire en %? c) Effectue le même calcul sur les autres tronçons. Conclusions : 1h Temps en heures 2h 2. On remplit un tonneau avec e l eau (ou u vin!!) et on note la quantité e liquie en fonction u temps. Voici le tableau reprenant ces valeurs. Temps en minutes Quantité en litres 0 2 3 5 6 8 10 12 15 20 25 28 30 32 38 45 50 55 0 6 9 15 18 22 26 30 36 46 71 86 96 106 106 106 106 106 a) Construis un graphique : abscisses = temps en minutes oronnées = litres b) Repère les ifférentes parties e ton graphique et calcule la «pente» pour chacun eux. Quelles unités sont en jeux? Que calcule-t-on en faisant cela? Math 3 ème Werner 2010/2011 9
Utilisation un tableur pour construire un graphique. La construction un graphique point par point est souvent ifficile à réaliser par manque e précision. Pour éviter cela, on peut utiliser un tableur. Exercice : Voici les heures e passage annoncées par le journal «l équipe» pour ifférents enroits, lors e l étape u tour e France étuiée plus haut : le col u Galibier.. Encoe les ans le tableur et construis un graphique point par point. Choisis les unités appropriées. Calcule la vitesse moyenne es coureurs sur 3 tronçons. Compare ce nouveau graphique avec le profil e l étape. Time scheule Wenesay 13 July 2005 km COURCHEVEL (Le Praz) 10:30 0.0 COURCHEVEL 10:35 3.5 Méribel-Village 10:40 4.5 Le Raffort (D.98- D.90) 10:42 5.5 Nantgerel 10:43 7.5 Le Cruet 10:47 8.0 LES ALLUES 10:47 14.5 Carrefour D.90- D.915 18.5 SALINS-LES- THERMES 19.0 MOÛTIERS (D.915-N.90) 10:57 11:03 11:04 22.5 AIGUEBLANCHE (N.90-D.92-D.94) 11:10 23.5 Bellecombe (D.94-D.97aD.97) 11:11 26.0 27.0 28.0 29.5 LA LECHERE (D.97-D.97b) 11:15 Carrefour D.97b- 11:16 D.97 LA LECHERE (chef lieu) D.213 11:18 11:20 37.5 Villar-Soffray 11:46 TARENTAISE) 39.0 Villar-Benoît 11:51 43.5 La Thuile 12:05 44.5 CELLIERS 12:08 45.5 Celliers-Dessus 12:11 55.0 Col e la Maeleine 12:41 60.0 Longchamp 1650 12:49 63.0 LONGCHAMP 12:53 65.0 Le Planet 12:56 72.0 74.0 Carrefour D.97- (BONNEVAL- SAINT- FRANCOIS- SAINT-MARTIN- SUR-LA- CHAMBRE LA CHAMBRE (D.213-D.99) 75.0 SAINT-AVRE (D.99-D.213) 76.0 13:06 13:09 13:10 76.0 SAINT-AVRE 13:12 85.5 Carrefour D.213-13:12 N.6 SAINT-JEAN- DE-MAURIENNE (près) 89.5 SAINT-JULIEN- MONT-DENIS 13:27 13:33 97.5 (près) SAINT-MICHEL- DE-MAURIENNE (N.6-D.902) 98.0 SAINT-MARTIN- D'ARC Col u 110.0 Télégraphe 13:45 13:46 14:19 113.0 Les Granges 14:22 113.5 Les Choseaux 14:23 114.5 VALLOIRE 14:24 117.0 Les Verneys 14:29 118.5 La Rivine 14:33 124.5 Plan Lachat 14:49 Les Granges-u- 128.5 15:00 Galibier 133.0 Col u Galibier 15:13 134.0 15:14 142.0 15:22 149.0 15:29 155.0 15:35 160.0 15:40 162.0 15:42 163.0 15:43 165.5 15:45 166.5 15:46 171.5 15:52 173.0 15:53 Math 3 ème Werner 2010/2011 10
Pente et cooronnées e points. En mathématique, on consière un segment [MN] ans un repère cartésien ; on parcourt le segment e gauche à roite, ans le sens e l axe es x. La pente u segment [MN] est onnée par le rapport entre la ifférence es oronnées e M et N sur la ifférence es abscisses e ces eux points. N y M y M N pente N N y x M M y x M x N x La pente peut onc être interprétée comme le rapport entre le énivelé et le éplacement horizontal. On peut aussi l exprimer en %. Exemple : une pente e 4% correspon à une pente e 0.04. Une pente positive sera interprétée comme une «montée» et une pente négative comme une «escente»!!! Toujours pour un éplacement ans le sens e l axe es x. Exercices : a) Quelle est la pente u segment [AB] si les cooronnées e A sont (5,9) et B (8,17)? b) Même question avec A(-3,-7) et B (-9,12) c) Même question avec A(15,5) et B (-12,5) ) Et ans ce cas? A (6,5) et B (6,9) Math 3 ème Werner 2010/2011 11