Septembre 011 Éléments de correction du TD Stéphane Blin Introduction Je donne ici les éléments de correction de la question - de la marche de potentiel, ainsi que les éléments de corrections pour les exercices sur la barrière de potentiel et le puit de potentiel. Je vous recommande vivement de faire ces exercices, et je suis à votre disponibilité si vous avez des questions. Pour plus de détails sur ces exercices, je vous conseille l excellente lecture du livre de C. Cohen- Tannoudji, B. Diu, et F. Laloë, Mécanique quantique I, édition revue et corrigée de 1977, pp. 70 79. Marche de potentiel Question - Pour une particule incidente d énergie E > V 0, l équation régissant ϕ(x) s écrit sous la forme (cf. résultats de la question 1- traitée en TD) : Si x<0 : dϕ (x) dx = k 3 ϕ(x) avec k 3 = m E (1a) Si x>0 : dϕ (x) dx = k 4 ϕ(x) avec k 4 = m (E V 0) Du fait du signe moins dans ces deux équations, les solutions sont de type oscillantes et peuvent s exprimer sous la forme générale de deux ondes (progressive et régressive) : (1b) Si x<0 : ϕ(x) = A 3 exp(i k 3 x) + B 3 exp( i k 3 x) (a) Si x>0 : ϕ(x) = A 4 exp(i k 4 x) + B 4 exp( i k 4 x) (b) où A et B sont des constantes à déterminer. La particule arrivant de x = et le potentiel étant constant pour x > 0, l existence d une onde régressive provenant de x = + n a pas de sens physique, nous posons donc B 4 = 0. Les autres constantes peuvent être reliées en étudiant les conditions aux limites, i.e., en x = 0. L amplitude de probabilité spatiale ϕ(x) et sa dérivée doivent être continues en x = 0, d où le système : Continuité de ϕ : A 3 + B 3 = A 4 (3a)
GMEE108 - Corrections TD Continuité de dϕ dx : k 3 (A 3 B 3 ) = k 4 A 4 (3b) En multipliant la première équation par k 3, puis en sommant ces deux équations d une part, et en effectuant la différence d autre part, nous pouvons relier les coefficients A 3 et B 3 (avant la marche) au coefficient A 4 (après la marche) et obtenons : k 3 A 3 = k 3 A 4 + k 4 A 4 (4a) k 3 B 3 = k 3 A 4 k 4 A 4 (4b) La densité de probabilité présence peut s exprimer relativement, par exemple, en fonction de A 4 : [ ] [ ϕ(x < 0) (k3 + k = 4 ) A 4 k3 (k 1 + 3 k 4 ) ] 4 k3 (k k 3 (k 3 + k 4 ) + 3 k 4 ) (k 3 + k 4 ) cos { k 3 x} (5a) ϕ(x > 0) = A 4 La densité de probabilité de présence est tracée sur la Fig. 1. Nous observons sur cette figure : la présence d une onde stationnaire pour x < 0, onde résultante d une onde progressive (faisceau de particule incident) et d une onde régressive (réflexion du faisceau sur la marche) malgré le fait que la particule arrive avec une énergie supérieure au potentiel de la marche, la présence d une simple onde progressive (onde transmise) pour x > 0. (5b) Potentiel V = 0 V = V 0 Fig. 1 Probabilité de présence d une particule incidente avec une énergie E > V 0. Afin de calculer le coefficient de réflexion en intensité R sur la marche de potentiel, nous calculons le carré du module du rapport entre les probabilités des ondes réfléchies et incidentes, soit : R = B 3 A 3 k3 k = 4 = k 3 + k 4 ( ) 1 1 V0 /E 1 + (6) 1 V 0 /E On note que pour V 0 E le coefficient de réflexion tend vers 0, car la particule ne voit pas la marche de potentielle. Par contre, lorsque E V 0, le coefficient de réflexion tend vers 1, c est la réflexion totale vue en TD pour le cas E < V 0.
