Options exotiques complexes

Options exotiques complexes Cette série d exercices porte sur les options exotiques (chapitre 14 ) avec éventuellement des taux d intérêt stochastiques (chapitres 16 et 17). Les exercices les plus difficiles sont indiqués par une *. 1. Produit exotique Le cours S(t) d'un titre S ne payant pas de dividende suit un mouvement brownien géométrique de paramètres µ et σ sous la probabilité historique. Une banque propose à ses clients un titre exotique payant en T (> 0) un flux unique égal à S 2 (T). a) Sachant que le taux sans risque est la constante r, calculez le prix en t (0 < t < T) de ce titre exotique en fonction de S(t). (Indice : passer en probabilité risque-neutre et calculer l'espérance et la variance de S(T)). b) Vérifiez que votre prix satisfait l'edp de Black-Scholes. c) Quel intérêt financier verriez-vous à ce produit, en tant que client de la banque? Quelles caractéristiques le différencient d'une option classique? d'un titre classique? Soyez complet. 2. Put combo et taux domestiques stochastiques (*) W désigne un mouvement brownien (uni-dimensionnel) sous la probabilité historique et W désigne un mouvement brownien sous la probabilité risque-neutre Q. Tous les browniens utilisés sont corrélés. Le prix d'une action japonaise ne versant pas de dividende, S f, obéit à : ds f (t) = µ f (t) S f (t) dt + σ f (t) S f (t) dw f (t) Le taux de change Euro-Yen (nombre d Euros par Yen), X(t), obéit à : dx(t) = µ x (t) X(t) dt + σ x (t) X(t) dw x (t) Le prix en t du zéro-coupon français B(t,T) versant 1 en T (> t) obéit à : db(t,t) = µ 1 (t,t) B(t,T) dt + σ 1 (t,t) B(t,T) dw 1 (t) Par ailleurs, r t désigne le taux spot sans risque en t prévalant en France et r f t désigne le taux spot sans risque prévalant en t au Japon. Le but de l'exercice est de trouver le prix en euros d'un put combo (on dit aussi cross ou compo) européen de strike K libellé en euros dont le payoff en T est donné par : P(T) = (K - X(T) Sf(T)) + On rappelle que, sous la probabilité risque-neutre Q, par Girsanov, dw f (t) = dw(t) - σ x (t) ρ xsf (t) dt

où ρ(t) est un coefficient de corrélation et W(t) est le brownien sous Q pour l'investisseur français. Enfin, on notera Vol 2 t,t (U) la variance moyenne (à définir) de la variable U entre t et T, et ρ uv (t) le coefficient de corrélation instantané entre les variables U et V. a) Exprimer les processus d'évolution des variables pertinentes sous Q. b) Exprimer le processus d'évolution du prix de S f libellé en euros sous Q. c) Faire les changements appropriés de numéraires pour aboutir à la forme classique pour le prix en t d'un put : P(t) = K.Z(.).Q Z (A) - Y(.) Q Y (A) où A est un évènement et Qi(A), (i = Z, Y), la probabilité de cet évènement sous la mesure Qi associée au numéraire i. d) Calculer la variance instantanée, notée σ 2 φ, du prix forward libellé en euros de l'action t japonaise. e) Déduire de c) et d) la valeur en t du put combo. f) En tant que vendeur de ce put combo, comment en effectueriez-vous la couverture dynamique? Soyez précis. 3. Pense-bête sur les Spots, Forwards et Futures Votre directeur de salle de marchés, récemment «parachuté» mais cependant désireux d apprendre, vous demande d établir un «pense-bête» concernant les formules théoriques d évaluation des instruments fermes, à savoir le support spot S (sans dividende), le forward G et le futures H, écrits sur ce support, d échéance T (l instant courant est t=0). Il vous demande de distinguer 2 cas : celui où le(s) taux d intérêt pertinent(s) est (sont) supposé(s) constant(s), et celui où les taux sont stochastiques (et obéissent par exemple au