Séquence 9 SEQUENCE 9 ORDRE Ce que tu devais faire JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5 e a < b < c b < a < c c < a < b c < b < a 4,819 4,82 4,821 4,83 3 < 14 3 14 3 14 = > 2 10 2 10 2 10 4) 5) 4 3 1 999 1 997 815 815 3 4 b est un nombre négatif b = 1,71 b < 0 SEANCE 1 Les commentaires du professeur On range les nombres a, b et c du plus petit au plus grand. Un nombre négatif est toujours plus petit que n importe quel nombre positif. Le plus petit des deux nombres négatifs est celui qui a la plus grande distance à zéro. Le plus petit des trois nombres est donc le nombre négatif qui a la plus grande distance à zéro, c est donc b. Ensuite on trouve a et enfin le nombre positif c. On voit mieux en écrivant : 4,830 < x < 4,800 N importe quel nombre à la fois plus grand que 4,83 et plus petit que 4,8 (on dit compris strictement entre 4,83 et 4,8) convient. 4,83 ne convient pas car 4,83 < 4,83 est faux. 3 1, 5 2 = et 14 1, 4 10 = On a : 1,5 > 1,4. 4) Tu as vu en 5ème que si a et b sont des nombre positifs tels que b 0 : Si a < b alors a 1 b < a Si a = b alors 1 b = a Si a > b alors 1 b > 5) b est le nombre qui, ajouté à 8,91, donne 7,2. 8,91 + ( 1,7 = 7,2 D où : b= 1,71 b = 1,71 244 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 6) De deux nombres positifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro. De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. De deux nombres de signes contraires, le plus petit est le négatif. 6) Tu as vu en 5ème que : De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro ; donc le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. On dit encore le plus petit de deux négatifs est le plus éloigné de zéro ; le plus grand est le plus proche de zéro. On rappelle que zéro est plus petit que n importe quel nombre positif et plus grand que n importe quel nombre négatif. Le nombre zéro est plus petit que n importe quel nombre négatif. 7) x > 5 x < 18 x = 4 x > 3 7) Pour mieux comprendre, il peut être utile de représenter les nombres sur une droite graduée. Par exemple, si x=4,2 alors x > 4 est vrai mais x > 5 est faux. Par exemple, si x=18 alors x > 4 est vrai mais x > 19 est faux. x>4 veut dire x est strictement plus grand que 4 ce qui signifie que x ne peut être ni égal à 4 ni plus petit que 4. Si x est strictement plus grand que 4, il est donc strictement plus grand que 3. 8) x < 7 et 9 > x x < 5 et x > 2 x > 4 et x < 0 x < 2 et 2 < x 8) Pense à placer les nombres sur une droite graduée! Par exemple 6 est à la fois plus petit que 7 et plus petit que 9, n importe quel nombre plus petit que 7 convient. 5< 2 donc aucun nombre ne peut être à la fois plus petit que 5 et plus grand que 2. Par exemple 3, n importe quel nombre à la fois plus grand que 4 et plus petit que 0 convient. On dit qu un tel nombre est compris entre 4 et 0 ou encore qu il est encadré par 4 et 0. N importe quel nombre compris entre 2 et 2 convient (par exemple. EXERCICE 1 n = 27 ou n < 27 x = 18 ou x > 18 Pour exprimer que n = 27 ou n < 27 on écrira que n 27. Pour exprimer que x = 18 ou x > 18 on écrira que x 18. EXERCICE 2 5,08 > 3 donc 5,08 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 4,7 < 3 donc 4,7 est l abscisse d un point de la demi-droite bleue. 2,8 > 3 donc 2,8 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 2,8 > 3 donc 2,8 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 3,1 < 3 donc 3,1 est l abscisse d un point de la demi-droite bleue. 2,999 > 3 donc 2,999 est l abscisse d un point de la demi-droite noire. 3,009 < 3 donc 3,009 est l abscisse d un point de la demi-droite bleue. Cned, Mathématiques 4 e 245
Séquence 9 L abscisse de n importe quel point de la demi-droite bleue est plus petite ou égale à 3. L abscisse de n importe quel point de la demi-droite noire est plus grande que 3. Les commentaires du professeur : On dit que l abscisse de n importe quel point de la demi-droite bleue est plus petite ou égale à 3 car le point d abscisse 3 est bien sur cette demi-droite (le petit «trait» correspondant à 3 est représenté en bleu). EXERCICE 3 Les commentaires du professeur : On fait attention au sens du crochet! EXERCICE 4 a) l inégalité est large, le crochet est donc tourné vers la demidroite. b) l inégalité est stricte, le crochet n est donc pas tourné vers la demi-droite. c) l inégalité est large, le crochet est donc tourné vers la demidroite. d) l inégalité est stricte, le crochet n est donc pas tourné vers la demi-droite. a) x 4 b) x 0 On fait attention au sens du crochet! c) x 2,8 d) x < 4 246 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 5 Ce problème semble difficile! a) La calculatrice affiche : pour π : 3.141592654 SEANCE 2 Sans calculatrice, le problème semble impossible à résoudre. a) La calculatrice affiche effectivement le même nombre. Il faut se méfier de la calculatrice, nous allons le voir par la suite. 104 348 pour 33 215 : 3.141592654 La calculatrice affiche le même nombre! b) Les nombres ne sont pas nécessairement égaux car la calculatrice a sûrement affiché des valeurs approchées de chacun des deux nombres. c) J effectue π 104 348 33 215 à l aide de ma calculatrice. Elle affiche : 3.3162 10 10. 104 348 Les nombres π et ne sont pas égaux, car 33 215 sinon la calculatrice aurait affiché 0. b) Effectivement, les nombres affichés sont arrondis au 9ème chiffre après la virgule. Ce n est pas parce que la calculatrice affiche la même chose que les nombres sont égaux. c) La calculatrice nous donne un résultat important : la différence des deux nombres n est pas nulle : elle est en fait négative. Les deux nombres ne sont donc pas égaux. Remarques : Nous pouvions deviner la réponse : Nous savions déjà que le nombre π ne peut pas s écrire sous la forme d une fraction. Si c était le cas, ce nombre ne s écrirait pas π mais uniquement sous forme de fraction! Nous n avons pas répondu au problème, qui était de savoir lequel de ces deux nombres était le plus grand. Nous répondrons à ce problème à la fin de la séance. EXERCICE 6 a b a b signe de a b «a < b» ou «a > b» 5 8 3 négatif a < b 4,2 9,7 13,9 positif a > b 2 6 8 positif a > b 3 4 7 négatif a < b 10 3 7 positif a > b 7 2 5 négatif a < b Il semble que : lorsque la différence a b est positive, on ait : a > b. lorsque la différence a b est négative, on ait : a < b. Cned, Mathématiques 4 e 247
