BACCALAUREAT GÉNÉRAL BLANC SESSION 2015 2016 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU Mardi 26 Avril 2016 Durée de l épreuve : 4 heures (minimum 3 heures) ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la règlementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées dont une feuille annexe à rendre avec vos copies (ne pas rendre le sujet). 1
EXERCICE 1 Le chikungunya est une maladie virale transmise d un être humain à l autre par des piqûres de moustiques femelles infectées. Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes : - La probabilité qu une personne atteinte par le virus ait un test positif est 0,98 ; - La probabilité qu une personne non atteinte par le virus ait un test positif est 0,01. On procède à un test de dépistage systématique dans une population «cible». Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle : - M l évènement : «l individu choisi est atteint du chikungunya» ; - T l évènement : «le test de l individu choisi est positif». On note p(0 p 1) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible. Partie A. - On suppose dans toute cette partie que p = 0,1. 1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation. 2. Calculer P(M T). 3. Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,107. 4. L individu choisi a un test positif. Quelle est la probabilité qu il soit atteint par la maladie? (on donnera une valeur arrondie à 0,001 près). Partie B. - Dans toute cette partie, p est à nouveau un réel quelconque appartenant à [ 0 ; 1 ]. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure ou égale à 0,95. 1. Démontrer que la probabilité de M sachant T est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(p) = 98p 97p + 1 2. A partir de quelle proportion p de malades dans la population le test est-il fiable? (On donnera une valeur arrondie à 0,01 près.) Partie C. En juillet 2015, l institut de veille sanitaire d une île annonce que 15% de la population est atteinte par le virus. On effectue des tests sur un échantillon de 100 personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer que le choix d un tel échantillon peut être assimilé à un tirage avec remise de 100 personnes dans la population. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus. 1. Déterminer en justifiant la loi suivie par la variable aléatoire X et préciser ses paramètres. 2. Quelle est la probabilité que sur cet échantillon exactement 10 personnes soient atteintes par le virus? (On donnera une valeur arrondie à 0,01 près.) Quelle est la probabilité qu au plus 15 personnes soient atteintes par le virus? (On donnera une valeur arrondie à 0,01 près.) 2
EXERCICE 2 PARTIE A : PRELIMINAIRES 1) a) Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : n 2 N 1 (N). Montrer que : n n 3 1 (N). b) Déduire de la question précédente un entier k 1 tel que : 5k 1 1 (26). On admettra que l unique entier k tel que : 0 k 25 et 5k 1 (26), vaut 21. 2) On donne les matrices : A = ( 4 1 2 1 ), B = ( 3 2 3 4 ), X = (x 1) x 2 et Y = ( y 1 y 2 ). a) Calculer la matrice 6A A 2. b) En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A 1, peut s écrire sous la forme A 1 = αi 2 + βa, où α et β sont deux réels à déterminer, et I 2 la matrice unité. c) Vérifier que : B = 5A 1. d) Démontrer que si AX = Y, alors 5X = BY. 3
PARTIE B : PROCEDURE DE CODAGE Coder le mot "ET" en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous. PARTIE C : PROCEDURE DE DECODAGE (on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y = ( y 1 y 2 ) telle que : Y = AX. 1) Démontrer que { 5x 1 = 2y 1 y 2 5x 2 = 3y 1 + 4y 2. 2) En utilisant la question 1) b) de la PARTIE A, établir que : 3) Décoder le mot "QP". { x 1 16y 1 + 5y 2 x 2 15y 1 + 6y 2 (26). 4
EXERCICE 3 Partie A. étude d une fonction On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle ] 1 ; + [ par f(x) = x lnx Sur l annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction f ainsi que la droite D d équation y = x. 1. Calculer les limites de la fonction f en + et en 1. 2. Etudier les variations de la fonction f sur l intervalle ] 1 ; + [. 3. En déduire que si x e alors f(x) e. Partie B. étude d une suite récurrente 1. On considère la suite (u n ) définie par : u { 0 = 5 pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ) Sur l annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points A 0, A 1 et A 2 d ordonnée nulle et d abscisses respectives u 0, u 1 et u 2. On laissera apparents les traits de construction. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite (u n )? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n e. b. Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). c. En déduire que la suite (u n ) est convergente. 3. On donne l algorithme suivant : X est une variable réelle ; Y est une variable entière Affecter 5 à X Affecter 0 à Y Tant que X > 2,72 faire Affecter (X/lnX) à X Affecter Y + 1 à Y Fin tant que Afficher Y A l aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l algorithme. n 0 1 2 3 4 5 u n 5 3,106 674 672 8 2,740 652 532 3 2,718 372 634 6 2,718 281 830 0 2,718 281 828 5 5
EXERCICE 4 Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n est demandée. Aucun point n est enlevé en l absence de réponse ou en cas de réponse fausse. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u ; v ). Soit z un nombre complexe de la forme x + iy, où x et y sont des réels. 1. Soit z le nombre complexe d affixe (1 + i) 4. L écriture exponentielle de z est : a. 2e iπ b. 4e iπ c. 2e iπ 4 d. 4e iπ 4 2. L ensemble des points M du plan d affixe z = x + iy tels que z 1 + i = 3 i a pour équation : a. (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 2 b. (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 2 c. (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 4 d. y = x + 3 1 2 3. On considère la suite de nombres complexes (z n ) définie pour tout entier naturel n par z 0 = 1 + i et z n+1 = 1+i 2 z n. On note M n le point du plan d affixe z n. a. Pour tout entier naturel n, le point M n appartient au cercle de centre O et de rayon 2. b. Pour tout entier naturel n, le triangle OM n M n+1 est équilatéral. c. La suite (u n ) définie par u n = z n est convergente. d. Pour tout entier naturel n, un argument de z n+1 z n z n est π 2 4. Soit A, B et C trois points du plan complexe d affixes respectives : z A = 1 i ; z B = 2 2i et z C = 1 + 5i. On pose z = z C z A z B z A a. z est un nombre réel. b. Le triangle ABC est isocèle en A. c. Le triangle ABC est rectangle en A. d. Le point M d affixe z appartient à la médiatrice du segment [BC]. 5. VRAI OU FAUX. Cette question devra être justifiée. L équation ln(x) + ln(x + 1) = ln(2) admet le réel 1 pour unique solution. 6
ANNEXE NOM : Prénom : Classe : D C 7