GMEE108 - Corrections TD 3 Résumé Si la particule arrive avec une énergie inférieure à la marche de potentiel, elle est totalement réfléchie. Ainsi, une onde stationnaire s établit entre les ondes incidentes et réfléchies du côté x < 0. Contrairement à la mécanique Newtonienne, nous avons observé une pénétration des particules dans la marche sous forme d onde évanescente (onde non propagative), la longueur caractéristique de pénétration étant appelée épaisseur de peau. Du fait de cette pénétration, nous observons un déphasage entre les ondes incidentes et transmises, c est l effet Goose-Hänchen en optique. Si la particule arrive avec une énergie supérieure à la marche de potentiel, elle est partiellement réfléchie (sans déphasage cette fois-ci). Les ondes incidentes et réfléchies forment une onde stationnaire de visibilité moindre que dans le cas précédent, car les amplitudes des ondes contrapropagatives ne sont pas nécessairement égales. Une onde transmise se propage après la barrière. Ces résultats ne peuvent donc pas s expliquer en mécanique Newtonienne car toutes les particules devraient passer la barrière à partir du moment où elles ont l énergie suffisante. Barrière de potentiel Question 1- De manière similaire à l exercice précédent, nous pouvons exprimer les solutions de l amplitude de probabilité spatiale ϕ(x). Dans le cas où E > V 0, toutes les solutions sont propagatives : Si x<0 : ϕ(x) = A 1 exp(i k 1 x) + B 1 exp( i k 1 x) avec k 1 = m E Si 0<x<a : ϕ(x) = A exp(i k x) + B exp( i k x) avec k = m E V 0 Si x>a : ϕ(x) = A 3 exp(i k 1 x) + B 3 exp( i k 1 x) (7c) Dans le cas où E < V 0, les solutions sont propagatives en dehors de la barrière, et non propagative dans la barrière : Si x<0 : ϕ(x) = A 1 exp(i k 1 x) + B 1 exp( i k 1 x) (8a) (7a) (7b) Si 0<x<a : ϕ(x) = A exp(k x) + B exp( k x) (8b) Si x>a : ϕ(x) = A 3 exp(i k 1 x) + B 3 exp( i k 1 x) (8c) Que ce soit pour E > V 0 ou E < V 0, nous savons de part des considérations physiques que le coefficient B 3 est nul, car aucune onde ne peut provenir de x = +. Question a- Pour une particule incidente avec une énergie E > V 0, nous appliquons les conditions aux limites. Une démarche similaire à celle effectuée pour la marche de potentiel nous permet de déterminer : les coefficients A 1 et B 1 en fonction de A et B en appliquant les conditions en x = 0, les coefficients A et B en fonction de A 3 en appliquant les conditions en x = a. Nous obtenons ainsi : A 1 = (1/) (A (1 + k /k 1 ) + B (1 k /k 1 ) B 1 = (1/) (A (1 k /k 1 ) + B (1 + k /k 1 ) A = (A 3 /) (1 + k 3 /k ) exp[i (k 3 k ) a] B = (A 3 /) (1 k 3 /k ) exp[i (k 3 + k ) a] (9a) (9b) (9c) (9d)
4 GMEE108 - Corrections TD Question b- Le coefficient de transmission T à travers la barrière de potentiel est le carré du module du rapport des amplitudes des ondes transmise et incidentes, soit T = A 3 /A 1. Au préalable, il est donc nécessaire d exprimer A 1 en fonction de A 3. Du dernier système d équations, A 1 est exprimé en fonction de A et B, et ces derniers sont exprimés en fonction de A 3, il est donc facile d exprimer A 1 en fonction de A 3, nous obtenons après un calcul un peu fastidieux mais simple : A 1 = A 3 [ cos(k a) i (k 1 + k ) ] sin(k a) k 1 k Nous déduisons ainsi le coefficient de transmission : exp(i k 1 a) (10) T = 4 k 1 k 4 k 1 k + (k 1 k ) sin (k a) (11) Nous pouvons exprimer ce coefficient en fonction de l énergie de la particule et trouvons : T = 4 E (E V 0 ) 4 E ( V 0 ) + V 0 sin ( m (E V 0 ) a/ h) (1) Cette fonction est connue sous le nom de fonction d Airy et est caractéristique d une résonance dans une cavité, nous la représentons en fonction de la largeur de la barrière de potentiel sur Fig.. En optique, c est typiquement les résonances