Lycée Edgar Quinet Année 2014-2015 Géométrie dans l espace exercices... Terminale S Exercice 1 L espace est muni d un repère orthonormé O, ı, j, ) k. P et R sont les plans d équations respectives 2x+ y z 11= 0 et x+y+ 5z 11= 0. Proposition Les plans P et R se coupent perpendiculairement. Exercice 2 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère le plan P d équation x y+ z+ 1= 0 et la droite D dont une représentation paramétrique est x= 2t y = 1+ t, t R z = 5+t On donne les points A1 ; 1; 0), B ;0 ; 1) et C 7 ;1 ; 2) Proposition 1 : x= 5 2t Une représentation paramétrique de la droite AB) est y = 1+ t, t R z = 2+ t Proposition 2 : Les droites D et AB) sont orthogonales. Proposition : Les droites D et AB) sont coplanaires. Proposition 4 : La droite D coupe le plan P au point E de coordonnées 8; ; 4). Proposition 5 : Les plans P et ABC ) sont parallèles. Exercice Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points : A1 ; 2 ; 7), B2 ; 0 ; 2), C ; 1 ; ), D ; 6 ; 1) et E4 ; 8 ; 4). 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Soit u 1 ; b ; c) un vecteur de l espace, où b et c désignent deux nombres réels. a. Déterminer les valeurs de b et c telles que u soit un vecteur normal au plan ABC). b. En déduire qu une équation cartésienne du plan ABC) est : x 2y+ z 4= 0. c. Le point D appartient-il au plan ABC)?
. On considère la droite D de l espace dont une représentation paramétrique est : x = 2t+ y = 4t+ 5 z = 2t 1 a. La droite D est-elle orthogonale au plan ABC)? où t est un nombre réel. b. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite D et du plan ABC). 4. Étudier la position de la droite DE) par rapport au plan ABC). Exercice 4 Dans un repère orthonormé de l espace, on considère les points A5 ; 5 ; 2),B 1 ; 1 ; 0),C0 ; 1 ; 2) et D6 ; 6 ; 1). 1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. 2. a. Montrer que le vecteur 2 n est un vecteur normal au plan BCD). 1 b. Déterminer une équation cartésienne du plan BCD).. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan BCD) et passant par le point A. 4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite D et du plan BCD). 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume d un tétraèdre est donné par la formule V = 1 B h, où B est l aire d une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante. 6. On admet que AB = 76 et AC= 61. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l angle BAC. Exercice 5 L espace est muni d un repère orthonormé O, ı, j, ) k. On considère les points A1 ; 2 ; 5), B 1 ; 6 ; 4), C7 ; 10 ; 8) et D 1 ; ; 4). 1. Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan. 2. On admet que les points A, B et D définissent un plan. Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan ABD) est x 2z + 9 = 0.. Proposition : Une représentation paramétrique de la droite AC) est x = 2 t 5 y = t+ 14 z = 2 t+ 2 t R 4. Soit P le plan d équation cartésienne 2x y+ 5z+ 7=0 et P le plan d équation cartésienne x y+ z+ 5= 0. Proposition 4 : Les plans P et P sont parallèles.
Exercice 6 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes. Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l affirmation exacte. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Dans l espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A1 ; 1 ; 1), B1 ; 1 ; 1), C0 ; ; 1) et le plan P d équation 2x+y z+ 5= 0. Question 1 Soit D 1 la droite de vecteur directeur u 2 ; 1 ; 1) passant par A. Une représentation paramétrique de la droite D 1 est : x = 2+ t a. y = 1 t z = 1 t x = 5+4t c. y = 2t z = 1+2t x t R) b. y z x t R) d. y z = 1+2t = 1 t = 1+ t = 4 2t = 2+ t = 4t t R) t R) Question 2 x = 1+ t Soit D 2 la droite de représentation paramétrique y = t t R). z = 2 2t a. La droite D 2 et le plan P ne sont pas sécants b. La droite D 2 est incluse dans le plan P. 1 c. La droite D 2 et le plan P se coupent au point E ; 7 ; 10 ). 4 d. La droite D 2 et le plan P se coupent au point F ; 1 ; 22 ). Question a. L intersection du plan P et du plan ABC) est réduite à un point. b. Le plan P et le plan ABC) sont confondus. c. Le plan P coupe le plan ABC) selon une droite. d. Le plan P et le plan ABC) sont strictement parallèles. Question 4 Une mesure de l angle BAC arrondie au dixième de degré est égale à : a. 22,2 b. 0,4 c. 67,8 d. 1,2 Exercice 7 1. Dans un repère orthonormé de l espace, on considère les points A2 ; 5 ; 1), B ; 2 ; 1) et C1 ; ; 2). Le triangle ABC est : a. rectangle et non isocèle b. isocèle et non rectangle c. rectangle et isocèle d. équilatéral 2. Dans un repère orthonormé de l espace, on considère le plan P d équation 2x y + z 1 = 0 et le point A2 ; 5 ; 1). Une représentation paramétrique de la droite d, perpendiculaire au plan P et passant par A est : x = 2+2t x = 2+2t x = 6 2t x = 1+2t a. y = 5+ t b. y = 1+5t c. y = + t d. y = 4 t z = 1+t z = t z = 5 t z = 2+t
. Soit A et B deux points distincts du plan. L ensemble des points M du plan tels que MA MB = 0 est : a. l ensemble vide b. la médiatrice du segment [AB] c. le cercle de diamètre [AB] d. la droite AB) 4. La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF. E H M I F J N G D C A Les droites IJ) et MN) sont : a. perpendiculaires b. sécantes, non perpendiculaires c. orthogonales d. parallèles B Exercice 8 L espace est rapporté au repère orthonormé O, ı, j, ) k. On désigne parrl ensemble des nombres réels. On rappelle que deux droites de l espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes. Soient le point A 1 de coordonnées 0 ; 2 ; 1) et le vecteur 1 u 1 de coordonnées 2. On appelle D 1 la droite passant par A 1 et de vecteur directeur u 1. On appelle D 2 la droite qui admet pour représentation paramétrique x = 1+k y = 2k k R). z = 2 Le but de l exercice est de prouver l existence d une droite perpendiculaire à la fois à D 1 et D 2. 1. a. Donner une représentation paramétrique de D 1. b. Donner un vecteur directeur de D 2 on le notera u 2 ). c. Le point A 2 1 ; 4 ; 2) appartient-il à D 2? 2. Démontrer que les droites D 1 et D 2 sont non coplanaires.. Soit le vecteur 6 v. On définit la droite 1 passant par A 1 et de vecteur directeur 4 v et la droite 2 passant par A 2 et parallèle à 1.
Justifier que les droites D 1 et 1 sont perpendiculaires. Dans la suite, on admettra que les droites D 2 et 2 sont perpendiculaires. 4. Soit P 1 le plan défini par les droites D 1 et 1 et P 2 le plan défini par les droites D 2 et 2. a. Soit le vecteur 17 n 22. Vérifier que n est un vecteur normal au plan P 1. 9 b. Montrer que P 1 et P 2 ne sont pas parallèles. 5. Soit la droite d intersection des plans P 1 et P 2. On admettra que le vecteur v est un vecteur directeur de. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu il existe une droite de l espace perpendiculaire à la fois à D 1 et à D 2.