Université Bordeaux 1 MIS 103 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

Université Bordeaux 1 MIS 103 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Année 2006 2007

Table des matières 1 Les grands principes de l optique géométrique 1 1 Principe de Fermat............................... 1 2 Rayons lumineux. Faisceaux lumineux.................... 2 3 Les lois de Snell-Descartes........................... 2 3.1 Indice de réfraction........................... 2 3.2 Lois de Snell-Descartes......................... 3 3.3 Discussion de la troisième loi de Snell-Descartes........... 4 3.3.a Cas où n 1 < n 2 : réfraction limite.............. 4 3.3.b Cas où n 1 > n 2 : réflexion totale.............. 4 4 Lame à faces parallèles............................. 5 2 Le prisme 9 1 Formules du prisme............................... 9 1.1 Définitions................................ 9 1.2 Déviation de la lumière par un prisme................ 10 1.2.a Marche d un rayon lumineux. Formules du prisme..... 10 1.2.b Conditions d émergence................... 11 2 Étude de la déviation.............................. 11 2.1 Variation de D en fonction de n.................... 11 2.2 Variation de D en fonction de i : minimum de déviation...... 12 3 Dispersion de la lumière............................ 13 3 Notions de stigmatisme-objets-images 15 1 Image d un point, notion de stigmatisme................... 15 2 Stigmatisme approché - Approximation de Gauss.............. 16 3 Objets ou images réels ou virtuels....................... 16 4 Miroirs plans et sphériques 19 1 Miroirs plans.................................. 19 1.1 Image d un objet ponctuel....................... 19 1.2 Image d un objet étendu........................ 20 2 Miroirs sphériques................................ 21 2.1 Définitions................................ 21 2.2 Relations de conjugaison dans l approximation de Gauss...... 22 2.2.a Relation de conjugaison avec origine au sommet...... 22 2.2.b Relation de conjugaison avec origine au centre....... 23 2.3 Propriétés des miroirs sphériques................... 23 i

ii TABLE DES MATIÈRES 2.3.a Propriété du centre C du miroir............... 23 2.3.b Propriété du sommet S du miroir.............. 23 2.3.c Foyer et plan focal...................... 23 2.3.d Distance focale, vergence................... 24 2.4 Construction de l image d un objet.................. 25 2.5 Grandissement............................. 29 2.5.a Origine au sommet...................... 29 2.5.b Origine au centre....................... 29 5 Dioptre plan 31 1 Définition.................................... 31 2 Relation de conjugaison du dioptre plan................... 31 6 Lentilles minces 35 1 Lentilles minces sphériques........................... 35 1.1 Lentilles convergentes ; lentilles divergentes.............. 36 2 Propriétés des lentilles minces......................... 36 2.1 Propriété du centre optique...................... 36 2.2 Foyers objet et image - Distance focale................ 37 2.2.a Foyers objet et image.................... 37 2.2.b Distance focale........................ 37 2.3 Plans focaux objet et image...................... 38 2.3.a Définition........................... 38 2.3.b Propriété : Foyers secondaires................ 38 2.4 Vergence d une lentille......................... 39 3 Constructions géométriques.......................... 39 3.1 Construction de l image d un objet plan............... 39 3.2 Construction d un rayon transmis................... 41 4 Relations des lentilles minces.......................... 42 4.1 Relations de conjugaison........................ 42 4.1.a Relation de conjugaison de Newton............. 42 4.1.b Relation de conjugaison de Descartes............ 42 4.2 Grandissement............................. 43 4.2.a Grandissement avec origine aux foyers........... 43 4.2.b Grandissement avec origine au centre............ 43 5 Association de lentilles minces......................... 43 5.1 Foyers, distances focales et vergence.................. 44 5.1.a Foyer objet.......................... 44 5.1.b Foyer image.......................... 44 5.1.c Distances focales et vergence................ 45 5.1.d Construction géométrique de F et F............ 45 5.2 Cas particuliers............................. 45 5.2.a Lentilles accolées....................... 45 5.2.b Système afocal........................ 46

TABLE DES MATIÈRES iii 7 L Œil et la vision 47 1 L œil....................................... 47 1.1 Description............................... 47 1.2 L œil réduit............................... 48 1.3 Accommodation............................. 48 2 Equations de la vision............................. 49 3 Quelques défauts de l œil............................ 50 3.1 L œil normal ou emmétrope...................... 51 3.2 La myopie................................ 51 3.3 L hypermétropie............................ 53 3.4 La presbytie............................... 54 3.5 L astigmatisme............................. 55 3.6 Acuité visuelle et pouvoir séparateur................. 55 8 Instruments d optique 57 1 Microscopie classique............................. 57 1.1 La loupe................................. 58 1.1.a Principe............................ 58 1.1.b Puissance de la loupe..................... 58 1.1.c Grossissement......................... 59 1.2 Le microscope.............................. 59 1.2.a Principe............................ 59 1.2.b Puissance........................... 60 1.2.c Grossissement......................... 61 2 Microscopie moderne............................. 61 3 La lunette astronomique............................ 61 3.1 Principe................................. 61 3.2 Conditions d observations....................... 62 3.3 Grossissement.............................. 62 3.4 Lunettes terrestres*........................... 64

Chapitre 1 LES GRANDS PRINCIPES DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE On peut construire toute l optique géométrique à partir du principe de Fermat (1657). En effet, de ce dernier découle la notion de rayon lumineux ainsi que les lois de la réflexion et de la réfraction, dites lois de Snell-Descartes. Dans ce chapitre, nous nous contenterons d énoncer ce principe et de présenter (sans démonstration) ses conséquences. 1 Principe de Fermat Le chemin effectivement suivi par la lumière pour aller d un point à un autre est celui pour lequel le temps de parcours est minimum (en toute rigueur extrêmum). Ce principe a deux conséquences immédiates : Dans un milieu transparent et homogène (milieu dont l indice de réfraction n est uniforme, i.e. le même en tout point), la lumière se propage en ligne droite. C est le principe de propagation rectiligne de la lumière. Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de parcours. C est le principe du retour inverse de la lumière. Autrement dit, si un rayon lumineux SI pénètre dans un système optique quelconque pour en ressortir suivant I S (fig. 1.1), un rayon lumineux entrant dans le système suivant S I en ressortira suivant IS. S I Système optique I' S' Fig. 1.1 Retour inverse de la lumière.

2 Chapitre 1. Les grands principes de l optique géométrique 2 Rayons lumineux. Faisceaux lumineux On appelle rayon lumineux la trajectoire effectivement suivie par la lumière. Dans un milieu homogène, du fait de la propagation rectiligne de la lumière, les rayons lumineux sont des droites que l on représente avec une ou plusieurs flèches indiquant dans quel sens se fait la propagation. Un laser, par exemple, fournit un faisceau que l on peut assimiler pratiquement à un rayon lumineux. Un ensemble de rayons constitue un faisceaux lumineux. Remarque : lorsqu on fait passer la lumière au travers d orifices de très petite taille (comparable en fait à la longueur d onde de la lumière utilisée), on observe un phénomène nouveau appelé diffraction, qui représente un écart à la loi de propagation rectiligne de la lumière. Ce phénomène ne pouvant s expliquer qu en prenant en compte la caractère ondulatoire de la lumière, il sort donc du cadre de ce cours. 3 Les lois de Snell-Descartes 3.1 Indice de réfraction Dans le vide, la lumière se propage en ligne droite à la vitesse c qui est, par définition, la suivante : c = 299 792 458 m.s 1 3.10 8 m.s 1. Par contre l expérience montre que la vitesse de propagation de la lumière change d un milieu matériel à l autre, et qu elle est toujours inférieure à c. On définit alors l indice de réfraction n d un milieu comme étant égal au rapport de la vitesse de la lumière dans le vide, à la vitesse v de la lumière dans le milieu considéré : n = c v. L indice du vide est donc égal à l unité, tandis que l indice des substances transparentes dans le visible est supérieur à l unité. Retenons les valeurs des indices des milieux suivants : indice de l air : 1,0003 indice du verre : 3/2 indice de l eau : 4/3. Notons que l indice de l air étant pratiquement égal à 1, nous l assimilerons par la suite au vide. En fait, ces valeurs sont des valeurs moyennes car l indice d un milieu varie avec la longueur d onde λ de la lumière selon la formule approchée de Cauchy : n(λ) = A + B λ 2, où A et B sont des constantes caractéristiques du milieu considéré. Pour finir, un peu de vocabulaire : plus l indice absolu d un milieu transparent est élevé, plus ce milieu est dit réfringent. Par exemple le verre (n = 3/2) est plus réfringent que l eau (n = 4/3).

3 Les lois de Snell-Descartes 3 3.2 Lois de Snell-Descartes Ces lois, qui découlent du principe de Fermat, régissent le comportement d un rayon lumineux à la surface de séparation de deux milieux transparents différents (dioptre). Considérons un rayon lumineux (appelé rayon incident) arrivant en un point I (appelé point d incidence) situé sur la surface d un dioptre séparant deux milieux d indices n 1 et n 2. Ce rayon est alors scindé en deux parties d intensités différentes : Un rayon, dit rayon réfléchi, qui se propage dans le milieu d indice n 1, et un rayon se propageant dans le milieu d indice n 2, qualifié de réfracté. On repère par les angles i 1 (angle d incidence), i 1 (angle de réflexion) et i 2 (angle de réfraction) les inclinaisons des trois rayons relativement à la normale au dioptre en I (cf. figure 1.2). Le plan défini par la normale au dioptre et le rayon incident est appelé plan d incidence. N i 1 i 1 dioptre n 1 I n 2 i 2 Fig. 1.2 Lois de Snell-Descartes. Les lois de Snell-Descartes (au nombre de trois) sont les suivantes : 1. Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d incidence. 2. i 1 = i 1, 3. n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2. Remarques : Les angles considérés ici sont des angles orientés. Si ce n était pas le cas, la deuxième loi de Snell-Descartes s écrirait i 1 = i 1. n 1 et n 2 étant positifs, i 1 et i 2 ont même signe. Les rayons incident et réfracté sont donc toujours de part et d autre de la normale. Lorsque l angle d incidence est faible, l angle de réfraction l est aussi. Dans ces conditions sin i k i k (k = 1, 2 et i k en radian), et la deuxième loi de la réfraction prend la forme suivante (loi de Képler) : n 1 i 1 = n 2 i 2.