Séquence 9 Ali a raison, si a > b alors a b est la distance des points A et B ayant pour abscisses respectives a et b sur une droite graduée. Une distance est toujours positive donc b a > 0. Si a < b alors la distance des deux points A d abscisse a et B d abscisse b est b a. b a est donc positif donc son opposé a b est négatif. Les commentaires du professeur : Nous avons démontré dans le que : si a > b alors a b > 0 si a < b alors a b < 0 Pour s en rappeler, il suffit de penser à la distance de deux points d abscisses a et b! EXERCICE 7 AB = 3 ( 7) = 3 + 7 = 4 AC = 2 ( = 2 + 3 = 5 Si M est sur [AC) alors : x 3 D où : AM = x ( = x + 3 Si M est sur [AB) alors : x 3 D où : AM = 3 x Les commentaires du professeur : Pour calculer la distance de deux points, on calcule la différence entre la pus grande abscisse et la plus petite. Les abscisses de A et B sont respectivement 3 et 7, comme 3 > 7 on a AB = 3 ( 7) Les abscisses de A et C sont respectivement 3 et 2, comme 2 > 3 on a AC = 2 ( On a vu en 5ème qu une distance est un nombre toujours positif. Tu peux vérifier sur ta figure les résultats obtenus pour AB et AC par le calcul. EXERCICE 8 Les commentaires du professeur : Prenons un exemple : x + 7 > 0 revient à écrire : x ( 7) > 0 On applique le «Je retiens» précédent : Si x ( 7) > 0 alors x > 7. 248 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 9 a) Si : x 2 0 alors x 2 b) Si : x + 4 > 0 alors x > 4 c) Si : 5 5 a< alors a < 0 4 4 d) Si : a + 3 0 alors a 3 e) Si : x 7,9 alors x 7,9 0 Les commentaires du professeur : On applique le «Je retiens» précédent. Prenons un exemple : x + 4 > 0 c est-à-dire : x ( 4) > 0 d où : x > 4. EXERCICE 10 a) x y = 8,9 donc : x y > 0 d où : x > y. On n oublie pas que comparer deux nombres consiste à dire lequel des deux est le plus grand ou s ils sont égaux. b) x y = 0 donc : x = y. c) x y = 10 4 donc : x y < 0 d où : x < y. d) x y = 2 3 donc : x y > 0 d où : x > y. c) 10 4 = 0,000 1 donc 10 4 < 0. d) 3 1 1 2 = = 3 2 8 donc 2 3 > 0 EXERCICE 11 a) 3,21 a la plus grande distance à zéro donc : 3,21 < 3,201 a) On pouvait également étudier le signe de la différence : 3,21 ( 3,20 = 3,21 + 3,201 = 0,009 D où : 3,21 ( 3,20 < 0 Conclusion : 3,21 < 3,201 b) 3 3 40 = = 120 2 2 40 80 Comme 117 < 120 on a : 117 3 D où : < 80 2 117 120 < 80 80 b) On pouvait également étudier le signe de la différence : 3 117 120 117 3 = = 2 80 80 80 80 3 117 3 117 D où : > 0 soit > 2 80 2 80. c) Je tape 7 3 2 4 π sur une calculatrice. La calculatrice affiche 0,0076 Le résultat est négatif. On a donc : 7 3 2 < π 4. e) On pouvait également déterminer la valeur exacte de 7 3 2 (c est-à-dire 0,007) et une valeur approchée de π 4. On compare alors les deux nombres obtenus. Conclusion : il n est pas toujours judicieux, pour comparer deux nombres, d étudier le signe de leur différence. Dans certains cas, comme par exemple dans l exercice suivant, c est nécessaire! Cned, Mathématiques 4 e 249
Séquence 9 EXERCICE 12 J effectue π 104 348 33 215 Elle affiche : 3.3162 10 10. Le résultat est négatif. 104 348 On a donc : π < 33 215 à l aide de ma calculatrice. On retrouve ici l exercice par lequel on a commencé la séance. On a maintenant les moyens permettant de résoudre le problème! EXERCICE 13 SEANCE 3 Moyenne d Hugo 12+ 8+ 14+ 18 52 = = 13 4 4 Avec 18 au dernier devoir Hugo aura pour moyenne 13. Il a donc raison! Moyenne de Lindsay 6+ 14,5+ 8,5+ 5 34 = = 8,5 4 4 Avec 5 au dernier devoir Lindsay aura 8,5 de moyenne et non 13. Elle a donc tort! a) La moyenne du trimestre est b) si : a+ b+ c+ x = 13 4 alors : a + b + c + x = 4 13 D où : x = 4 13 (a + b + c) a+ b+ c+ x 4 La note cherchée est bien la différence du produit de 4 par 13 et de la somme des trois notes connues, la formule trouvée par Ali est exacte. c) Lindsay x = 4 13 (6 + 14,5 + 8,5) = 52 29 = 23 Noémie x = 4 13 (17,5 + 18,5 + 18) = 52 54 = 2 Lindsay et Noémie ont un problème car 23 et 2 ne correspondent pas à des notes sur 20. Pour calculer la moyenne de quatre notes, on ajoute les quatre notes et on divise le résultat par 4. Quand Lindsay a trouvé 5, elle s est trompée dans les priorités des calculs. Lindsay a calculé d abord 13 6 ce qui est faux car, en l absence de parenthèses, on effectue toujours en priorité les multiplications. a) b) On écrit que la moyenne vaut 13. On utilise ensuite la définition du quotient : le quotient de a + b + c + x par 4 vaut 13 donc a+ b + c + x est égal au produit de 4 par 13. Pour que l inconnue soit isolée dans le membre de gauche, on soustrait de 4 13 la somme a + b + c. c) Pour Lindsay et Noémie il ne sera pas possible d avoir pour moyenne 13. En effet les trois premières notes de Lindsay sont «trop basses» et même avec la note maximale 20, Lindsay n aurait que 12,25 de moyenne. En effet : calcul de la moyenne avec 20 : 6+ 14, 5+ 8, 5+ 20 49 = = 12, 25 4 4 Au contraire les trois premières notes de Noémie sont «trop hautes» et même avec la note minimale 0, Noémie aurait déjà 13,5 de moyenne. Pour résoudre ce problème, Ali a oublié de dire que l inconnue étant une note sur 20, elle est nécessairement comprise entre 0 et 20. En mathématique on écrit : 0 x 20 Pour résoudre certains problèmes on a souvent des contraintes sur l inconnue, contraintes qui se traduisent par des inégalités ou des encadrements. 250 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 14 On fait très attention aux «sens» des crochets! a) L amplitude de 3 < x < 3 est 3 ( soit 6. b) L amplitude de 1 y 1 est 1 ( soit 2. 1 c) L amplitude de 0 z est 1 0 soit 0,1. 10 10 Pour calculer l amplitude d un encadrement, que les inégalités soient strictes ou larges, on calcule la différence entre le plus grand nombre et le plus petit. d) L amplitude de 3,581 t < 3,591 est 3,591 3,581 soit 0,01. EXERCICE 15 On a bien : 3 < 0 < 3 On a bien : 1 0,5 1 On a bien : 1 0 0,05 10 On a bien : 3,581 3,586 < 3,591 Les commentaires du professeur : On pouvait bien entendu choisir d autres nombres. Cned, Mathématiques 4 e 251
