Chapitre 3 : Le théorème de Pythagore Pythagore est un mathématicien grec (-500 avant JC). On lui attribue le théorème de Pythagore (à écrire sans faute d orthographe!) utilisé dans un triangle rectangle pour calculer un côté quand on connaît les deux autres. La réciproque (dans l autre sens), est utilisée pour vérifier qu un triangle est rectangle quand on connaît ses trois côtés. La calculatrice collège est indispensable. 1) Les touches lx² et de la calculatrice : 5²= 5 x 5 = 25 5² se lit «5 au carré» ou bien «5 puissance 2». C est l aire d un carré de côté 5. Attention, 5² n est pas égal à 5 x 2! A la calculatrice on tape 5 lx² lexe ou bien 5 lx l5 lexe 25 s affiche. x²se lit «x deux» ou «x au carré» ou bien «x puissance 2» Pour retrouver 5 à partir de 25, on utilise la touche de la calculatrice en tapant sur SECONDE lx². C est la touche «racine carrée» x² 5 25
25 = 5 On tape SECONDE lx² 25 lexe 5 s affiche. On lit «racine de 25» ou bien «racine carrée de 25 égale 5». De même, 4 = 2 9 = 3 16 = 4 36 = 6 Le nombre obtenu n est pas toujours exact. On écrit alors l arrondi du résultat donné par la calculatrice (en général avec un chiffre après la virgule pour un calcul de distance). Exemple : A = 6 la calculatrice affiche 2,449489 On écrit A 2,4 pour arrondir au dixième en utilisant le symbole «est environ égal à». Remarque : Attention, division par 2. 6 n est pas égal à 3! La racine carrée n est pas une
2) Le théorème de Pythagore : Ce théorème affirme que dans un triangle rectangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Exemple 1 : Dans le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4 cm et AC = 6 cm, calculer BC. B 4 cm A A 6cm C On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée au millimètre près. Le triangle ABC est rectangle en A donc d après le théorème de Pythagore : BC² = BA² + AC² 4cm BC² = 4² + 6² BC² = 16 + 36 A 6cm C BC² = 52 BC = 52 cm BC 7,2 cm Remarques : Cette rédaction est à connaître PAR CŒUR! Il faut TOUJOURS commencer par écrire la phrase : Le triangle ABC est rectangle en A donc d après le théorème de Pythagore Il ne faut pas oublier de rajouter l unité au résultat (souvent le centimètre) ou bien faire une phrase réponse. Si le résultat ne tombe pas juste, on écrit d abord le signe = et la valeur exacte avec la racine, puis on arrondit en utilisant le signe. Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, en face de l angle droit s appelle l hypoténuse. Attention, on n écrit surtout pas BC = BA + AC! (Cette égalité serait vraie si le point A appartenait au segment [BC] avec un triangle aplati). Pour construire le triangle ABC, on construit les deux côtés perpendiculaires [AB] et [AC] et on les relie.
Exemple 2 : Dans le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et BC = 5 cm, calculer AC. C 5 cm A 3 cm B Le triangle ABC est rectangle en A donc d après le théorème de Pythagore : AC² + AB² = BC² AC² + 3² = 5² AC² + 9 = 25 AC² + 9-9 = 25-9 AC² = 16 AC = 16 AC = 4 cm Remarques : L égalité de Pythagore doit s écrire avec une addition et pas une soustraction. Quand on cherche le plus long côté comme dans l exemple 1, on a une addition, quand on cherche un petit côté comme dans l exemple 2, on a une soustraction. Pour construire ce triangle, on construit le segment [AB] de 3cm. On trace la perpendiculaire en A au segment [AB]. Puis on trace l arc de cercle de centre B et de rayon 5cm qui coupe la perpendiculaire en C. On termine en traçant le segment [BC]. On peut écrire moins d intermédiaires pour les calculs.
3) Preuve géométrique : Rappel : l aire d un carré est égale au côté multiplié par lui-même. Aire (carré) = côté x côté = c x c L aire du carré de côté BC est égale à BC². AB A C B Les huit triangles rouges ont les mêmes dimensions donc la même aire. Le carré de gauche a la même aire que le carré de droite donc l aire du carré penché bleu à gauche est égale à la somme des aires des deux petits carrés bleus à droite. L aire du carré penché bleu à gauche est BC². L aire des deux petits carrés bleus est AB² + AC². On a bien BC² = BA²+ AC² qui est l égalité de Pythagore. AC
4) Pour montrer qu un triangle est rectangle : Si un triangle vérifie l égalité de Pythagore, alors il est rectangle. C est la réciproque du théorème de Pythagore. Elle est utilisée pour montrer qu un triangle est rectangle (ou que deux droites sont perpendiculaires) lorsqu on connaît ses trois côtés. Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 3cm, AC= 4cm et BC = 5 cm. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. A 3cm 4cm B 5cm C BC² = 5² = 25l AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25l Donc BC² = AB² + AC² L égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle ABC est rectangle en A. Remarques : On commence par repérer le côté le plus long des trois et on calcule son carré. On va à la ligne! On calcule ensuite la somme des deux autres carrés. SI ON TROUVE LE MEME RESULTAT, on va à la ligne pour écrire l égalité. Attention à ne pas mélanger le théorème et la réciproque du théorème! Le triangle est rectangle au point qui se trouve «en face» du côté le plus long. Rappel : pour construire un triangle dont on connait les trois côtés, on trace le côté le plus long et deux arcs de cercle qui se coupent au troisième sommet.
5) Pour montrer qu un triangle n est pas rectangle : Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 3cm, AC = 4cm et BC = 6 cm. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. A 3cm 4cm B 6cm C BC² = 6² = 36 AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 Donc BC² AB² + AC² On n a pas l égalité de Pythagore donc le triangle ABC n est pas rectangle en A. Remarque : Il y a donc quatre exercices différents sur Pythagore, avec quatre rédactions différentes A CONNAITRE PAR CŒUR et à ne pas confondre : calculer le plus long côté, calculer un petit côté, montrer qu un triangle est rectangle et montrer qu un triangle n est pas rectangle. Annexe : extrait du programme officiel 2016 : Théorème de Pythagore et réciproque. Le théorème de Pythagore est introduit dès la 4e, et est réinvesti tout au long du cycle dans des situations variées du plan et de l'espace.