observées dans une cavité Fabry-Perot. Coefficient de transmission 1 0,5 0 π π 3 π Largeur du puit normalisée k a Fig. Probabilité de transmission à travers la barrière de potentiel d une particule incidente avec une énergie E > V 0. Même pour une particule incidente d énergie E > V 0, nous avons vu qu il existait des ondes progressives et régressives au niveau de la barrière de potentiel. Une partie de l onde incidente est en effet transmise à la rupture de potentiel située en x = 0, l onde transmise étant ensuite partiellement réfléchie à la rupture de potentiel située en x = a. Une onde stationnaire peut ainsi s établir entre x = 0 et x = a. Si la longueur de cavité (a) est un multiple entier d une demi-longueur d onde de la cavité, il y a résonance et l onde est transmise à travers la cavité. Cet effet de résonance est évidemment d autant plus faible que l énergie de la particule est importante. Question 3a- D après les résultats obtenus à la question 1, nous observons que le cas de la particule arrivant avec une énergie E < V 0 peut être déduit du cas de la particule arrivant avec une énergie E > V 0 en
GMEE108 - Corrections TD 5 remplaçant k par i k. Ainsi, nous pouvons montrer que la transmission d une particule incidente arrivant avec une énergie E < V 0 est : 4 E (V T = 0 E) 4 E (V 0 E) + V0 sinh ( m (V 0 E) a/ h) Nous remarquons d ores et déjà que contrairement à la mécanique Newtonienne, une particule arrivant avec une énergie E < V 0 sur la barrière a une probabilité non nulle de traverser cette barrière de potentiel, cet effet est appelé effet tunnel. Comme nous l avions vu pour la marche de potentielle, l onde incidente est réfléchie à la rupture de potentiel en x = 0, une onde évanescente (non propagative) existe dans la barrière de potentiel avec une probabilité de présence qui décroît de manière exponentielle si on s éloigne de x = 0. Ce que nous observons ici, c est que cette onde évanescente (non propagative) est recouplée à la sortie de la barrière de potentiel en une onde progressive propagative. En optique, nous parlons de couplage par onde évanescente. (13) Question 3b- Dans le cas où 1 k a, le développement limité du sinus hyperbolique au premier ordre permet de simplifier l expression de la transmission en : T = 16 E (V [ ] 0 E) V0 exp m (V 0 E) a/ h (14) Nous voyons clairement ici que la particule a d autant plus de chance de passer que la barrière est de faible largeur, ou que l énergie de la particule est grande (cette expression étant établie pour E < V 0 ). Question 3c- Si nous effectuons l application numérique pour un électron incident avec une énergie de 1 ev sur une barrière de potentiel de ev et de largeur 1 Å, nous trouvons T = 0, 78. L électron a donc 8 chances sur 10 de traverser la barrière. Pour un proton, de masse 1836 fois plus grande que l électron, nous trouvons cette fois une transmission de 10 19! Nous comprenons ici que la mécanique quantique ne peut s appliquer qu aux particules petites, de faibles masses, et à des échelles de l ordre des dimensions atomiques. Puit de potentiel Question 1- De manière similaire à l exercice précédent, nous pouvons exprimer les solutions de l amplitude de probabilité spatiale ϕ(x) dans le cas où V 0 < E < 0 : Si x < a/ : ϕ(x) = A 1 exp(k 1 x) + B 1 exp( k 1 x) avec k 1 = m E (15a) Si a/ < x < a/ : ϕ(x) = A exp(i k x) + B exp( i k x) avec k = m E V 0 (15b) Si x > a/ : ϕ(x) = A 3 exp(k 1 x) + B 3 exp(k 1 x) (15c) Lorsque V 0 < E < 0, nous savons maintenant qu il ne peut exister d ondes propagatives que dans le puit de potentiel. Nous savons de part des considérations physiques que les coefficients B 1 et A 3 sont nuls, afin d éviter toute divergence énergétique en x et x, respectivement.