Séquence 9 EXERCICE 16 a) 7 < x < 2 3 b) x 0 2 On fait très attention aux crochets. Si le crochet est ouvert c est l inégalité stricte ; si le crochet est fermé c est inférieur ou égal. c) 0 < x 4 d) 3 10 x < 7 EXERCICE 17 mi mouche mouche coq plume légers super légers mi moyens moyens mi lourds lourds super lourds Moins de 48 51 54 57 60 64 69 75 81 91 91 ou plus p < 48 48 p < 51 51 p < 54 54 p < 57 57 p < 60 60 p < 64 64 p < 69 69 p < 75 75 p < 81 81 p < 91 p 91 EXERCICE 18 0 < a < 90 90 < b < 180 0 < c 90 0 < AC < 12 En effet, dans un triangle rectangle, l un des angles est droit, les deux autres sont aigus. ABC isocèle en B donc BA = BC = 6 cm. Dans tout triangle, la longueur de chaque côté est plus petit que la somme des longueurs des deux autres donc : A C< AB + BC donc AC < 12 De plus, AC est une longueur donc : AC > 0. 252 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 19 Ce matin Quentin avait 23 7 soit 16 et Manon 17, donc c est Manon qui avait le plus d argent. Après avoir reçu 4, Quentin a 20 et Manon a 21. C est toujours Manon qui a le plus d argent. EXERCICE 20 SEANCE 4 Ce matin, Manon avait 1 de plus que Quentin, comme chacun a reçu la même somme, l écart reste le même. Si m désigne la somme d argent que possédait Manon ce matin et q la somme d argent que possédait Quentin ce matin ; on a m > q et m q =1 A midi, Manon a : m + 4 et Quentin a : q + 4. L écart est alors : (m + 4) (q + 4) = m + 4 q 4 = m q = 1 L écart est le même donc on comprend que Manon a toujours plus. Nous allons étudier cette propriété dans cette séance. a b comparaison de a et b c a + c b + c comparaison de a + c et b + c 5 8 a < b 15 20 23 a + c < b + c 4,2 9,7 a > b 3 7,2 6,7 a + c > b + c 2 6 a > b 5 3 11 a + c > b + c 3 4 a < b 1 4 3 a + c < b + c 10 3 a > b 4 6 1 a + c > b + c Dans les deux colonnes de «comparaison» les inégalités sont identiques. Il semble que : si a < b alors a + c < b + c si a > b alors a + c > b + c. Les remarques du professeur : On dit encore que les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b. On va voir dans l exercice suivant que ces deux propriétés sont vraies. EXERCICE 21 Si a < b alors : a b < 0 (a + c) (b + c) = a + c b c = a b Si a < b alors : a b < 0 Comme (a + c) (b + c) = a + c b c = a b On déduit que : (a + c) (b + c) < 0 D où : a + c < b + c On pourrait démontrer de la même façon que : Si a > b alors a + c > b + c et si a > b alors a c > b c Si a b alors a + c b + c et si a b alors a c b c Si a b alors a + c b + c et si a b alors a c b c EXERCICE 22 Si a < b alors : a b < 0 (a c) (b c) = a c b + c = a b On a donc : (a c) (b c) < 0 D où : a c < b c Cned, Mathématiques 4 e 253
Séquence 9 EXERCICE 23 On a : a b Si on ajoute 5 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : a + 5 b + 5. Si on soustrait 4,2 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : a 4,2 b 21 5. Si on soustrait 3 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : 3 + a b 3. Si on ajoute 9 aux deux membres de a b, on ne change pas l inégalité, donc : a + 9 b + 9 c est-à-dire : b + 9 a + 9. EXERCICE 24 x est un nombre relatif tel que x > 4. a) x + 7 > 4 + 7 donc x + 7 > 3 On a ajouté 7 aux deux membres. b) 3 + x > 3 + ( 4) donc 3 + x > 1 On a ajouté 3 aux deux membres. c) x 0,9 > 4 0,9 donc x 0,9 > 4,9 On a soustrait 0,9 aux deux membres. d) x + 4 > 4 + 4 donc x + 4 > 0 On a ajouté 4 aux deux membres. EXERCICE 25 a) 7 > 3 donc 2 2 7 > 3 d où : x > y 7 7 On a soustrait 2 7 aux deux membres. b) 11 < 7 donc 4 4 11+ < 7+ d où : x < y 3 3 On a ajouté 4 3 aux deux membres. c) 5 > 7 donc π 5 > π 7 d où : x > y On a ajouté π aux deux membres. EXERCICE 26 a < x < b signifie x > a et x < b x > a donc x + c > a + c x < b donc x + c < b + c On a donc : a + c < x + c < b + c a < x < b signifie x > a et x < b x > a donc x c > a c x < b donc x c < b c On a donc : a c < x c < b c On applique les propriétés : «Si a < b alors a + c < b + c» «Si a > b alors a + c > b + c» aux deux inégalités d un encadrement. On applique les propriétés : «Si a < b alors a c < b c» «Si a > b alors a c > b c» aux deux inégalités d un encadrement. 254 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 27 a) 3,141 5<π< 3,141 6 3,141 5+ 1<π+ 1< 3,141 6+ 1 4,141 5 <π+ 1 < 4,141 6 On applique le «Je retiens» vu précédemment. b) 3,141 5<π< 3,141 6 3,141 5 2,14<π 2,14< 3,141 6 2,14 1,001 5 <π 2,14 < 1,001 6 c) 3,141 5<π< 3,141 6 3,141 5 3,5<π 3,5< 3,141 6 3,5 0,358 5 <π 3,5 < 0,358 4 EXERCICE 28 Hugo pèse exactement 59 kg. Si p désigne le poids du chien, on peut écrire : 68,6 < p + 59 < 68,7 En soustrayant 59, on obtient : 68,6 59 < p + 59 59 < 68,7 59 D où : 9,6 < p < 9,7. le poids du chien d Hugo est compris entre 9,6 kg et 9,7 kg. EXERCICE 29 SEANCE 5 3,80 < 4 donc la chambre de Lindsay est effectivement moins longue que celle de Noémie. Cependant, pour affirmer qu elle est moins grande, il faut connaître les largeurs des deux pièces et calculer leurs aires. Aire en m 2 de la chambre de Lindsay : 3,80 3 = 11,40 Aire en m 2 de la chambre de Noémie : 4 3 = 12 11,40 < 12 donc Lindsay a la plus petite chambre. On constate que les aires sont rangées dans le même ordre que les longueurs cela est dû au fait que les largeurs sont égales. On peut écrire : 3,80<4 et 3,80 3 < 4 3 La deuxième inégalité est obtenue à partir de la première en multipliant chaque membre par 3. On peut faire le rapprochement avec les propriétés vues à la séance 4 mais on va découvrir dans cette séance qu avec la multiplication il faudra être plus «prudent». Cned, Mathématiques 4 e 255
Séquence 9 EXERCICE 30 a b comparaison comparaison c ac bc de a et b de ac et bc 2 5 a < b 0,1 0,2 0,5 ac < bc 2 5 a > b 2 4 10 ac > bc 3 7 a < b 7 21 49 ac < bc 8 1 a > b 10 80 10 ac > bc 3 6 a > b 4 12 24 ac > bc Dans les colonnes de «comparaison» les inégalités sont identiques. Il semble que si c est un nombre positif, on a : si a < b alors ac < bc si a > b alors ac > bc. EXERCICE 31 4 m = 4 ( 5, = 20,8 4 n = 4 3 = 12 5,2 < 3 donc m < n 20,8 > 12 donc 4 m > 4n On a donc : m < n mais 4m > 4n EXERCICE 32 a b comparaison comparaison c ac bc de a et b de ac et bc 2 5 a < b 0,1 0,2 0,5 ac > bc 2 5 a > b 2 4 10 ac < bc 3 7 a < b 7 21 49 ac > bc 8 1 a > b 10 80 10 ac < bc 3 6 a > b 4 12 24 ac < bc Dans les colonnes de «comparaison» les inégalités ne sont pas identiques, elles sont «de sens contraire». Il semble maintenant que si c < 0, alors : si a < b alors ac > bc si a > b alors ac < bc. Les commentaires du professeur : On peut penser qu en multipliant les deux membres d une inégalité par un nombre positif le sens de l inégalité est conservé ; alors qu en multipliant par un négatif le sens est changé. Autrement dit, on peut penser que : Si c positif alors ac et bc sont rangés dans le même ordre que a et b. Si c négatif alors ac et bc sont rangés dans l ordre inverse de a et b. Nous allons démontrer cette propriété dans l exercice suivant. 