I Notions de repère et de coordonnées I.1 Définir un repère du plan Chapitre Géométrie et coordonnées dans le plan Un repère du plan est formé par trois points distincts et non alignés du plan, classés dans un certain ordre. Par exemple, si O, I et J sont donc trois points non alignés du plan (donc distincts deux à deux) alors la notation O; I; J désigne un repère du plan. Le premier point du triplet est appelé origine du repère. Dans notre exemple, il s'agit du point O. La droite qui passe par le premier et le deuxième points est appelée axe des abscisses du repère. Dans l'exemple, il s'agit de la droite (OI). La droite qui passe par le premier et le troisième points est appelée axe des ordonnées du repère. Dans l'exemple, il s'agit de la droite (OJ). On gradue l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées de la façon suivante : * Le point O est l'origine des deux droites graduées. * On oriente l'axe des abscisses de O vers I et on choisit la distance OI comme distanceunité de cette droite graduée. * On oriente l'axe des ordonnées de O vers J et on choisit la distance OJ comme distance unité. Deux types particuliers de repère Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère O; I; J est orthogonal. Si le repère est orthogonal et les distantes OI et OJ sont égales, on dit que le repère est orthonormé. Dans ce cas, la distance OI OJ est l'unité pour toutes les mesures de longueur. I. Définir les coordonnées d'un point On utilise un repère du plan pour exprimer la position de tout point M du plan par rapport aux trois points O, I et J à l'aide d'un couple de réels (x ; y). Remarque : Un couple de réels (x ; y) est formé de deux réels x et y classés dans un certain ordre. On dit que : * Le premier réel x est l'abscisse du point M. * Le deuxième réel y est l'ordonnée du point M. * Le couple (x ; y) forme les coordonnées du point M. Comment détermineton les coordonnées d'un point? A partir du point M, on définit deux points M, et M de la façon suivante :. Géométrie et coordonnées 1 Cours nde, 01617
* M, est l'intersection de l'axe des abscisses (OI) avec la droite parallèle à (OJ) passant par M. Le réel x exprime la position du point M, sur l'axe des abscisses graduée (OI). * M est l'intersection de l'axe des ordonnées (OJ) avec la droite parallèle à (OI) passant par M. Le réel y exprime la position du point M sur l'axe des ordonnées graduée (OJ). Exemple : Dans la figure, le point M a pour coordonnées ( ; 0,5). La notation A 3,7 ; 4, signifie que : * l'abscisse du point A est 3,7. Ceci se note x 7 3,7 * l'ordonnée du point A est 4,. Ceci se note y 7 4, Propriété : Deux points ont les mêmes coordonnées si et seulement si ils sont confondus. Remarque : Les points A 3,7 ; 4, et B(4, ; 3,7) n'ont pas les mêmes coordonnées car x 7 x : et y 7 y :. Donc les points A et B sont distincts.. Géométrie et coordonnées Cours nde, 01617
II Coordonnées du milieu d'un segment Soit un repère du plan O; I; J. Les coordonnées des points sont données dans ce repère. II.1 Formule des coordonnées du milieu Théorème : Soient deux points A et B du plan de coordonnées respectives (x 7 ; y 7 ) et (x : ; y : ). Le milieu K du segment [AB] a les coordonnées suivantes : x >? @A? B et y > C @AC B. Démonstration : On admet ces deux formules. Remarque : L'abscisse du milieu K est la moyenne des abscisses des points A et B. De même, l'ordonnée de K est la moyenne des ordonnées. Exemple : On considère les points P 7 ; et Q 3 ; 5. On veut déterminer les coordonnées du milieu R du segment [PQ]. Puisque R est le milieu de [PQ], on a : * x F? GA? H * y F C GAC H IAJ 5 J Finalement, les coordonnées du point R sont 5 ; J. A(KL) II. Deux applications de la formule du milieu a) Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme. On considère quatre points : R 8 ; 4, S 4 ; 1, T(5 ; 3) et U 17 ; 6. On veut savoir si le quadrilatère RSTU est un parallélogramme. Pour cela on va utiliser une propriété vue au collège. Propriété : Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. Les diagonales du quadrilatère RSTU sont [RT] et [SU]. Appelons V et W les milieux de ces deux diagonales. Le quadrilatère RTSU est un parallélogramme si et. Géométrie et coordonnées 3 Cours nde, 01617