4 Chapitre 1. Les grands principes de l optique géométrique 3.3 Discussion de la troisième loi de Snell-Descartes 3.3.a Cas où n 1 < n 2 : réfraction limite S 2 S 1 i 1 n 1 n > n 2 1 I R 1 i 2 R 2 i lim Fig. 1.3 Réfraction limite. Le rayon lumineux passe du milieu 1 moins réfrigent au milieu 2 plus réfrigent (fig. 1.3). Nous avons alors n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 avec n 2 > n 1. Il en résulte que sin i 2 < sin i 1 ; les angles i 1 et i 2 étant compris entre 0 et π/2, sinus et angles varient dans le même sens, soit i 2 < i 1. Le rayon réfracté se rapproche donc de la normale. Un rayon incident normal (S 1 I), pour lequel i 1 = 0, entre sans déviation (IR 1 tq i 2 = 0). Lorsque i 1 croît, i 2 croît aussi tout en restant inférieur à i 1. A l incidence rasante (i 1 = π/2), l angle de réfraction est maximal (angle de réfraction limite noté i lim ) et vaut : Par exemple si la lumière va de l air dans le verre : i lim = 42. 3.3.b Cas où n 1 > n 2 : réflexion totale sin i lim = n 1 n 2. (1) Le rayon lumineux passe maintenant du milieu 1 plus réfrigent au milieu 2 moins réfrigent. La troisième loi de Snell-Descartes implique alors que i 1 < i 2.

4 Lame à faces parallèles 5 i r i 1 n 1 n < n 2 1 I i 2 Fig. 1.4 Réflexion totale. Le rayon réfracté s écarte donc de la normale et l angle de réfraction est maximal (i 2 = π/2) pour un angle d incidence limite i r tel que : sin i r = n 2 n 1. (2) Si l angle d incidence est supérieur à i r, il n y a plus de rayon réfracté (en effet, on a alors sin i 2 > 1, i 2 n est donc plus défini), le rayon incident est totalement réfléchi : on parle de réflexion totale. Le dioptre se comporte comme un miroir (fig. 1.4). 4 Lame à faces parallèles Soit une lame à faces parallèles (fig. 1.5), d épaisseur e et d indice n 2, placée entre deux milieux d indices respectifs n 1 et n 3. Un rayon incident SI frappe le premier dioptre plan sous l incidence i 1 ; il se réfracte avec un angle de réfraction i 2. Les deux faces de la lame étant parallèles, le rayon réfracté II tombe sur le second dioptre plan avec l incidence i 2 et émerge avec l angle i 3. L application des lois de la réfraction en I et I donne : Soit n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2, n 2 sin i 2 = n 3 sin i 3. n 1 sin i 1 = n 3 sin i 3. L angle d émergence i 3 est donc indépendant du milieu intermédiaire.

6 Chapitre 1. Les grands principes de l optique géométrique S i 1 I n 1 i 2 n 2 e i 2 I n 3 i 3 R Fig. 1.5 Marche d un rayon lumineux dans une lame à faces parallèles (n 3 < n 1 < n 2 ). Un cas particulier intéressant est celui où la lame est plongée dans deux milieux extrêmes identiques (exemples : vitre, lame couvre-objet de microscope). Comme n 1 = n 3, il vient que i 1 = i 3. Le rayon émergent est donc parallèle au rayon incident. Cependant, le rayon sortant I R est décalé de la quantité δ = IH par rapport à l incident SI. δ se calcule en considérant S i 1 I n 1 H i 2 n 2 e i 2 K I n 1 i 1 R Fig. 1.6 Marche d un rayon lumineux dans une lame à faces parallèles d indice n 2 plongée dans deux milieux extrêmes identiques (n 1 = n 3, n 1 < n 2 ).

4 Lame à faces parallèles 7 les triangles rectangles IKI et IHI où l on a (fig. 1.6) : II = IK cos i 2 = e cos i 2, et δ = II sin(i 1 i 2 ). Soit : δ = e sin(i 1 i 2 ) cos i 2. (3) Remarque : pour de petits angles, sin(i 1 i 2 ) i 1 i 2 et cos i 2 1, d où Or, comme n 1 i 1 = n 2 i 2, il vient que ( δ = e(i 1 i 2 ) = e i 1 1 i ) 2. i 1 ( δ = e i 1 1 n ) 1. (4) La démonstration des formules (3) et (4) est laissée en exercice aux étudiants n 2

Chapitre 2 LE PRISME Dans ce chapitre nous appliquons les lois de la réfraction à un système optique particulier : le prisme. 1 Formules du prisme 1.1 Définitions On appelle prisme, en optique, un milieu transparent limité par deux faces planes non parallèles. Ces deux faces, appelées faces utiles du prisme, forment un dièdre d angle A ; A est l angle du prisme ; l arête du dièdre est l arête du prisme. La base du prisme est la face opposée à l arête. Un plan de coupe perpendiculaire à l arête du prisme est appelé plan de section principale (fig. 2.1). Par la suite, nous limiterons notre étude aux rayons situés dans un plan de section principale. face d'entrée A arête face d'entrée A face de sortie base face de sortie Plan de section principale Fig. 2.1 Prisme et plan de section principale.

10 Chapitre 2. Le prisme i I r K A L r' A I' i' D Fig. 2.2 Cheminement d un rayon lumineux à travers un prisme. 1.2 Déviation de la lumière par un prisme 1.2.a Marche d un rayon lumineux. Formules du prisme La figure 2.2 représente le cheminement d un rayon lumineux monochromatique incident dans un plan de section principale pour un prisme plongé dans l air. D après la première loi de Snell-Descartes le rayon lumineux transmis par le prisme appartient aussi à ce plan. Si n est l indice du prisme, les lois de Snell-Descartes en I et I imposent les deux relations suivantes : D autre part, dans le triangle IKI, nous voyons que soit : sin i = n sin r, (1) sin i = n sin r. (2) π A + r + r = π, Tandis que dans le triangle ILI nous avons A = r + r. (3) π D + (i r) + (i r ) = π, où D est la déviation du prisme, définie comme étant l angle entre le rayon incident et le rayon transmis. Nous avons donc : D = i + i A. (4) Les relations (1),(2),(3) et (4) constituent les formules du prismes. Remarques : La déviation D est une fonction des trois variables i, n et A. Il n est pas nécessaire d orienter les angles i, i, r et r qu il suffit de poser positifs. D est positif. En effet, i > r et i > r. Donc i + i > r + r = A. La déviation se fait donc toujours vers la base du prisme pour un rayon incident situé côté base par rapport à la normale.

2 Étude de la déviation 11 1.2.b Conditions d émergence L indice n du verre composant le prisme étant supérieur à 1 dans le domaine visible, l angle de réfraction r est toujours défini. Le rayon pénètre dans le prisme quel que soit son angle d incidence. Pour qu un rayon émerge du prisme en I, il faut que (cf. chapitre 1) r i r, (5) où i r est l angle de réflexion totale défini par i r = arcsin (1/n). D autre part, nous savons que De la relation (3) on en déduit que : r i lim = arcsin(1/n) = i r. A 2i r. Donc, pour qu un rayon émerge du prisme, il faut que A 2i r. Dans le cas contraire, il y a réflexion totale sur la face de sortie du prisme. En outre, d après les relations (3) et (5), A i r r i r. (6) En prenant le sinus de cette inégalité et en multipliant par n, on en déduit qu il n y aura émergence que si i 0 i π/2, avec i 0 défini par sin i 0 = n sin(a i r ). Pour résumer, lorsque A 2i r, le rayon incident émerge du prisme si i 0 i π/2 avec i 0 = arcsin[n sin(a i r )]. En travaux pratiques, on utilise des prismes dont l angle vaut typiquement 60, ce qui correspond pour n = 1,5 à i 0 = 28. En pratique on doit donc éclairer le prisme de façon suffisamment oblique pour espérer voir la lumière ressortir par la face attendue. 2 Étude de la déviation 2.1 Variation de D en fonction de n A et i étant constants, la relation (1) montre que si n croît, r diminue. Or A = r + r, donc r et i, d après l équation (2), augmentent. La relation (4) montre alors que la déviation croît avec l indice du prisme.

12 Chapitre 2. Le prisme 70 60 D 0 D ( ) 50 40 D m i0 i i' 30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 i ( ) i m Fig. 2.3 Courbe de variation de la déviation avec l angle d incidence. A = 60, n = 1,5. 2.2 Variation de D en fonction de i : minimum de déviation Si l on trace l évolution de D en fonction de l angle d incidence i, on obtient la courbe représentée sur la figure 2.3. On constate que lorque i varie de i 0 à π/2, D décroît, passe par un minimum D m puis augmente. Ce minimum se produit quand i = i = i m = (D m +A)/2. Au minimum de déviation, nous avons donc i = i = i m et r = r = r m ; dans ces conditions, les formules du prisme deviennent sin i m = n sin r m, 2r m = A, D m = 2i m A. Le trajet de la lumière est alors symétrique par rapport au plan bissecteur du prisme comme le montre la figure 2.4. En remplaçant i m et r m par leurs valeurs dans la relation de Snell-Descartes, il vient : n = sin[(a + D m)/2]. (7) sin(a/2) Par conséquent, de la mesure de A et de D m, on peut déduire de façon assez précise l indice du prisme. Remarques : On voit qu à une même déviation correspond deux incidences possibles (principe du retour inverse de la lumière).