256 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 33 Comme a < b alors a b < 0 a b est donc négatif. Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif, comme a b est négatif et c est positif on conclut que le produit (a b) c est négatif. (a b) c = ac bc a < b donc a b est négatif donc (a b) c est négatif. or c est positif comme (a b) c = ac bc on en déduit que ac bc est négatif. D où : ac bc < 0 Donc : ac < bc. On a démontré que si : a < b et c > 0 alors ac < bc. EXERCICE 34 a < b donc a b est négatif donc (a b) c est positif. or c est négatif On n oublie pas que le produit de deux nombres négatifs est positif. comme (a b) c = ac bc on en déduit que ac bc est positif. D où : ac bc > 0 Donc : ac > bc. On a démontré que si : a < b et c < 0 alors ac > bc. EXERCICE 35 A et N sont placés dans le même ordre que les points A et N. On a : 2 < 0,5 et 3 ( < 3 0,5. AN = 0,5 ( = 0,5 + 2 = 2,5 et A N = 1,5 ( 6) = 1,5 + 6 = 7,5 Remarque : A N = 3 AN Cned, Mathématiques 4 e 257
Séquence 9 E et D sont placés dans l ordre inverse des points E et D. On a : 4 > 5 et 2 ( 4) < 2 ( 5). ED = 4 ( 5) = 4 + 5 = 1 et E D = 10 8 = 2. Remarque : E D = 2 ED Les commentaires du professeur : Les points A et N restent dans le même ordre que A et N, cependant l écart est modifié. Les points A et N sont «trois fois plus éloignés» que les ponts A et N, le «trois» correspond au multiplicateur de leurs abscisses. Les points E et D sont dans l ordre inverse des points E et D, ici les points E et D sont «deux fois plus éloignés» que les points E et D, le «deux» correspond au multiplicateur sans le signe. EXERCICE 36 s t donc 4s 4t car 4 est positif. s t donc 2s 2t car 2 est négatif. s t donc 3 s 3 t car 1 3 est positif. On se souvient que : diviser par 3 revient à multiplier par 1 3. s 1 = s 3 3 t 1 et = t 3 3 s t donc 3s 3t 3 car est négatif. 4 4 4 3s 3 = s 4 4 et 3t 3 = t 4 4 EXERCICE 37 On sait que a > 4 3a > 3 ( 4) donc 3a > 12 On a multiplié par 3 qui est positif. 5a < 5 ( 4) donc 5a < 20 On a multiplié par 5 qui est négatif. a 1 a 4 1 > 4 donc > car on a multiplié par 9 9 9 9 9 qui est positif donc l ordre est conservé. a < 1 ( 4) donc a < 4 car on a multiplié par 1 qui est négatif. On n oublie pas que : a = 1 a. a désigne l opposé de a. 258 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 38 SEANCE 6 On a 6 < 8 donc en multipliant les deux membres de l inégalité par 1, on obtient : 1 6 > 1 8 c'est-à-dire 6 > 8. On rappelle que 1 a = a qui est l opposé de a. Deux nombres opposés sont de signes contraires. 6 est l opposé de 6 et 8 est l opposé de 8. On suppose a < b, En multipliant les deux membres de l inégalité par 1, on obtient : 1 a > 1 b c'est-à-dire a > b. Deux nombres relatifs sont rangés dans l ordre inverse de leurs opposés. EXERCICE 39 Les points A ; E ; F ; I ; L ; R et T ont pour abscisses respectives 2 ; 5 ; 7,5 ; 6 ; 1 ; 7 et 3. Les points A ; E ; F ; I ; L ; R et T sont placés dans l ordre inverse des points A ; E ; F ; I ; L ; R et T. Les points A et A sont symétriques par rapport au point O. Les points E et E ; F et F ; I et I ; L et L ; R et R ; T et T sont, de la même façon, symétriques par rapport au point 0. Les commentaires du professeur : Dire que les points A et A sont symétriques par rapport à O signifie que O est le milieu de [AA ] Le point O d abscisse 0 est le milieu de [AA ] ; [EE ] ; [FF ] ; [II ] ; [LL ] ;[RR ] et [TT ]. En effet les points A et A sont à la même distance de 0 car leurs distances à zéro sont égales. Idem pour les autres points. EXERCICE 40 a < x < b signifie x > a et x < b x > a et c > 0 donc cx > ca x < b et c > 0 donc cx < cb On multiplie par c qui est positif donc l ordre est conservé. On a donc : cx > ca et cx < cb ce qui signifie que : ca < cx < cb EXERCICE 41 3,1415 < π < 3,1416 donc : 100 3,1415 < 100 π < 100 3,1416 donc : 314,15 < 100 π < 314,16 Cned, Mathématiques 4 e 259
Séquence 9 3,141 5 < π < 3,141 6 donc : 2 3,141 5 < 2 π < 2 3,141 6 donc : 6,283 < 2 π < 6,283 2 3,1415 < π < 3,1416 donc : 3 2 3,141 5 < 3 π 3 < 2 2 3,141 6 donc : 4,712 25 < 3 π < 4,712 4 2 3,141 5 < π < 3,141 6 L amplitude de cet encadrement de π est : 3,141 6 3,141 5 = 0,000 1 soit 10 4. 314,15 < 100 π < 314,16 L amplitude de cet encadrement est : 314,16 314,15 = 0,01 = 10 2 6,283 < 2 π < 6,283 2 L amplitude de cet encadrement est : 6,283 2 6,283 = 0,000 2 = 2 10 4 4,712 25 < 3 π < 4,712 4 2 L amplitude de cet encadrement est : 4,712 4 4,712 25 = 0,000 15 = 1,5 10 4 On a : 0,01= 100 0,0001 ou 10 2 = 100 10 4. L amplitude de l encadrement de 100 π est 100 fois plus grande que celle de l encadrement de π. On a : 0,000 2 = 2 0,000 1 L amplitude de l encadrement de 2π est 2 fois plus grande que celle de l encadrement de π. On a : 0,000 15 =1,5 0,000 1 L amplitude de l encadrement de 3 π est 1,5 fois plus grande que 2 celle de l encadrement de π. On peut rapprocher ces remarques de l exercice 35. On voit sur la représentation graphique que si l on choisit un nombre entre 2 et 0,5, son «triple» sera entre 6 et 1,5. Autrement dit, si 2 < x < 0,5 alors 6 < 3x < 1,5 le premier encadrement a pour amplitude 2,5 et le deuxième 3 2,5 soit 7,5. Ces amplitudes correspondent aux distances calculées dans cet exercice. EXERCICE 42 Si x désigne la largeur en m de la chambre d Ali, on a : 2,9 < x < 3. Pour encadrer l aire, on encadre 3,9 x. Comme 2,9 < x < 3 alors 3,9 2,9 < 3,9 x < 3 3,9 D où : 11,31 < 3,9x < 11,7 La chambre de Lindsay a une aire de 11,4 m 2 et celle de Noémie 12 m 2. D après l encadrement ci-dessus, on peut dire que la chambre d Ali est plus petite que celle de Noémie. On ne peut pas comparer avec celle de Lindsay. Rangeons ces aires dans l ordre croissant : 11,31 < 11,4 < 11,7 < 12 On sait que l aire en m 2 de la chambre d Ali est au maximum égale à 11,7. Elle est donc plus petite que l aire de la chambre de Noémie. Par contre, on ne sait pas si elle est inférieure ou supérieure à 11,4 car n importe quelle valeur entre 11,31 et 11,7 est possible. Les chambres de Lindsay et Ali pourraient très bien avoir la même aire. On ne peut pas préciser davantage. 260 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 43 SEANCE 7 a) 10 7 = 10 4 10 3 Comme 10 4 > 1, on a donc : 10 7 > 10 3 b) 4 10 < 1 4 1 1 car 10 = = 4 10 10 000 10 6 > 1 On a donc : 10 4 < 10 6 c) 5 1 1 10 = = 5 10 100 000 10 1 1 10 100 2 = = 2 1 1 < donc 10 5 < 10 2. 