modèle de Heath, Jarrow et Morton). On notera B(t) = e rt la valeur du compte de capitalisation en t > 0 dans le premier cas, et B(0, t) celle d un zéro-coupon versant 1 en t, dans le deuxième. a) Dans le premier cas, exprimer la valeur (en t = 0) de S(0), G(0) et H(0) comme espérances de flux futurs (à déterminer) sous une certaine probabilité (à définir précisément, de même que le numéraire associé). b) En déduire l expression analytique de G(0) et H(0) en fonction de S(0), et la relation entre G(0) et H(0). c) Même question que a) dans le deuxième cas. d) Même question que b) dans le deuxième cas [Indication : pensez à utiliser le lemme d Itô appliqué à un quotient, en supposant que les fonctions de variance-covariance sont déterministes]. 4. Option «Best of» à barrière (*) L option considérée ci-après est européenne et de maturité T. L instant courant est t = 0. Les supports de l option sont deux actions S 1 et S 2 cotées au comptant ne versant pas de dividendes. Le taux sans risque instantané est la constante r. On suppose que le marché

financier est celui de Black-Scholes-Merton, et, en particulier, que, sous la probabilité risque-neutre, les cours des actions obéissent à des mouvements browniens géométriques de drift à préciser, de volatilités constantes σ 1 et σ 2 et de coefficient de corrélation ρ 12. On rappelle, pour un mouvement brownien arithmétique X(t) de drift µ et de paramètre de diffusion σ, la probabilité suivante : P(X T x ; y T y) = N((-x+µT)/σT 1/2 ) - exp(2µyσ -2 ) N((-x+2y+µT)/ σt 1/2 ) où y T = inf (X s, 0 < s T) avec x et y deux constantes telles que y < 0 et y x. Le produit exotique à évaluer est une «best of» à barrière dont les caractéristiques sont les suivantes : le vendeur de l option vous donne à l échéance T celle des 2 actions, S 1 (T) ou S 2 (T), qui a la valeur la plus grande, à condition que, entre t = 0 et t = T, le prix S 1 (t) soit devenu (au moins une fois) plus petit que (ou égal à) H.S 2 (t), où H est une constante strictement inférieure à 1. Si la condition n est pas remplie, le vendeur vous donne S 2 (T) en T. Actuellement, S 1 (0) = S 2 (0). a) Ecrivez le payoff terminal de ce produit exotique comme la somme de deux autres produits plus classiques. b) Effectuez le changement de numéraire approprié et, après avoir écrit soigneusement l indicatrice, écrivez la valeur de ce produit exotique comme l espérance, sous une certaine probabilité à préciser, du payoff modifié. c) Calculer alors la valeur de ce produit exotique en termes du numéraire, puis en euros. 5. Produit à capital garanti forward start On vous propose un produit d'épargne qui, au terme de T ans, garantit le capital que vous avez investi au départ et de plus est indexé sur la performance de l indice CAC40 entre les dates t (> 0) et T (> t) de telle sorte que, pour 1 euro investi aujourd hui (date t = 0), le profil de gain en T s'écrive: Max(1; (1+ c )) où t (par exemple 3 mois) est la date de départ de l observation du CAC40 et T (par exemple 5 ans) la date d échéance du produit, et où c (0 < c < 1) représente le coefficient d'intéressement. Cac(x) est la valeur du CAC40 à la date x. Vous supposez que Cac(t) suit un Brownien géométrique de drift (µ δ) et de volatilité σ sous la probabilité historique, où δ est le taux continu de dividende. Le taux d intérêt sans risque r est constant, comme le sont δ et σ, la gamme des taux est plate, et il existe autant de zéro-coupons d échéances différentes (versant sans risque 1 euro à l échéance) que vous voulez. Les options européennes sont censées être correctement évaluées par le modèle de BSM (Black-Scholes-Merton).

