CHAPITRE G: Produit scalaire dans l'espace plan I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le A) Dénitions et propriété Définition 1: - Si u et v sont deux vecteurs non nuls tel que u = AC. On note H le projeté orthogonal de C sur (AB). Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le nombre réel, que l'on note u v déni par : ( u AB AH si v = AB AC = AB AH si - si u ou v est nul, on pose par : u v =. AB et AC ont le même sens. AB et AC sont de sens contraire. Propriété 1: Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si u v =. Propriété 2: Pour tous les vecteurs u et v non nuls, on a : u v = jj u jj jj v jj cos( u ; v ) Propriété 3: Expression analytique du produit scalaire Le planmuni d'un repère orthonormal (O; { ; ). Soit x u et v y x y dans (O; { ; ). Alors u v = xx + yy. Propriété 4: Soit u et v deux vecteurs : - u v = 1 jj u + v jj 2 2 jj u jj 2 jj v jj 2 = 1 2 jj u jj 2 + jj v jj 2 jj u v jj 2 - u 2 = jj u jj 2 = x 2 + y 2 et jj p u jj = x 2 + y 2 dans un repère orthonormal (O; { ; - Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si dans un repère orthonormal (O; { ; : xx + yy = avec x u et x v y y. Page 19
Propriété 5: Soit u, v et w des vecteurs et k un réel. Alors : - u v = v u - (k u ) v = u (k v ) = k( u v ) - u ( v + w ) = u v + u w B) Droites et cercles Définition 2: Soit n un vecteur non nul et A un point du plan. L'ensemble des points M du plan tels que AM n = est une droite D, passant par A, et dirigée par un vecteur u orthogonal à n. On dit que n est un vecteur normal à la droite D. Propriété 6: Caractérisation d'une droite Soit A un point et n un vecteur non nul. Si a n dans un repère orthonormal (O; { ; ), alors la droite D a pour équation cartésienne b de la forme ax + by + c =. Propriété 7: Caractérisation d'un cercle Le cercle C de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que MA MB =. Propriété 8: Soit (a; b) un point du plan dans un repère orthonormé (O; { ; ), R un réel strictement positif. Le cercle C de centre et de rayon R est l'ensemble des points M du plan tels que M = R, ou encore M 2 = R 2. Une équation cartésienne de C dans (O; { ; )est (x a) 2 + (y b) 2 = R 2. II - Produit scalaire dans l'espace A) Repère orthonormé de l'espace Définition 3: Soit O;I;J et K quatre points non coplanaires. Le quadruplet (O; I;J;K) est un repère : - Orthogonal lorsque les droites (OI), (OJ) et (OK) sont perpendiculaires deux à deux. - Orthonormé qu'il est orthogonal et OI = OJ = OK. Page 2
Théorème 1: Soit (O; I;J;K) un repère orthonormé de l'espace et u de coordonnées (a; b; c). Si A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) sont deux points de l'espace muni d'un repère orthonormé, alors : p AB = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 + (z A z B ) 2 B) Dénition du produit scalaire Définition 4: Soit u et v deux vecteurs de l'espace et A;B et C trois points tels que u = AC. Il existe toujours un plan P contenant A;B et C et le produit scalaire des vecteurs u et v est le produit scalaire des vecteurs AB et AC dans le plan P. Théorème 2: Toutes les propriétés du produits scalaire établies en géométrie plane s'appliquent à des vecteurs coplanaires de l'espace. Propriété 9: Soit u (x; y; z) et v (x ; y ; z ) deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé (O; I;J;K). On a : u v = xx + yy + zz Définition 5: Projection orthogonale sur un plan Soit P un plan et M un point de l'espace. La droite perpendiculaire à P passant par M coupe P en M appelé projeté orthogonale de M sur P. Propriété 1: Soit A et B deux points de l'espace : - L'ensemble des points M tels que MA MB = est la sphère de diamètre [AB] - Soit R un réel strictement positif et (a; b; c) un point dans un repère orthonormé de l'espace. Une équation cartésienne de la sphère de centre et de rayon R est : (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 Page 21
III - Orthogonalité dans l'espace A) Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux Propriété 11: Soit u et v deux vecteurs de l'espace. A;B et C sont trois points tels que u = AC. u : v = si et seulement si u = ou v = ou [BAC = 2. La notion d'angle orienté n'a pas de sens dans l'espace mais cos( u ; v ) = cos( ( u ; v )) = cos( BAC). [ Définition 6: On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque u : v =. Définition 7: Soit O un point et {, et k trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Le quadruplet (O; { ; ; k )est un repère de l'espace : - Orthogonal lorsque les vecteurs {, et k sont orthogonaux deux à deux. - Orthonormé lorsqu'il est orthogonal et que jj { jj = jj jj = k = 1. Définition 8: On dit qu'un vecteur non nul est normal à un plan lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur de ce même plan. Théorème 3: Un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Démonstration 1: ) évident ( Soit u et v non colinéaire d'un plan P et A 2 P : (A; u ; v ) constitue un repère de P. Pour tout vecteur de P : w = u + v : En notant n un vecteur orthogonal à u et v. Donc n? w n : w = n :( u + v ) = n u + n v = Page 22
B) Droites perpendiculaires à un plan Théorème 4: Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si tout vecteur de cette droite est normal au plan. Propriété 12: Soit A un point et n un vecteur non nul de l'espace. Il existe un unique plan P de vecteurs directeurs u et v ayant pour vecteur normal n. De plus, les vecteurs u, v et n sont coplanaires. Propriété 13: Soit A un point et n un vecteur non nul de l'espace. L'ensemble des points M de l'espace tels que AM: n = est le plan passant par A de veceut normal n. C) Plans perpendiculaires Propriété 14: Soit P et P deux plan de l'espace de vecteur normaux respectifs n et n : - P et P sont perpendiculaires si et seulement si n : n =. - P et P sont parallèle si et seulement si n et n sont colinéaires. D) Équations cartésiennes d'un plan Propriété 15: L'espace étant muni d'un repère orthonormé. Soit A un point et n un vecteur directeur non nul de l'espace : - Si n a pour coordonnées (a;b;c), alors le plan P passant par A et de vecteur normal n admet dans ce repère une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = - Une équation de la forme ax + by + cz + d = avec (a;c;d) 6= (;;) est une équation cartésienne d'un plan de vecteur normal n de coordonnées (a;b;c). Page 23