100 000 100 EXERCICE 44 La calculatrice affiche 2.347826087 La troncature au millième de 54 est 2,347. 23 L arrondi au millième de 54 est 2,348. 23 L encadrement demandé : 2,347 < 54 23 < 2,348 EXERCICE 45 On a travaillé dans cet exercice sur des exemples, mais on pourrait démontrer que de façon générale : Deux puissances de 10 sont rangées dans le même ordre que leurs exposants. Pour déterminer la troncature au millième il suffit de supprimer tous les chiffres à droite du chiffre des millièmes. Cet encadrement répond bien à la question : d une part les nombres ont trois chiffres après la virgule, d autre part son amplitude est 0,001. a) La troncature au centième de a est 41,53. Le chiffre des millièmes peut être : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. b) L encadrement demandé est : 41,53 a < 41,54 Les commentaires du professeur : Le nombre a peut être égal à sa troncature au centième donc on doit écrire dans l encadrement du côté de 41,53. Par contre, a ne peut pas être égal à 41,54 sinon sa troncature au centième ne serait pas 41,53 mais 41,54. Le nombre qui a pour abscisse a se trouve «quelque part» dans l intervalle bleu ci-dessous. Cned, Mathématiques 4 e 261
Séquence 9 EXERCICE 46 L arrondi au dixième d un nombre b est 6,4. L écriture avec deux chiffres après la virgule de b peut être : 6,35 ; 6,36 ; 6,37 ; 6,38 ; 6,39 ; 6,40 ; 6,41 ; 6,42 ; 6,43 ou 6,44. L encadrement demandé est : 6,35 b < 6,45 Les commentaires du professeur : b peut être égal à 6,35 mais pas à 6,45. A partir de 6,35 et jusqu à 6,44 l arrondi au dixième est 6,4. Avant 6,35 par exemple pour 6,34 l arrondi au dixième est 6,3 donc pas 6,4 et pour 6,45 l arrondi au dixième est 6,5. Le nombre qui a pour abscisse b se trouve «quelque part» dans l intervalle bleu ci-dessous. EXERCICE 47 49,432 x < 49,433 L amplitude de cet encadrement est 0,001 ou 10 3. 601,185 y < 601,195 L amplitude de cet encadrement est 0,01 ou 10 2. 7,95 z < 8,05 L amplitude de cet encadrement est 0,1 ou 10 1. On dit encore que : 49,432 x < 49,433 est un encadrement au millième de x 601,185 y < 601,195 est un encadrement au centième de y 7,95 z < 8,05 est un encadrement au dixième de z. 262 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 48 5 1 2 5 1 2 1 2 1 a = ( ) = ( ) = ( ) = 3 5 3 5 3 9 1 2 1 b = ( ) + = 1 + 1 3 5 9 5 On a donc : a < b SEANCE 8 Il suffit d écrire plus simplement les expressions a et b pour voir que : a < b. 12 48 10 a = 4 10 = 48 10 = 48 10 = 4,8 10 b = 3,15 10 15 On a donc : a > b 12 4 16 15 a = 5π 4 et b = 3π 4 5 > 3 donc 5π > 3π et 5π 4 > 3π 4 On a donc : a > b On a : 4,8 >3,15. D où le résultat. On multiplie par π qui est positif puis on soustrait 4, l ordre est conservé. 4) 2π+ 9 a = et b = 3 13 13 2π+ 9 3 a b = 13 13 = 2 π+ 9 3 2 π+ = 6 13 13 4) Pour comparer a et b on calcule leur différence. or π >3 d où : 2π < 6 On a donc : 2π ( 6) < 0 Le nombre 2π +6 est négatif, donc : On a donc : a < b 2π+ 6 13 < 0 EXERCICE 49 On sait que : 2,1 < x < 2,09 Alors : 6,3 < 3 x < 6,27 D où : 0,7 < 3x + 7 < 0,73 On sait que : 2,1 < x < 2,09 On a donc : x > 2,1 et x < 2,09 D où : 5x < 5 ( 2, et 5x > 5 ( 2,09) c'est-à-dire : 5x < 10,5 et 5x > 10,45 D où : 10,45 < 5 x < 10,5 Enfin : 13,45 < 5 x +3 < 13, 5 On multiplie chaque nombre par 3 qui est positif donc l ordre est conservé. On ajoute 7 à chaque nombre donc l ordre est conservé. On multiplie chaque nombre par 5 qui est négatif donc l ordre est inversé. Dans l encadrement 10,45 < 5x < 10,5 On remarque que : 10,45 = 5 ( 2,09) et 10,5= 5 ( 2,. Cned, Mathématiques 4 e 263
Séquence 9 EXERCICE 50 5x + 6 76 donc : 5x + 6 6 76 6 c'est-à-dire : 5x 70 1 1 On a : 5x 70 5 5 D où : x 14 7x 3 > 18 donc : 7x 3 + 3 > 18 + 3 c'est-à-dire : 7x > 21 1 1 On a : ( 7 x ) < 21 ( ) 7 7 D où : x < 3 10x +10 3 10 3 + 5 D où : 10x +10 3 10 3 10 3 + 5 10 3 c'est-à-dire : 10x 5 D où : 0,1 ( 10x) 0,1 5 D où : x 0,5 1 On soustrait 6 puis on multiplie par qui est positif donc 5 l ordre est conservé. 1 On ajoute 3, l ordre est conservé puis on multiplie par qui est 7 négatif donc l ordre est inversé. On soustrait 10 3 1, l ordre est conservé puis on multiplie par 10 (ou 0, qui est négatif donc l ordre est inversé. 4) 6x 2 5 < 3 7 donc : 5 6 x 2 5 < 5 3 7 4) On multiplie d abord par 5, ensuite on ajoute 2 et enfin on multiplie par 6 1 à chaque fois l ordre est conservé. c'est-à-dire : 6x 2 < 15 7 D où : 6x 2 + 2 < 15 7 +2 c'est-à-dire : 6x < 29 7 D où : 1 6 6x < 1 6 29 7 On a donc : x < 29 42 15 15 14 29 + 2= + = 7 7 7 7 264 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 EXERCICE 51 Les points de la partie du plan à la fois hachurée en gris et en bleu ont des coordonnées (x, y) vérifiant à la fois : 1 x 3 et 2,5 y 4. Les commentaires du professeur : La partie hachurée deux fois est un rectangle dont les sommets ont pour coordonnées ( 1 ; 2,5) ; ( 1 ; 4) ;( 3 ; 4) et (3 ; 2,5). EXERCICE 52 Le chemin en pointillés noir a pour longueur : Le chemin bleu a pour longueur : a π 2 + b π 2 c π 2 Les longueurs a, b et c sont les longueurs des côtés d un triangle, or dans un triangle la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, donc : π π < + 2 2 c π a π b π < + D où : c ( a b) c < a + b c'est-à-dire : 2 2 2 Conclusion : le chemin le plus court est le chemin en pointillés noirs. La longueur d un cercle est égale au produit de son diamètre par π, donc pour le demi-cercle on divise par 2. On multiplie par 2 π qui est positif donc l ordre est conservé. Cned, Mathématiques 4 e 265