Calculez, en fonction des paramètres disponibles, le coefficient d'intéressement c maximum (théorique) que votre intermédiaire financier pourrait vous proposer, c'est-àdire tel que, dans les conditions (irréalistes) du modèle en temps continu de BSM, il ne retire aucun profit de cette proposition. [Indication : calculer au préalable le prix en t, puis en t = 0, d un call écrit sur le CAC40 d échéance T et «forward start», c est-à-dire de strike connu seulement en t, (0 < t < T), égal à Cac(t), en utilisant une propriété d homogénéité de la valeur des options européennes (en strike et en prix du support). On notera τ = (T - t). On supposera connue la formule de BSM]. 6. Put «forward start» quanto avec taux domestiques stochastiques (*) Dans cet exercice, W désigne un Brownien (unidimensionnel) sous la probabilité historique, W un Brownien sous la probabilité risque neutre et W T un Brownien sous la probabilité forward-neutre. Tous les browniens utilisés sont corrélés, et on utilisera la notation ρ x,y (t) pour le coefficient de corrélation, en t, entre les deux browniens W x et W y. En outre, on notera Vol 2 t,t (U) la variance moyenne (à définir) de la variable U entre t et T. Les fonctions de variance-covariance seront supposées déterministes. Le prix de l'action américaine ABC, qui ne verse pas de dividendes, évolue selon : ds f (t)/s f (t) = µ(t, S f (t)) dt + σ s (t) dw f (t) avec les notations habituelles, où f (foreign) désigne une valeur libellée en dollars. Le prix en t du zéro-coupon français B(t,T) versant 1 en T (> t) obéit à : db(t,t)/ B(t,T) = µ b (t,t) dt + σ b (t,t) dw b (t) Par ailleurs, r(t) désigne le taux spot sans risque prévalant en t en France, et r f (t) le taux spot sans risque en t prévalant aux USA. Ce dernier est supposé déterministe. A. Soit un put européen de date d'échéance T2 écrit sur l action ABC et de type "forward start", c'est-à-dire que son strike n'est pas connu à sa date de création (t = 0) mais sera fixé égal à la valeur S(T 1 ) de l'action ABC observée à la date T 1 (< T 2 ). Il sera donc à la monnaie en T 1 et vaudra en T 2, en dollars : Max (S f (T 1 ) - S f (T 2 ), 0) a) Dériver la formule (du type Black-Scholes) donnant le prix du put en t = T 1 tel que coté à New York, en utilisant la notation τ = T 2 - T 1. b) Calculer le prix du put en t = 0 tel que coté à New York. Pour ce faire, utiliser la propriété d'homogénéité (de degré 1 en prix du support et en prix d'exercice) de la valeur d'une option (put P ici), à savoir : P(S f (T1), S f (T1), τ) = S f (T1).P(1, 1, τ). c) Donner l'interprétation financière du résultat b).

d) Comment le vendeur du put (par exemple un market-maker américain) peut-il couvrir parfaitement sa position? Cette stratégie est-elle dynamique (révisée continuellement) ou simplement statique? B. Vous êtes en fait un market-maker d une banque française et vendez un put similaire à celui ci-dessus à votre clientèle française. Celle-ci ne voulant cependant pas encourir de risque de change, le produit est quanto de sorte que le payoff terminal pour elle sera : X*.Max (S f (T1) - S f (T2), 0) où X* est le taux de change /$ fixe accordé au client, correspondant en fait au cours forward actuel du /$ pour l échéance T 2. La dynamique du taux de change X(t) s écrit : dx(t)/x(t) = µ X (t)dt + σ X (t) dw X (t) a) Calculer les dynamiques de S f (t), X(t) et B(t,T) sous la probabilité risque-neutre domestique (française). Pour B(t,T), on pourra utiliser directement un résultat bien connu concernant le couple [Probabilité Q ; numéraire = compte de capitalisation]. b) Exprimer le processus d'évolution de S f (t) sous Q T, sous forme différentielle puis sous forme intégrale (donner S f (T) en fonction de S f (t)). Pour ce faire, utiliser (théorème de Girsanov) : dw T f (t) = dw f (t) - σ b (t,t) ρ fb (t) dt où W f (t) est le brownien sous Q (relatif à S f (t)) pour l'investisseur