seulement si les points V et W sont confondus. On calcule donc les coordonnées de ces deux points. V est le milieu du segment [RT]. On a donc : x V x F x X y V y F y X V a pour coordonnées ;. W est le milieu du segment [SU]. On a donc : x Y x Z x [ y Y y Z y [ W a pour coordonnées ;. Les points V et W ont des coordonnées, donc ces deux points sont. Ainsi, le quadrilatère RSTU un parallélogramme. b) Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un point On se rappelle la définition de la symétrie centrale vue au collège. Définition : Soient A et B deux points du plan. Le point A est le symétrique du point A par rapport au point B si le point B est le milieu du segment [AA ]. On considère deux points K 5 ; 4 et L 3 ;. Le point N est le symétrique du point K par rapport au point L. On veut déterminer les coordonnées du point N. On sait le point est le milieu du segment. Donc, on a les deux égalités suivantes : x? A? et y C AC Dans ces deux égalités, on remplace par les coordonnées connues par leur valeur : A et A partir de ces deux égalités, on isole la valeur inconnue, puis on calcule : x _ y _ Finalement, les coordonnées du point N sont ;. A. Géométrie et coordonnées 4 Cours nde, 01617
III Distance entre deux points dans un repère orthonormé Cette fois, on suppose que le repère (O; I; J) est orthonormé. III.1 Formule de la distance Théorème : Soient deux points A et B de coordonnées x 7 ; y 7 et x : ; y : dans le repère (O; I; J). La distance AB peut se calculer par la formule suivante : AB x : x 7 (y : y 7 ) Démonstration : voir devoir maison n 1. Remarques : (1) On a x : x 7 x 7 x : et y : y 7 y 7 y :. On peut donc aussi écrire cette formule : AB x 7 x : (y 7 y : ) () Pour éviter d'écrire le symbole de la racine carrée, on peut aussi écrire : AB x : x 7 (y : y 7 ) Exemple :... III. Une application de la formule de la distance : étudier la nature d'un triangle Soient trois points dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormé. On veut connaître la nature du triangle formé par ces trois points. Exemple 1 : On considère les points suivants : K 5 ;, L ; et M 1 ; 5. On veut connaître la nature du triangle KLM. On calcule donc la longueur de chaque côté du triangle : * KL x a x > y a y > donc KL. * KM x b x > y b y > donc KM. * ML x a x b y a y b On a donc les relations suivantes : donc ML. KL KM ; KL LM et KM LM Donc, le triangle RST est en mais il n'est pas. Exemple : On considère les points R 13 ; 1, S 3 ; 5 et T 5 ; 3 On veut connaître la nature du triangle RST.. Géométrie et coordonnées 5 Cours nde, 01617
On calcule la longueur des côtés du triangle RST : * RS x Z x F y Z y F donc RS. * RT x X x F y X y F donc RT. * TS x Z x X y Z y X On a donc les relations suivantes : Le triangle RST donc TS. RS RT, RS TS et RT TS isocèle. D'autre part, rappelons le théorème de Pythagore et sa réciproque : Théorèmes : (1) Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotés. () Dans un triangle, si le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotés, alors ce triangle est rectangle et le premier côté est l'hypoténuse. Dans le triangle RST, le côté le plus long est. Or, on a : RT et RS TS Ainsi, on obtient l'égalité : RS TS RT D'après la réciproque de Pythagore, le triangle RST est en.. Géométrie et coordonnées 6 Cours nde, 01617