Séquence 9 EXERCICE 53 SEANCE 9 Si x > 1 alors : x 2 > x On a multiplié par x qui est positif donc l ordre est conservé. Si x 3 alors x 2 3 x et 3 x 9 donc x 2 3 x 9 donc : x 2 9 Si x 4 alors x 2 4 x et 4 x 4 ( 4) On a multiplié d une part par x qui est négatif et d autre part par 4 qui est négatif. On a donc : x 2 4 x 16 d où : x 2 16 4) Si 2 < y < 3 alors y > 2 et y < 3 donc : y 2 > 2y et 2y > 4 y 2 < 3y et 3y < 9 On a donc : y 2 > 4 et y 2 < 9 D où : 4 < y 2 < 9 Les commentaires du professeur : On a : x > 1 donc x est positif. 0n a multiplié d une part par x qui est positif et d autre part par 3 qui est positif donc l ordre est conservé. On a multiplié d une part par x qui est négatif et d autre part par 4 qui est négatif donc l ordre est inversé. 4) On a multiplié par y puis par 2 l inégalité y > 2 et par y puis par 3 l inégalité y < 3. Tous ces multiplicateurs sont positifs donc l ordre est conservé. EXERCICE 54 3 < T < 5 donc : 1,8 3 < 1,8 T < 1,8 5 soit : 5,4 < 1,8 T < 9 On a donc : 37,4 < 1,8 T + 32 < 41 La température à l intérieur d un réfrigérateur est comprise entre 37,4 F et 41 F. T 18 donc : 1,8T 1,8 ( 18) c'est-à-dire 1,8T 32,4 D où 1,8T + 32 32,4 + 32 soit 1,8T + 32 0,4 La température maximale pour un produit surgelé est 0,4 F. 266 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 9 JE M EVALUE 7 6 0 4 3 2 0 2 3 z 0 z 3 0 z 3 0 3 z 0 4) 8 < 5 9 6 8 5 > 9 6 8 = 5 9 6 8 5 9 6 5) B < A A B A < B 6) x > 4 x > 8 8 > x 7) 3y 12 3y 12 3y = 12 3y 12 Il ne fallait pas oublier 4 : l inégalité est encore vraie pour x = 4. L inégalité n est pas vraie pour x = 2. On soustrait 3 aux deux membres de l inégalité. On obtient alors : z 3 3 3 D où : z 3 0. On en déduit ensuite que : ( (z 0. D où : z + 3 0 c est-à-dire 3 z 0. 4) Comme la différence 8 5 9 6 est positive, on a donc : 8 5 > 9 6 Les deux nombres sont donc différents. 5) B = 1,2 10 10 7 = 1,2 10 8 Comme 1,2 < 1,3 on a : B < A. On a donc : B A. 6) On a : x + 6 6 > 2 6 On a donc : x > 8 Comme : x > 8 on a : x < 1 ( 8) soit : x < 8 c est-à-dire 8 > x. 7) Comme y 4, on a : 3 y 3 4 soit 3 y 12. Comme y 4, on a : 3 y 3 4 soit 3y 12 Cned, Mathématiques 4 e 267
Séquence 9 8) m + π < n + π m π < n π n 1 > m 1 7 7 2 3 m < 2 3 n 9) 0,6345 x < 0,6350 0,6335 x < 0,6345 0,6344 x < 0,6345 10) L arrondi au dixième de y est 7,3 L arrondi au centième de y est 7,32 La troncature au dixième de y est 7,3 La troncature au centième de y est 7,31 8) On peut ajouter n importe quel nombre aux deux membres d une inégalité sans en changer le sens. 9) 10) Si tu n as pas compris, reporte-toi à l exercice 47. 268 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 269 10 SEQUENCE 10 PROPORTIONNALITE Ce que tu devais faire JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5 e 1 m 40 2 m 2 m 40 SEANCE 1 Les commentaires du professeur Si l âge et la taille étaient proportionnels, alors en doublant l âge on devrait doubler automatiquement la taille. Ici, il est bien entendu impossible que la taille de Jules soit 2m40 : Cela signifie que les deux grandeurs (âge et taille) ne sont pas proportionnelles. oui non Dans ce cas, en doublant la distance parcourue, on doublera automatiquement la quantité de carburant utilisée. Cela signifie que les deux grandeurs sont bien proportionnelles. 2 raisonnements sont possibles : Dans la première série (nombres de la 1 ère ligne), on est passé de 5 à 10 : La valeur a doublé. Dans la 2ème série (nombres de la 2ème ligne), la valeur devrait doubler, et donc passer de 3 à 6. oui non Ou bien : Le coefficient de proportionnalité de ce tableau serait le nombre qui permet le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne. C est donc le nombre qui multiplié par 5 donne 3 soit 3 5. Alors le nombre «en-dessous» de 10 devrait s obtenir par 3 l opération, 10 ce serait donc 30 c est à dire 6, et non 8. 5 5 4) 4) 2 10 5 Le coefficient est le nombre qui multiplié par 5 donne 3 c est-àdire 3 5. 5 3 3 5 5) 5) Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est le nombre qui permet le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne. C est donc le nombre qui multiplié par 7 donne 5 soit 5. 7 x = 10 7 5 x = 10 5 7 x = 10 7 5 x = 10 5 7 Alors le nombre «en-dessous» de 10 s obtient par l opération 10 5 7 Autre raisonnement : Dans la première série (nombres de la 1 ère ligne), on est passé de 7 à 10 : la valeur a été multipliée par 10 7. Dans la 2ème série (nombres de la 2ème ligne), la valeur x sera 10 donc obtenue par l opération 5. 7 On dira par la suite que le coefficient de proportionnalité permettant le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne est le coefficient de proportionnalité du tableau. Cned, Mathématiques 4 e 269
270 Séquence 10 6) A et B A et D 7) D et C B et C 6) Souviens-toi du vocabulaire : Dans un repère, l axe horizontal est l axe des abscisses, l axe vertical est l axe des ordonnées. L ordonnée d un point correspond donc sur le dessin à sa «hauteur» 7) Les longueurs sur le plan sont 100 fois plus grandes que les distances réelles. Les longueurs sur le plan sont 100 fois plus petites que les distances réelles. Pour passer des distances réelles aux longueurs sur le plan, on multiplie par 100. Pour passer des distances réelles aux longueurs sur le plan, on divise par 100. Pour passer des longueurs sur le plan aux distances réelles, on multiplie par 100. Pour passer des longueurs sur le plan aux distances réelles, on divise par 100. Dire que plan est à l échelle réalité. 1 100 signifie que c est 1 100 de la EXERCICE 1 Si je double (par exemple) la longueur de fil, alors je doublerai la masse. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. Si je multiplie par 5 (par exemple) la quantité de tomates, alors je multiplierai par 5 le prix à payer ; ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. On utilise ici la première définition de 2 grandeurs proportionnelles, en se demandant ce qui se passerait dans la vie courante. Evidemment, il faut supposer que la situation est «ordinaire» : c est-à-dire par exemple qu il n y a pas de promotion spéciale. Pour un triangle équilatéral, le périmètre s obtient en multipliant le côté par 3. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 4) Si je multiplie par 10 (par exemple) la durée de son trajet, alors je multiplierai par 10 automatiquement la distance parcourue. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 5) Le volume d un parallélépipède rectangle s obtient par la formule : aire de base hauteur. Le volume en cm 3 du parallélépipède rectangle est : volume = 12 hauteur le volume s obtient en multipliant la hauteur par 12. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 6) Si les deux grandeurs étaient proportionnelles, alors en doublant la première (l âge de Safia), on devrait doubler automatiquement la seconde (sa pointure) : Elle chausserait donc du 66 à 24 ans! Ces deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles. On utilise ici la deuxième définition de 2 grandeurs proportionnelles 4) Ce raisonnement n est valide que si la vitesse reste constante pendant toute la durée du déplacement. 5) 6) 270 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 271 10 7) Le volume d un cube s obtient par la formule : arête arête arête Pour une arête de 3 cm, on obtient : volume = 3 3 3 soit 27 cm 3. 