français. c) Ecrire la valeur du put en t (0 t<t1) en utilisant l espérance sous Q puis celle sous Q T (expliquer précisément). d) Résoudre alors la valeur du put «forward start quanto» en t sous cette deuxième forme en utilisant le résultat b) et en indiquant pourquoi on a le droit d appliquer Black- Scholes (il suffit de montrer que la formule de Black-Scholes s applique avec les bons paramètres (à déterminer, eux, rigoureusement), sans recalculer les 2 intégrales concernées, ce dernier calcul étant supposé trivial). e) Indiquer comment couvrir dynamiquement cette option vendue à votre client, les risques résiduels que vous subirez en fait, et ce que vous pouvez faire en pratique pour en tenir compte. 7. Options barrières a) Soient un call down-and-out de prix d'exercice 99 et de barrière 100, valant 9, et un call down-and-out de prix d'exercice 100 et de barrière 100 valant 8,60. Leur titre sous-jacent commun (coté au comptant) vaut actuellement nettement plus que 100 et leur maturité commune est de 3 mois. Le taux d'intérêt à 3 mois est de 4%. Calculer la valeur du call digital down-and-out versant 1 dans 3 mois si le support S n a pas franchi la barrière 100

d'ici à 3 mois, et 0 sinon. En déduire la valeur du put digital down-and-in versant 1 dans 3 mois si le support S a franchi la barrière 100 d'ici à 3 mois, et 0 sinon. b) Le taux d'intérêt dans l'économie française est de 5%. Le taux de change actuel pesoeuro est de 500 (pesos mexicains par euro). Soit un put down-and-in, écrit sur un support français de valeur courante S = 50 (euros) versant un dividende continu δ de 3%, de prix d'exercice 46, de durée 3 mois, et de barrière 41. Ce put vaut actuellement 7,13 euros. Soit une option barrière écrite sur le même support français et valorisée par les investisseurs mexicains 1,55 pesos. Décrire précisément toutes les caractéristiques (probables) de cette option. 8. Evaluation d un caplet et d un floorlet (*) Un caplet (élément d un cap) est une option (définie formellement plus bas) qui permet de gagner de l argent en cas de hausse des taux et constitue de ce fait un instrument essentiel de couverture ou de spéculation sur les marchés de taux. Symétriquement, un floorlet (élément d un floor) est une option (définie formellement plus bas) qui permet de gagner de l argent en cas de baisse des taux. L idée de l exercice est d utiliser votre capacité à calculer la valeur d une option standard écrite sur une obligation spot zéro-coupon, dans le cadre HJM à un facteur (cf partie A)), pour évaluer directement ce caplet et ce floorlet (cf partie B)). A) On rappelle que sous la probabilité risque-neutre Q, le prix B(t,T) en t (0 < t < T) d un zéro-coupon payant 1 en T est égal à : (1) B(t,T) = [B(0,T)/B(0,t)]exp[-0,5σ 2 tt(t-t) σ(t-t)w t ] où la constante σ est la volatilité des taux forward instantanés. On notera r(t) le processus stochastique suivi par le taux spot. Soit à évaluer, en t, (0 < t < t ), le put (puis le call) européen écrit sur B(t,T) de strike K et d échéance t (< T). a) Ecrire le payoff de ce put en t, puis son espérance en t ; b) Effectuer le changement de probabilité et de numéraire qui s impose en précisant vos définitions et vos calculs ; c) Utiliser le résultat (théorème de Girsanov) rappelé ici selon lequel, sous la probabilité «τ-forward neutre» (pour un τ quelconque > t), on a : (2) pour montrer qu on se ramène formellement à un problème de Black-Scholes (BS) ; d) En déduire la valeur explicite du put en t (on supposera connue la formule de BS, sans refaire les calculs); e) Utiliser la parité call-put pour calculer la valeur explicite du call en t de même strike et échéance. B) Le caplet (écrit sur un notionnel de 1 ) relatif à la période encadrée par les instants t j et t j+1 devrait présenter le payoff suivant en t j+1 :