3 Dispersion de la lumière 13 A D = 2i A m m im A 2 A 2 i m Fig. 2.4 Cheminement d un rayon lumineux à travers un prisme au minimum de déviation : la figure est symétrique par rapport à, plan bissecteur du prisme. L aspect relativement plat de la courbe D(i) autour de D m explique, pour une source polychromatique, l accumulation de lumière dans cette direction, effet qui est à l origine de la formation de l arc-en-ciel (cf. TP). 3 Dispersion de la lumière Nous avons vu au chapitre 1 que l indice de réfraction dépendait de la longueur d onde (couleur) de la lumière visible. C est ce que l on appelle la dispersion. A cause de ce phénomène, un prisme disperse (décompose) une lumière blanche en ses différentes composantes (fig. 2.5). L ensemble de ces composantes constituent le spectre de la lumière blanche (on répertorie généralement sept couleurs dominantes : rouge, orangé, jaune, vert, bleu, indigo, violet). Nous savons, d une part, que la déviation croît avec l indice de réfraction, et que, d autre part, n augmente quand la longueur d onde diminue (loi de Cauchy). Cela signifie que la déviation augmente quand la longueur d onde diminue : les radiations de courte longueur d onde sont donc les plus déviées par le prisme (le violet est plus dévié que le rouge, cf. fig. 2.5).

14 Chapitre 2. Le prisme blanc rouge vert violet Fig. 2.5 Dispersion de la lumière.

Chapitre 3 NOTIONS DE STIGMATISME-OBJETS-IMAGES Dans ce chapitre nous allons nous pencher sur le problème de la formation des images en optique géométrique. Un système optique est de bonne qualité si il donne d une source ponctuelle une image ponctuelle : c est la condition de stigmatisme. Nous étudierons cette condition et verrons ses limites. Nous en profiterons aussi pour préciser les notions d objet et d image. 1 Image d un point, notion de stigmatisme sens de propagation de la lumière (I.O.) FE FS Fig. 3.1 Instrument d optique : face d entrée et face de sortie. Considérons le cas général d un instrument d optique (I.O.) comportant une face d entrée F E et une face de sortie F S définies par le sens de propagation de la lumière que l on choisit conventionnellement de la gauche vers la droite (figure 3.1). L objet est une source lumineuse ponctuelle ou étendue envoyant sur F E des rayons lumineux (rayons incidents). L image de l objet est la reproduction qu en donne l I.O., elle doit donc lui être semblable avec un rapport de similitude γ appelé grandissement. Ceci est obtenu quand tous les rayons issus d un même point de l objet convergent en un point unique de l image.

16 Chapitre 3. Notions de stigmatisme-objets-images Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A si tout rayon lumineux passant par le point objet A émerge du système optique en passant par le point A. A est alors l image de A par le système optique ; on dit encore que A et A sont conjugués par rapport au système optique. 2 Stigmatisme approché - Approximation de Gauss Malheureusement, en dehors du miroir plan, la condition de stigmatisme rigoureux n est réalisable que pour des systèmes simples ayant un intérêt pratique limité. Les différents défauts d un instrument d optique (défaut de stigmatisme, d aplanétisme, distortion,...) sont alors regroupés sous le terme d aberration. Dans la suite de ce cours, nous ne considérerons que des systèmes optiques centrés, c est-à-dire des systèmes pour lesquels il existe un axe de symétrie de révolution appelé axe optique. On montre alors qu un tel instrument d optique donnera une image de bonne qualité d un objet si les deux conditions suivantes, dites conditions de Gauss, sont satisfaites : Les objets sont de faible étendue, situés au voisinage de l axe optique. Les rayons lumineux incidents font un angle faible avec l axe optique (rayons paraxiaux). On dit qu il y a stigmatisme approché. Dans ces conditions, l image d un objet plan perpendiculaire à l axe optique est plane et perpendiculaire à l axe optique (aplanétisme). 3 Objets ou images réels ou virtuels Nous avons dit à la section précédente qu une source ponctuelle A envoyant des rayons lumineux sur un système optique pouvait être considérée comme un objet pour celui-ci. Pour être plus précis, le point A est un point objet pour l I.O. s il se trouve à l intersection des rayons lumineux incidents sur le système, ou de leurs prolongements. Si le faisceau incident est divergent, A est un objet réel, il est forcément placé avant la face F E compte tenu du sens de propagation de la lumière (fig. 3.2a). Si le faisceau incident est convergent, il rencontre d abord le système optique. Le point A, point d intersection des prolongements des rayons incidents, est alors un point objet virtuel (fig. 3.2b) ; on ne peut l observer sur un écran. Remarque : Les prolongements des rayons sont représentés en pointillé tandis que les rayons sont des segments fléchés. Ces rayons en pointillé ne sont pas réellement suivis par la lumière, ils portent le nom de rayons virtuels. De même, on peut définir le caractère réel ou virtuel de l image de A donnée par le système optique (S) : Si le faisceau émergeant de (S) converge en un point A, alors A est dit image réelle (fig. 3.2c). Cette définition demeure vraie même si le faisceau est intercepté avant qu il n arrive au point A. Une image réelle peut être directement vue sur un écran.

3 Objets ou images réels ou virtuels 17 A A a) objet réel b) objet virtuel A' A' c) image réelle d) image virtuelle Fig. 3.2 Objets ou images réels ou virtuels. Enfin, si le faisceau émergent diverge, il semble provenir d un point A situé en avant de la face de sortie au point d intersection des prolongements des rayons émergents. A est dit image virtuelle de A donnée par (S) (fig. 3.2d), on ne peut pas l observer directement sur un écran. D après ce qui précéde, on voit que pour un système optique par transmission (système dioptrique) la face d entrée sépare l espace en deux parties : l espace objet réel situé avant F E ; et l espace objet virtuel situé après F E. De même, la face de sortie sépare l espace en deux parties : l espace image virtuelle situé avant F S ; et l espace image réelle situé après F S. E.O. réel sens de la lumière E.O. virtuel E.I. virtuel E.I. réel FE FS Fig. 3.3 Espace objet et espace image pour un système dioptrique.

Chapitre 4 MIROIRS PLANS ET SPHÉRIQUES On appelle miroir une surface parfaitement réfléchissante (par exemple une surface (verre) recouverte d un mince dépôt métallique). Ce chapitre traite de l application des lois de la réflexion aux miroirs plans et aux miroirs sphériques. 1 Miroirs plans 1.1 Image d un objet ponctuel miroir A H A' i -i I R Fig. 4.1 Image d un point objet réel par un miroir plan. Soit une source ponctuelle réelle A. Le rayon AH émis sous incidence normale est réfléchi par le miroir et repart avec un angle de réflexion nul en repassant par A. Un autre rayon AI faisant un angle i quelconque avec la normale est réfléchi avec un angle i (fig. 4.1). Ces deux rayons semblent provenir d un point A situé au point d intersection de leurs prolongements. On montre aisément à partir d arguments géométriques simples que les triangles AHI et A HI sont identiques. A est donc le symétrique de A par rapport au plan du miroir, ce qui veut dire que sa position est indépendante de la valeur de i. Ainsi, tout rayon incident passant par A est réfléchi par le miroir en semblant provenir de A (fig. 4.1). Le miroir plan est donc rigoureusement stigmatique, et A est l image de A à travers le miroir. Cette image est virtuelle, on ne peut l observer directement sur un écran. Si on applique le principe du retour inverse de la lumière, A est objet virtuel et A est l image réelle donnée par le miroir.

20 Chapitre 4. Miroirs plans et sphériques B A miroir plan B M C A C M Fig. 4.2 Image d un objet réel étendu par un miroir plan. 1.2 Image d un objet étendu Soit maintenant l objet étendu MABC. D après ce qui précède, chacun de ses points admet comme image son symétrique par rapport au plan du miroir. La symétrie de l image donnée par le miroir plan à deux conséquences importantes : 1. L image a même dimension que l objet : le grandissement γ est égal à 1. 2. L image M A B C n est pas superposable à l objet (objet chiral), sauf si celui-ci est symétrique par rapport à un plan perpendiculaire au miroir (objet achiral) ; par exemple l image d une main gauche est une main droite. Donc pour résumer : le miroir plan est rigoureusement stigmatique et donne d un objet réel (resp. virtuel) une image virtuelle (resp. réelle) symétrique de l objet par rapport au plan du miroir. L image a même taille que l objet, mais elle n est pas superposable à celui-ci. Notons aussi qu un miroir, qui est un système optique par réflexion (système catadioptrique), sépare l espace de la manière suivante (cf. figure 4.3) : l espace objet réel situé avant le miroir ; et l espace objet virtuel situé après le miroir. l espace image réelle situé avant le miroir ; et l espace image virtuelle situé après le miroir. sens de la lumière incidente E.O. réel E.O. virtuel E.I. réel E.I. virtuel Miroir (plan ou sphérique) sens de la lumière réfléchie Fig. 4.3 Espace objet et espace image pour un miroir.

2 Miroirs sphériques 21 2 Miroirs sphériques 2.1 Définitions + a) + b) C R S axe optique S R C axe optique R = SC < 0 R = SC > 0 Fig. 4.4 a) Miroir concave. b) Miroir convexe. Un miroir sphérique est une portion de sphère parfaitement réfléchissante sur l une de ces faces. On distingue deux types de miroirs sphériques : si la réflexion se produit vers l intérieur de la sphère, le miroir est dit concave (figure 4.4a) ; si la lumière se réfléchit vers l extérieur de la sphère, le miroir est dit convexe (figure 4.4b). Un miroir sphérique est caractérisé par : Le centre C de la sphère appelé centre du miroir. Le point S appelé sommet du miroir. L axe optique, qui est l axe de symétrie de révolution du miroir, passant par les points C et S. Le rayon de la sphère R = SC, appelé rayon de courbure du miroir, quantité algébrique qui est négative pour un miroir concave et positive pour un miroir convexe (figure 4.4). Son angle d ouverture Ω (figure 4.5). S : C Fig. 4.5 Angle d ouverture Ω d un miroir sphérique. Remarque : en optique géométrique, la mesure des distances est algébrisée. Le long de l axe optique, on choisit comme sens positif le sens de propagation de la lumière (en général de la gauche vers la droite). Perpendiculairement à l axe, les distances sont comptées positivement dans le sens de la verticale ascendante.