7) On pourrait se dire a priori (c est-à-dire sans chercher à creuser la question) qu en multipliant par 4 (par exemple) l arête d un cube, on multiplie sûrement par 4 son volume. En faisant un dessin, on voit que ce n est pas le cas : En multipliant l arête par 4, on obtient un cube d arête 12 cm. Le nouveau volume est 12 12 12 soit 1 728 cm 3. Le volume n a pas été multiplié par 4. Les deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles. le cube de départ on multiplie par 4 l arête Dans le nouveau cube, il y a beaucoup plus que 4 fois le volume de départ On pourrait aussi commencer à remplir un tableau avec ces deux grandeurs, et se poser la question : «Est-ce un tableau de proportionnalité?» Arête (en cm) 1 2 3 Volume (en cm 3 ) 1 8 27 8) Le périmètre d un disque s obtient par la formule : 2π rayon, c est à dire en multipliant le rayon toujours par le même nombre 2π. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. 8) EXERCICE 2 a) Le premier quotient est 2 3. 8 4 2 2 10 5 2 2 = = = = 12 4 3 3 15 5 3 3 Les trois quotients sont égaux à 2, le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient (de 3 proportionnalité) est 2 3. Les commentaires du professeur : La difficulté de l exercice consiste à prouver sans utiliser la calculatrice que les quotients sont égaux (ou ne le sont pas). Ici, on peut chercher à écrire toutes les fractions sous la forme de fractions de dénominateur 3 pour pouvoir les comparer. On y parvient et on s aperçoit que les trois fractions sont égales. On aurait également pu écrire les trois fractions sous la forme de fractions de dénominateur 12 ou 15. b) On cherche à comparer 0,3 3, 0,5 5, 0,9 1,4 et 7 14. Le quatrième quotient est 1,4 14. 0,9 2 0,9 1,8 = = 7 2 7 14 Cned, Mathématiques 4 e 271
272 Séquence 10 Comme 1,4 1,8 et sont deux quotients qui ne sont pas égaux, le tableau n est pas un tableau de 14 14 proportionnalité. Les commentaires du professeur : On voit assez bien que pour trois nombres de la 1 ère ligne du tableau, il suffit de multiplier par 0,1 pour obtenir le nombre qui se trouve juste en dessous. Ce n est pas le cas pour 7 car le nombre qui se trouve en dessous de lui n est pas 0,7 mais 0,9. On pouvait également procéder ainsi : Pour prouver que deux des quotients ne sont pas égaux, on compare 0,9 7 facilement les écrire à l aide du même dénominateur 14). 1,4 et un autre quotient, par exemple (car on va pouvoir 14 c) 44 11 4 = 66 11 6 = 88 11 8 = 111 11,1 10 = 132 11 12 = Les cinq quotients ne sont pas égaux, le tableau n est pas un tableau de proportionnalité. d) 2 2 1 1 = = 8 2 4 4 2, 25 100 2, 25 225 9 25 25 25 1 1 = = = = = = 9 100 9 900 9 100 100 25 4 4 3 3 1 1 = = 12 3 4 4 Les trois quotients sont égaux à 1, le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient de 4 proportionnalité est 1 4. Les commentaires du professeur : Une technique marche toujours (mais elle est parfois laborieuse) : elle consiste à écrire tous les quotients sous la forme de fractions irréductibles. EXERCICE 3 J étudie les rapports : 5 9 ; 10 18 ; 15 27 ; 25 45 ; 35 63 ; 50 118 ; 75 182 ; 100 272 les cinq premiers sont égaux, mais on n obtient pas la même valeur pour les trois derniers (par exemple, une valeur approchée du premier quotient est 0,56 alors qu une valeur approchée du dernier quotient est 0,37). Attention à la phrase : «Si tous les rapports ne sont pas égaux, alors ce n est pas un tableau de proportionnalité» Elle signifie qu un seul rapport non égal aux autres suffit à répondre : «ce n est pas un tableau de proportionnalité». Le prix de la recharge et de la durée de communications ne sont pas des grandeurs proportionnelles. 272 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 273 10 EXERCICE 4 SEANCE 2 Quand on a un tableau de proportionnalité, on dit généralement qu il a un coefficient de proportionnalité : le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la ligne du dessus à celle du dessous. En fait, il y en a un autre : celui qui permet de passer de la ligne du dessous à celle du dessus. 1 er tableau Le coefficient de proportionnalité est le nombre qui multiplié par 6 donne 15 soit 15 6. 1er tableau : «Le» coefficient de proportionnalité de ce tableau est le nombre qui permet le «passage» de la 1 ère à la 2 ème ligne. x est donc le produit de 4 par 15 6. 15 D où : x= 4 6 2ème tableau Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 27 On ne demande pas de faire le calcul.. 10 27 y= 6 10 3ème tableau Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 15 soit 3. 5 z= 27 3 4ème tableau Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 9 11. t = 72 : 9 11 EXERCICE 5 Si je multiplie par 5 (par exemple) la distance parcourue, alors je multiplierai par 5 la quantité de carburant consommée. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. Evidemment, il faut supposer que la situation est «régulière» : on roule à vitesse stabilisée, et la consommation du scooter est toujours la même. Cned, Mathématiques 4 e 273
274 Séquence 10 distance (en km) consommation (en L) distance (en km) consommation (en L) 75 7,5 15 150 30 2 0,2 0,4 4 0,8 75 150 37,5 112,5 56,25 2 4 1 3 1,5 Les commentaires du professeur : Voici, représentées par des flèches, les multiplications ou divisions que l on pouvait utiliser pour le premier tableau. Voici, représentées par des flèches, les multiplications ou divisions que l on pouvait utiliser pour le deuxième tableau. EXERCICE 6 Si je multiplie par 6 (par exemple) le nombre de personnes, alors je multiplierai par 6 les doses des ingrédients. Ces deux grandeurs sont bien proportionnelles. Le tableau serait le suivant : nombre de personnes 3 7 quantité de farine (en g) 240 x Le coefficient de proportionnalité est : x = 7 80 soit : x = 560 g. 240 3 = 80 La quantité de farine pour 1 personne serait 240 : 3 soit 80 g. D où pour 7 personnes : 7 80 soit 560 g. La méthode du passage par l unité (calcul de la dose pour une personne) conduit aux mêmes opérations que l utilisation du coefficient de proportionnalité! 