[τ Max(0, r j k)] où r j est le taux monétaire (proportionnel, et non actuariel) discret prévalant en t j pour des prêts/emprunts de durée τ (τ = t j+1 t j ) et k est le strike (exprimé également en taux discret proportionnel) du cap. En réalité, selon la convention de place en vigueur en Euroland, le payoff éventuel n est pas payé en t j+1 mais en t j, dès que r j est connu («fixing») ; il est donc en fait égal à : (3) [τ Max(0, r j k)]/[1+ τ r j ] a) En vous rappelant la relation existant entre le prix d un zéro-coupon payant 1 à l échéance et le taux proportionnel discret y afférent, ré-exprimer le payoff (3) de façon à faire apparaître non plus une option sur taux mais une option sur prix (de zéro-coupons) ; b) Donner alors la valeur du caplet en utilisant (à bon escient) la valeur trouvée en d) du A). c) Donner enfin, en utilisant la même astuce qu en a), la valeur du floorlet de payoff : [τ Max(0, k - r j )]/[1+ τ r j ] en t j, en vous inspirant de la valeur trouvée en e) du A). 9. Options Barrières et Digitales (*) Les options considérées ci-après sont toutes européennes et de maturité T. L instant courant est t = 0. Le support des options est une action S cotée au comptant versant un dividende continu de taux constant d. Le taux sans risque instantané est la constante r. On suppose que le marché financier est celui de Black-Scholes-Merton, et, en particulier, que, sous la probabilité risque-neutre Q, le cours de l action S(t) obéit à un mouvement Brownien géométrique de drift à préciser et de volatilité constante σ. On rappelle, pour un mouvement brownien arithmétique X(t) de drift µ et de paramètre de diffusion σ, la probabilité suivante : P(X T x ; y T y) = N((-x+µT)/σT 1/2 ) - exp(2µyσ -2 ) N((-x+2y+µT)/ σt 1/2 ) où y T = inf (X s, 0 < s T) avec x et y deux constantes telles que y < 0 et y x. a) Ecrivez le payoff terminal du Call Down-and-Out (CDO) de strike K et de barrière L, où L > K, en utilisant la fonction indicatrice. b) Ecrivez la valeur du call comme l espérance, sous une certaine probabilité, de ce payoff actualisé. c) Après avoir réécrit l indicatrice de manière appropriée, calculez le terme faisant apparaître K. d) Pour calculer le terme en S, valeur de S(t) en t = 0 pour simplifier, effectuez un changement de probabilité à définir. Notez Q* cette nouvelle mesure. Préciser à quel numéraire Q* est associée. Appliquez le théorème de Girsanov. Calculez alors le terme faisant apparaître S et donnez la valeur totale du CDO.

e) Déduisez-en la formule du Call Down-and-In (CDI) de mêmes caractéristiques. f) Déduisez-en également la formule du Put Up-and-Out (PUO) de strike K*= 1/K, de barrière L* = 1/L, écrit sur un support spot versant un dividende continu r, le taux d intérêt spot continu étant d. g) Le CDO évalué en d) peut en réalité faire l objet d un «lot de consolation» R («rebate») payable en T si le call a été désactivé entre 0 et T. Calculez le prix supplémentaire à payer (en t = 0) pour obtenir le droit à ce R conditionnel. (Indication : prendre un cas particulier de la probabilité P(X T x ; y T y) rappelée au début de l exercice, puis en prendre le complémentaire). h) Une option digitale est une option dont le pay-off est 1 si tel événement se produit ou rien sinon. Soit un Put Digital Down-and-In (PDDI) tel que le pay-off terminal en T est : 1 si Min (S(t)) L, où le Min de S(t) est pris entre 0 et T, 0 sinon ; Evaluez cette option en deux étapes. D abord, donnez la relation exacte entre ce PDDI et le Call Digital Down-and-Out (CDDO) défini par le pay-off terminal en T suivant : 0 si Min (S(t)) L, où le Min de S(t) est pris entre 0 et T, 1 sinon. i) Ensuite, montrez que le CDDO ci-dessus peut être parfaitement dupliqué par un portefeuille «long» d un Call Down-and-Out (CDO) de strike (L-1) et de barrière L et «court» d un Call Down-and-Out (CDO) de strike L et de barrière L La démonstration peut être algébrique ou géométrique, mais doit être précise. j) Enfin, utilisez le résultat obtenu en d) pour évaluer le PDDI.