22 Chapitre 4. Miroirs plans et sphériques 2.2 Relations de conjugaison dans l approximation de Gauss L expérience montre qu un miroir sphérique donne de bonnes images s il est de faible ouverture, et si l objet est au voisinage de l axe optique. Dans ces conditions, dites conditions de Gauss, il y a stigmatisme approché, et l image d un petit objet plan perpendiculaire à l axe est aussi plane et perpendiculaire à l axe. Il existe alors une relation entre les positions d un objet A et de son image A appelée relation de conjugaison. 2.2.a Relation de conjugaison avec origine au sommet A + I i α i ω α C A' H S Fig. 4.6 Stigmatisme approché du miroir sphérique. Considérons un point objet réel A situé sur l axe optique d un miroir concave. L image A de A est située au point d intersection de deux rayons lumineux quelconques issus de A. Soit un rayon confondu avec l axe optique, il se réfléchit sur lui-même : A est donc sur l axe. Par ailleurs, considérons le rayon émis depuis A et qui se réfléchit au point I en accord avec les lois de la réflexion. A se trouve au point d intersection du rayon réfléchi et de l axe (voir figure 4.6). Dans les conditions de Gauss, les points H et S sont pratiquement confondus, et les angles α, α et ω peuvent être assimilés à leurs tangentes selon : α = IS SA ; α = IS SA ; ω = IS SC. (1) De plus, dans les triangles AIC et A IC la somme des angles intérieurs doit être égale à π, soit : D où la relation suivante entre α, α et ω : i + α + π ω = π et donc : i = ω α, i + ω + π α = π et donc : i = α ω. α + α = 2ω. (2)

2 Miroirs sphériques 23 En combinant les relations (1) et (2), on obtient la relation de conjugaison du miroir sphérique avec origine au sommet S : 2.2.b 1 SA + 1 SA = 2 SC = 2 R. Remarque : La relation que nous venons d établir est générale pour les miroirs concaves et convexes, quelle que soit la nature de l objet et de l image. Cette formule approchée reste valable tant que α 15. Relation de conjugaison avec origine au centre A partir de la relation précédente, en utilisant la relation de Chasles, on peut montrer la relation de conjugaison du miroir sphérique avec origine au centre C : 1 CA + 1 CA = 2 CS = 2 R. 2.3 Propriétés des miroirs sphériques 2.3.a Propriété du centre C du miroir Tout rayon incident passant par le centre optique C d un miroir sphérique revient sur lui-même après réflexion (figure 4.7). Cette propriété est due au fait qu un tel rayon arrive à incidence normale sur le miroir. 2.3.b Propriété du sommet S du miroir Tout rayon incident en S sur le miroir est réfléchi symétriquement par rapport à l axe optique (figure 4.7). i i C S Fig. 4.7 Propriétés du centre et du sommet d un miroir sphérique. 2.3.c Foyer et plan focal Foyer du miroir

24 Chapitre 4. Miroirs plans et sphériques a) b) C F S S F C Fig. 4.8 a) Foyer d un miroir concave. b) Foyer d un miroir convexe. Tout faisceau incident parallèle à l axe optique d un miroir sphérique est réfléchi en passant par (ou en semblant provenir de) F, un point de l axe appelé foyer du miroir. F est donc l image du point objet à l infini sur l axe optique. De même, d après le principe du retour inverse de la lumière, l image d un objet ponctuel placé en F se forme à l infini sur l axe optique. Les propriétés du foyer sont les suivantes : Tout rayon incident parallèle à l axe optique d un miroir sphérique est réfléchi en passant par le foyer. Tout rayon incident passant par le foyer se réfléchit parallèlement à l axe optique du miroir. La position du foyer est donnée par le relation de conjugaison avec SA = et A = F, d où SF = SC 2. Nous voyons tout de suite que pour un miroir concave F est réel (SF < 0), tandis que pour un miroir convexe F est virtuel (SF > 0) (figure 4.8). Plan focal Le plan focal d un miroir sphérique est le plan passant par F et perpendiculaire à l axe optique. Propriété : Tout point F S du plan focal est l image d un point situé à l infini dans la direction F S C. Et réciproquement, tout point F S du plan focal a son image rejetée à l infini dans la direction F S C. F S est appelé foyer secondaire. Pour un faisceau de rayon incident donné, il est obtenu par intersection du plan focal et du rayon passant par C et parallèle au rayon incident (figure 4.9). 2.3.d Distance focale, vergence La distance focale du miroir sphérique, notée f, est définie par : f = SF = R 2,

2 Miroirs sphériques 25 C F F S S Fig. 4.9 Construction d un rayon réfléchi : foyer secondaire. et la vergence V par : V = 1 f = 2 R. f s exprime en m, et V en dioptries (δ) avec 1 δ = 1 m 1. Un miroir est dit convergent (respectivement divergent) si sa distance focale (et donc sa vergence) est négative (respectivement positive). Un miroir concave est donc convergent (R < 0) et un miroir convexe divergent (R > 0). 2.4 Construction de l image d un objet Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss (i.e. rayons peu éloignés de l axe et peu inclinés sur l axe), la portion éclairée du miroir sphérique, centrée sur l axe optique, est peu étendue en regard notamment des dimensions d ouverture du miroir (R et Ω). C est pourquoi on représente habituellement le miroir sphérique par son plan tangent en S avec deux traits aux extrémités pour indiquer son caractère concave (figure 4.10) ou convexe (figure 4.11). Remarque : même si ces symboles ressemblent à celui du miroir plan, il ne faut pas oublier qu il s agit de miroirs sphériques. Ainsi, sauf pour les rayons incidents en S, il ne faut pas tracer le rayon réfléchi en appliquant la deuxième loi de Snell-Descartes. Pour construire l image d un objet AB plan et perpendiculaire à l axe, il suffit de construire l image B du point B hors de l axe. Le miroir sphérique étant aplanétique dans les conditions de Gauss, le point A est obtenu par projection orthogonale de B sur l axe optique. Pour construire B, deux rayons suffisent. En effet, le miroir étant stigmatique, deux rayons issus de B se coupent après réflexion en B. En pratique, on choisit ces deux rayons parmi les rayons particuliers suivants : Un rayon passant par C et se réfléchissant sur lui-même. Un rayon parallèle à l axe optique et se réfléchissant en passant par F. Un rayon passant par F et se réfléchissant parallèle à l axe.

26 Chapitre 4. Miroirs plans et sphériques Les objets ou images réels sont représentés en traits pleins tandis que les objets ou images virtuels sont tracés en traits pointillés. Nous avons représenté sur la figure 4.10 les constructions de l image d un objet par un miroir concave dans les trois principaux cas : si l objet est réel, situé entre l infini et le foyer ( < SA < SF ), l image est réelle (fig. 4.10a). si l objet est réel, situé entre le foyer et le sommet (SF < SA < 0), l image est virtuelle (fig. 4.10b). si l objet est virtuel (SA > 0) l image est réelle (fig. 4.10c). Pour un miroir convexe, on distingue aussi trois cas représentés sur la figure 4.11 : si l objet est réel ( < SA < 0), l image est virtuelle (fig. 4.11a). si l objet est virtuel, situé entre le sommet et le foyer (0 < SA < SF ), l image est réelle (fig. 4.11b). si l objet est virtuel, entre le foyer et l infini (SA > SF ), l image est virtuelle (fig. 4.11c).

2 Miroirs sphériques 27 Dans les conditions de Gauss C F S C F S B A C A F B S a) objet réel image réelle B C B F A S A b) objet réel image virtuelle B C F B A S A c) objet virtuel image réelle Fig. 4.10 Construction d images pour un miroir concave.

28 Chapitre 4. Miroirs plans et sphériques Dans les conditions de Gauss S F C S F C B A S B A F C a) objet réel image virtuelle B B A S A F C b) objet virtuel image réelle B S A F B C A c) objet virtuel image virtuelle Fig. 4.11 Construction d images pour un miroir convexe.

2 Miroirs sphériques 29 2.5 Grandissement Si AB a pour image A B, le grandissement γ est le rapport algébrique de la taille de l image à celle de l objet : γ = A B AB. Si γ > 0, l image est de même sens que l objet (image droite) ; si γ < 0, l image est renversée. 2.5.a Origine au sommet B A A' i i S B' Fig. 4.12 Grandissement du miroir sphérique (origine au sommet). Le rayon issu de B et passant par S, passe par B après avoir été réfléchi symétriquement par rapport à l axe du miroir, les triangles SAB et SA B sont donc semblables (figure 4.12), d où : Soit A B SA = AB SA. 2.5.b Origine au centre γ = A B AB = SA SA. Le rayon issu de B et passant par C, passe par B sans être dévié (cf. figure 4.10a), d où : γ = A B AB = CA CA.

Chapitre 5 DIOPTRE PLAN 1 Définition On appelle dioptre plan toute surface plane séparant deux milieux transparents d indices différents. 2 Relation de conjugaison du dioptre plan R i 2 n 2 H I n 1 + A 2 i 1 A 1 Fig. 5.1 Image donnée par un dioptre plan (n 1 > n 2 ). Soit un dioptre plan séparant deux milieux transparents d indices n 1 et n 2 et un point objet réel A 1 situé dans le milieu d indice n 1. Pour des rayons issus de A 1 et peu inclinés par rapport à la normale (approximation de Gauss), l image A 2 de A 1 se trouve à l intersection de deux rayons réfractés quelconques (fig. 5.1). Un rayon normal au dioptre n est pas dévié ; A 2 est donc sur la normale A 1 H au dioptre ; il est aussi sur le prolongement (partie virtuelle) du rayon réfracté IR. On voit donc que le dioptre plan donne d un objet réel une image virtuelle, et d un objet virtuel une image réelle (principe du retour inverse).

