BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES Mai 2010 La calculatrice est autorisée. Le soin et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation. N candidat : Observations Présentation et rédaction : /4 ACTIVITES NUMERIQUES /12 Exercice 1 : On donne : A = 6 5-17 14 5 7 B = 8 108 1,6 0,4 10-3 C = ( 5 + 10)² - 10 2 1) Ecrire A sous la forme d une fraction irréductible. 2) Donner l écriture scientifique de B. 3) Montrer que C est un nombre entier. Exercice 2 : Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse. Vous reporterez le numéro de la question avec la lettre correspondant à votre réponse sur votre copie. Aucune justification n est demandée. Réponses A B C 1 Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x = -1? -3x² 6(x + 1) 5x² + 1 2 Le développement de (x + 3)(2x + 4) 2(5x + 6) est : 2x² 2x² + 20x + 24 2x² + 24 3 La factorisation de 9x² - 16 est : (3x 4)² (3x + 4)(3x 4) (3x + 4)² 4 Les solutions de l équation (x 5)(3x + 4) = 0 sont : 4 3 et 5-4 3 et 5 4 3 et - 5 Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1
Exercice 3 : ABCD est un rectangle et M est un point appartenant au côté [CD]. Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. On souhaite savoir où placer le point M pour que l aire du rectangle ADMT soit inférieure à l aire du rectangle MCRS. 7 4 3 x 1) On appelle x la longueur DM. Exprimer l aire du rectangle ADMT en fonction de x. 2) Exprimer l aire du rectangle MCRS en fonction de x. 3) Quelle inéquation permet de traduire l information suivante : «L aire du rectangle ADMT doit être inférieure à celle du rectangle MCRS»? 4) Résoudre l inéquation suivante : 4x < 3(7 x) Représenter ses solutions sur une droite graduée. 5) Conclure. Exercice 4 : 1) Résoudre le système d équations ci-dessous : 4a + 8b = 12 2a + b = 2,7 2) A la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour 6. Dans la même boulangerie, Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70. Quel est le prix d un croissant? Quel est le prix d un pain aux raisins? Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 2
ACTIVITES GEOMETRIQUES /12 Exercice 1 : 1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm. 2) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B. 3) a) Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm. b) Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4 cm. 4) Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles. 5) Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm. 6) Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires? Justifier. Exercice 2 En Travaux Pratiques de Chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci-dessous à droite. Le récipient est rempli d eau jusqu au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche. On note : C 1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB. C 2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon O B. On donne SO = 12 cm et OB = 4 cm. 1) Le volume d un cône de révolution de rayon R et de hauteur h est donné par la formule : Calculer la valeur exacte du volume du cône C 1. V = 1 3 π R² h 2) Le cône C 2 est une réduction du cône C 1. On donne SO = 3 cm. a) Quel est le coefficient de cette réduction? b) Prouver que la valeur exacte du volume du cône C 2 est égale à π cm 3. 3) a) En déduire que la valeur exacte du volume d eau contenue dans le récipient, en cm 3, est 63π. b) Donner la valeur approchée de ce volume d eau arrondie au cm 3 près. 4) Ce volume d eau est-il supérieur à 0,2 litres? Expliquer pourquoi. Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 3
PROBLEME /12 Partie 1 Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : 1,20 par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : 0,50 par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35. 1) Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an. 2) a) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre A. b) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre B. 3) Soit f et g les fonctions définies par f : x 1,2x et g : x 0,5x + 35 a) L affirmation ci-dessous est-elle correcte? Expliquer pourquoi. «f et g sont toutes les deux des fonctions linéaires.» b) Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques de f et g. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 en ordonnée. 4) Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. 5) Déterminer l offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l année. 6) Si on dépense 80, combien de morceaux peut-on télécharger avec l offre B? Partie 2 On admet qu un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. (1 Mo = 1 méga-octet) 1) Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d une capacité de 256 Mo? La vitesse de téléchargement d un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s (méga-octet par seconde) 2) Combien de morceaux peut-on télécharger en deux minutes? Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 4
ACTIVITES NUMERIQUES /12 Exercice 1 : On donne : A = 6 5-17 14 5 7 B = 8 108 1,6 0,4 10-3 C = ( 5 + 10)² - 10 2 1) Ecrire A sous la forme d une fraction irréductible. 2) Donner l écriture scientifique de B. 3) Montrer que C est un nombre entier. 1) A = 6 5-17 14 7 5 = 6 5-17 12 17 = = - 5 10 10 10 = - 1 2 2) B = 8 4 10 8+3 = 32 10 11 = 3,2 10 12 3) C = 5 + 2 5 10 + 10-10 2 = 15 + 2 5 5 2-10 2 C = 15 + 10 2-10 2 15 est bien un entier. Exercice 2 : Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse. Vous reporterez le numéro de la question avec la lettre correspondant à votre réponse sur votre copie. Aucune justification n est demandée. Réponses A B C 1 Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x = -1? -3x² 6(x + 1) 5x² + 1 2 Le développement de (x + 3)(2x + 4) 2(5x + 6) est : 2x² 2x² + 20x + 24 2x² + 24 3 La factorisation de 9x² - 16 est : (3x 4)² (3x + 4)(3x 4) (3x + 4)² 4 Les solutions de l équation (x 5)(3x + 4) = 0 sont : 4 3 et 5-4 3 et 5 4 3 et - 5 Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 5
Exercice 3 : ABCD est un rectangle et M est un point appartenant au côté [CD]. Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. On souhaite savoir où placer le point M pour que l aire du rectangle ADMT soit inférieure à l aire du rectangle MCRS. 7 4 3 x 1) On appelle x la longueur DM. Exprimer l aire du rectangle ADMT en fonction de x. 2) Exprimer l aire du rectangle MCRS en fonction de x. 3) Quelle inéquation permet de traduire l information suivante : «L aire du rectangle ADMT doit être inférieure à celle du rectangle MCRS»? 4) Résoudre l inéquation suivante : 4x < 3(7 x) Représenter ses solutions sur une droite graduée. 5) Conclure. 1) A ADMT = AD DM = 4x 2) A MCRS =CM CR = (7 x) 3 3) A ADMT < A MCRS 4x < 3(7 x) 4) 4x < 3(7 x) 4x < 21 3x 4x + 3x < 21 7x < 21 x < 21 7 x < 3 3 5) L aire du rectangle ADMT est inférieure à l aire du rectangle MCRS si DM < 3 cm. Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 6
Exercice 4 : 1) Résoudre le système d équations ci-dessous : 4a + 8b = 12 2a + b = 2,7 2) A la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour 6. Dans la même boulangerie, Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70. Quel est le prix d un croissant? Quel est le prix d un pain aux raisins? 1) 4a + 8b = 12 2a + b = 2,7-2a - 4b =-6 2a + b = 2,7-4b + b = -6 + 2,7 2a + b = 2,7-3,3 b = -3 = 1,1 2a +1,1 = 2,7 6,6 b = 6 = 1,1 2,7-1,1 a = 2 (On divise la première équation par -2.) a = 0,8 b =1,1 2) Si on désigne par a le prix d un croissant et par b le prix d un pain aux raisins. Le problème conduit au système suivant : 2a + 4b = 6 2a + b = 2,7 Ce système est équivalent à celui de la première question. Donc le prix d un croissant est 0,80 et le prix d un pain aux raisins 1,10. ACTIVITES GEOMETRIQUES /12 Exercice 1 : 1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm. 2) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B. 3) a) Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm. b) Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4 cm. 4) Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles. 5) Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm. 6) Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires? Justifier. Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 7
1) Correction 2) AC² = 12,5² = 156,25 AB² + BC² = 7,5² + 10² = 156,25 On a AC² = AB² + BC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle B. 3) a) b) Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 8