274 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 275 10 EXERCICE 7 Le tableau est le suivant : durée de la cueillette (en h) 4 x quantité cueillie (en kg) 3 7 Le coefficient de proportionnalité est 3 4. x = 7 : 3 4 = 7 4 3 = 28 3 Comme le tiers d une heure égale 20 minutes, alors 28 tiers valent 28 20 minutes soit 560 minutes, c est-à-dire 9 h 20 min. EXERCICE 8 On peut dire aussi que 28 3 = 27 3 + 1 3 et on obtient 9 h 1 3 soit 9 h 20 min. Une route 3 fois plus longue serait représentée par un segment 3 fois plus long sur la carte. La situation est donc une situation de proportionnalité. En utilisant exactement ce raisonnement, une route de 21 km sera donc représentée par un segment de 3 17,5 cm soit 52,5 cm. Si je multiplie par 10 (par exemple) la durée de son trajet, alors je multiplierai par 10 la distance parcourue. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. J utilise par exemple un tableau de proportionnalité : durée du trajet (en min) 90 x distance parcourue (en km) 25 15 Le coefficient de proportionnalité est 25 90. On a : 25 x = 15 soit : 90 90 x = 15 = 54 soit 54 min. 25 Attention, si on multiplie par 10 l âge de Vincent, cela ne multiplie pas par 10 l âge de son petit frère, car ils auront 8 ans d écart toute leur vie!! Ces deux grandeurs ne sont donc pas proportionnelles. Quand Vincent aura 48 ans, son petit frère aura 48 8 soit 40 ans. 4) Si on achète 9 $ avec 6,13, alors on aura 5 fois plus de Dollars avec 5 fois plus d Euros. Ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. J utilise par exemple un tableau de proportionnalité : montant en $ 9 20 montant en 6,13 x Le coefficient de ce tableau est 6,13 6,13. On a : x = 20 9 9 soit : x 13,62 5) Avec une somme 6 fois plus importante, j achèterais 6 fois plus de livres : ces deux grandeurs sont donc proportionnelles. Cned, Mathématiques 4 e 275
276 Séquence 10 Avec 35 je peux acheter 50 livres. Avec 38,5 je peux acheter 55 livres. 110 livres de poche coûtent 77. 11 livres coûtent 7,7. EXERCICE 9 Le coefficient d agrandissement du triangle est le nombre qui permet le «passage» de la mesure 5 cm à la mesure 8 cm. C est donc le nombre qui multiplié par 5 donne 8 soit 8 5 Remarque : Puisque AB C est un agrandissement de ABC, cela signifie que les deux triangles peuvent être dessinés dans la configuration du théorème de Thalès. Il est donc possible de tracer le nouveau triangle sans calculer les côtés manquants ; il suffit en effet de tracer ABC, de placer B tel que AB = 8 cm, et de tracer par B la parallèle à (BC). Ce coefficient d agrandissement s applique alors à tous les côtés du triangle ABC : AC devient 6 8 5 = 48 c est-à-dire 9,6 cm. 5 BC devient 3,5 8 5 = 28 c est-à-dire 5,6 cm. 5 Il suffit maintenant de tracer un triangle correspondant à ces mesures. 276 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 277 10 EXERCICE 10 SEANCE 3 a) Les rapports 7 5 et x sont égaux. 9 b) On a : 7 = x, donc d après l égalité des produits en croix : 5 x = 7 9 5 9 D où : 5 x = 7 9. c) On a alors : 7 9 x =. 5 Les rapports 7 5 et 3 sont égaux donc d après l égalité des produits en croix : 7 y = 5 3 y D où : y = 5 3. 7 EXERCICE 11 1 er tableau 10 x = 250 8 x = 250 8 = 200 10 2 ème tableau 8 y = 12 7 y = 12 7 8 = 10,5 3 ème tableau 3,6 z = 4 4,5 z = 4 ème tableau 18 l = 12 15 l = 5 ème tableau 0,18 u = 0,3 36 u = 4 4,5 18 10 1,8 10 = = = = 5 3, 6 3, 6 2 1,8 2 12 15 180 = = 10 18 18 0,3 36 0,3 18 2 0,6 = = = 60 0,18 0, 01 18 0, 01 Cned, Mathématiques 4 e 277
278 Séquence 10 EXERCICE 12 Le tableau n est pas un tableau de proportionnalité car : 10 4 = 2,5 et 180 = 3 Ces deux quotients ne sont pas égaux. 60 masse suspendue 0 10 30 40 75 120 150 180 200 240 m (en g) allongement constaté a 0 4 12 16 30 48 60 60 60 60 (en mm) On obtient pour cette partie du tableau un ensemble de points alignés avec l origine. Les commentaires du professeur : On ne conserve que les colonnes pour lesquelles les rapports casedu bas sont égaux. casedu haut 278 Cned, Mathématiques 4 e
Séquence 279 10 Sur la portion de droite tracée, on place le point P d abscisse 50 g et on lit son ordonnée : 20 mm. Dans la partie coloriée du tableau : Cette partie constitue un tableau de proportionnalité. Comme l allongement d une masse de 10 g est 4 mm et celui d une masse de 40 g est 16 cm, l allongement d une masse de 50 g (10 g + 40 g) est 4 + 16 mm soit 20 mm. 4) Pour une masse de 21 g le graphique n a pas une précision suffisante. En revanche, on peut utiliser la partie encadrée du tableau. Le coefficient de proportionnalité est 10 4 soit 2,5. L allongement qui correspond à une masse de 21 g est donc 2,5 21 mm soit 52,5 mm. EXERCICE 13 point A point B point C point D abscisse du point 1 3 7 11 ordonnée du point 3 4 6 8 point E point F point G point H abscisse du point 2 3 5 8 ordonnée du point 2 3 4 5 point I point J point K point L abscisse du point 1 3 4 4,5 ordonnée du point 2 6 8 9 Ce n est pas un tableau de proportionnalité, car, par exemple, le rapport 3 n est pas égal au rapport 4. 1 3 Ce n est pas un tableau de proportionnalité, car, par exemple, le rapport 2 n est pas égal au rapport 4. 2 5 C est un tableau de proportionnalité, car tous les rapports sont égaux à 2. On obtient pour ce tableau (et seulement pour celui-ci) un groupe de points alignés avec l origine. Cned, Mathématiques 4 e 279
280 Séquence 10 EXERCICE 14 Dans le triangle OBB : A appartient à [OB) A appartient à [OB ) (AA ) est parallèle à (BB ) SEANCE 4 Je peux appliquer la propriété de Thalès dans ce triangle. La propriété de Thalès permet d écrire : OA OA' AA' = = OB OB' BB' On a donc OA' AA' xa ya = soit : = OB' BB' xb y. B On peut alors écrire l égalité des produits en croix : x A y B = x B y A Cette égalité permet d affirmer que le tableau est bien un tableau de proportionnalité. L égalité des produits en croix a été vue dans la séquence 1 séance2 La propriété utilisée ici est celle du cadre «Je retiens» de la séance 3. EXERCICE 15 Je cherche une représentation graphique qui soit un ensemble de points alignés avec l origine du repère. Seuls le cas 1 et le cas 4 conviennent. Les points du graphique 2 ne sont pas alignés. Les points du graphique 3 sont bien alignés, mais ne sont pas alignés avec l origine du repère. EXERCICE 16 La représentation graphique est un ensemble de points alignés avec l origine du repère. On peut donc affirmer que les deux grandeurs sont proportionnelles. La propriété utilisée ici est celle du cadre «Je retiens» vu précédemment. Dans ce cas, le tableau obtenu sera un tableau de proportionnalité. Le voici : durée (en min) 2 3 6 8 quantité d eau (en L) 3 4,5 9 12 280 Cned, Mathématiques 4 e