32 Chapitre 5. Dioptre plan Déterminons la position de A 2 par rapport au dioptre. Dans les triangles rectangles A 1 HI et A 2 HI, on peut écrire : d où HI = A 1 H tan i 1 = A 2 H tan i 2 HA 2 HA 1 = sin i 1 cos i 1 cos i 2 sin i 2 = n 2 n 1 cos i 2 cos i 1. Dans l approximation de Gauss, les angles i 1 et i 2 sont très petits (rayons paraxiaux, c est-à-dire peu inclinés par rapport à la normale au dioptre) ; on a alors, quel que soit k, cos i k 1. On en déduit la relation de conjugaison du dioptre plan reliant la position de l image A 2 à celle de l objet A 1 : HA 2 HA 1 = n 2 n 1. La relation précédente implique que l image d un objet parallèle au dioptre a la même taille et se trouve dans le même sens que celui-ci (grandissement égal à +1). En outre, à partir de la relation de conjugaison on voit que si l objet est dans le milieu le plus réfringent, l image est plus près de la surface du dioptre ; tandis que si l objet est dans le milieu le moins réfringent, l image est plus éloignée de la surface du dioptre. Considérons le cas particulier où l un des milieux est l air (n 2 = 1), l autre milieu (verre, eau) étant plus réfrigent (n 1 > 1). Le point A 1 subit alors, pour un observateur placé dans le milieux 2, un déplacement apparent A 1 A 2 positif tel que : A 1 A 2 = A 1 H + HA 2 = HA 1 + HA ( ) 1 1 = HA 1 1 n 1 n 1 ( ) 1 n1 = HA 1. n 1 Exemple : le fond d une piscine, réellement à 3 mètres de la surface de l eau, paraît plus rapproché à un observateur extérieur. Le déplacement apparent est : ( ) 1 4/3 A 1 A 2 = 3 = 0,75 m. 4/3 Remarque : Lorsque l angle i 1 est grand (supérieur à 15 ), la relation de conjugaison n est plus valable. Le point A 2 n est plus unique (il y a autant de points A 2 que de rayons incidents issus de A 1 ) : le dioptre plan n est plus stigmatique (de manière approchée). En conséquence, l image de A 1 n est plus ponctuelle, mais se présente comme une tache. Pour un objet étendu, l ensemble des points objets donne lieu à des taches qui se recouvrent partiellement, donnant une sensation de flou. Par exemple, si au fond d une cuve contenant de l eau il y a plusieurs objets A, B, C et D, l œil verra une image nette de A voire de B car les rayons issus de ces deux objets sont à peu près paraxiaux. Par contre, les images de C et D seront floues (figure 5.2).

2 Relation de conjugaison du dioptre plan 33 air eau A B C D Fig. 5.2 A et B sont vus nettement, tandis que C et D sont flous.

Chapitre 6 LENTILLES MINCES Les lentilles sphériques sont les éléments essentiels de presque tous les instruments d optique. Le but de ce chapitre est d étudier uniquement les lentilles sphériques minces dans l approximation de Gauss. Les applications des lentilles minces à quelques systèmes optiques seront vues dans les chapitres suivants. 1 Lentilles minces sphériques Une lentille sphérique est un système centré constitué d un milieu transparent limité par deux surfaces sphériques repérées par leurs centres et sommets respectifs (C 1, S 1 ) et (C 2, S 2 ) (fig. 6.1). L axe optique de la lentille est l axe passant par les centres des deux dioptres sphériques. On note n l indice du milieu constituant la lentille (n > 1). plan de la lentille C C2 O S 2 1 S 1 axe optique Fig. 6.1 Lentille. Remarque : Une surface sphérique séparant deux milieux d indices différents est appelée dioptre sphérique. Une lentille mince est une lentille dont l épaisseur e = S 1 S 2 est négligeable devant les rayons de courbures des dioptres qui la constituent et devant la distance des centres des deux dioptres, soit : e C 1 S 1, e C 2 S 2 et e C 1 C 2.

36 Chapitre 6. Lentilles minces Dans ces conditions les deux sommets S 1 et S 2 sont confondus en un point O appelé centre optique de la lentille. Le plan passant par O et perpendiculaire à l axe optique est le plan de la lentille. 1.1 Lentilles convergentes ; lentilles divergentes Les lentilles minces sont classées en deux catégories : les lentilles convergentes et les lentilles divergentes, schématisées sur la figure 6.2. Les lentilles convergentes transforment un faisceau de rayons lumineux parallèles à l axe optique en un faisceau convergent, tandis que les lentilles divergentes en donnent un faisceau divergent (fig. 6.2). O O a) b) Fig. 6.2 a) Lentille convergente. b) Lentille divergente. 2 Propriétés des lentilles minces 2.1 Propriété du centre optique Tout rayon lumineux passant par le centre optique d une lentille mince ne subit aucune déviation en la traversant (fig.6.3). On appelle axe secondaire une droite passant par le centre optique. O O Fig. 6.3 Propriété du centre optique O.

2 Propriétés des lentilles minces 37 2.2 Foyers objet et image - Distance focale 2.2.a Foyers objet et image Foyer image : Le foyer image F est le point de l axe optique dont l objet est à l infini sur l axe. Tout rayon incident parallèle à l axe optique d une lentille émerge en passant par (ou en semblant provenir de) F (fig. 6.4a et 6.5a). Foyer objet : Le foyer objet F est le point de l axe optique dont l image est à l infini sur l axe. Tout rayon incident passant (ou semblant passer) par F émerge parallèlement à l axe optique (fig. 6.4b et 6.5b). O F' F O a) b) Fig. 6.4 a) Foyer image d une lentille convergente. b) Foyer objet d une lentille convergente. Quelle que soit la nature de la lentille mince, F et F sont symétriques par rapport au centre optique. Pour une lentille convergente, F et F sont réels, alors que pour une lentille divergente, ils sont virtuels. F' O O F a) b) Fig. 6.5 a) Foyer image d une lentille divergente. b) Foyer objet d une lentille divergente. 2.2.b Remarque : pour un miroir sphérique, foyers objet et image sont confondus. Distance focale Par définition, f = OF est la distance focale image de la lentille ; f = OF est la distance focale objet. Notons que, d après ce qui précède, f = f.

38 Chapitre 6. Lentilles minces Pour une lentille convergente f > 0, tandis que pour une lentille divergente f < 0. 2.3 Plans focaux objet et image 2.3.a Définition Les plans perpendiculaires à l axe optique de la lentille et passant par les foyers sont appelés plans focaux. Une lentille a donc un plan focal objet et un plan focal image. 2.3.b Propriété : Foyers secondaires Un point situé dans un plan focal (objet ou image) est appelé foyer secondaire (objet ou image). Propriétés : Un faisceau issu d un foyer secondaire objet F S émerge parallèlement à l axe secondaire F S O (figures 6.6a et 6.6b). Soit encore : tout point F S du plan focal objet a son image rejetée à l infini dans la direction F S O. plan focal objet F O axe secondaire O plan focal objet F S F axe secondaire F S a) b) plan focal image plan focal image F S axe secondaire O F' axe secondaire F S F' O c) d) Fig. 6.6 a) Foyer objet secondaire d une lentille convergente. b) Foyer objet secondaire d une lentille divergente. c) Foyer image secondaire d une lentille convergente. d) Foyer image secondaire d une lentille divergente.

3 Constructions géométriques 39 Un faisceau parallèle, incliné par rapport à l axe optique, émerge en passant par le foyer secondaire image F S, intersection du plan focal image et de l axe secondaire F SO parallèle au faisceau incident (figures 6.6c et 6.6d). Soit encore : tout point F S du plan focal image est l image d un point situé à l infini dans la direction F SO. 2.4 Vergence d une lentille La vergence V (parfois notée C) d une lentille mince est l inverse de sa distance focale : V = 1 f = 1 f, où f est en mètre. L unité de vergence du système international est la dioptrie (symbole δ). V > 0 pour une lentille convergente et V < 0 pour une lentille divergente. Pour une lentille mince, on montre que ( 1 V = (n 1) 1 ), R1 R2 où n est l indice de la lentille et R 1 et R 2 sont les rayons de courbure des dioptres qui la constituent : R 1 = S 1 C 1 et R 2 = S 2 C 2. 3 Constructions géométriques 3.1 Construction de l image d un objet plan Pour construire l image d un tel objet AB plan et perpendiculaire à l axe, il suffit de construire l image B du point B hors de l axe. La lentille étant aplanétique (conditions de Gauss), le point A est obtenu par projection orthogonale de B sur l axe optique. On détermine l image B donnée par la lentille en utilisant deux des trois rayons particuliers suivants : Le rayon issu de B parallèle à l axe optique, et qui émerge de la lentille en passant par F. Le rayon issu de B passant par F qui émerge de la lentille parallèlement à l axe optique. Le rayon issu de B passant par O, qui traverse la lentille sans subir de déviation. Les rayons émergents ainsi obtenus se coupent en B. Les objets ou images réels sont représentés en traits pleins tandis que les objets ou images virtuels sont tracés en traits pointillés. Notez aussi que tout point dans le plan de la lentille est son propre conjugué ; donc tout rayon arrivant sur la lentille en I repartira en I.

40 Chapitre 6. Lentilles minces Nous avons représenté sur la figure 6.7 les constructions de l image d un objet par une lentille convergente dans les trois principaux cas : si l objet est réel, situé entre l infini et le foyer objet ( < OA < OF ), l image est réelle (fig. 6.7a). si l objet est réel, situé entre le foyer objet et le centre optique (OF < OA < 0), l image est virtuelle (fig. 6.7b). si l objet est virtuel (OA > 0) l image est réelle (fig. 6.7c). B A F I J O F' A' B' a) objet réel image réelle B' A' F B A O F' b) objet réel image virtuelle B F O B' A' F' A c) objet virtuel image réelle Fig. 6.7 Construction d images pour une lentille convergente.

3 Constructions géométriques 41 Pour une lentille divergente, on distingue aussi trois cas représentés sur la figure 6.8 : si l objet est réel, situé entre l infini et le centre optique ( < OA < 0), l image est virtuelle (fig. 6.8a). si l objet est virtuel, situé entre le centre optique et le foyer objet (0 < OA < OF ), l image est réelle (fig. 6.8b). si l objet est virtuel, entre le foyer objet et l infini (OA > OF ), l image est virtuelle (fig. 6.8c). B A F' B' A' O F a) objet réel image virtuelle B' F' O A B F A' b) objet virtuel image réelle B A' F' O F A c) objet virtuel image virtuelle B' Fig. 6.8 Construction d images pour une lentille divergente. 3.2 Construction d un rayon transmis Pour construire le rayon transmis d un rayon incident quelconque (B I) sur une lentille, on peut utiliser l une des deux méthodes suivantes (figure 6.9) : 1. On trace le rayon parallèle à (B I) et passant par O. Il coupe le plan focal image en un foyer secondaire F S. Le rayon émergent correspond à la droite (IF S).