6 GMEE108 - Corrections TD Question - En appliquant les conditions aux limites en x = a/, nous pouvons exprimer A et B en fonction de A 1 : k i k A = A 1 1 exp [i a k /] exp [ a k k 1 /] (16a) k + i k B = A 1 1 exp [ i a k /] exp [ a k k 1 /] (16b) En appliquant les conditions aux limites en x = a/, nous exprimons A et B en fonction de B 3 : k + i k A = B 1 3 exp [ i a k /] exp [ a k k 1 /] (17a) k i k B = B 1 3 exp [i a k /] exp [ a k k 1 /] (17b) Ainsi, nous pouvons exprimer B 3 en fonction de A 1 à la fois en utilisant les équations (16a) et (17a), et en utilisant les équations (16b) et (17b). Nous obtenons ainsi : B 3 = A 1 k i k 1 k + i k 1 exp [i a k ] (18a) B 3 = A 1 k + i k 1 k i k 1 exp [ i a k ] Ainsi, ces deux expressions ne peuvent être vérifiées que si : k i k 1 = exp( i k a) (18b) k + i k 1 Il est important de se rappeler que les coefficients k sont fonctions de l énergie E. Ainsi, cette équation est une équation en énergie. Nous retrouvons la quantification de l énergie vue en cours pour le puit de potentiel infini. Question 3- Nous devons donc résoudre : Premier cas k i k 1 k + i k 1 = ± exp( i k a) (18b) Nous souhaitons résoudre l équation (k i k 1 )/(k + i k 1 ) = exp( i k a) dans un premier temps. Notons que le terme de gauche a un module de 1 et peut donc s exprimer sous la forme exp(i θ) avec θ = (k /k 1 ), nous pouvons donc écrire : k 1 k a = tan (18b) k En utilisant l identité trigonométrique 1/ cos (x) = 1 + tan (x), nous pouvons écrire la dernière relation sous la forme : cos (k a/) = k k k 1 + = (18b) k k 0
GMEE108 - Corrections TD 7 Notons que la constante k 0 est propre au puit de potentiel. Enfin, nous pouvons exprimer cette relation sous la forme : cos(k a/) = k (18c) k 0 tan(k a/) > 0 Sous cette forme, nous pouvons résoudre graphiquement l équation tel que représenté Fig. 3, en traçant les fonctions cos(k a/) et k /k 0 en fonction de k, donc de l énergie de la particule. (18c) 1 0,5 cos(k a/) k /k 0 0 π π 3 π k a / Fig. 3 Résolution graphique de l équation donnant les niveaux d énergie dans un puit de potentiel pour les fonctions d ondes paires. Les solutions sont représentées par les disques noirs. Deuxième cas Dans le deuxième cas, une démarche similaire permet de montrer que : sin(k a/) = k k 0 tan(k a/) < 0 (18d) (18d) Question 4- En remplaçant l expression (k i k 1 )/(k + i k 1 ) = ± exp( i k a) dans les relations reliant les constantes, nous pouvons montrer que : dans le cas où (k i k 1 )/(k + i k 1 ) = exp( i k a) donne A 1 = B 3 et A = B, et par conséquence ϕ(x) = ϕ( x) : les fonctions d onde sont des fonctions paires, dans le cas où (k i k 1 )/(k + i k 1 ) = exp( i k a) nous pouvons de même montrer que les fonctions d ondes sont des fonctions impaires.