4) CF CA = 5 12,5 = 2 5 CG CB = = 4 10 = 2 5 Les points C, F et A sont alignés dans cet ordre ainsi que les points C, G et B et CF CA = CG CB ; donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (FG) sont parallèles. 5) Les droites (AB) et (FG) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CFG et CAB : CF CA = CG CB = FG AB FG 7,5 = 2 5 FG = 7,5 2 5 = 3 cm 6) Les droites (AB) et (FG) sont parallèles et les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires. Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc les droites (FG) et (BC) sont perpendiculaires. Exercice 2 En Travaux Pratiques de Chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci-dessous à droite. Le récipient est rempli d eau jusqu au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche. On note : C 1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB. C 2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon O B. On donne SO = 12 cm et OB = 4 cm. 1) Le volume d un cône de révolution de rayon R et de hauteur h est donné par la formule : Calculer la valeur exacte du volume du cône C 1. V = 1 3 π R² h 2) Le cône C 2 est une réduction du cône C 1. On donne SO = 3 cm. a) Quel est le coefficient de cette réduction? b) Prouver que la valeur exacte du volume du cône C 2 est égale à π cm 3. Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 9
3) a) En déduire que la valeur exacte du volume d eau contenue dans le récipient, en cm 3, est 63π. b) Donner la valeur approchée de ce volume d eau arrondie au cm 3 près. 4) Ce volume d eau est-il supérieur à 0,2 litres? Expliquer pourquoi. 1) V C1 = 1 π OB² SO = 64π cm3 3 2) a) Le coefficient de réduction est égal à SO SO = 3 12 = 1 4 b) V C2 = 1 3 V C1 4 = 1 64 Donc V C2 = π cm 3 3) a) V eau = V C1 V C2 = 64π - π = 63π cm 3 b) V eau 198 cm 3 4) V eau 0,198 L < 0,2 L (car 1 L = 1 dm 3 = 1 000 cm 3 ) PROBLEME /12 Partie 1 Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : 1,20 par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : 0,50 par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35. 1) Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an. 2) a) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre A. b) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre B. 3) Soit f et g les fonctions définies par f : x 1,2x et g : x 0,5x + 35 a) L affirmation ci-dessous est-elle correcte? Expliquer pourquoi. «f et g sont toutes les deux des fonctions linéaires.» b) Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques de f et g. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 en ordonnée. 4) Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. 5) Déterminer l offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l année. 6) Si on dépense 80, combien de morceaux peut-on télécharger avec l offre B? Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 10
1) Offre A : 1,2 30 = 36 Offre B : 0,5 30 + 35 = 50 2) a) Offre A : 1,2x Offre B : 0,5x + 35 3) a) f est une fonction linéaire et affine. g est une fonction affine mais n est pas une fonction linéaire. L affirmation est donc fausse. b) 4) On détermine graphiquement l abscisse du point d intersection des deux droites : 50. Résolution algébrique : on résout l équation f(x) = g(x) 1,2x = 0,5x + 35 1,2x 0,5x = 35 0,7x = 35 x = 35 0,7 = 50 Les prix sont les mêmes pour 50 morceaux achetés. 5) Si l on achète 60 morceaux l offre B est la plus avantageuse. (On paie 72 avec l offre A et 65 avec l offre B) 6) On résout l équation : g(x) = 80 g(x) = 80 0,5x + 35 = 80 Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 11
> 0,5x = 80 35 0,5x = 45 x = 45 2 = 90 On peut donc acheter 90 morceaux avec l offre B. Partie 2 On admet qu un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. (1 Mo = 1 méga-octet) 1) Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d une capacité de 256 Mo? La vitesse de téléchargement d un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s (méga-octet par seconde) 2) Combien de morceaux peut-on télécharger en deux minutes? 1) 256 3 85 On peut donc télécharger environ 85 morceaux sur cette clé USB. 2) 2 minutes = 120 sec 120 10 = 1200 Mo 1200 3 = 400 On peut donc télécharger 400 morceaux de 3 Mo en 2 minutes. Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 12