42 Chapitre 6. Lentilles minces 2. On trace le rayon parallèle à (B I) et passant par F. Il émerge de la lentille parallèlement à l axe optique et passe par F S dans le plan focal image. Comme au 1, le rayon émergent correspond à la droite (IF S). I F S B B B F O F' plan focal image Fig. 6.9 Construction d un rayon transmis par une lentille convergente. 4 Relations des lentilles minces 4.1 Relations de conjugaison 4.1.a Relation de conjugaison de Newton Considérons, sur la figure 6.7, les triangles rectangles semblables ABF et OJF, A B F et OIF. Nous voyons que : Or OJ = A B et OI = AB d où AB OJ = F A F O = F A f, (1) A B OI = F A F O = F A. f (2) F A f = f F A. De cette dernière égalité, on tire la relation de conjugaison de Newton encore appelée relation de conjugaison avec origine aux foyers : 4.1.b F A F A = f f = f 2. Relation de conjugaison de Descartes Partons des relations suivantes : F A = F O + OA = f + OA et F A = F O + OA = f + OA. En les reportant dans la relation de conjugaison de Newton, nous obtenons : (f + OA) ( f + OA ) = f 2 OA OA + f OA f OA = 0.

5 Association de lentilles minces 43 Soit, en divisant par OA OA f, 1 f + 1 OA 1 = 0. OA Cette dernière égalité constitue la relation de conjugaison de Descartes encore appelée relation de conjugaison avec origine au centre : 4.2 Grandissement 1 OA 1 OA = 1 = V. f Rappelons que le grandissement transversal est le rapport algébrique de la taille de l image à celle de l objet : γ = A B AB. Si γ > 0, l image est dite droite, sinon elle est dite renversée. 4.2.a 4.2.b Grandissement avec origine aux foyers Les relations (1) et (2) impliquent que : γ = A B AB = F A f Grandissement avec origine au centre = f F A. La relation de grandissement se démontre aisément en considérant dans la figure 6.7a le rayon liant B et B et passant par le centre optique O. Ce rayon n étant pas dévié, on obtient immédiatement que : γ = A B AB = OA OA. Remarque : Toutes les formules que nous venons d établir sont valables aussi bien pour les lentilles convergentes que pour les lentilles divergentes, ceci quelle que soit la nature de l objet ou de l image. 5 Association de lentilles minces Soient deux lentilles minces L 1 et L 2 de distances focales images respectives f 1 et f 2, placées dans l air de façon que leurs axes optiques coïncident. On introduit e = O 1 O 2 et l intervalle optique de l association = F 1F 2 (figure 6.10). On se propose de déterminer la position des foyers objet et image, notés respectivement F et F, de cette association.

44 Chapitre 6. Lentilles minces + L 2 1 L F 1 F 2 O F 2 2 F 1 O 1 Fig. 6.10 Association de deux lentilles minces L 1 et L 2. 5.1 Foyers, distances focales et vergence 5.1.a Foyer objet Par définition, le foyer objet du système optique (S) composé des lentilles L 1 et L 2 est le point F de l axe optique tel que tout rayon incident sur (S) et passant par F émerge de (S) parallélement à l axe optique. Autrement dit, tout rayon incident sur L 1 et passant par F émerge de L 2 parallèle à l axe optique. Ceci implique que le rayon incident sur L 2 passe par F 2 et donc que F 2 est l image de F par la première lentille. Ce que l on peut résumer de la manière suivante : F (S), F L 1 L F 2 2. La relation de conjugaison de Newton appliquée à L 1 donne : F 1 F F 1F 2 = f 12. La position du foyer objet de l ensemble par rapport au foyer objet de L 1 est donc donnée par : 5.1.b Foyer image F 1 F = f 1 2 = f 2 1 F 1F 2. Par définition, le foyer image de (S) est le point F de l axe optique tel que tout rayon incident sur (S) parallèle à l axe optique émerge de (S) en passant par F. Ceci implique que le rayon incident sur (S) émerge de L 1 en passant par F 1 et donc que F 1 a pour image F par la deuxième lentille. Soit : L 1 F 1 (S) F, L 2 F. En appliquant maintenant la relation de conjugaison de Newton à L 2, il vient : F 2 F 1 F 2F = f 22.

5 Association de lentilles minces 45 La position du foyer image de l ensemble par rapport au foyer image de L 2 est donc donnée par : 5.1.c F 2F = f 2 2 F 2 F 1 Distances focales et vergence = f 2 2. Par définition, les distances focales objet et image, notées respectivement f et f, de l association des lentilles L 1 et L 2 sont données par : f = f 1f 2 et f = f 1f 2 = f. Ces distances focales peuvent également être déterminées à partir de la formule de Gullstrand : V = 1 = 1 + 1 e. f f 1 f 2 f 1f 2. 5.1.d Construction géométrique de F et F Voir figure 6.11. L 1 + L 2 B F F 1 O 1 F 1 S 1 F 2 O 2 F 2 F S2 F F B Fig. 6.11 Construction des foyers objet et image de l association des deux lentilles L 1 et L 2. Remarque : Les points B et B sont conjugués par le système (S). 5.2 Cas particuliers 5.2.a Lentilles accolées Dans ce cas là, les centres optiques O 1 et O 2 sont confondus en un même point O : O 1 = O 2 = O, e = 0.

46 Chapitre 6. Lentilles minces Donc V = 1 f = 1 f 1 + 1 f 2 = V 1 + V 2. Deux lentilles minces accolées équivalent à une lentille unique dont la vergence est la somme des vergences de chacune des lentilles. 5.2.b Système afocal Certaines applications requièrent l utilisation de systèmes afocaux. De tels systèmes n ont pas de foyers (ou leurs foyers sont rejetés à l infini). Ainsi, l image d un objet à l infini se forme à l infini. Pour que le système soit afocal, il faut qu un rayon incident parallèle à l axe optique émerge de (S) parallèlement à l axe. Le rayon incident émerge donc de L 1 en passant par F 1 et doit passer par F 2 pour émerger de L 2 parallèlement à l axe. Soit : L 1 F 1, L F 2 2. Le système de deux lentilles L 1 et L 2 est donc afocal si F 1 = F 2 ( = 0). Applications : Expanseur ou réducteur de faisceau parallèle (figure 6.12) : d /d = f 2/f 1. Lunette astronomique (cf. chapitre 8) : l image d un objet à l infini est formée à l infini pour le confort visuel de l observateur. d F 1 F 2 d L1 L2 Fig. 6.12 Réducteur de faisceau parallèle.

Chapitre 7 L ŒIL ET LA VISION 1 L œil 1.1 Description Cornée Tache jaune Choroïde Rétine Pupille Humeur aqueuse Iris Humeur vitrée Point aveugle Nerf optique Cristallin Sclérotique Fig. 7.1 Schéma de l œil. L œil se présente comme un globe de 25 mm de diamètre environ. Il est limité par une membrane appelée la sclérotique (blanc de l œil)(fig. 7.1). Celle-ci devient la cornée en avant de l œil. La cornée est transparente, d épaisseur voisine de 1 mm, et d indice 1,33771. Ensuite, on rencontre la choroïde, une membrane opaque ne laissant passer aucune lumière parasite pouvant venir de l extérieur. Au fond de l œil, on trouve la rétine, membrane sensible aux radiations lumineuses et qui est l épanouissement du nerf optique. La rétine a une structure discontinue formée de cellules coniques, les cônes et de cellules cylindriques les bâtonnets. Les cônes interviennent surtout dans la vision diurne, tandis que les bâtonnets sont surtout stimulés en vision nocturne. La rétine est insensible au point d arrivée du nerf optique (point aveugle) et posséde une sensibilité maximale à la tache jaune d environ 2 mm de diamètre, se trouvant à peu près sur l axe optique de l œil. En avant de l œil, soutenu par des muscles (muscles ciliaires), se trouve le cristallin, lentille biconvexe élastique d indice 1,42, de rayons de courbure antérieur et postérieur

48 Chapitre 7. L Œil et la vision 10,2 mm et 6 mm. Devant le cristallin est un diaphragme diversement coloré, l iris, dont l ouverture, appelée pupille, limite la quantité de lumière incidente à celle nécessaire à la détection. Entre cornée et cristallin on trouve l humeur aqueuse, liquide transparent d indice 1,3374. Et derrière le cristallin se trouve l humeur vitrée, liquide gélatineux d indice 1,336. 1.2 L œil réduit L ensemble des milieux transparents constituant l œil forment une succession de dioptres donnant sur la rétine une image réelle et renversée des objets. En première approximation, l œil peut être modélisé par une lentille mince convergente et une surface sensible ( écran de projection ) correspondant à la rétine, la distance lentille-écran étant fixe ( 17 mm). On qualifie d œil réduit une telle modélisation (fig. 7.2). écran 17 mm Fig. 7.2 Œil réduit. 1.3 Accommodation L œil ne voit une image nette que si celle-ci se forme sur la rétine, et plus particulièrement sur la tache jaune riche en cellules photosensibles. La distance cristallin-rétine étant fixe, il faut que la distance focale f du cristallin varie pour que l image A se forme toujours sur la rétine quelle que soit la position de l objet A. En effet, compte tenu de la relation de conjugaison des lentilles minces, 1 OA 1 OA = 1 f, OA étant fixé, on voit que quand A se rapproche, 1/OA augmente. Il faut donc que f diminue pour que l image se forme toujours en A : c est l accommodation. La variation de la vergence de l œil se fait par modification de la courbure des faces du cristallin sous l action des muscles le soutenant. Ces derniers, en appuyant sur le bord du cristallin, font

2 Equations de la vision 49 que celui-ci se bombe plus ou moins ; il en résulte une variation de la vergence 1/f (fig. 7.3). Muscles relâchés Muscles contractés Fig. 7.3 Action des muscles de l œil. Lorsque les muscles sont relâchés, l œil n accommode pas et voit nettement à une distance D M appelée distance maximale de vision distincte. Le point correspondant sur l axe optique s appelle le punctum remotum (PR) (figure 7.4). Pour voir de plus près, les muscles se contractent, ce qui a pour effet d augmenter la vergence de l œil. L œil voit alors nettement à une distance D m appelée distance minimale de vision distincte. Le point correspondant sur l axe optique s appelle le punctum proximum (PP) (figure 7.4). PR PP zone de vision distincte D m D M Fig. 7.4 Zone de vision distincte d un œil. L œil normal d adulte est celui qui voit nettement à l infini sans accommoder, soit D M =, et dont la distance minimale de vision distincte D m est de l ordre de 20 cm. 2 Equations de la vision Soit un objet A situé à la distance D = AO de l œil, qui modifie sa distance focale f de sorte que l image A soit sur la rétine (figure 7.5). En posant C = 1/f et en tenant compte du fait que OA = 1/K = constante, la

50 Chapitre 7. L Œil et la vision cristallin rétine A A Fig. 7.5 Equations de la vision. relation de conjugaison appliquée à l œil donne : K 1 D = C = C 1 D = K. (1) Ainsi, quand A se rapproche, D diminue et donc C doit augmenter (i.e. f diminuer) pour que l image se forme toujours au niveau de la rétine. Lorsque l œil est au repos (pas d accommodation), il voit nettement au PR (D = D M ) et sa vergence vaut C 0. On a alors C 0 1 D M = K. Pour une accommodation maximale, l œil voit nettement au PP (D = D m ) et sa vergence varie de la quantité C appelée amplitude dioptrique d accommodation (en dioptrie), soit C = C 0 + C. Dans ces conditions, l équation (1) devient : C 0 + C 1 D m = K. En combinant les deux équations précédentes, on obtient le terme C : C = 1 D m 1 D M. 3 Quelques défauts de l œil L œil peut présenter quatre défauts d accommodation que nous allons détailler dans les sections suivantes. Ces défauts font que l objet observé est hors de la zone d accommodation définie par le PR et le PP : l image se forme alors avant ou après la rétine, elle est vue floue. Ils sont corrigés à l aide de verres donnant de l objet une image située dans la zone d accommodation. Cette image intermédiaire sert alors d objet pour l œil qui en donne une image sur la rétine, celle-ci est donc vue nettement.

3 Quelques défauts de l œil 51 A A = F O Fig. 7.6 Œil emmétrope. 3.1 L œil normal ou emmétrope Rappelons que pour l œil normal d adulte D M = et que D m est de l ordre de 20 cm, ce qui correspond à C = 1 D m = 5 δ. Le PR étant à l infini, C 0 = K lorsque l œil est au repos : le foyer F du cristallin se trouve donc sur la rétine (figure 7.6). Remarque : la valeur de que nous venons de trouver ( C = 5 δ) est une valeur moyenne obtenue pour un sujet de 25 ans environ. C a même valeur que l œil soit emmétrope, myope ou hypermétrope. Par contre, nous verrons ci-après qu elle diminue avec l âge (presbytie). 3.2 La myopie Elle correspond à un œil dont le cristallin est trop convergent ou à un œil trop long : lorsqu il est au repos sa distance focale est inférieure à celle de l œil normal, l image d un objet à l infini se forme en avant de la rétine. Au repos, F étant situé devant la rétine, f = OF < OA et donc C 0 > K. Comme C 0 1/D M = K, D M est positif et fini. Le PR n est plus situé à l infini et se trouve parfois très près de l œil (fig. 7.7a) : les objets lointains sont donc flous. Pour une accommodation maximale (avec une amplitude dioptrique normale, C = 5 δ), on a Mais comme C 0 > K, C 0 + C 1 D m = K. C 1 D m = K C 0 < 0 = C < 1 D m D m < 1 C. Le PP est plus près que pour un œil normal. Un œil fortement myope peut avoir une zone d accommodation très peu étendue, de l ordre de quelques centimètres.

52 Chapitre 7. L Œil et la vision a) A PR O F b) PR O Fig. 7.7 a) Œil myope n accommodant pas. b) Œil myope n accommodant pas corrigé. Pour corriger la myopie de l œil, on lui associe une lentille de vergence C 1. Cette lentille est telle que le PR corrigé (PR du système œil + lentille) est rejeté à l infini (D c M =, où D c M est la position du PR corrigé). On veut donc que : C 0 + C 1 1 D c M Mais comme C 0 1/D M = K, il suffit que = C 0 + C 1 = K. C 1 = 1 D M < 0 f 1 = D M. Pour corriger la myopie, il faut donc accoler à l œil une lentille divergente de distance focale f 1 = D M (fig. 7.7b). Comme nous venons de la voir, l œil myope corrigé à son PR à l infini, qu en est-il de son PP? Pour une accommodation maximale, l équation de la vision de l œil corrigé devient : C 0 + C 1 + C 1 D c m = K, où D c m est la position du PP corrigé. Or comme C 0 + C 1 = K, on voit immédiatement que C = 1. Dm c

3 Quelques défauts de l œil 53 La correction de la myopie par une lentille divergente a aussi pour effet de reculer le PP à une distance normale (environ 20 cm). Remarques : On peut aussi corriger la myopie par chirurgie en rabotant la cornée ou en posant des implants. La lentille correctrice donne d un objet à l infini une image située au PR de l œil myope (fig. 7.7b). 3.3 L hypermétropie a) A O F b) O PR Fig. 7.8 a) Œil hypermétrope n accommodant pas. b) Œil hypermétrope n accommodant pas corrigé. Contrairement à l œil myope, l œil hypermétrope n est pas assez convergent ou trop court : lorsqu il n accommode pas sa distance focale est supérieure à celle de l œil normal. L image d un objet à l infini se forme donc en arrière de la rétine. Au repos, F étant situé derrière la rétine (figure 7.8a), f = OF > OA et donc C 0 < K. Comme C 0 1/D M = K, D M est négatif. Le PR est virtuel. L hypermétrope doit donc accommoder pour voir nettement à l infini. Pour une accommodation maximale (avec toujours une amplitude dioptrique normale C = 5 δ), C 0 + C 1 D m = K.

54 Chapitre 7. L Œil et la vision Mais comme C 0 < K, C 1 D m > 0 = C > 1 D m D m > 1 C. Le PP est plus éloigné que pour l œil normal. Un œil hypermétrope voit donc nettement les objets éloignés, par contre les objets rapprochés sont flous. On corrige ce défaut à l aide d une lentille de vergence C 1 telle que le P R corrigé soit à l infini (D c M = ), soit : Mais comme C 0 1/D M = K, il suffit que C 0 + C 1 = K. C 1 = 1 D M > 0 f 1 = D M. Pour corriger l hypermétropie, il faut donc accoler à l œil une lentille convergente de distance focale f 1 = D M (figure 7.8b). Pour une accommodation maximale, l équation de la vision de l œil corrigé devient : C 0 + C 1 + C 1 D c m Or comme C 0 + C 1 = K, on voit immédiatement que C = 1. Dm c = K. La correction de l hypermétropie par une lentille convergente a aussi pour effet de rapprocher le PP à une distance normale (environ 20 cm). Remarque : On peut dire que, sans accommoder, l œil hypermétrope serait capable de voir un objet virtuel ; son PR est en arrière de l œil (D M > 0). En effet, pour que la focalisation d un faisceau incident se fasse sur la rétine, il faut que celui-ci soit déjà convergent, ce qui correspond bien à un objet virtuel. La lentille correctrice donne d un objet à l infini une image située au PR de l œil hypermétrope, c est pourquoi sa distance focale est égale à D M (la même remarque est aussi valable pour l œil myope). 3.4 La presbytie Il s agit d un défaut lié au vieillissement de l œil. En vieillisant les muscles ciliaires s affaiblissent et le cristallin perd de son élasticité ce qui provoque une diminution de la faculté d accommodation : C diminue. Le P P s éloigne progressivement tandis que le PR reste à l infini. Par exemple, l amplitude dioptrique d accommodation passe de 5 δ à 25 ans à 1 δ à 60 ans. On corrige ce défaut en utilisant plusieurs lentilles correctrices suivant la distance objet-œil : la partie supérieure du verre correcteur permet la vision éloignée et la partie basse la vision proche. Exemple : verres à double foyer ( demi-lune ou verres progressifs (verres dont la focale est variable).

3 Quelques défauts de l œil 55 3.5 L astigmatisme L astigmatisme provient d un défaut de symétrie de l œil : la cornée n est pas parfaitement sphérique. La vergence de l œil n est pas la même dans le plan vertical et le plan horizontal par exemple, ou dans deux autres plans perpendiculaires. L image d un point sur l axe optique n est pas un point, mais une tache. On corrige ce défaut à l aide de lentilles astigmates. 3.6 Acuité visuelle et pouvoir séparateur L œil ne peut distinguer deux points lumineux que si leurs images se forment sur deux cellules distinctes de la rétine. Dans le cas contraire, l œil ne verra qu un seul point. Le pouvoir séparateur ε de l œil est la plus petite distance angulaire entre deux points dont les images sont distinctes. La quantité 1/ε s appelle l acuité visuelle. B cristallin rétine A α D O B' A' Fig. 7.9 Pouvoir séparateur de l œil. Pour que les points A et B soient résolus, il faut donc que : α > ε, où α est la distance angulaire entre les points A et B vus depuis le cristallin (figure 7.9). Pour un œil normal, ε est de l ordre d une minute, soit 3.10 4 rad, ce qui correspond à une pièce de un euro vue à 76 m. Cette valeur n est qu une moyenne, car elle dépend des conditions d éclairage, de la fatigue, de l individu... On appelle pouvoir de résolution la plus petite distance AB min entre deux points résolus par l œil. La distance AB est minimale quand l objet est au P P de l œil est vu sous un angle ε, soit : AB min = D m ε. Avec D m 0,20 cm et ε 3.10 4 rad, on trouve que AB min 60 µm.

Chapitre 8 INSTRUMENTS D OPTIQUE 1 Microscopie classique Notre œil est capable de distinguer deux points distants au minimum de 0,1 mm (un cheveu). Ce qui correspond à un objet de diamètre apparent α 3.10 4 rad vu au PP de l œil (fig. 8.1a). C est le pouvoir de résolution de l œil normal. Pour observer des objets plus petits, il est nécessaire de recourir à des instruments d optiques capables de grossir ces objets de petite taille. Celui-ci donne alors de l objet une image qui sera vue sous un angle beaucoup plus grand (fig. 8.1b). a) A B. b) B D m A B A. système optique Fig. 8.1 a) Objet vu au PP à l œil nu sous l angle α. b) Objet vu à travers le système optique sous l angle α > α.

58 Chapitre 8. Instruments d optique B' A' F B A O α Fig. 8.2 Principe de la loupe. 1.1 La loupe 1.1.a Principe Pour examiner un objet à l œil nu, en observant le maximum de détail, il faut le placer au PP. Il en résulte une fatigue importante de l œil. La loupe permet de remédier à ce problème. Il s agit d une lentille convergente de petite distance focale. En plaçant l objet observé entre le foyer objet et la lentille on obtient une image virtuelle droite et agrandie, image servant d objet pour l œil et nécessitant une accommodation moindre (fig. 8.2). Cette image est d autant plus grande que l objet est proche du foyer objet F de la loupe. 1.1.b Puissance de la loupe La puissance est définie par P = α AB, où α est l angle sous lequel est vue l image de l objet à travers l instrument et AB la taille algébrique de l objet (fig. 8.1b). Elle se mesure en dioptrie. Par la suite, on se restreindra à une observation de l image A B à l infini, cas particulièrement intéressant car il correspond à une observation sans accommodation pour un œil normal. L objet AB se trouve alors dans le plan focal objet de la loupe (fig. 8.3). Comme tous les rayons issus de B émergent de la loupe parallèles entre eux, l angle α est indépendant de la position de l œil. Si les angles sont petits, nous avons alors : Soit : α tan α = AB OF = AB f. P = 1 f = V.

1 Microscopie classique 59 B B A F.. O F' Fig. 8.3 Objet dans le plan focal objet de la loupe. Remarque : si l œil est au foyer image de la loupe, l image d un objet donné est toujours vue sous le même diamètre apparent ; la puissance de la loupe est alors indépendante de la position de l objet et vaut aussi 1/f. 1.1.c Grossissement Le grossissement est une grandeur sans unité définie par G = α α, où α est l angle sous lequel est vue l image de l objet à travers l instrument et α l angle sous lequel l objet est vu au PP à l œil nu (fig. 8.1a et b). Dans l approximation des petits angles, on a (figure 8.1a et figure 8.3) α = AB/ D m et α = AB/ f. Soit G = AB ( D ) m f AB = D m f = V D m = P D m. (1) Le grossissement dépend de l observateur (D m varie d un individu à l autre), on définit donc un standard afin de pouvoir classer les différents instruments : le grossissement commercial G c. Il correspond à une image vue à l infini au travers de l instrument et à un objet vu au PP à l œil nu avec D m = 0,25 m. Pour la loupe, nous avons donc Typiquement G c est compris entre 2 et 25. 1.2 Le microscope 1.2.a Principe G c = P 4. Le microscope permet l observation d objets de petites dimensions situés à distance finie (distance de l ordre du millimètre). Il est constitué de deux systèmes optiques conver-

60 Chapitre 8. Instruments d optique L 1 B I F 1 AF O 1 1 1 F 2 A O F 2 2.. B 1 B L 2 Fig. 8.4 Microscope : marche des rayons lumineux pour une image à l infini. gents que l on peut assimiler à des lentilles minces (fig. 8.4) : L objectif L 1 est une lentille de très courte distance focale (quelques millimètres). Elle donne d un objet AB très petit une image réelle A 1 B 1 renversée et très agrandie. L oculaire L 2 qui fonctionne comme une loupe (focale de quelques centimètres) et qui donne de A 1 B 1 une image virtuelle A B examinée par l observateur, A B étant plus grande que A 1 B 1 et renversée par rapport à AB. Nous nous placerons de la cas où l œil observe à l infini, i.e. le cas où A 1 est en F 2. L objectif et l oculaire sont maintenus à distance constante par un tube métallique, la mise au point se faisant en déplaçant l ensemble des deux lentilles par rapport à l objet. Nous noterons f 1 la distance focale image de l objectif, f 2 celle de l oculaire et = F 1F 2 la distance algébrique entre le foyer image F 1 de l objectif et le foyer objet F 2 de l oculaire, distance que l on appelle intervalle optique et qui est comprise entre 15 et 20 cm. 1.2.b Puissance Comme pour la loupe, la puissance du microscope est définie par P = α AB. Pour de petits angles et une image finale se formant à l infini, nous voyons que α tan α = A 1 B 1 /O 2 F 2 = A 1 B 1 /f 2. (2)

2 Microscopie moderne 61 De plus, dans les triangles semblables IO 1 F 1 et B 1 F 2 F 1, nous avons A 1 B 1 F 1F 2 = O 1I = AB = A 1B 1 F 1O 1 F 1O 1 AB = F 1F 2 =. F 1O 1 f 1 Soit AB = A 1 B 1 f 1/ et donc P = A 1B 1 f 2 ( ) A 1 B 1 f 1 =. f 1f 2 1.2.c Grossissement Nous avons G = α /α avec α = AB/D m et, pour une image finale à l infini, α = A 1 B 1 /f 2. Soit G = A 1B 1 AB 1 D f 2 m = γ 1 P 2 D m = γ 1 G 2, où P 2 et G 2 sont respectivement la puissance et le grossissement de l oculaire. Le grossissement commercial G c, grossissement du microscope pour une image finale vue à l infini et un objet vu au PP à l œil nu avec D m = 0,25 m, est donc donné par : G c = γ 1 P 2 4 = γ 1 G 2c. Le microscope est donc caractérisé par le grandissement de son objectif et le grossissement commercial de son oculaire. Les valeurs de γ 1 et de G 2c sont gravées sur les montures de l objectif et l oculaire. Le grossissement commercial des microscopes usuels est compris entre 20 et 1600. Remarque : D après la sous-section 1.2.b nous savons que γ 1 = /f 1. De plus, comme P 2 = 1/f 2, il vient que 2 Microscopie moderne Cf. diaporama. 3 La lunette astronomique 3.1 Principe G = D f 1f 2 m = P D m et G c = P 4. (3) La lunette astronomique permet l observation des astres, c.-à-d. d objets situés à l infini. Elle donne de l objet une image virtuelle de diamètre apparent important, ce qui améliore la visibilité des détails. Elle est constituée de deux systèmes optiques convergents (fig. 8.5) :

62 Chapitre 8. Instruments d optique L 1 B A.. F2 1 F A O1 1 A O2 F 2. B 1 B L 2 Fig. 8.5 Schéma d une lunette astronomique non réglée à l infini. L objectif L 1, qui est assimilable à une lentille mince de grande distance focale, pouvant atteindre 20 m, donnant dans son plan focal image une image réelle renversée A 1 B 1 d un objet AB à l infini. L oculaire L 2 qui fonctionne comme une loupe (focale de quelques centimètres) et qui donne de A 1 B 1 une image virtuelle non renversée A B examinée par l observateur. 3.2 Conditions d observations Pour un œil normal, l observation se fait sans accommodation si A B est rejeté à l infini, c.-à-d. si A 1 B 1 se forme dans le plan focal objet de l oculaire. Cette condition est réalisée si F 1 est confondu avec F 2 (fig. 8.6). Une telle lunette est dite afocale : elle n a pas de foyer (ou ces foyers sont rejetés à l infini). Elle donne une image grossie à l infini d un objet à l infini. Désormais, nous nous placerons toujours dans ce cas. 3.3 Grossissement Les objets observés étant à très grande distance, ils ne sont définis que par leur diamètre apparent. Nous ne parlerons donc pas de puissance dans le cas de la lunette astronomique. Considérons une lunette afocale (fig. 8.6). Soit f 1 la distance focale image de l objectif et f 2 celle de l oculaire. Dans le triangle O 1 A 1 B 1, les angles étant petits (tan α α), nous voyons que le

3 La lunette astronomique 63 L 1 B. A. F 2 F 1 A O1 1 O 2. F 2 B 1 B L 2 Fig. 8.6 Lunette astronomique afocale. diamètre apparent de l objet α vaut : α = A 1B 1. f 1 De même dans le triangle A 1 B 1 O 2, nous voyons que le diamètre apparent de l image α est donné par : On en déduit que α = A 1B 1 = A 1B 1. O 2 F 2 f 2 G = α α = f 1. Ordre de grandeur du grossissement : lunette d amateur : f 1 = 70 cm, f 2 = 1 cm, soit G = 70. lunette professionnelle : f 1 = 18 m, f 2 = 2 cm, soit G = 900. Remarque : Dans un téléscope, l objectif est remplacé par un miroir parabolique présentant trois avantages : 1. il n a pas d aberration chromatique. 2. Son diamètre d ouverture peut être plus grand car il est techniquement plus facile de fabriquer de grands miroirs que de grandes lentilles. 3. Il donne d un point à l infini une image stigmatique. f 2

64 Chapitre 8. Instruments d optique 3.4 Lunettes terrestres* L inconvénient d une lunette astronomique pour l observation d objets terrestres éloignés est qu elle donne des images renversées. On peut remédier à cet inconvénient de deux manières : Soit en incorporant un redresseur d image entre l objectif et l oculaire. Un tel procédé est utilisé dans la longue-vue, le redressement de l image étant obtenue par une lentille ou un système de deux lentilles, ce qui allonge considérablement la lunette. On préfère donc utiliser comme redresseur un système de deux prismes à réflexion totale (figure 8.7). Ce dispositif est utilisé dans les jumelles. Fig. 8.7 Redresseur d image à prismes (système de Porro). Soit en remplaçant l oculaire convergent par une lentille divergente de faible distance focale qui, d un objet virtuel situé au-delà de son foyer objet, donne une image virtuelle agrandie : c est la lunette de Galilée (figure 8.8). Cependant, du fait de son faible grossissement (3 à 4), elle n est plus employée que dans les jumelles de théâtre. L 1 B L 2 B A O 2 F 2 F 1 O1 A F A1 2 B 1 Fig. 8.8 Lunette de Galilée.